人教版七年级数学下册垂线
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
人教版七年级数学下册 5-1-2 垂线(第一课时) 教案
5.1 相交线5.1.2 垂线(第一课时)教学反思教学目标1.理解垂线的概念.2.理解垂线的性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重难点重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.难点：过一点作已知直线的垂线.课前准备相交线模型、多媒体课件教学过程导入新课导入一：教师：在前面我们学习了两条直线相交形成了四个角，这四个角会产生4对邻补角和2对对顶角.你们还记得它们的定义吗？学生回答，老师纠正.教师：如果两条直线相交，形成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线有怎样的特殊关系？日常生活中有没有这方面的实例呢？今天我们就来研究这个问题.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))导入二：教师：同学们观察教室里的课桌面相邻的两边，黑板面相邻的两边，方格纸的横线和竖线……这些给大家什么印象？学生回答，教师指出：“垂直”这两个字对大家并不陌生，在小学，我们已经学习过“垂直”，对于“垂直”的知识我们已经了解了一些.今天，我们就在原有知识的基础上，继续探究“垂直”.(板书课题：5.1.2垂线(第一课时))设计意图通过生活中我们经常见到的现象引出垂直，通过新问题来激发学生的学习兴趣.探究新知探究点一：认识垂线和垂直教师：拿出相交线模型，如图1，演示模型，提问学生：固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，什么量随之发生变化？学生：当b 的位置变化时，a，b 所形成的四个夹角的度数随之发生变化. 教师：在b 转动的过程中，当a ，b 所形成的夹角∠α＝90°时(如图2所示)，木条a 与b 所形成的其他三个角的度数是多少？为什么？图2学生：另外三个角也是90°.教师：这种特殊的位置关系，即∠α＝90°时，我们就说a 与b 互相垂直.我们身边存在大量的形如两条直线相互垂直的实例，请同学们举一些例子.学生发言，教师肯定.教师追问：根据前面的活动，你们能说出什么样的两条直线互相垂直吗？ 师生活动鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到：两直线相交所构成的四个角中，只要有一个角是直角，就可以得出其他三个角也是直角.教师总结并板书垂直的概念：两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.教师强调：“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名.如果两条直线“互相垂直”，那么其中一条直线必定是另一条直线的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”.设计意图垂直是两条直线相交的特殊情形，两条直线垂直所形成的四个角之间的关系，需要由“邻补角和为180°”“对顶角相等”得出.相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解.教师：许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号.教师：垂直用符号“⊥”表示，如图3所示，直线AB 垂直于直线CD ，垂足为O ，就可记为“AB ⊥CD ，垂足为O ”.(教师板书)图3教师：根据垂直的定义，结合图3，当AB⊥CD时，∠AOD是多少度？学生：∠AOD＝90°.教师：我们如何用几何推理语言来描述这个结论.学生大胆发言，教师引导并板书：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°(垂直的定义).教师：把这个推理倒过来，当∠AOC＝90°，直线AB，CD具备什么特殊的位置关系？学生：垂直.教师：如何用几何推理语言描述这个结论.学生发言，教师板书：因为∠AOC ＝90°，所以AB⊥CD(垂直的定义).设计意图教学中在明确给出垂直的定义后，借助图形用符号语言来表示，让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同角度来认识垂直，实现了三种语言之间的转化，在此过程中，培养了学生用几何语言表达问题的能力，增强了学生的符号感.探究点二：垂线的画法及性质教师：根据垂直的定义，我们知道要想画垂线，必须有直角，我们的学习用具中有存在直角的吗？学生：三角尺、量角器中存在直角.教师：现在我们就开始研究用三角尺和直尺或者量角器画垂线的方法，出示课本探究.如图4所示.(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？(1) (2)图4学生独立尝试，小组合作交流，完成下面填空和思考：1.垂线的画法：第一步：靠，即三角尺的一条直角边紧靠；第二步：过，即三角尺的另一条直角边过；第三步：画，即画出垂线.2.(1)与直线l垂直的直线能画条.(2)经过直线上一点能画条直线与已知直线垂直.(3)经过直线外一点能画条直线与已知直线垂直.教师在学生合作交流的基础上组织两名学生用三角尺演示第(2)(3)问，并展示上述填空.教师：如果把(2)(3)两条结论合并在一起，你们认为应该怎样表达.学生发言，教师引导得出垂线的性质并板书.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.设计意图在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握.虽然学生在小学已经接触过垂线的作法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线.因此在这一环节的教学中应给予学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的作法，教师也可以在此基础上演示总结用三角尺过一点画已知直线的垂线的方法：一靠，即三角尺的一条直角边紧靠已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角尺的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线.使学生能够顺利突破难点.新知应用例1 判断下列语句是否正确？(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.