专题8-数轴穿根法
专题8数轴穿根法
专题:数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0、(注意:一定要保证x 前得系数为正数)例如: (x －２)(ｘ—1)(x+１)＞0第二步:将不等号换成等号解出所有根。
例如:(x-2)(ｘ-１)(x+1)=0得根为:x ＝２,x ＝1,x=—1第三步:在数轴上从左到右依次标出各根、例如:-1 １ ２第三步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根"得右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右跟”上去,一上一下依次穿过各根、第四步:观察不等号,如果不等号为“＞”,则取数轴上方,穿根线以内得范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内得范围。
例如:若求(x －2)(x-1)(ｘ+1)>0得解。
因为不等号威“〉”则取数轴上方,穿根线以内得范围。
即:－１<x<１或x>2、 穿根法得奇过偶不过定律: “奇穿过,偶弹回”。
还有关于分式得问题:当不等式移项后,可能就是分式,同样就是可以用穿根法得,但就是注意,解不能让原来分式下面得式子等于０专项训练:1、解不等式ﻩ解析:１)一边就是因式乘积、另一边就是零得形式,其中各因式未知数得系数为正。
2)因式、、得根分别就是、、。
在数轴上把它们标出(如图1)。
3)从最大根3得右上方开始,穿线(图象,)。
4)数轴上方曲线对应得得取值区间,为得解集,数轴下方曲线对应得得取值区间,为得解集。
不等式得解集为。
在上述解题过程中,学生存在得疑问往往有:为什么各因式中未知数得系数为正;为什么从最大根得右上方开始穿线;为什么数轴上方曲线对应得得集合就是大于零不等式得解集,数轴下方曲线对应得集合就是小于零不等式得解集。
2、解不等式解析:1)一边就是因式乘积、另一边就是零得形式,其中各因式未知数得系数为正。
2)因式、、得根分别为、、,在数轴上把它们标出(如图２)。
３)从最大根3得右上方开始向左依次穿线,次数为奇数得因式得根一次性穿过,次数为偶数得因式得根穿而不过。
(完整版)数轴标根法及习题
数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。
（如图三，为（X-1)^2）四、注意事项运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
穿针引线的画法
穿针引线法
穿针引线法,又称“数轴穿根法”或“数轴标根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）
例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”
上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2
画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2
奇透偶不透即假如有两个解都是同一个数字。
这个数字要按照两个数字穿。
如（x-1)^2=0 两个解都是1 ，那么穿的时候不要透过1
可以简单记为，秘籍口诀：或“自上而下，从右到左，奇次根一穿而过，偶次根一穿不过”。
1。
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”是高次不等式的简单解法当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。
步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如图四）奇过偶不过就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过（X-1)^2. 0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
不等式__数轴标根法(已编辑)
数轴标根法“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 是高次不等式的简单解法.一、定义:当高次不等式ｆ（ｘ）＞０(或＜０）的左边整式、分式不等式φ(ｘ）／ｈ(ｘ）＞０（或＜０)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(ｘ－ａ１）（ｘ－ａ２）…(ｘ－ａｎ）的形式,可把各因式的根标在数轴上,形成若干个区间，最右端的区间ｆ（ｘ）、φ(ｘ）／ｈ（ｘ）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律,可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图图一，二.二、步骤:三、奇过偶不过:就是当不等式中含有有单独的x偶幂项时，如(x2)或（x4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)2。
当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X—1)3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回"四、注意事项:错解 ：ｘ（３－ｘ）（ｘ＋１）（ｘ－２)＞０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１可得原不等式的解集为｛ｘ|ｘ＜－１或０＜ｘ＜２或ｘ＞３｝。
事实上，只有将因式(ａ－ｘ）变为(ｘ－ａ）的形式后才能用序轴标根法,正确的解法是：正解：原不等式变形为ｘ（ｘ－３)（ｘ＋１)（ｘ－２）＜０，将各根－１、０、２、３依次标在数轴上，由图１,原不等式的解集为{ｘ｜－１＜ｘ＜０或２＜ｘ＜３}.图一：２． 出现重根时，机械地“穿针引线"例２ 解不等式23(1)(4)0x x x --< 错解：将三个根－１、１、４标在数轴上,由图２得，原不等式的解集为｛ｘ｜ｘ＜－１或１＜ｘ＜４}。
（如图二）图二：这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。
出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴，正确的解法如下：正解：将三个根－１、１、４标在数轴上,如图３画出浪线图来穿过各根对应点,遇到ｘ＝１的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回;遇到ｘ＝４的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集 ｛ｘ｜－１＜ｘ＜４且ｘ≠１｝（如图三）图三：３． 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线"例３ 解不等式ｘ(ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ３－１）＞０ 错解：原不等式变形为ｘ（ｘ＋１）（ｘ－２）（ｘ－１)（ｘ２＋ｘ＋１）＞０,有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上,根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。
