(完整版)数轴标根法及习题
专题8数轴穿根法
专题:数轴穿根法
“数轴穿根法”又称“数轴标根法”
第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0、(注意:一定要保证x 前得系数为正数)
例如: (x －２)(ｘ—1)(x+１)＞0
第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(ｘ-１)(x+1)=0得根为:x ＝２,x ＝1,x=—1
第三步:在数轴上从左到右依次标出各根、
例如:-1 １ ２
第三步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根"得右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右跟”上去,一上一下依次穿过各根、
第四步:观察不等号,如果不等号为“＞”,则取数轴上方,穿根线以内得范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内得范围。
例如:
若求(x －2)(x-1)(ｘ+1)>0得解。
因为不等号威“〉”则取数轴上方,穿根线以内得范围。即:－１2、 穿根法得奇过偶不过定律: “奇穿过,偶弹回”。
还有关于分式得问题:当不等式移项后,可能就是分式,同样就是可以用穿根法得,但就是注意,解不能让原来分式下面得式子等于０
专项训练:
1、解不等式ﻩ
解析:１)一边就是因式乘积、另一边就是零得形式,其中各因式未知数得系数为正。
2)因式、、得根分别就是、、。在数轴上把它们标出(如图1)。
3)从最大根3得右上方开始,
穿线(图象,)。 4)数轴上方曲线对应得得取值区间,为得解集,数轴下方曲线对应得得取值区间,为得解集。
不等式得解集为。
在上述解题过程中,学生存在得疑问往往有:为什么各因式中未知数得系数为正;为什么从最大根得右上方开始穿线;为什么数轴上方曲线对应得得集合就是大于零不等式得解集,数轴下方曲线对应得集合就是小于零不等式得解集。
数轴标根法 (3)
数轴标根法
什么是数轴标根法？
数轴标根法（Root-finding algorithm）是一种用于求解方
程根的数值算法。方程根指的是方程中使得方程成立的变量值。数轴标根法最基本的思想是在数轴上标记出方程在某个区间内的根，并根据方程的性质逐步缩小这个区间，直到得到近似的根。
数轴标根法的步骤
数轴标根法的步骤如下：
1.首先，选择一个合适的初始区间，该区间内有且仅
有一个根。初始区间应该包含方程的根，并且足够窄，以
便逐步缩小区间。
2.将初始区间分成若干个等间隔的小区间，可以通过
在初始区间上取等间距点来实现。
3.在每个小区间内计算方程的函数值，并判断函数值
的正负性。如果小区间两端的函数值异号，说明在这个小
区间内存在根。
4.选取其中一个包含根的小区间，将其继续二分，并
重复第3步，直到根的位置足够精确。
数轴标根法的核心思想在于将整个区间不断划分，然后根据函数值正负变化的特征来快速缩小求解区间，从而准确地找到根的近似值。
数轴标根法的优缺点
数轴标根法作为一种求解方程根的数值算法，具有一定的优缺点。
优点
•数轴标根法相对简单，易于理解和实现。
•可以通过不断划分区间来逐步逼近方程的根，从而显著提高了求解根的效率。
•在求解单根时表现良好，收敛速度较快。
缺点
•数轴标根法对于方程存在多个根时，可能只能求解到其中一个或几个近似根。
•如果方程的根位于初始区间之外，或者函数在某些
区间上的增减变化比较大，可能会导致算法失效。
数轴标根法的应用领域
数轴标根法在实际中有广泛的应用。以下是一些常见的应
用领域：
•工程领域：在工程计算中，方程根经常需要被求解，如在电路分析中求解电流和电压的方程根。
数轴标根法及习题
数轴标根法及习题 Revised by Jack on December 14,2020
数轴穿根法
一、概念简介
1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示
数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法
4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”
二、方法步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。（如下图所示）
三、奇过偶不过
就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（X-1)^2）四、注意事项
专题8-数轴穿根法
专题：数轴穿根法
“数轴穿根法”又称“数轴标根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x 前的系数为正数）
例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。 穿根法的奇过偶不过定律： “奇穿过，偶弹回”。
还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0
专项训练：
1、解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x
解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。
2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是
1-
、1、3。在数轴上把它们标出（如图1）。
3）从最大根3的右上方开始，向左依次
穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数
图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。
用----标根法学习资料
例1：解不等式 x2 3x 2 0 x2 2x 3
解：原不等式可化为 (x1)(x2) 0 (x1)(x3)
用数轴标根法表示如图： +
-1
_
x +
+
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1
2 _3
所以不等式解集为
{ x| 1 x 1 或 2x 3 }
（2） x2(x3)x (1)x (2)0
x 解：用数轴标根法表示如图 _ + + _ +
-1 0
2
3
∴不等式的解集为 {x| x<-1或2<x<3}
(2 x)(x 5)3
（3）
>0 x 1
解：原不等式可化为 (x2)(x5)3 0
x x1
+
+
用数轴标根法表示如图
_1 2 _ 5
∴不等式的解集为 {x| x<1或2<x<5}
标根法 一、用途：用来解初、高中遇到的高次不等式和分式不 等式、整式不等式。 二、根轴法（也叫零点分段法、穿根法，数轴标根法） 步骤：
1、 标 准 化 ： ① 化 为 一 边 为 0的 形 式 ② 将 不 等 式 全 部 化 为 一 次 因 式 乘 积 的 形 式 ,； ③ 将 各 因 式 中 未 知 数 的 系 数都化为正数。。
