人教版数学七年级下册垂线
人教版七年级数学下册5.1.2.1《垂线》说课稿
人教版七年级数学下册5.1.2.1《垂线》说课稿一. 教材分析《垂线》这一节的内容位于人教版七年级数学下册第五章第一节，主要介绍了垂线的定义、性质和应用。
通过这一节的学习，学生能够理解垂线的概念，掌握垂线的性质，并能够运用垂线解决实际问题。
在教材中，首先通过实例引入垂线的概念，让学生感知到垂线是与水平线相交且交点垂直的线段。
接着，通过探究垂线的性质，让学生发现垂线与水平线的交点是垂直的，并且垂线的长度是固定的。
最后，通过应用举例，让学生学会如何运用垂线解决实际问题。
二. 学情分析在七年级的学生中，他们已经具备了一定的几何基础，对于线段、直线等概念有一定的了解。
但是，对于垂线的定义和性质可能还没有完全理解，需要通过本节课的学习来进一步巩固。
在学生的学习过程中，他们可能对于垂线的概念和性质的理解存在一定的困难，需要通过实例和实际问题来加深理解。
同时，学生需要培养观察、思考和解决问题的能力，能够运用垂线解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂线的定义，掌握垂线的性质，并能够运用垂线解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察实例，学生能够感知垂线的概念，通过探究垂线的性质，学生能够培养观察、思考和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：垂线的定义和性质。
2.教学难点：垂线的性质的理解和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：多媒体课件、几何模型和板书。
六. 说教学过程1.引入新课：通过展示实例，引导学生观察和思考，引入垂线的概念。
2.探究垂线的性质：学生分组讨论，通过实际操作和观察，发现垂线的性质。
3.讲解与演示：教师通过多媒体课件和几何模型，讲解垂线的性质，并进行演示。
4.练习与应用：学生进行练习题，运用垂线解决实际问题，教师进行指导和讲解。
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
人教版七年级数学下《垂线》知识全解
《垂线》知识全解课标要求1．理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2．理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；3．识别同位角、内错角、同旁内角．知识结构内容解析1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．2．垂线的性质一：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．3．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．注意：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段．4．垂线的性质二：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．（垂线段最短）5．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：①位于两条被截直线AB、CD的同方；②在第三条直线EF的同侧．（2）内错角：①位于两条被截直线AB、CD的内部；②在第三条直线EF的两侧．（3）同旁内角：①位于两条被截直线AB、CD的内部；②在第三条直线EF的同侧．注意：（1）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的．（2）两条直线被第三条直线所截中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角．重点难点本节的重点是：两条直线互相垂直的概念、性质和画法；点到直线的距离的概念及其简单应用．理解同位角，内错角，同旁内角的概念是本节的重点本节的难点是：对点到直线的距离的概念的理解．在“三线八角”中，学生不易分清角的类别，所以正确识别同位角，内错角，同旁内角是本节的难点教法导引在本节的教学中过程中要借助模型、实物、图形及计算机等学习手段使学生得到直观的感性认识，进而在感知的基础上进行抽象知识的学习，这样才能有助于培养逻辑思维的能力，同时应鼓励学生多观察、多动手、勤思考增强学生学习几何知识的兴趣．在本节的概念和相关结论的教学中，应结合图形去讲解并通过画图、度量等实践活动，让学生理解知识．教学中应继续渗透数形结合、转化、分类等数学思想方法．教学中要注意与以前学生学习过的相关知识进行衔接，比如在垂线段最短的教学中可以把上学期所学的“两点之间线段最短”的知识进行对比．教学中让学生把所学知识用准确、精炼的几何语言表述出来，同时还要注意培养学生的识图能力．学法建议学习中应结合具体实例深刻掌握垂线、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角的概念，深刻理解垂线的两个性质，并且能够运用垂线的性质来解释生活中的具体实例，例如如何开挖沟渠能使输水管道最短的问题．本节的易错点是混淆垂线和垂线段，大家只要记住垂线是一条直线，垂线段是一条线段就能把他们区别了．本节的一个难点是“三线八角”中判断两个角的关系．解答此类问题把握以下两个方面即可：（1）要弄清楚每对角与哪三条直线有关，第三条直线就是这两个角的公共边所在的直线，另两条直线是角的另两边；（2）当图形比较复杂时，把这两个角有关的三条线画出来，注意图形的结构特点．。
人教版七年级数学课件《垂线》
人教版数学七年级下册
情景引入
人教版数学七年级下册
情景引入
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观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特
殊的位置关系？
知识精讲
人教版数学七年级下册
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b
所成的角∠α也会发生变化.
当∠α=90°时，我们说a 与b互相垂直，记作a⊥b.
线，并且只能画出一条垂线.
即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离.
人教版数学七年级下册
THE END!
祝各位同学们学业进步、天天向上！
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直
线的距离.
知识精讲
人教版数学七年级下册
现在，你知道水渠该怎ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如
果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长？
则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使
渠道最短？
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，A4，A5，
…，其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO，PA1，PA2，
PA3，PA4，PA5，…的长短，这些线段中，哪一条最短？
人教版七年级数学下册相交线,垂线(基础)知识讲解
相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
人教版七年级数学下册：垂线【精品课件】
AD
B
C
课堂检测
2.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是（ ) C
A. AC B. BC
C. CD
D. 不能确定
C
A
D
B
课堂检测
3.若点P是直线m外一点，点A，B，C分别是直线m上不同的
三点，且PA＝5，PB＝6，PC＝7，则点P到直线m的距离不 可能是 ( D)
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点， 另一端是垂足.
垂线
P
垂线段
A
B
D
探究新知
点到直线的距离的概念：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到
直线的距离.
P
例如：如图，PA⊥m于点A ，垂线段
PA的长度叫做点P到直线m的距离.
m
例 如图，是一个同学跳远的位 置，跳远成绩怎么表示?
A
m
课堂小结 两 条 直 线 相 交
一 般 情 况
特殊 情况 垂 相交成 线 直角
对顶角：相等 邻补角：互补
垂线的存在 性和唯一性
人教版 数学 七年级 下册
导入新知
在灌溉时，要把河里的水引到农田里的P处，如何挖渠能 使渠道最短呢？
素养目标
3. 掌握垂线段最短的性质，并会利用所学知识解 决简单的实际问题. 2. 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直 线的距离. 1. 理解垂线段的概念，会用三角尺或量角器 过一点画已知直线的垂线段 .
根据以上操
1.放
作，你能得
2.靠
B
出什么结论？
3.移
4.画
l
C
0
1
2
3
4
人教版七年级数学下册名校课堂课件：5.1.2垂线
m
3.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 4.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝90 ____ 。 ° 5.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 °。
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角(90度)时，这两条直线 互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂 a 线，它们的交点叫垂足. 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线. 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角.
P
A
D
B
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫 做点到直线的距离. P
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线 段PA的长度叫做点P到直线l的距离. 例：如图，是一个同学跳远的位置 跳远成绩怎么表示?
l A
l A
解:过P点作PA⊥l于点
A ，垂线段PA的长度就 是该同学的跳远成绩.
P
拓展应用1
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
11 Cm
探究:
(1)画已知直线l的垂线能画几条 ? (2)过直线l上的一点A画l的垂线 ,这样的垂线能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线 ,这样的垂线能画几条?
．
人教版七年级数学下册《垂线》教学课件
探究
你知道在体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？
你能说说其中的道理吗？
垂
直
性
质
的
实
际 应
P
用
垂线段最短
O
做一做
2、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄
人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站 ，并说明理由。
拓展延伸
2、如图，AC垂直BC于点C，CD垂直AB于点D，DE垂直BC于点E， 试比较四条线段AC,DC,DE和AB的大小。
解：∵AC⊥BC，(已知) ∴AC＜AB，（垂线的性质二） ∵CD⊥AB，（已知） ∴DC＜AC，（垂线的性质二） ∵DE⊥BC，（已知） ∴DE＜DC，（垂线的性质二） ∴DC＜DC＜AC＜AB．
4.如图， BO ⊥AO， ∠BOC与∠BOA的度数之 比为1：5，那么∠COA7=2° 。 ∠BOC的补角为 （16）2 度。
探究新知
活动二：探究垂线的画法
工具：直尺、三角板
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
问题1：这样画l的垂线
可以画几条？
O
无数条
1、靠 2、移 3、画线
l
版权所有 盗版必究
探究新知 如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.
