数轴标根法

简单高次不等式的解法
——数轴标根法
教学目标
1. 了解什么叫数轴标根法； 2.会利用数轴标根法求解简单的高次不等式； 3.通过教学，使学生熟练掌握利用数轴标根法 求不等式的解集； 4.激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨的 学习态度。
教学重.难点
教学重点： 学会利用数轴标根法求简单高次不等式的解集 教学难点: 理解并弄清楚“奇穿过，偶弹回”表示的意义。
第五步：因为不等号为“<”故取数轴下方，穿根线以 内 的范围。即：2<x<4。
0 2 4
规范解题：
例3.解不等式x2 ( x2 6x 8) 0 解：整理得 x2 ( x - 2 （ ) x 4） 0
对应方程x 2 ( x 2)(x 4) 0的根为0,2,4
如图，在数轴上标根 并由右上方开始穿根。 由图可知，原不等式的解集是{x|2<x<4}。
0
0 0
0 0
0
<0
+ 2
>0
+ 3 x
<0
>0
原不等式的解集是
-
1
{x|1<x<2或x>3}
什么是数轴标根法呢？
• “数轴标根法”又称“穿针引 线法” • 准确的说，应该叫做“序轴标 根法”。
• 那么，什么是序轴呢？
• 序轴：省去原点和单位，只 表示数的大小的数轴。 • 序轴上标出的点，右边的点 表示的数比左边的点表示的 数大。
• • 【注意】：次数若为偶数则不穿过，奇数则穿过 可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。
• 第六步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取 数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为 “<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
数轴标根法的解题步骤可以简记为：
• • • • • • 一看； 二分解； 三求根； 四标根； 五穿针引线； 六写出解集。
. -1 1 2 x
例题讲解：
例2：解不等式(x-2)(1-x)>0
第一步：将不等式最高次项系数化为正 整理得（x-2）(x-1)<0 第二步：求方程(x-2)(x-1)=0的根。 第三步：在数轴上标根得：1， 2 第四步：画穿根线：由右上方开始穿根。 第五步：因为不等号为“<”故取数轴下方，穿根 线以内的范围。即：1<x<2。
• 为了形象地体现正负值的变化规律， 可以画一条浪线从右上方依次穿过 每一根所对应的点，穿过最后一个 点后就不再变方向，这种画法俗称 “穿针引线法”，
例题讲解：
例1：解不等式(x-2)(x-1)(x+1)>0 第一步：先求方程(x-2)(x-1)(x+1)=0的根。 解:方程(x-2)(x-1)(x+1)=0的根分别是-1,1,2 第二步：在数轴上标根得：-1 ，1， 2 如图，在数轴上标出这些根，并从x轴右上方开 第三步：画穿根线：由右上方开始穿根。 始画穿根线。 第四步：因为不等号为“>”故取数轴上方，穿 根线以内的范围。即：-1<x<1 或x>2 。x>2} 由图可知原不等式解集是 {x|-1<x<1 或
2
0
4
数轴标根法的解题步骤：
• 第一步：将不等式整理成最高次项系数是 正，右侧为0的不等式。
• 注意：一定要保证x前的系数为正数， 也就是说一定要保证最高次系数为正。 才可用数轴标根法
• 第二步：因式分解不等式左端 • 第三步：求出对应方程的根。
• 第四步：数轴标根 • 第五步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根” 的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次 右根”上去，一上一下依次穿过各根。
数轴标根法解题的注意事项：
(1）一定要保证最高次项的系数是正数， 然后按从后上方开始，遇根即穿，从 上到下，从右往左。
（2）“奇穿过，偶弹回”
练习：
解下列高次不等式 （ 1） ( x 1)(x 1)(x 4) 0 （2）x ( x 2) 0
2
Fra Baidu bibliotek
(3) x x 2 x 0
1 2 x
规范解题：
例2：解不等式(x-2)(1-x)>0
解：整理得（x-2）(x-1)<0 对应方程(x-2)(x-1)=0的根为1,2。 如图，在数轴上标根：1， 2 并从右上方开始画穿根线， 由图可知，原不等式的解集是{x|1<x<2}。
1
2
x
例题讲解：
例3.解不等式x2 ( x2 6x 8) 0
不等式（x 3） ( x 4) 0的解集是 {x | x -3或x 4}


解不等式（x-1）(x-2)(x-3)>0
。
1 符号
。 2
。
3 x
x 1
1 x 2 2 x 3
x3
x 1
x2
x3
( x 1)(x 2)(x 3)
0 0
0
0
0 0
4 3 2
(4) x( x 3) ( x 2) 0
2 3
解不等式（-x-3）(x-4)<0
解：整理得（ x 3） ( x 4) 0
对应方程是 ( x 3)(x 4) 0
一看 二求
y
+
三写
0 -3
解得：x1 3，x2 4 .
+ x
4
-
结合二次函数 y ( x 3)(x 4)的图像可知，
故原不等式的解集是 x x 3 或 x 4 .
第一步：将多项式因式 分解得x 2 ( x - 2 （ ) x 4） 0 第二步：求出方程 x 2 ( x 2)(x 4) 0的根 第三步：在数轴上标根得：0 ，2， 4 第四步：画穿根线：由右上方开始穿根。(注意：出现
几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同 根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到 “奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴)