三角函数的单调性与最值(新)
1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．
《三角函数的图象与性质》PPT教学课件(第三课时正、余弦函数的单调性与最值)
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12
(1)B
(2)xx≠－4kπ－43π，k∈Z
(3)x－π4＋kπ≤x<π4＋kπ，k∈Z
[(1)当－π4＜x＜0时，－1＜tan x
＜0，∴ta1n x≤－1；
当0＜x＜π4时，0＜tan x＜1，∴ta1n x≥1.
即当x∈－π4，0∪0，π4时，函数y＝ta1n x的值域是(－∞，－1) ∪(1，＋∞)．
[提示] 由正切函数图象可知(1)×，(2)√，(3)×，(4)×. [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
第五章 三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 第4课时 正切函数的性质与图象
2
学习目标
核心素养
1.能画出正切函数的图象．(重点)
1.借助正切函数的图象研究问
2.掌握正切函数的性质．(重点、难点) 题，培养直观想象素养.
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 2.通过正切函数的性质的应
渐近线．(易错点)
28
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(2)函数定义域为 xx≠kπ－π4且x≠kπ＋π4，k∈Z ， 关于原点对称， 又f(－x)＝tan－x－π4＋tan－x＋π4 ＝－tanx＋π4－tanx－π4 ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数．
29
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30
正切函数单调性的应用 [探究问题] 1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？ 提示：不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开，所以它的 单调区间只在kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函 数．假设x1＝π4，x2＝54π，x1<x2，但tan x1＝tan x2.
用，提升逻辑推理素养.
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正、余弦函数的单调性与最值
比较三角函数值的大小 比较下列各组数的大小． (1)cos－253π与 cos－147π； (2)sin2 012°和 cos157°.
【思路探索】 利用诱导公式将异名三角函数转化为 同名三角函数，非同一单调区间的角，转化到同一单调区 间上，再利用函数的单调性比较．
【解】 (1)解法一： ∵cos－253π＝cos－6π＋75π＝cos75π， cos－147π＝cos－6π＋74π＝cos74π， ∵π<75π<74π<2π， 又 y＝cosx 在[π，2π]上单调递增， ∴cos75π<cos74π，
求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)或y＝Acos(ωx＋ φ)(A>0，ω≠0)的单调区间，一般将ωx＋φ视作整体，代入y ＝sinx或y＝cosx相关的单调区间所对应的不等式，解之即 得．这里实际上采用的是整体的思想，这是研究三角函数 性质的重要数学思想，一般地，ω<0时，y＝Asin(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，y＝Acos(ωx＋ φ)(Aω≠0)变形为y＝Acos(－ωx－φ)，再求函数的单调区 间．所有的这些变形都是为了使x前面的系数为正值．同 时要注意A<0时单调区间的变化.
单调减区间为2kπ＋π6，2kπ＋76π. (2)函数 y＝2sinπ3－2x＝－2sin2x－3π，令 2kπ－2π≤2x －π3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，∴函数 y＝2sin3π－2x的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋152(k∈Z)．令π2 ＋2kπ≤2x－3π≤32π＋2kπ，k∈Z，解得152π＋kπ≤x≤1112π＋kπ， k∈Z，即原函数的单调递增区间为152π＋kπ，1112π＋kπ(k∈Z)．
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
函数名称 图象与性质 性质分类 图象 奇偶性 _________ 奇函数 _________ 偶函数 y＝sinx y＝cosx
不同处
函数名 称 图象与性质 性质分类 在 不同 处 y＝sinx y＝cosx
单调性
π π [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上 2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z) 在 ____________________ 2 2 ________________________ 递增； 上递增； 在 在 π 3 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ＋ ，2kπ＋ π(k∈Z) ________________________ 2 2 ________________________ 上递减 上递减
