二次型及其标准型

f (x1, x2 ,L, xn ) = ∑∑aij xi xj
(aij = aji ),总 正 变 x = Py, 使 化 标 型 有 交 换 f 为 准
2 2 2 f = λ1 y1 + λ2 y2 +L+ λn yn
n
n
i=1 j =1
其 λ1， λ2， λn是 f 的 阵 的 个 征 . 中 ， L 矩 A n 特 值
§5. 二次型及其标准型
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax + bxy + cy =1
2 2
(1)
的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：
x = x′ cosθ − y′ sin θ y = x′ sin θ + y′ cosθ
把方程化为标准形
mx′ + ny′ =1
2 2
ax + bxy + cy =1
2 nn n
其中
aij = aji ,
2aij xi xj = aij xi xj + aji xj xi
二次型的矩阵形式
f (x1, x2 ,L, xn ) = ∑∑aij xi xj
n
n
= x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn ) + LLLLLLLLLL + + xn (an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn )
2 2
(1)
(1)的左边是一个二次齐次多项式, (1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看， 化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐 次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问 题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐 次多项式的化简问题。
= ( y1
y2
λ1 L yn )
λ2
y1 y2 M O λn yn
= yTΛ y
也就是要使 C TAC 成为对角阵，即， C TAC=∧，因 此，我们主要的问题就是：对于对称矩阵 A ，寻求可逆 矩阵 C ，使 C TAC=∧. 由上节定理 8 知 , 任给实对称矩 阵A，总有正交矩阵 P,使PTAP =∧. 把此结论用于二次型， 即有： 定理10. 任意 二次型 定理
一、二次型概念
定义1 定义 ：含有n个变量x1 , x2 ,…xn的二次齐次函数
2 f (x1, x2 ,L, xn ) = a11x1 + 2a12x1x2 +L+ 2a1n x1xn
+ a x +L+ 2a2n x2 xn
2 22 2
+L+ a x
= ∑∑aij xi xj
i=1 j =1 n n
i=1 j =1
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn a21x1 + a22x2 +L+ a2n xn = (x1, x2 ,L, xn ) L L a x + a x +L+ a x nn n n1 1 n2 2 a11 a12 L a1n x1 a21 a22 L a2n x2 = ( x1x2 Lxn ) L L L L M a a L a x nn n n1 n2 T = x Ax
其中
a11 a21 A= L a n1
a12 L a1n x1 a22 L a2n x2 , x = L L L M x an2 L ann n
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
即 x = cy
T
把 f = x T A x化 成 标 准 型 。 于 是
T T T
f = x Ax = (cy ) A(cy ) = y (c Ac ) y.
定理9 定理 任给可逆矩阵 C ，令 B=C TAC，若 A 为对称 矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B)=R(A)。 证： A为对称矩阵，即有 A T=A，于是， B T =(C TAC) T=C TAT(C T) T=C TAC=B . 故 B 为对称矩阵. 再证 R(B)=R(A). 因 又因 于是 B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A). A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B) R(B)=R(A).
1 2 0 x1 x3 ) 2 3 0 x2 0 0 0 x 3
(2)
f (x1, x2 , x3 ) = ( x1 x2
二、二次型的标准形
定义9. 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ2 y + L + λn y
2 1 1 2 2
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
= (Cy )T ACy = y T C T ACy
2 2 = λ1 y12 + λ2 y2 + L + λn yn
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
(1 解：)
f (x1, x2 ) = x + 4x1x2 + 3x ;
2 1 2 2
2 2 f (x1, x2 , x3 ) = x1 + 4x1x2 + 3x2 ;
f (x1, x2 ) = ( x1
1 2 x1 x2 ) 2 3 x2
2 n
= ( y1
y2
λ1 L yn )
λ2
y1 y2 M O λn yn
= y Λy
T
Байду номын сангаас
为二次型的标准型（或法式）。
所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线 性变换：
x1 = c11 y1 + c12 y2 + L + c1n yn x = c y + c y +L + c y 2 21 1 22 2 2n n LL xn = cn1 y1+cn 2 y2 +L+cnn yn