D
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
牛刀小试
1、如图,∠ACB=90°,D是AB上一点，且∠ADC=∠BDC,请写出
图中互相垂直的线段，并简要说明理由.
解：图中互相垂直的线段有
人教版七年级数学下册课件5.1.2垂线
活动5 课堂小结
1．垂线的相关概念． 2．垂线的画法． 3．垂线的性质． 4．点到直线的距离．
四、作业布置与教学反思 1．作业布置
(1)教材P8 习题5.1第3，4，5，6题；
2．教学反思
A
C OD B 图5.1-5
2．教材P4 探究． 提出问题： (1)如何利用三角板过一点作已知直线的垂线？ (2)通过画图，你认为过一点作已知直线的垂线，能作几条？
3．教材P5 探究． 提出问题： (1)观察图5.19，你能用哪些方法说明线段PO最短？ (2)你从中能得出什么结论？ (3)垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？
1
1
∴∠FOC＋∠EOC＝ ＝
2
1 2
∠AOC＋ 2 ∠BOC (∠AOC＋∠BOC)＝
1 2
×180°＝90°
即∠EOF＝90°，
∴OE⊥OF.
练习
1．教材P5 练习第1，2题． 2．教材P6 练习． 3．下列选项中，过点P画AB的垂线，三角尺放法正确的是( C )
练习
4．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝ ∠13 BOC，OC是∠AOD的平分线． (1)求∠COD的度数； (2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
__垂__线__段___最短．简单说成：__垂__线__段__最__短__．
3．直线外一点到这条直线的_垂__线__段__的__长____，叫做点到
直线的距离．
度
活动4 例题与练习
例1 (1)如图①，过点P画AB的垂线； (2)如图②，过点P分别画OA，OB的垂线； (3)如图③，过点A画BC的垂线．
又解∵：∠(1A)O∵C∠＋AO∠CB＝OC＝∠1B8O0C°，， 例反1过来(1，)如如图果①AB，⊥过C点DP，画那A么B的∠A垂O线C等；于多少度？ (垂2)直你定从义中、能垂得直出公什理么的结理论解？与运用．
人教版数学七年级下册5.1《垂线》名师教案
活动一画图实践
1．作直线EF的垂线.
(1)直线EF，画出直线EF的垂线，能画几条?EF
小组内交流,明确直线EF的垂线有多少条？即存在,但位置有不______性.〔无数条〕〔不确定〕
(2)怎样才能确定直线EF的垂线位置呢?
在直线EF上取一点A,过点A画EF的垂线, 能画几条?再经过直线EF外一点B画直线EF的垂线,这样的垂线能画出几条?
垂线性质：
答案：1条，如图：
2条，如图：
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.
〔4〕如图AB与直线BC垂直。
点A与直线BC上各点的距离长短不一，我们可以
发现其中最短的应该是线段AB。线段AB的长度就
是点A到直线BC的距离。请量一量线段AB的长度.
结论：.
简记为：.
(5)直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离.
(4)点到直线的距离是从直线外一点向这条直线所作的垂线段的长度，它是一个数量概念，只能量出或求出，而不能画出，画出的是垂线段，不是点到直线的距离;点到直线的距离问题通常伴随着过一点作直线的垂线，作图的准确性直接影响到计算与区分，务必仔细、标准.
4、随堂检测
一、选择题
1.如下图,以下说法不正确的选项是( )
4、学习难点
掌握垂线的性质，并会利用所学知识进展简单的推理.
二、教学设计
〔一〕课前设计
1、预习任务
任务1
阅读教材P3-4，思考：垂线的定义是什么？我们用符号语言怎么表示？
任务2
阅读教材P4-5垂线有哪些性质？过一点如何作直线的垂线？
任务3
阅读教材P5，什么是点到直线的距离？
2、预习自测
〔1〕、两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，这两条直线就互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做.假设“直线AB垂直于直线CD，垂足为O〞，那么记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号.
人教版初中数学七年级下册 垂线
1.贴 2.靠 3.移 4.画
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂
直.
1.贴 2.靠 3.移 4.画
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂
直.
1.贴 2.靠 3.移 4.画
二.垂线的性质
垂线的性质2：
连接直线外一点，与直线上各点的所有线段中，垂
线段最短.
探索新知
二.垂线的性质
垂线的性质2：
连接直线外一点，与直线上各点的所有线段中，垂
线段最短.