π π π 【解】 (1)由 2kπ－2≤x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)， 5 π 得 2kπ－6π≤x≤2kπ＋6(k∈Z)． π π 3 由 2kπ＋2≤x＋3≤2kπ＋2π(k∈Z)， π 7 得 2kπ＋6≤x≤2kπ＋6π(k∈Z)． ∴函数
π y＝2sinx＋3的单调增区间为
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsinx＋C 或 y＝Acos2x＋Bcosx＋C(A≠0) 的最大、最小值可利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值 的求法来求(换元法)． Asinx＋B Acosx＋B 2 (3)形如 y＝ 或 y＝ (A ＋C2≠0)的最大值最 Csinx＋D Ccosx＋D 小值可解出 sinx 或 cosx 后利用其有界性来求．
2．比较三角函数值大小的方法 先利用诱导公式把要比较的三角函数值转化为同一单调区间 上的同名三角函数值，再利用三角函数的单调性比较大小． 3．求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A|＋k， 最小值为－|A|＋k(其中 A、 ω、 k 为常数， A≠0， ω≠0)．
高二数学三角函数的单调性与极值
高二数学三角函数的单调性与极值高二数学三角函数的单调性与极值三角函数是数学中一个非常重要且常见的概念，在数学课程中，我们常常会遇到讨论三角函数的单调性和极值的问题。
本文将针对高二数学课程中三角函数的单调性与极值进行详细的论述和解析。
一、三角函数的定义与基本性质在开始讨论三角函数的单调性与极值之前，我们首先需要了解三角函数的定义和基本性质。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
1. 正弦函数：由一个单位圆周上的某一点P(x, y)引出的线段OP，其中O为圆心，P在单位圆的半径为1的圆上。
正弦函数的定义为sinθ = y。
2. 余弦函数：同样由单位圆上的某一点引出的线段OP，余弦函数的定义为cosθ = x。
3. 正切函数：正切函数的定义为tanθ = sinθ / cosθ。
二、三角函数单调性的判定方法为了讨论三角函数的单调性，我们需要先了解如何判定函数的单调性。
对于区间[a, b]上的函数f(x)，我们可以通过其导数的正负来判断函数的单调性。
1. 如果函数f'(x) > 0，那么函数f(x)在[a, b]上单调递增。
2. 如果函数f'(x) < 0，那么函数f(x)在[a, b]上单调递减。
3. 如果函数f'(x) = 0，那么函数f(x)在[a, b]上可能存在极值点。
三、正弦函数的单调性与极值正弦函数的图像为周期性的波浪线，在区间[0, 2π]上，正弦函数的单调性和极值如下：1. 单调递增：在区间[0, π/2]和[3π/2, 2π]上，正弦函数单调递增。
2. 单调递减：在区间[π/2, 3π/2]上，正弦函数单调递减。
3. 极值点：在区间[0, π]和[π, 2π]上，正弦函数存在极值点。
极小值点为π/2的整数倍，极大值点为π的整数倍。
四、余弦函数的单调性与极值余弦函数的图像也是周期性的波浪线，在区间[0, 2π]上，余弦函数的单调性和极值如下：1. 单调递增：在区间[3π/2, 2π]和[0, π/2]上，余弦函数单调递增。
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2
高三总复习数学精品课件 三角函数的单调性与最值
3
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 ((1π)，正0弦)，函_数_32_π_y，_＝_－_s_i1n__x_，_，x∈(2[π0， ，20π)．]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1， (2)余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0， ___(π_，__－__1_)___，32π，0，(2π，1)．
15
4．函数 y＝cos2x－π4的单调递减区间为________． 解析：由 y＝cos2x－π4，
得 2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z)．
所以函数的单调递减区间为kπ＋π8，kπ＋58π(k∈Z)． 答案：kπ＋π8，kπ＋58π(k∈Z)
16
_k_π_＋ __π2__，_0__，__k_∈__Z_
性
对称 轴
__x_＝__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_
___x_＝__k_π_，__k_∈__Z___
零点
kπ，k∈Z
kπ＋π2，k∈Z
6
y＝tan x 无
____k2_π_，__0_，__k_∈__Z__ 无对称轴 kπ，k∈Z
7
y＝cos x __[_－__1_，__1_]___
__2_π___ _偶__函__数_____
__[_－__π_＋__2_k_π_，___ __2_k_π_]_，__k_∈__Z___
5
y＝tan x R
___π___ 奇函数
(－π2＋kπ， ______________ _π2_＋__k_π_)_，__k_∈__Z__
三角函数的单调性与最值
1
最新考纲 1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最 小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性.