( )(2)若两条直线相交构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.( )(3)一条直线的垂线只能画一条.( )(4)过一点可以任意画已知直线的垂线.( )答案：(1)正确(2)正确(3)错误(4)错误师生活动教师读题，学生抢答.设计意图考查学生由角的关系来判断两直线的位置关系，强化对垂直概念的理解..或线段AB的垂线.图5师生活动找三位同学在黑板上板演，其他同学自己动手画图，画完之后请同学们点评.(1) (2) (3)图6教师引导学生归纳：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.设计意图训练学生在各种情境中熟练作图，通过此练习，给学生充分的机会来感受、体会、总结、训练在各种条件下垂线的作法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.D4.B5.C6.D7. 垂直 AB ⊥CD DOB BOC COA 8.30° 9.解：OD ⊥OE.理由：∵ OD 平分∠BOC ，∴ ∠COD ＝12∠BOC.∵ OE 平分∠AOC ，∴ ∠COE ＝12∠AOC. ∴ ∠EOD ＝∠COD+∠COE＝12(∠BOC+∠AOC)＝12×180°＝90°，即OD ⊥OE.10.解：(1)∠AOD ＝120°.(2)∠AOD ＝110°.(3)猜想∠AOD 与∠BOC 互补.理由如下：如题图①，∵ ∠AOD ＝∠AOC+∠COD ＝∠AOC+90°，∠BOC ＝∠AOB-∠AOC ＝90°-∠AOC ，所以∠AOD+∠BOC ＝180°，即∠AOD 与∠BOC 互补.(见导学案“课后提升”)参考答案1.解：∵ OE 平分∠BOD ，∴ ∠DOE ＝∠BOE. ∵ ∠AOD ∶∠DOE ＝4∶1，∴ ∠AOD ∶∠DOE ∶∠BOE ＝4∶1∶1.又∵ ∠AOB ＝180°，∴ ∠DOE ＝∠BOE ＝180°×16＝30°，∴ ∠COB ＝∠COD-∠DOE-∠BOE ＝180°-30°-30°＝120°. 又∵ OF 平分∠COB ，∴ ∠COF ＝∠BOF ＝12∠COB ＝60°，∴ ∠AOF ＝∠AOB-∠BOF ＝180°-60°＝120°. (此题解法多种，只提供一种)2.解：有可能有三个或两个或一个.如图7所示.课堂小结1.本节课主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线、射线、线段的垂线.3.要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化.布置作业教材第8页习题5.1第3，4，5题板书设计。
人教版七年级数学课件《垂线》
人教版数学七年级下册
情景引入
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情景引入
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观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特
殊的位置关系？
知识精讲
人教版数学七年级下册
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b
所成的角∠α也会发生变化.
当∠α=90°时，我们说a 与b互相垂直，记作a⊥b.
线，并且只能画出一条垂线.
即在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线的性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线
段的长度，叫做点到直线的距离.
人教版数学七年级下册
THE END!
祝各位同学们学业进步、天天向上！
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短.
简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直
线的距离.
知识精讲
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现在，你知道水渠该怎ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ挖了吗？在书中图5.1-8中画出来，如
果图中比例尺为1:100000，水渠大约要挖多长？
则：沿着垂线段PH挖渠能使渠道最短.
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处如何挖渠能使
渠道最短？
知识精讲
人教版数学七年级下册
如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，A4，A5，
…，其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO，PA1，PA2，
PA3，PA4，PA5，…的长短，这些线段中，哪一条最短？
人教版七年级数学下册相交线,垂线(基础)知识讲解
相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
人教版七年级数学下册：垂线【精品课件】
AD
B
C
课堂检测
2.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是（ ) C
A. AC B. BC
C. CD
D. 不能确定
C
A
D
B
课堂检测
3.若点P是直线m外一点，点A，B，C分别是直线m上不同的
三点，且PA＝5，PB＝6，PC＝7，则点P到直线m的距离不 可能是 ( D)
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点， 另一端是垂足.
垂线
P
垂线段
A
B
D
探究新知
点到直线的距离的概念：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到
直线的距离.
P
例如：如图，PA⊥m于点A ，垂线段
PA的长度叫做点P到直线m的距离.
m
例 如图，是一个同学跳远的位 置，跳远成绩怎么表示?
A
m
课堂小结 两 条 直 线 相 交
一 般 情 况
特殊 情况 垂 相交成 线 直角
对顶角：相等 邻补角：互补
垂线的存在 性和唯一性
人教版 数学 七年级 下册
导入新知
在灌溉时，要把河里的水引到农田里的P处，如何挖渠能 使渠道最短呢？
素养目标
3. 掌握垂线段最短的性质，并会利用所学知识解 决简单的实际问题. 2. 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直 线的距离. 1. 理解垂线段的概念，会用三角尺或量角器 过一点画已知直线的垂线段 .