数轴穿根法的口诀
数轴穿根法的口诀
以下是五个符合要求的口诀：
《数轴穿根法口诀一》
奇穿偶不穿，这话要记全。
从右往左看，数轴铺眼前。
遇到一个根，奇数就穿线。
若是偶数个，轻轻放旁边。
不等式求解，此法最灵验。
就像走迷宫，路线清晰见。
小朋友们呀，快来记心间。
《数轴穿根法口诀二》
数轴穿根并不难，记住步骤很简单。
先把方程变一边，零点全部找出来。
从大到小排排队，一奇一穿像钻洞。
二偶不穿像站岗，求解范围快快看。
如同游戏玩通关，轻松愉快掌握它。
《数轴穿根法口诀三》
要想用穿根法，顺序不能差。
先把因式分解啦，数轴上面来安家。
奇数根呀用力穿，像箭一样飞向前。
偶数根呀别着急，在那旁边歇一歇。
不等式里用一用，答案马上就出现。
《数轴穿根法口诀四》
数轴穿根有妙招，听我慢慢说诀窍。
因式分解是基础，各个零点要清楚。
沿着数轴向前走，奇数穿根别回头。
偶数如同小云朵，飘在旁边不捣乱。
范围一看就知晓，数学世界真奇妙。
《数轴穿根法口诀五》
小朋友们听我说，数轴穿根有法则。
一找零点排排站，二看奇偶定规则。
奇数就像勇敢者，直接穿过去探索。
偶数好似小乖乖，安静待着不瞎穿。
这样就能解难题，快乐学习笑嘻嘻。
数轴穿根法
数轴穿根法穿根法的奇过偶不过定律：还有关于分号的问题：“数轴穿着根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式展开移项，使右侧为0。
（特别注意：一定必须确保x前的系数为正数）比如：将x^3-2x^2-x+2>0化成(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号改成等号求出所有根。
比如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标示出各根。
比如：-112第四步：图画穿着根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方沿着根，往左下画线，然后又沿着“次右跟”上去，一上一下依次沿着各根。
第五步：观测不等号，如果不等号为“>”，则挑数轴上方，穿着跟线以内的范围；如果不等号为“0的木。
在数轴上标根得：-112图画穿着根线：由右上方已经开始穿着根。
因为不等号威“>”则挑数轴上方，穿着跟线以内的范围。
即为：-12。
编辑本段穿根法的奇过偶不过定律：就是当不等式中所含存有单独的x偶幂项时，例如(x^2)或(x^4)时，穿根线就是不沿着0点的。
但是对于x奇数幂项，就要沿着0点了。
除了一种情况就是比如：（x-1)^2.当不等式里发生这种部分时，线就是不沿着1点的。
但是对于例如（x-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也就是奇过偶不过。
可以直观记为“奇沿着，偶冲回”。
编辑本段还有关于分号的问题：当不等式移项后，可能将就是分式，同样就是可以用穿着根法的，轻易把分号下面的乘上来，变为乘法式子。
稳步用穿着根法，但是特别注意，求解无法使原来分式下面的式子等同于0数轴的促进作用（观测地下通道）规定了原点，正方向，单位长度的直线，叫作数轴。
在某一事物上通过某一维度的评估，可以将事物分为很多相同的层次予以重新认识。
这样，能更加精确，详尽地叙述事物的本质。
3.2.2数轴穿根法及分式不等式
4、解不等式 ( x 1)( x 2) 0 ( x 1)( x 3)
解：原不等式等价于(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)<0，将方程 (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)=0的根-1,1,2,3标在数轴上，从右到左 画出示意图，
∴原不等式的解集是{x|-1<x<1或2<x<3}
解 ： 因 为 关 于x的 不 等 式a x 1的 解 集 是{ x | x 0},
a 1， 又∵ loga ( x 2 4x 4) 0,
x2 4x 4 0
x2
4x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
1
解 得1 x 2或2 x 3
原 不 等 式 的 解 集 是{ x | 1 x 2或2 x 3}
数轴标根法
复习：解一元二次不等式的一般步骤 （1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大 于零； （2）计算相应的判别式； （3）当△>0时，求出相应的一元二次方程的两个 根； （4）画出相应二次函数的草图； （5）根据函数图像写出一元二次不等式的解集。
记忆口诀： (前提a>0). 大于取两边，小于取中间
① 当a 1时
a f (x) a g(x) f ( x) g( x);
f (x) 0
loga
f ( x) loga
g(
x)
g(x) 0
f ( x) g( x)
② 当0 a 1时
a f (x) a g(x) f ( x) g( x);
f (x) 0
loga
f ( x) loga
g(
x)
g(x) 0
f ( x) g( x)
1、求y log 1 (2x 2 x)的定义域 __________
(完整版)数轴标根法及习题
数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
也是奇过偶不过。
可以简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。
（如图三，为（X-1)^2）四、注意事项运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：1．出现形如（a－x）的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。
数轴穿根法解高次不等式是高一数学
数轴穿根法解高次不等式是高一数学数轴穿根法是解高次不等式的一种方法，主要用于解决一元高次不等式。
该方法利用了数轴上的数值关系，并通过将不等式化简为一系列一次不等式来求解。
在高中数学中，该方法通常在初步学习代数运算之后介绍给学生，帮助他们理解并解决高次不等式的问题。
首先，我们来看一个简单的一次不等式：2x+5>0。
对于这个不等式，我们可以通过求解方程2x+5=0，找到不等式的解集。
将不等式化简为方程的思想引导我们来考虑一元高次不等式，例如x^2+3x-4>0。
为了解这个不等式，学生可以首先找到不等式的根，即使它等于0。
为了找到不等式的根，我们可以先求方程x^2+3x-4=0的解。
解这个方程可以得到x=1和x=-4两个解。
接下来，我们可以将数轴上的点1和-4用线段分割成三个部分，分别是(-∞,-4)，(-4,1)，和(1,+∞)。
由于我们要求的是不等式大于0的解集，所以我们只需要关注x^2+3x-4>0在数轴上处于大于0的部分。
现在，我们可以选择数轴上的一个点，例如-5，在这个点上代入不等式的原始形式，即(-5)^2+3*(-5)-4>0。
计算得到1>0，这说明当x=-5时，不等式大于0成立。
接下来，我们可以选择一个数轴上的点，例如0，代入不等式的原始形式，即0^2+3*0-4>0。
计算得到-4>0，这意味着当x=0时，不等式大于0不成立。
继续选择数轴上的一个点，例如2，代入不等式的原始形式，即2^2+3*2-4>0。
计算得到9>0，这表示当x=2时，不等式大于0成立。
通过以上的计算和分析，我们可以得出结论：不等式x^2+3x-4>0的解集为(-∞,-4)并(1, +∞)。