三角函数的定义域值域与单调性
三角函数的定义域值域与单调性三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学以及其他许多领域中都有着广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的定义域、值域以及单调性是我们研究它们的重要方面。
本文将以一种合适的格式来论述三角函数的定义域、值域和单调性。
1. 正弦函数的定义域、值域与单调性三角函数正弦函数的定义域是实数集R，因为它可以接受任何实数作为自变量。
正弦函数的值域是闭区间[-1, 1]，也就是说，对于任意的x，-1 ≤ sin(x) ≤ 1。
正弦函数在区间[0, π]上是单调递增的，在区间[π, 2π]上是单调递减的。
2. 余弦函数的定义域、值域与单调性余弦函数的定义域也是实数集R。
与正弦函数不同的是，余弦函数的值域也是闭区间[-1, 1]，也就是说，-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
余弦函数在区间[0, π/2]上是单调递减的，在区间[π/2, π]上是单调递增的，在区间[π,3π/2]上是单调递减的，在区间[3π/2, 2π]上是单调递增的。
3. 正切函数的定义域、值域与单调性正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外，即x ≠ (2n + 1)π/2，其中n为整数。
正切函数的值域是全体实数，也就是对于任意的y，都存在一个实数x使得tan(x) = y。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，而在其他区间上是周期性的。
总结：正弦函数的定义域是实数集R，值域是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π]上是单调递增的，而在区间[π, 2π]上是单调递减的。
余弦函数的定义域也是实数集R，值域同样是闭区间[-1, 1]。
其在区间[0, π/2]上是单调递减的，而在区间[π/2, π]上是单调递增的，以此类推。
正切函数的定义域是实数集R，除了π/2的倍数除外。
值域是全体实数。
正切函数在区间(-π/2, π/2)上是单调递增的，其余区间上是周期性的。
通过研究三角函数的定义域、值域以及单调性，我们能够更好地理解三角函数的性质与特点，在解决数学和实际问题中起到重要的作用。
「精品」高中数学第一章三角函数1.4三角函数的图象与性质1.4.2第2课时正弦余弦函数的单调性与最值课件新人
[跟踪训练] 1．(1)函数y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y＝cosπ3－2x，则它的单调减区间为________． (1)－π3，－29π，π9，π3 (2)kπ＋π6，kπ＋23π(k∈Z) [(1)由π2＋2kπ≤3x＋π6≤32π＋2kπ(k∈Z)， 得π9＋23kπ≤x≤49π＋23kπ(k∈Z)．
π 2
，α＞
π 2
－β，α∈
0，π2，π2－β∈0，π2，
所以cos α＜cosπ2－β＝sin β.]
(2)①cos158π＝cosπ8，cos149π＝cos49π，因为0＜π8＜49π＜π，而y＝cos x在[0，π] 上单调递减，
所以cosπ8＞cos49π， 即cos158π＞cos149π. ②因为cos 1＝sinπ2－1，而0＜π2－1＜1＜π2且y＝sin x在0，π2上单调递增， 所以sinπ2－1＜sin 1， 即cos 1＜sin 1.
[跟踪训练]
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A．sin α＜sin β
B．cos α＜sin β
C．cos α＜cos β
D．cos α ＞cos β
(2)比较下列各组数的大小：
①cos158π，cos149π；②cos 1，sin 1.
(1)B
[(1)α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞
性由自变量的大 [思路探究] 用诱导公式化简 → 小推出对应函数
值的大小
[解] (1)∵－π2＜－1π0＜－1π8＜π2， ∴sin－1π8＞sin－1π0. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°＜16°＜66°＜90°， ∴sin 16°＜sin 66°， 从而－sin 16°＞－sin 66°， 即sin 196°＞cos 156°.
高中数学第五章三角函数4.2第二课时正余弦函数的单调性与最值课件新人教A版必修第一册
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正弦函数y＝sin x在R 上是增函数． (2)余弦函数y＝cos x的一个减区间是[0，π]． (3)∃x∈[0，2π]满足sin x＝2. (4)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z . 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
函数单调递减，故函数的单调递减区间是
4kπ－23π，4kπ＋43π
(k∈Z )．
(2)∵y＝2sinπ4 －x＝－2sinx－π4 ，
∴函数y＝－2sinx－π4 的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定．
2kπ＋π2 ≤x－π4 ≤2kπ＋3π2 (k∈Z )，
①
ππ
π
2kπ－ 2 ≤x－ 4 ≤2kπ＋ 2 (k∈Z )．
知识点 正、余弦函数的单调性与最值 正弦函数
图象
值域
_[－__1_，__1_]
ห้องสมุดไป่ตู้
余弦函数 _[－__1_，__1_]
正弦函数
余弦函数
单
增区间 __－_π_2_＋__2_k_π__，___π2__＋_2_k_π___， [_π__＋__2k_π__，__2_π__＋__2_kπ__]_，_
调
__k_∈_Z____
所以sinπ5 <sin2π 5 ，
所以sin215π<425π.