探索新知
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点
到直线的距离.
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
1.贴 2.靠 3.移
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂
直.
1.贴 2.靠 3.移 4.画
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂
如图，线段PO的长度即为点P到直线l的距离。
注意：距离是一个数量.
PO是点P到直线l的距离
学以致用
1.已知，如图， ⊥ ，垂足为，为过点的
一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（
A.相等
B.互余
D.互为对顶角
人教版数学七年级下册第五章垂线段课件
导引：根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线BC
的距离是线段AC的长，点B到直线AC的距离是线
段BC的长，点C到直线AB的距离是线段CD的长．
因为三角形ABC的面积S＝ 1AC·BC＝1AB· CD，
2
2
所以AC·BC＝AB·CD，进而可得CD＝2.4 cm.
新知小结
正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决 此类问题的关键．解决此类问题应注意：(1)点到直线 的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也 不是垂线段；(2)距离表示线段的长度，是一个数量， 与线段不能等同；(3)用垂线段的长度表示点到直线的 距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了数形 结合思想．
巩固新知
1 如图，三角形ABC中，∠C=90°. (1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离 是哪些线段的长； (3)三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？
A
解：(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长．点B到直 线AC的距离是线段BC的长．
(2)AB边最长．因为连接点B与AC上各点的所有线 段中，垂线段最短，已知BC⊥AC，所以 BC<AB. 连接点A与BC上各点的所有线段中， 垂线段最短，已知AC⊥BC，所以AC<AB. 综上所述，三条边AB，AC，BC中，AB边最长．
距离的概念作出正确的判断即可．所以记忆与理解相
到达，则下列判断正确的是( A ) ③两点之间，垂线最短；
PD不是垂线段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以 简单说成：垂线段最短．
A．小亮骑车的速度快 如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6 cm，BC＝4 cm，
③点C到AB的垂线段是线段AB； 直，点O为垂足，我们把线段PO叫做点P到直线l的
人教版七年级数学下册第五章《垂线段最短》优课件
解决问题
在灌溉时，要把河中的水引到 农田P处，如何挖渠能使渠道 最短？
垂线段最短
C
例1
在下列语句中，正确的是（ C ）． A、在同一平面内，一条直线只有一条垂线 B、在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条 C、在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直 线的直线有且只有一条 D、在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离
A
答：不能。
B
D EC
例3
已知直线a、b，过点a上一点A作AB⊥a，交b于点B， 过B作BC⊥b交a于点C。请说出哪一条线段的长是 哪一点到哪一条直线的距离？ 并且用刻度尺测量 这个距离。
课堂检测
1、如图,AC⊥AB,A为垂足,AD⊥BC,D为垂足,AB=8,
CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点C到AB的距离
谢谢观赏
You made my day但是非常忠实。2022年2月17日星期四2022/2/172022/2/172022/2/17 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/172022/2/172022/2/172/17/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/172022/2/17February 17, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/172022/2/172022/2/172022/2/17
课堂检测
5、如图所示,能表示点到直线(线段)的距离的A 线
段有( C )
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
人教版七年级下册数学5.1.2垂线(含答案)
5．1.2垂线基础填空1．垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是_________时，就说这两条直线____________，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的__________叫做__________。
2．符号：“⊥”读作“垂直于”，如AB⊥CD于O，含义是：直线AB与直线CD，是O.3．垂线性质：______________________________________________________________。
知识点1认识垂直1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2＝( )A．35°B．40°C．45°D．60°2．如图，AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是( )A．互为对顶角B．互补C．互余D．相等3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．知识点2画垂线4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )5.如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．知识点3垂线的性质6．如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( )A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线8．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D．垂线段最短9．下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个B．2个C．3个D．4个知识点4点到直线的距离10．如图所示，点P到直线l的距离是( )A．