专题8-数轴穿根法

专题：数轴穿根法

“数轴穿根法”又称“数轴标根法”

第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x 前的系数为正数）

例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0

第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2

第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。

第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

例如：

若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。

因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-12。 穿根法的奇过偶不过定律： “奇穿过，偶弹回”。

还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可以用穿根法的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于0

专项训练：

1、解不等式0)3)(1)(12(>--+x x x

解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。

2）因式)12(+x 、)1(-x 、)3(-x 的根分别是

1

-

、1、3。在数轴上把它们标出（如图1）。

3）从最大根3的右上方开始，向左依次

穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数

图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实图象）。

4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值区间，为0)3)(1)(12(<--+x x x 的解集。

∴不等式0)3)(1)(12(>--+x x x 的解集为),3()1,2

1

(+∞- 。

在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什

么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应的x 的集合是大于零不等式的解集，数轴下方曲线对应x 的集合是小于零不等式的解集。

2、解不等式0)3()12

1)(2(3

2<--+x x x

解析：1）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。

2）因式)2(+x 、2)12

1(-x 、3

)3(-x 的根分别为2-、2、3，在数轴上把它们标出（如图2）。

3）从最大根3的右上方开始向左依次穿线，次数为奇数的因式的根一次性穿过，次数为偶数的因式的根穿而不过。

4）数轴上方曲线对应的x 的取值区间，为0)3()12

1)(2(3

2>--+x x x 的解集，数轴下方曲线对应的x 的取值范围，为0)3()12

1)(2(3

2

--+x x x ∴0)3()12

1

)(2(32<--+x x x 的解集为2()2,2( -

数轴标根法、分式不等式、绝对值不等式

一、数轴标根法解不等式 例1.解下列不等式

1.（x-1）（x-2）(x+3)>0

2. （x-1）（x-2）(x+3)<0

3. （1- x ）（x-2）(x+1)0≤

4.（x- 1）2

（x-2）3

(x+1)0≥

二． 分式不等式

思考 （1）()()3

03202

x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么

（2）()()303202

x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么

解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。 方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。

图2

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）： （1）

()()()()00f x f x g x g x >⇔⋅> （2）()()()()()000

f x

g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 例2.解下列不等式

1.302x x -≥-

2.11≤x

3.2113x x ->+

4.2232023x x x x -+≤--

5.()23

09x x x -≤- 6.101x x

<-<

三、含绝对值的不等式的解法

|x|>a(a>0)⇔________________ |x|0)⇔________________ 例3:解下列不等式

1. 312≤-x

2. 0)1(1≥+-x x

3.|x 2

-2x|>x 2. 4.0)1(1>+-x x

巩固练习

1. 解不等式2

22310372x x x x ++>-+ 2. 解不等式31

13x x

+>--

3.不等式x

x x

x 121

2->

-的解集是

4 .（2012 山东理）若不等式42kx -≤的解集为{}

13x x ≤≤，则实数k =__________. 5. 解不等式（2x- 1）2

（x-2）3

(x+1)0≥ 6. 解不等式（3- x ）2

（x-2）(x+1) 7

0≤