答案：<
4．求函数f(x)＝sin2x－π4 在0，π2 上的单调递增区间．
π
π
π
解：令2kπ－ 2 ≤2x－ 4 ≤2kπ＋ 2 ，k∈Z ，
解得kπ－π8 ≤x≤kπ＋3π8 ，k∈Z ，又0≤x≤π2 ，
所以f(x)在0，π2 上的单调递增区间是0，3π 8 .
求三角函数的单调性的基本方法[推荐](最新整理)
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求三角函数的单调性的基本方法：函数的单调区间的确定，首先要看A 、ω是否为正，sin()y A x k ωϕ=++若ω为负，则先应用诱导公式化为正，然后将ωx +φ看作一个整体，化为最简式，再结合A 的正负，在和两个22,22k x k k z ππππ-≤≤+∈322,22k x k k z ππππ+≤≤+∈区间内分别确定函数的单调增减区间。
1、求函数在区间[-2π，2π]的单调增区间。
)213sin(x y -=π解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（）sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>的形式：321sin()213sin(ππ--=-=x x y ⑵把标准函数转化为最简函数（）的形式：sin y A x =令，原函数变为123z x π=-1sin()sin 23y x z π=--=-⑶讨论最简函数的单调性：sin y z=-从函数的图像可以看出，的单调增区间为sin y z=-sin y z=-，。
所以，3[2,2]22k k ππππ++Z ∈K 32222K z K ππππ+≤≤+Z∈K 即， πππππ23232122+≤-≤+K x K Z ∈K ∴， ππππ3114354+≤≤+K x K Z∈K ⑷计算k=0,k=±1时的单调增区间：当k=0时，ππ31135≤≤x当k=1时，222333x ππ≤≤当k=-1时，ππ3137-≤≤-x ⑸在要求的区间内[-2π，2π]确定函数的最终单调增区间：因为，所以该函数的单调增区间为[2,2]x ππ∈-和ππ312-≤≤-x ππ235≤≤x 2、求函数在区间[0，π]的单调增区间。
)26sin(2x y -=π解：⑴利用诱导公式把函数转化为标准函数（）sin(),0,0y A x A ωϕω=+>>的形式：sin(2)sin(266y x x ππ=-=--⑵把标准函数转化为最简函数（）的形式：sin y A x =令，原函数变为26z x π=-sin(2)sin 6y x z π=--=-⑶讨论最简函数的单调性：sin y z=-从函数的图像可以看出，的单调增区间为sin y z=-sin y z=-，。
高中数学《三角函数的单调性与最值》教学课件
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦函数、余弦函数在 R 上都是单调函数. ( )
(2)存在 x∈R 满足 cos x＝1.2.( )
(3)函数 y＝－12sin x，x∈0，π2的最大值为 0.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)√
第2课时 单调性与最值
1
2
3
4
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
第2课时 单调性与最值
1
2
3
4
情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
由 z∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，
得 x－π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，
即 x∈2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)，
故函数 y＝2sinx－π3的单调递增区间为2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)． 同 理 可 求 函 数 y ＝ 2sin x－π3 的 单 调 递 减 区 间 为
cos－147π＝cos147π＝cos4π＋π4＝cosπ4. ∵0＜π4＜35π＜π，且 y＝cos x 在[0，π]上是单调递减的，
∴cos35π＜cosπ4，
即 cos－253π＜cos－147π.