数轴穿根法的基本思想是将不等式化简为一系列一次不等式，并在数轴上进行分段讨论。
这种方法的优势是直观，通过观察和计算可以得出解集。
而且，这种方法在解决几乎所有的高次不等式时都适用。
数轴标根法及习题
数轴标根法及习题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。
但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。
还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。
但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。
高一数学 “数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”
穿针引线大法“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
释义、“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”。
准确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。
当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。
用途、用于解简单高次不等式。
穿针引线法解高次不等式用法、当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x－an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f（x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。
为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。
使用步骤、第一步通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证最高次数项的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步将不等号换成等号解出所有根。
高中数学不等式与不等式组的解法
高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式与不等式组的解法高中数学不等式主要问题包括：大小比较(方法有作差法，作商法，图象法，函数性质法);证明题(比较法，反证法，换元法，综合法…);恒成立问题(判别式法，分离参数法…)等，下面是店铺为大家精心推荐不等式与不等式组的解法，希望能够对您有所帮助。
不等式与不等式组的数轴穿根解法数轴穿根：用根轴发解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，一次穿过这些零点，这大于零的不等式地接对应这曲线在x轴上放部分的实数x得起值集合，小于零的这相反。
做法：1.把所有X前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的);2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根;3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含X的项是奇次幂就穿过,偶次幂跨过，后面有详细介绍);4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使使不等式为0的根。
例如不等式:x2-3x+2≤0(最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的)⒈分解因式:(x-1)(x-2)≤0;⒉找方程(x-1)(x-2)=0的根:x=1或x=2;⒊画数轴,并把根所在的点标上去;⒋注意了,这时候从最右边开始,从2的右上方引出一条曲线,经过点2，继续向左画,类似于抛物线，再经过点1，向点1的左上方无限延伸;⒌看题求解,题中要求求≤0的解，那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴及数轴以下即可,观察可以得到：1≤x≤2。
高次不等式也一样.比方说一个分解因式之后的不等式：x(x+2)(x-1)(x-3)>0一样先找方程x(x+2)(x-1)(x-3)=0的根x=0，x=1，x=-2，x=3在数轴上依次标出这些点.还是从最右边的一点3的右上方引出一条曲线,经过点3,在1、3之间类似于一个开口向上的抛物线，经过点1;继续向点1的左上方延伸，这条曲线在点0、1之间类似于一条开口向下的曲线，经过点0;继续向0的左下方延伸，在0、-2之间类似于一条开口向上的抛物线，经过点-2;继续向点-2的左上方无限延伸。
数轴穿根法导数
数轴穿根法导数数轴穿根法是一种解决不等式问题的方法，其基本思想是利用数轴上的点来表示不等式的解集。
对于一元二次不等式，我们可以使用数轴穿根法来求解。
首先，我们需要找到不等式的根，即解方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个解 x1 和 x2。
然后，我们将这两个根在数轴上标出，并使用穿根法来确定不等式的解集。
具体步骤如下：1. 找到不等式的根 x1 和 x2。
2. 在数轴上标出这两个根，并将数轴分为三个区间：x < x1、x1 < x < x2 和 x > x2。
3. 根据不等式的符号变化情况，确定不等式的解集。
如果 a > 0，则当 x < x1 时，f(x) > 0；当 x1 < x < x2 时，f(x) < 0；当 x > x2 时，f(x) > 0。
如果 a < 0，则当 x < x1 时，f(x) < 0；当 x1 < x < x2 时，f(x) > 0；当 x > x2 时，f(x) < 0。
4. 根据以上情况，我们可以得出不等式的解集为 (x | x < x1) ∪ (x | x > x2)。
对于导数问题，我们可以使用数轴穿根法来求解函数的单调性。
具体步骤如下：1. 求出函数的导数 f'(x)。
2. 找到导数的零点，即解方程 f'(x) = 0 的解。
3. 在数轴上标出这些零点，并将数轴分为若干个区间。
4. 在每个区间上判断 f'(x) 的符号，确定函数的单调性。
如果 f'(x) > 0，则函数在该区间上单调递增；如果 f'(x) < 0，则函数在该区间上单调递减。
5. 根据以上情况，我们可以得出函数的单调性结论。
简单高次不等式的解法：数轴穿根法、猜根、多项式的竖式除法