线段P A的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度综合题1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知直线AB ，CB ，l 在同一平面内，若AB ⊥l ，垂足为B ，CB ⊥l ，垂足也为B ，则符合题意的图形可以是( )3．如图所示，下列说法不正确的是( )A ．点B 到AC 的垂线段是线段AB B ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段 D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段 4．点P 是直线l 外一点，A ，B ，C 为直线l 上的三点，PA ＝4 cm ，PB ＝5 cm ，PC ＝2 cm ，则点P 到直线l 的距离( )A ．小于2 cmB ．等于2 cmC ．不大于2 cmD ．等于4 cm 5．如图，当∠1与∠2满足条件 时，OA ⊥OB.6.已知OA ⊥OC ，过点O 作射线OB ，且∠AOB ＝30°，则∠BOC 的度数为 ． 7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，ON ⊥OM.若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为 ．8．如图所示，O 为直线AB 上一点，∠AOC=31∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线． ⑴求∠COD 的度数；⑵判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由. 解：⑴∵∠AOC=31∠BOC 即∠AOC+∠BOC=_________°( ) ∴∠AOC =_________°∵OC 是∠AOD 的平分线∴∠COD=∠_________ =________( ) ⑵∵∠COD=∠_________ =________ ∴∠COD+∠AOC=________ ∴OD______AB9．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO垂直吗？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O.(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数；(3)在(2)的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F(点F与O不重合)，然后直接写出∠EOF的度数．5．1.2垂线答案基础填空1．垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是_直角_时，就说这两条直线_互相垂直__，其中一条直线叫做另一条直线的__垂__线，它们的___交点_叫做___垂足___。
人教版数学七年级下册教学设计5.1.2《 垂线》
人教版数学七年级下册教学设计5.1.2《垂线》一. 教材分析《垂线》这一节的内容是七年级下册人教版数学教材中的一个重要部分。
它主要介绍了垂线的定义、性质以及垂线段的概念。
学生通过学习这一节内容，应该能够理解垂线的含义，掌握垂线的性质，并能够运用垂线段的知识解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何知识，对线段、直线等基本概念有了初步的理解。
但是，他们对垂线的认识可能还比较模糊，对垂线段的运用也还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生从实际情境中发现垂线，理解垂线的性质，并通过大量的练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解垂线的定义，掌握垂线的性质，能够运用垂线段的知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：垂线的定义，垂线的性质。
2.教学难点：垂线段的运用，对垂线概念的理解。
五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法、合作学习法等。
通过引导学生观察实际情境中的垂线，让学生在操作中体验和理解垂线的性质，通过合作学习，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具准备：直尺、三角板、多媒体课件等。
2.学具准备：每人一副直尺、三角板，一组学生一台计算器。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的垂线实例，如墙角、衣架、雨滴等，引导学生发现生活中的垂线，并提问：“什么是垂线？”让学生初步感知垂线的概念。
呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示一些垂线的基本性质，如从一点到直线的垂线有且只有一条，垂线段是最短的等。
同时，让学生在纸上画出一条直线，并尝试画出它的垂线，从而加深对垂线概念的理解。
操练（15分钟）教师给出一些实际问题，如在平面直角坐标系中，找出一点P到x轴的垂线段的长度。
让学生独立完成，并在小组内交流解题过程。
人教版初一数学下册《垂线教学设计》
5.1.2 垂线教学设计（第一课时）一、设计理念在平面几何的教学中教师应该根据认知规律，设计符合学生认知水平的教学活动，通过学生的感知、思考、归纳和抽象，形成对几何图形的认识。
由于本节课的内容在理解上较为容易，因此在本教案的内容安排上，尝试利用“发现法”教学，引导学生自己观察，分析特征猜想结论，通过和同学们一起讨论探究得出垂线和垂线段的有关性质。
二、教材分析《垂线》是人教版七年级数学第五章《相交线与平行线》中的内容，包括垂直概念、垂线概念、用数学符号表示垂直、垂线的两个性质和点到直线距离等知识。
它是在学生对基本图形点、线、角有了初步认识的基础上学习的一种特殊位置关系，初步向学生参透由一般到特殊的思想。
其学习方式和研究方法，对今后认识图形、形成空间观念起到奠基的作用，特别是对今后要学习的三角形、平行四边形和圆都有举足轻重的作用，在物理的领域也不缺少垂线性质的应用。
也是培养学生观察、动手、分析、归纳能力的重要内容，对学生的探究精神、学习兴趣的培养都具有重要意义。
三、学情分析学生在小学四年级学习过垂线，对垂线图形有了最基本的认识，也了解了垂直的一些简单性质，但对垂线并没有深入的研究，没对垂线给出严格的几何定义，也没对垂线的性质作深入的探讨。
学生在七年级第三章学习了基本的图形点、线、角，这使学生学习垂线有了基础。
但是由于学生的年龄较小，学习几何的时间太短，理论性的证明往往使他们觉得枯燥无味，因此根据教材的特点，创设问题情境，让他们自己去发现事物的特性，尝试数学家发现问题的思维过程，会使学生充满极大的乐趣去参与教学活动，课堂的效果将会很好。
四、重点和难点重点：垂线的定义，用三角尺或量角器过一点画已知直线垂线。
难点：过一点画已知直线的垂线。
五、教学目标知识与技能：知道垂直是相交的特殊情况，理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
过程与方法：通过操作、探究等活动，培养学生的动手能力，并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识。
人教版七年级数学下册第五章《垂 线》优质课课件
变式训练1-1:点O在直线AB上,且OC⊥OD.若∠COA=36°,则∠DOB的大 小为( B ) (A)36°(B)54°(C)64°(D)72° 解析:根据OC⊥OD, 得出∠COD=90°, 根据∠AOC+∠COD+∠DOB=180°, 得∠DOB=180°-∠AOC-∠COD=180°-36°-90°=54°. 故选B.
。超
过
了
自
己
的
智
力
，
You made my day!
我们，还在路上……
(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近,行驶到D′位置 时,距离村庄D最近,请在公路AB上作出C′、D′的位置; 【导学探究】 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短.
解:(1)如图所示. 过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 C′, 过点 D 作 AB 的垂线,垂足为 D′.
5.1.2 垂 线
1.了解垂直的概念,掌握垂线的性质. 2.会过一点用三角板或量角器画已知直线的垂线.
1.垂直 两条直线相交所成的四个角中的任意一个角是 90° 时,我们说这两条直线互 相垂直. 如图:(1)直线AB、CD相交于点O,若∠AOC=90°,则 AB⊥CD .
(2)若AB⊥CD时,则∠COB= 90° . 2.垂线 垂直是相交的一种特殊情况,两直线 互相垂直 ,其中的一条直线叫做另一 条直线的垂线,它们的交点叫做垂足 .如图:AB⊥CD,垂足为O.
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在哪一段路上距离村庄C越来越远,而离村庄 D越来越近?(只叙述结论,不必说明理由)
解: (2)在线段C′D′这段路上,距离村庄C越来越远,而离村庄D越来越近. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长
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• 两条相交直线构成的角
邻补角 对顶角
• 性质
1
2
4 3
邻补角的和为180度。 对顶角相等
小练习
1、如图： 1 22
求出： 1, 2, 3
1
2
4 3
E
2、如图：OE平分，5 65
5 1
2
求出： 1, 2, 3
4
O
3
导入-发现知识
相交线模型
锐角
直角
变化： 斜 构成的角
竖直
形成知识
• 垂直的概念（定义）
相交的两条直线a,b构成的角
900
90 ,说a与b垂直。
符号表示： a b 读作：a垂直于b
概念推理形式：
因为 90
所以 a b
形成知识
• 垂线的概念（定义）
两条直线互相垂直，其中的一条叫做另一条
的垂线。交点叫垂足。
a
符号表示：
直角符号
因为 a b
O
所以 a是b的垂线（b是a的垂线）
展示解法
解：延长AO到E,则有 D DOE BOC
C B
AOD 3BOC
O
A
AOE 4BOC
4BOC 180
BOC 45
总结
• 学习了什么知识？ • 掌握了什么方法？
实践出真知，动手画一画，你会有发现
把握知识-展示成果
运用做直角工具画直角
先定个点 画直角
延长得到直线
垂线
a
直角
b
直线a b,a是b的垂线，b也是a的垂线
把握知识-展示成果
两点确定一 直线
发现只能做一条 理由：运用两点确定一直线
形成知识
• 垂线的性质
在同一平面内，过一点有且只 有一条直线与已知直线垂直
垂足 b
巩固概念-运用知识
1、画两条直线垂直
C E
2、如图：
AB CD 垂足为O A
O
B
COE 57
F
则 AOF ________
D
它的补角是___________, FOD对顶角是______
探究垂线的性质
1、用三角尺或量角器画已知直线的垂线, 这样的垂线能画多少条? 2、经过直线l上一点画l垂线，这样能画多少条？ 3、经过直线l外一点画l垂线，这样能画多少条？