第2课时 单调性与最值
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
第2课时 单调性与最值
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情境导学·探新知 合作探究·释疑难 当堂达标·夯基础 课后素养落实
[跟进训练] 1．(1)函数 y＝sin3x＋π6，x∈－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数 y＝cos3π－2x，则它的单调递减区间为________．
2 第2课时 正、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正、余弦函数的单调性与最值问题导学预习教材P204－P207，并思考以下问题：1．正、余弦函数的单调区间相同吗？它们分别是什么？ 2．正、余弦函数的最值分别是多少？正弦、余弦函数的图象和性质正、余弦函数不是定义域上的单调函数，如说“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个，在每个单调增区间上，y ＝sin x 都是从0增加到1，但不能看作一个单调区间．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝12sin x 的最大值为1.( )(2)∃x 0∈[0，2π]，满足cos x 0＝ 2.( )(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×在下列区间中，使函数y ＝sin x 为增函数的是( ) A ．[0，π] B.⎣⎡⎦⎤π2，3π2C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．[π，2π]答案：C函数y ＝1－2cos π2x 的最小值、最大值分别是( )A ．－1，3B ．－1，1C ．0，3D ．0，1 答案：A函数y ＝sin x (π3≤x ≤2π3)的值域为________．答案：[32，1]函数y ＝－cos x 的单调递减区间是____________； 单调递增区间是____________． 答案：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z ) [2k π，2k π＋π](k ∈Z )正、余弦函数的单调性求下列函数的单调递减区间：(1)y ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x .【解】 (1)令z ＝2x ＋π3，而函数y ＝cos z 的单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )．所以当原函数单调递减时，可得2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以原函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z ，求y ＝－2sin z 的单调递减区间，即求sin z 的单调递增区间．所以－π2＋2k π≤z ≤π2＋2k π，k ∈Z .即－π2＋2k π≤x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z .所以－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )．求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数解析：选B.因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数． 2．求函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调增区间．解：设x ＋π4＝u ，y ＝|sin u |的大致图象如图所示，函数的周期是π.当u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝|sin u |递增．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．比较三角函数值的大小比较下列各组数的大小． (1)sin1017π与sin 1117π； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－7π8与cos 6π7；(3)sin 194°与cos 160°.【解】 (1)因为函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，且π2＜1017π＜1117π＜π，所以sin 1017π＞sin 1117π. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8，因为0＜6π7＜7π8＜π，y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以cos7π8＜cos 6π7. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＜cos 6π7.(3)由于sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°， 又0°＜14°＜70°＜90°，而y ＝sin x 在[]0°，90°上单调递增， 所以sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°， 即sin 194°＞cos 160°.比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数；(2)利用诱导公式把角转化到同一单调区间上； (3)利用函数的单调性比较大小．1．sin 470°________cos 760°(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°， 所以cos 760°<sin 470°. 答案：＞2．比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π与sin ⎝⎛⎭⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－376π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin ⎝⎛⎭⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＜sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π＜sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°) ＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°) ＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°， 因为0°＜150°＜170°＜180°， 且y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以cos 150°＞cos 170°，即cos 870°＞sin 980°.