简单高次不等式的解法：数轴穿根法、猜根、多项式的竖式除法在高中数学的学习过程中有时候会接触到简单高次（一般为3次）不等式问题，本文就和大家一起来探讨一下，如何解简单高次不等式一、该不等式所对应的多项式已经因式分解，能轻易知道其零点，如下题此种情况可以直接利用数轴穿根法步骤1：先画数轴步骤2：在数轴上标出零点步骤3：开始穿根，若最高次项系数为正，则从右上方开始穿根，若最高次项系数为负，则从右下方开始穿根，画波浪线如下图所示【本题最高次项系数为正，所以从右上方开始】步骤4：读取解集，上正下负，所以本题的解为为了让大家能更直观的理解，请看下图【用作图软件画出的精确图形】，手绘的草图虽然不够精确，但是对该不等式最终的解是没有影响的下面我们再看一个例题此例与上面那个题类似，但是该四次多项式的4个根中有两个相等的根“0”，那么是不是有所不一样呢？我们先看看用作图软件画出的精准图形，看看它所对应的四次函数图像长什么样吧！我们发现数轴穿根时，在“0”这个地方并没有穿过去，而是与数轴相切了，那么这是不是偶然现象呢！我们可以自己动手多做几个“实验”就知道了【常见的函数画图软件有：几何画板（Windows版），goodgrapher（ios版），desmos（ios版），mathlab图形计算器（安卓版）等等，有兴趣的同学可以自己动手试试看】相信聪明的你在自己操作之后应该找出了其中的规律：奇穿偶切如果某个根的个数为奇数，则画波浪线时要在该根处穿过数轴如果某个根的个数为偶数，则画波浪线时在该根处不穿过数轴，即与数轴相切在掌握此规律后我们再做此类题就应该很轻松了，比如你能在草稿纸上画出它的大致图像吗？写出它的解集时需要注意“=”哟你写对了吗？二：如果所给的高次不等式没有因式分解，而是像下面这个题似的，我们又该怎么办呢？那么在这种时候我们需要冷静，需要知道如果在高中阶段出现这种三次不等式，它的解一定不会太复杂【如果太复杂的话，就不是高中阶段能解决的了】，我们只需猜根即可，一般猜1，-1，2，-2等整数值，比如本题我们将1代入，发现左边等于0，说明有一个根是1，进而得出该多项式有x-1这个因式，当我们猜出一个根，是否还需要继续猜呢？一般不需要，因为很多的时候我们无法猜出所有的根，就算猜出所有的根，也无法判断每个根具体的个数。
(完整版)数轴标根法及习题
数轴穿根法一、看法简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.正确的说，应该叫做“序轴标根法”。
序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。
序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右侧的点表示的数小。
3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地表现正负值的变化规律，能够画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：经过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：必然要保证x 前的系数为正数）比方：将 x^3-2x^2-x+2>0 化为 (x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
比方： (x-2)(x-1)(x+1)=0 的根为： x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
比方： -1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，尔后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。
第五步：观察不等号，若是不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；若是不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
x 的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶但是。
比方：若求 (x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得： -1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。
因为不等号为“ >”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。
即：-1<x<1 或 x>2。
（以以下图所示）三、奇过偶但是就是当不等式中含有单独的x 偶数幂项时，如(x^2) 或(x^4) 时，穿根线是不穿过 0 点的。
但是对于 X 奇数幂项，就要穿过 0 点了。
还有一种情况就是比方：（X-1)^2. 当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1 点的。
但是对于如（ X-1)^3 的式子，穿根线要过 1 点。
也是奇过偶但是。
能够简单记为“奇穿过，偶弹回”，一称“奇穿偶切”。
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专题：数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。
（注意：一定要保证x 前的系数为正数）例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。
即：-1<x<1或x>2。
穿根法的奇过偶不过定律： “奇穿过，偶弹回”。
还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0专项训练：1、解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。
2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是1-、1、3。
在数轴上把它们标出（如图1）。
3）从最大根3的右上方开始，向左依次穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。
4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集。
∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,21(+∞- 。
在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x 的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应x 的集合是小于零不等式的解集。
2、解不等式0)3()121)(2(32<--+x x x解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。
2）因式)2(+x 、2)121(-x 、3)3(-x 的根分别为2-、2、3，在数轴上把它们标出（如图2）。
3）从最大根3的右上方开始向左依次穿线，次数为奇数的因式的根一次性穿过，次数为偶数的因式的根穿而不过。
4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3()121)(2(32>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值范围，为0)3()121)(2(32--+x x x ∴0)3()121)(2(32<--+x x x 的解集为2()2,2( -数轴标根法、分式不等式、绝对值不等式一、数轴标根法解不等式 例1.解下列不等式1.（x-1）（x-2）(x+3)>02. （x-1）（x-2）(x+3)<03. （1- x ）（x-2）(x+1)0≤4.（x- 1）2（x-2）3(x+1)0≥二． 分式不等式思考 （1）()()303202x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么（2）()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。