习题三角函数公式-带习题
习题三角函数公式-带习题
“数轴穿根法”又称“数轴标根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x2。</x
奇过偶不过
就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。
向量三点共线定理——在平面中，A、B、C三点共线的充要条件是：
OA= X3OB + Y3OC （O为平面内任意一点，OA、OB、OC为
数轴标根法
用数轴标根法”来解可分解的高次不等式或分式不等式
具体方法步骤如下：
①将不等式等价化为X—X i X—X2…X—X n ・0C：0）形式，并将各因式X的系数化“ +”为了统一方便）；
②求出对应方程X-X i X-X2…X-X n =0的根（或称零点），并在数轴上表示出来；
③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，但要注意奇穿偶不穿”（奇穿偶不穿”是指当左侧f（x有因式（x—X i）n时，n为奇数时，曲线在X i点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在X i点处不穿过数轴）；
④若不等式（X的系数化“ +后）是“ 0”则找线”在x轴上方的区间；若不等式是“:0”则找线”在X轴下方的区间。
例1解不等式（X .4）（x_i）：：:0 由标根法知一4VXV1
例2、解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)乞0. 解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2乞0；
②求得相应方程的根为：-2 (偶次根)，-1, 3;
③在数轴上表示各根并穿线，如图：
④.••原不等式的解集是{x|-1 *3或x=-2}.
说明：注意不等式若带“二”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“二”的条件，不能漏掉.
例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.
解：①检查各因式中x的符号均正；
②求得相应方程的根为：-1 , 2, 3 (注意：2是偶次根，3 是奇次根)；
③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次(自右上方开始),如下图：
④.••原不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.
习题 三角函数公式-带习题
“数轴穿根法”又称“数轴标根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿跟线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿跟线以内的范围。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。
奇过偶不过
就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”。
向量三点共线定理——在平面中，A、B、C三点共线的充要条件是：
OA= X³OB + Y³OC （O为平面内任意一点，OA、OB、OC为平面向量），
数轴标根法(数学)
附图
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
是高次不等式的简单解法
当高次不等式ｆ（ｘ）＞０（或＜０）的左边整式、分式不等式φ（ｘ）／ｈ（ｘ）＞０（或＜０）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…（ｘ－ａｎ）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间ｆ（ｘ）、φ（ｘ）／ｈ（ｘ）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图１（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x
前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
数轴标根法
• 奇过偶不过：
• 就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或 (x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项 ，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2. 当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是 对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶 不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切 ”。
• 正确的解法是：
• 解 原不等式变形为x（x－3）（x+1） （x－2）<0，将各根－1、0、2、3依 次标在数轴上，由图1，原不等式的解 集为{x|－1<x<0或2<x<3}。
• 2． 出现重根时，机械地“穿针引线”
• 例2 解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0
• 解 将三个根－1、1、4标在数轴上，由图2得，
• 为了形象地体现正负值的变化规律，可以 画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对 应的点，穿过最后一个点后就不再变方向 ，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图 片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤：
• 第一步：通过不等式的诸多性质对不 等式进行移项，使得右侧为0。
• 注意：一定要保证x前的系数为正 数
• 解 将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3 画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的 点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折 回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得 到不等式的解集
数轴标根法
始画第穿四根步线：。因为不等号为“>”故取数轴上方，穿
由图根可线知以原内的不范等围式。解即集：是-1{x<|x-<11<或xx<>12或。x>2}
.