正、余弦函数的最值(值域)求下列函数的最值． (1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【解】 (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54＝－(sin x －32)2＋2.因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝32时，函数取得最大值，y max ＝2；当sin x ＝－1时，函数取得最小值，y min ＝14－ 3.(变条件)在本例(1)中，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π12，则函数y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最大、最小值分别是多少？解：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12，所以0≤2x ＋π3≤π2，所以0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝3.所以函数y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5，最小值为3.三角函数最值问题的求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．1．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12) B ．[－12，32]C ．[32，1] D ．[12，1]解析：选B.由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos(x ＋π6)≤32，故选B.2．求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－(sin x －2)2＋5.所以当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z ； y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π－π2，k ∈Z .1．下列函数中，在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上恒正且是增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析：选D.作出四个函数的图象，知y ＝sin x ，y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，不符合；而y ＝－sin x 的图象虽满足在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增但其值为负，所以只有D 符合，故选D.2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4在x ＝________时，y 取最大值．解析：当函数取最大值时，12x －π4＝2k π(k ∈Z )，x ＝4k π＋π2(k ∈Z )．答案：4k π＋π2(k ∈Z )3．sin 21π5________sin 425π(填“>”或“<”)．解析：sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，。
三角函数的单调性与极值
三角函数的单调性与极值三角函数是数学中常见且重要的函数之一，它涵盖了正弦函数、余弦函数和正切函数等多种函数。
在学习三角函数时，我们需要研究它们的单调性和极值，这对我们理解和应用三角函数有着重要的意义。
本文将探讨三角函数的单调性和极值，并分别对正弦函数、余弦函数和正切函数进行讨论。
一、正弦函数的单调性与极值正弦函数是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
我们可以通过观察正弦函数的图像来研究其单调性和极值。
正弦函数的图像在每个周期内呈现周期性变化，从图像上观察，我们可以得出以下结论：1. 正弦函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，正弦函数先增后减，在0到π的区间上，正弦函数单调递增；3. 在π到2π的区间上，正弦函数单调递减；4. 正弦函数在特定角度处达到极值，即在0、π、2π等处取得最大值1和最小值-1。
综上所述，正弦函数的单调性为在每个周期内先递增后递减，且在特定角度处取得极值。
二、余弦函数的单调性与极值余弦函数也是一个周期函数，它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]。
我们同样可以通过观察余弦函数的图像来研究其单调性和极值。
余弦函数的图像同样呈现周期性变化，在观察图像的基础上，我们可以得出以下结论：1. 余弦函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，余弦函数先减后增，在0到π的区间上，余弦函数单调递减；3. 在π到2π的区间上，余弦函数单调递增；4. 余弦函数在特定角度处达到极值，即在0、π、2π等处取得最大值1和最小值-1。
综上所述，余弦函数的单调性为在每个周期内先递减后递增，且在特定角度处取得极值。
三、正切函数的单调性与极值正切函数是一个奇函数，它的定义域为实数集，值域为整个实数集。
我们同样可以通过观察正切函数的图像来研究其单调性和极值。
正切函数的图像呈现周期性变化，从图像上我们可以得出以下结论：1. 正切函数在定义域内是振荡函数，没有整体的单调性；2. 在每个周期内，正切函数存在无穷多个间断点，因此无法具体判断其单调性；3. 正切函数在特定角度处取得极值。
5.4第二课时三角函数单调性与最值 高中数学人教A版必修第一册
内容 索引
问题导学预习教材
01
必备知识探究
互动合作研析题型
02
关键能力提升
拓展延伸分层精练
03
核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教 材 必备知识探究
二次函数的单调性求值域(最值).
训练 3 已知函数 y＝a－bcos2x＋π6(b>0)的最大值为32，最小值为－12.
(1)求a，b的值；
解 易知－1≤cos2x＋π6≤1. 因为 b>0，所以－b<0， 所以ymax＝b＋a＝32，
ymin＝－b＋a＝－12. 所以 a＝21，b＝1.
(2)求函数 g(x)＝－4asinbx－π3的最小值，并求出对应的 x 的取值集合. 解 由(1)知 g(x)＝－2sinx－π3， 因为 sinx－π3∈[－1，1]，
A.32π，52π
B.π2，32π
C.－π2，π2
D.[π，2π]
解析 y＝sin x 的单调增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，
取 k＝0，得区间－π2，π2；
取 k＝1，得区间32π，52π.
二、正弦、余弦函数的最值 1.问题 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线，回答问题：
正弦曲线：
余弦曲线：
一、正弦、余弦函数的单调性 1.问题 观察正弦函数 y＝sin x，x∈－π2，32π的图象，回答问题：
(1)函数图象有什么特征？函数值是怎样变化的？ 提示 当 x 由－π2增大到π2时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1 增大到 1. 当 x 由π2增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 的值由 1 减小到－1.
三角函数的单调性
1 2
cosx
1 2
π
5π 2π 3
x
5π ∴在 kπ + ,2kπ +π ]或 kπ + ,2kπ + 2π ](k ∈Z)上y单调递增, [2 [2 3 3 5π π 在 kπ,2kπ + ]或 kπ +π ,2kπ + ](k ∈Z)上y单调递减. [2 [2 3 3
π
3、函数y = log 1 sin(2 x + )的单调递减区间是( 4 2 4 π 3π C.(kπ − , kπ + ) 8 8
x
∴ 在每个[2kπ −
, 2kπ + ]k ∈ Z 上单调递增, 2 2 π 3π 在每个[2kπ + , 2kπ + ]k ∈ Z 上单调递减. 2 2
π
π
2、y = cos 2 x − cos x + 2
1 2 7 解 : y = (cos x − ) + , 2 4
y
o
y 1 ∴当cos x ≥ 时, y与cos x的单调性相同; 1 2 1 o π 当cos x ≤ 时, y与cos x的单调性相反. 3 2
π
1 3π π 8、函数y = lg[sin( − x)]的递增区间为(4kπ − ,4kπ − ]. 4 2 2 2 π 1 1 π (法2) ∵ t = sin( − x) = − sin( x − ). 4 2 2 4 1 π ∴ 只需求使 sin( x − ) < 0且为减函数的区间, 2 4 1 π 3π 5π 7π ∴ 2kπ + π < x − ≤ 2kπ + 即4kπ + < x ≤ 4kπ + , 2 4 2 2 2 π 1 ∴函数y = lg sin( − x)的单调递增区间为 4 2 5π 7π (4kπ + , 4kπ + ](k ∈ Z ). 2 2 事实上, 令k = m − 1得递增区间为 π 3π (4kπ − , 4kπ − ](k ∈ Z )与法1相同. 2 2
三角函数的单调性与周期知识点
三角函数的单调性与周期知识点三角函数是数学中一类重要的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
研究三角函数的单调性与周期是深入理解和应用三角函数的基础。
在本文中，我们将重点讨论三角函数的单调性与周期的相关知识点。
一、正弦函数的单调性与周期正弦函数是最常见的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。
正弦函数的标准形式为：f(x) = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C和D 为常数。
1. 单调性：正弦函数的单调性与其幅值A有关。
当A>0时，正弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图1所示。
当A<0时，正弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图2所示。
插入图1和图22. 周期：正弦函数的周期与参数B有关。
正弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。
当B增大时，正弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，正弦函数的周期变长，波动速度减慢。
二、余弦函数的单调性与周期余弦函数也是常用的三角函数之一，可以表示周期性的波动现象。
余弦函数的标准形式为：f(x) = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C和D为常数。
1. 单调性：余弦函数的单调性与其幅值A有关。
当A>0时，余弦函数在每个周期内先下降后上升，即先递减后递增，如图3所示。
当A<0时，余弦函数在每个周期内先上升后下降，即先递增后递减，如图4所示。
插入图3和图42. 周期：余弦函数的周期与参数B有关。
余弦函数的周期为2π/B，其中B 为正数。
当B增大时，余弦函数的周期变短，波动速度加快；当B减小时，余弦函数的周期变长，波动速度减慢。
三、正切函数的单调性与周期正切函数是三角函数中的一种特殊函数，可以表示角度的对称性关系。
正切函数的标准形式为：f(x) = A*tan(Bx + C) + D，其中A、B、C 和D为常数。
1. 单调性：正切函数在每个周期内都存在间断点，因此不存在严格的单调性。
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课堂小结：
正弦函数在 [2k ,2k ], k Z 单调递增 1、 2 2 3 正弦函数在 [2k ,2k ], k Z 单调递减 2 2 2、利用正弦函数单调性比较函数值大小，关 键将自变量放入同一个单调区间中。 3、利用y=sinx的单调区间来求解y＝Asin(ωx＋φ) 的单调区间，需要注意ω的符号。
正弦函数的单调性
复习回顾：
正弦函数图像
复习回顾：
正弦函数基本性质：
函数 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性
y＝sin x
R [-1，1] 奇函数 最小正周期
2
新知探究：
y y=f(x) y y=f(x) f(x2) x2 x f(x1) o x1 f(x2) x2 x
f(x1)
o x1
图像呈上升趋势
196° 与 sin256° ； （3）sin851o 与
sin834o
例2.求y sin(2 x)的单调区间 .
1 变1、求 y 2 sin( x )的增区间 . 2 3 1 变2、求 y sin( x )的增区间 . 2 3
方法归纳：
1．求函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)单调区间的方法是： π π 把 ωx＋φ 看成一个整体， 由 2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z) 2 2 π 解出 x 的范围， 所得区间即为增区间， 由 2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ 2 3 ＋ π (k∈Z)解出 x 的范围，所得区间即为减区间．若 ω<0， 2 把 ωx＋φ 代入 y=sinx 的增区间中，解得的 x 的范围即为 y＝ Asin(ωx＋φ)的减区间；把 ωx＋φ 代入 y=sinx 的减区间中，解 得的 x 的范围即为 y＝Asin(ωx＋φ)的增区间
图像呈下降趋势
新知探究：
正弦函数单调性：
正弦函数在 [2k
,2k ], k Z 单调递增 2 2
3 正弦函数在 [2k ,2k ], k Z 单调递减 2 2
例题解析：
例 1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
π (1)sin－18 与 π sin－10 ；(2)sin
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