三角函数单调性及最值_刘老师

在每个闭区间 [2k , 2k ](k Z) 上都是减函数，
其值从1减小到－1。
Hale Waihona Puke Baidu
探究：正弦函数的最大值和最小值
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
最大值： 当
x

2
2k 时， 有最大值 y 1
有最小值 y 时，
最小值：当x 2k


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
对称轴：
x k , k Z

2 k , 0) k Z
对称中心： (
复习：函数的单调性
函数 y f ( x),若在指定区间任取 x1、x2 ，且 x1 x2 ，都有：
f ( x1 ) f ( x2，则 ) f（x）在这个区间上是增函数. 1、__________ f ( x1 ) f ( x2，则 ) f（x）在这个区间上是减函数. 2、__________
2
零点： x
1
k (k Z )
探究：余弦函数的最大值和最小值
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
最大值： 当 最小值：当 零点： x
x 0 2k 时， 有最大值 y 1
x 2k 时， 有最小值 y 1

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数在每个闭区间[

2
2k ,

2
2k ]( k Z )
都是增函数，其值从－1增大到1； 3 而在每个闭区间[ 2k , 2k ](k Z )上都是 2 2 减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
归纳：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间 [ 2k , 2k ](k Z) 都是增函数， 其值从－1增大到1 ；
（1）y 2sin x, x R
(2)
x y 2 cos , x R 3
• 求 y sin(2 x ) 函数的对称轴和对称中心 3 z 2 x y sin(2 x ) sin z 解（1）令 则 3 3
y sin z
2x
例 题
的对称轴为 z


2
k (k Z )
单调性的应用 ： 一、求最值
例1. 写出下列函数取最大、最小值时的自变量x的集合，并写出 最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
练习1：求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 X的集合，并写出最大值、最小值各是多少？
函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。
增函数：上升
减函数：下降
观察正余弦函数的图象，探究其单调性
探究：正弦函数的单调性
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
归纳：正弦函数的单调性
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2
(1) sin(

18
)与 sin(

10
) （2） cos(
23 17 )与 cos( ) 5 4
1 例3、求函数y sin （ x+ ），x R的单调增区间 2 3
1 例3、求函数y sin( x ), x [2 ,2 ]的单调递增区间 . 2 3

3


2
2
k , k Z
k
x
解得：对称轴为
(2) y sin z

12
k

2
,k Z
的对称中心为 ( k ,0) , k Z
2x
z k

3
k
x

6
k

2
对称中心为 (

6
k

2
,0) , k Z
二、比较大小
例2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质
复习：正弦函数对称性
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

对称轴： x k , k Z 2
对称中心： ( k , 0)
1
3 2
2
5 2
3
x
kZ
复习：余弦函数对称性 y
1
3 5 2
2 3
2