-1
1
2
x
例题讲解：
例2：解不等式(x-2)(1-x)>0
第一步：将不等式最高次项系数化为正 整理得（x-2）(x-1)<0
“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴) 第五步：因为不等号为“<”故取数轴下方，穿根线以 内 的范围。即：2<x<4。
0
2
4
规范解题：
例3.解不等式x2 (x2 6x 8) 0 解：整理得 x2 (x - 2（) x 4） 0 对应方程 x2(x 2)(x 4) 0的根为0,2,4
>0
<0
>0
-1
+
2-
原不等式的解集是
+ 3x
{x|1<x<2或x>3}
什么是数轴标根法呢？
• “数轴标根法”又称“穿针引 线法”
• 准确的说，应该叫做“序轴标 根法”。
• 那么，什么是序轴呢？
• 序轴：省去原点和单位，只 表示数的大小的数轴。
数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法
数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法
第一篇：数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法
一、数轴标根法解不等式例1.解下列不等式
1.（x-1）（x-2）(x+3)>0
2.（x-1）（x-2）(x+3)<0
3.（1-x）（x-2）(x+1)≤0
4.（x-1）2
（x-2）3
(x+1)≥0
用穿根法解的步骤如下：
（1）整理——原式化为标准型把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：
f(x)=(x-x1)m1(x-x2)m2…(x-xn)mn >0（或<0），mi∈N*(i=1,2,…,n)
（2）标根——在序轴上标根将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,……xn按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。（3）画线——画穿根线从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲
线，作为穿根线。遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶不穿”。（4）选解——写出解集如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。二．
分式不等式
思考（1）x-3
x-2
>0与(x-3)(x-2)>0解集是否相同，为什么？
（2）x-3x-2
≥0与(x-3)(x-2)≥0解集是否相同，为什么？
解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。
方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：
专题8-数轴穿根法
专题：数轴穿根法
“数轴穿根法”又称“数轴标根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x 前的系数为正数）
例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：
若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1<x<1或x>2。 穿根法的奇过偶不过定律： “奇穿过，偶弹回”。
还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0
专项训练：
1、解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x
解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。
2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是
1-
、1、3。在数轴上把它们标出（如图1）。
3）从最大根3的右上方开始，向左依次
穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数
图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。
数轴标根法及习题
一、概念简介
1.“数轴标根法”又称“”或“”
2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法
4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“”
二、方法步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x 的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：
-1<x<1或x>2。（如下图所示）
三、奇过偶不过
就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（X-1)^2）
数轴标根法及习题
数轴标根法及习题
文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
数轴穿根法
一、概念简介
1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数
轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法
4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”
二、方法步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-12。（如下图所示）
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数轴穿根法
一、概念简介
1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法
4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”
二、方法步骤
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：
-1
三、奇过偶不过
就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。也是奇过偶不过。可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。（如图三，为（X-1)^2）
四、注意事项
运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：
1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
例1解不等式x（3－x）（x+1）（x－2）>0。
解 x（3－x）（x+1）（x－2）>0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为{x|x<－1或0
事实上，只有将因式（a－x）变为（x－a）的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：
解原不等式变形为x（x－3）（x+1）（x－2）<0，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为{x|－1 2．出现重根时，机械地“穿针引线” 例2解不等式（x+1）（x－1）^2（x－4）^3<0 解将三个根－1、1、4标在数轴上，由图2得， 原不等式的解集为{x|x<－1或1 这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：解将三个根－1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x=1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x=4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集 {x|－1 3．出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线” 例3解不等式x（x+1）（x－2）（x^3－1）>0 解原不等式变形为x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。 解原不等式等价于 x（x+1）（x－2）（x－1）（x^2+x+1）>0， ∵ x^2+x+1>0对一切x恒成立， ∴ x（x－1）（x+1）（x－2）>0，由图4可得原不等式的解集为{x|x<－1或0 数轴标根法-练习题 1.不等式x 2﹣6x+8≤0的解集为 _________ . 2. 0622≥-+x x 的解集为________________ 3. 06562≤-+x x 的解集为_________________ 4. 0322>++-x x 的解集为__________________ 5. 04722<+--x x 的解集为___________________ 6. 0)65)(1)(3(2≥+++-x x x x 的解集为______________ 7. 0)2)(1(2<--x x x 的解集为__________________ 8. 0)1()2()4(232>-+-x x x 的解集为________________ 9. 03≤-x x 的解集为___________________ 10. 011>-+x x 的解集为________________ 11. 0322322≤--+-x x x x 的解集为_______________ 12. 13≤-x x 的解集为___________________ 13. 123422+≥+--x x x x 的解集为________________ 14．（2013•广东）不等式x 2+x ﹣2＜0的解集为 _________ ．