方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。
图2通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）： （1）()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅> （2）()()()()()000f xg x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 例2.解下列不等式1.302x x -≥-2.11≤x3.2113x x ->+4.2232023x x x x -+≤--5.()2309x x x -≤- 6.101x x<-<三、含绝对值的不等式的解法|x|>a(a>0)⇔________________ |x|<a(a>0)⇔________________ 例3:解下列不等式1. 312≤-x2. 0)1(1≥+-x x3.|x 2-2x|>x 2. 4.0)1(1>+-x x巩固练习1. 解不等式222310372x x x x ++>-+ 2. 解不等式3113x x+>--3.不等式xx xx 1212->-的解集是4 .（2012 山东理）若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________. 5. 解不等式（2x- 1）2（x-2）3(x+1)0≥ 6. 解不等式（3- x ）2（x-2）(x+1) 70≤不等式解法15种典型例题典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 0)2()5)(4(32>-++x x x⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔2450)2)(4(05x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ① 0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； ② ⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f （1）解：原不等式等价于0223223≤+--⇔+≤-x x x x x x0)2)(2(650)2)(2()2()2(32≤+-++-⇔≤+---+⇔x x x x x x x x x⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(x x x x x x x x x x 用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
（2）解法一：原不等式等价于 027313222>+-+-x x x x 0)273)(132(22>+-+-⇔x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔02730132027301322222x x x x x x x x 或 212131><<<⇔x x x 或或，∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋃⋃-∞。
解法二：原不等式等价于0)2)(13()1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-⋅---⇔x x x x用“穿根法”∴原不等式解集为),2()1,21()31,(+∞⋂⋃-∞典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ；二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或，即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或 ∴32<≤x 或21<<x ，故原不等式的解集为{}31<<x x ． 解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-xx x x ． 分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-041205622x x x x ，所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-0412,05622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0412,05622x x x x⎩⎨⎧<-+<--⇔;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或⎩⎨⎧>-+>--;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x ；⎩⎨⎧<<-<<⇔62,51x x 或⎩⎨⎧>-<><6,2,5,1x x x x 或或 ,51<<⇔x 或2-<x 或6>x ．∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．解法二：原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x ．画数轴，找因式根，分区间，定符号．)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解．解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ． 由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ．解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ． 分析：进行分类讨论求解．解：当0=m 时，因03<-一定成立，故原不等式的解集为R ． 当0≠m 时，原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ； 若0>m 时，解得m x m 13<<-；若0<m 时，解得mx m 31-<<． 综上：当0>m 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-m x m x 13；当0<m 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x mx31． 说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论．在解出03222=-+mx x m 的两根为m x 31-=，m x 12=后，认为mm 13<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，mm 13<-；当0<m 时，m m 13>-．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥． 综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2ax >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可． 解答：去掉绝对值号得3310432<--<-x x ， ∴原不等式等价于不等式组⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<----<-06104010433104310432222x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-><⇒⎩⎨⎧<+->-.321,2500)12)(3(20)52(2x x x x x x x 或 ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325021x x x 或．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：{}2a x a x x ><或； (2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：{}a x a x x ><或2； (3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为： {}a x R x x ≠∈且． 说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴a b -=β+α，ac=β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ． 而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c a c ，∴0022<++⇔>++cax c b x a bx cx ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab ∴02<++cax c b x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ， 即0)1)(1(<β-α-x x ．又β<α<0，∴β>α11，∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴ac=β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ． 而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac．对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得0)1()1(2=+⋅+⋅c xb x a ． 令xt 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ， ∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ，∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1．∵β<α<0，∴β>α11．∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． 说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例12 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、b 式子．解：∵043)21(122>++=++x x x ，043)21(122>+-=+-x x x ，∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a ．依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=-+->-+34231202b a b a b a b a b a ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2325b a ．说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．典型例题十三例13 不等式的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．解法一：设022=-+bx ax 的两根为1x ，2x ，由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x ab x x 22121 由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221aa b∴1=a ，1-=b ，此时满足0>a ，0)2(42>-⨯-=∆a b ．解法二：构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式：0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式，故需满足：2211--=-=b a ∴1=a ，1-=b ． 说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十四例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．解：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x(2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或ax 1<． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵a a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<．当1=a 时，11=a ，此时②的解为11<<x a． 说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十五例15 解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组：①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)8(103010308x x x x x x由①得⎩⎨⎧-≤≥>258x x x 或，∴8>x 由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.1374258x x x x 或 81374≤<x ， 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或，即为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>1374x x ． 说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ， 这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032， 则所求不等式的解集为A 的补集A，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。