根据以上操
1.放
作，你能得
2.靠
B
出什么结论？
3.移
4.画
l
C
0
1
2
3
4
七年级数学下册《垂线》教案、教学设计
1.基础巩固：完成课本习题第3题，第4题，第5题。通过这些题目，巩固垂线的定义、性质和画法等基础知识，加强对垂线概念的理解。
要求：学生在完成作业时，注意规范书写，保持解答过程的简洁，同时注重细节，避免因疏忽导致错误。
2.能力提升：完成课本习题第6题，第7题。这两题涉及垂线在实际问题中的应用，旨在提高学生运用垂线知识解决实际问题的能力。
4.小组合作：以小组为单位，共同完成一道探究性问题，要求运用垂线知识解决实际问题。
要求：小组内部分工合作，共同探讨解题思路，充分发挥每位成员的优势。完成后，小组之间进行交流分享，相互学习，共同进步。
5.课后反思：学生结合本节课所学内容，撰写一篇课后反思，内容包括：对垂线知识点的理解，解题过程中遇到的困难和解决方法，以及对今后学习的期望和计划。
2.提出问题：三角板与纸张的交线有什么特点？它们之间的关系是怎样的？
3.学生思考：让学生尝试用自己的语言描述三角板与纸张交线的关系。
4.引入新课：教师总结学生的回答，引出垂线的定义，并板书“垂线”二字。
（二）讲授新知
1.垂线的定义：教师通过直观的图形演示，讲解垂线的定义，即两条直线相交成直角时，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。
2.垂线的性质：教师引导学生观察垂线的特点，总结出垂线的性质，如垂线与被垂线相交成直角，垂线段是点到直线的最短距离等。
3.垂线的画法：教师示范如何用直尺和圆规画出垂线，并强调画垂线的方法和注意事项。
4.垂线的应用：教师通过实例讲解垂线在实际问题中的应用，如计算点到直线的距离、Байду номын сангаас断两条直线是否垂直等。
1.通过实际操作、观察和思考，培养学生探究、发现垂线性质的能力。
2.引导学生运用数学语言描述垂线的性质，提高学生数学表达和逻辑思维能力。
人教版七年级数学下册《垂线》教学课件
探究
你知道在体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？
你能说说其中的道理吗？
垂
直
性
质
的
实
际 应
P
用
垂线段最短
O
做一做
2、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄
人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站 ，并说明理由。
拓展延伸
2、如图，AC垂直BC于点C，CD垂直AB于点D，DE垂直BC于点E， 试比较四条线段AC,DC,DE和AB的大小。
解：∵AC⊥BC，(已知) ∴AC＜AB，（垂线的性质二） ∵CD⊥AB，（已知） ∴DC＜AC，（垂线的性质二） ∵DE⊥BC，（已知） ∴DE＜DC，（垂线的性质二） ∴DC＜DC＜AC＜AB．
4.如图， BO ⊥AO， ∠BOC与∠BOA的度数之 比为1：5，那么∠COA7=2° 。 ∠BOC的补角为 （16）2 度。
探究新知
活动二：探究垂线的画法
工具：直尺、三角板
如图，已知直线 l,作l的垂线.
A
问题1：这样画l的垂线
可以画几条？
O
无数条
1、靠 2、移 3、画线
l
版权所有 盗版必究
探究新知 如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.
D
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
牛刀小试
1、如图,∠ACB=90°,D是AB上一点，且∠ADC=∠BDC,请写出
图中互相垂直的线段，并简要说明理由.
解：图中互相垂直的线段有
人教版七年级数学下册课件5.1.2垂线
活动5 课堂小结
1．垂线的相关概念． 2．垂线的画法． 3．垂线的性质． 4．点到直线的距离．
四、作业布置与教学反思 1．作业布置
(1)教材P8 习题5.1第3，4，5，6题；
2．教学反思
A
C OD B 图5.1-5
2．教材P4 探究． 提出问题： (1)如何利用三角板过一点作已知直线的垂线？ (2)通过画图，你认为过一点作已知直线的垂线，能作几条？
3．教材P5 探究． 提出问题： (1)观察图5.19，你能用哪些方法说明线段PO最短？ (2)你从中能得出什么结论？ (3)垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？
1
1
∴∠FOC＋∠EOC＝ ＝
2
1 2
∠AOC＋ 2 ∠BOC (∠AOC＋∠BOC)＝
1 2
×180°＝90°
即∠EOF＝90°，
∴OE⊥OF.
练习
1．教材P5 练习第1，2题． 2．教材P6 练习． 3．下列选项中，过点P画AB的垂线，三角尺放法正确的是( C )
练习
4．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝ ∠13 BOC，OC是∠AOD的平分线． (1)求∠COD的度数； (2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
__垂__线__段___最短．简单说成：__垂__线__段__最__短__．
3．直线外一点到这条直线的_垂__线__段__的__长____，叫做点到
直线的距离．
度
活动4 例题与练习
例1 (1)如图①，过点P画AB的垂线； (2)如图②，过点P分别画OA，OB的垂线； (3)如图③，过点A画BC的垂线．
又解∵：∠(1A)O∵C∠＋AO∠CB＝OC＝∠1B8O0C°，， 例反1过来(1，)如如图果①AB，⊥过C点DP，画那A么B的∠A垂O线C等；于多少度？ (垂2)直你定从义中、能垂得直出公什理么的结理论解？与运用．
人教版数学七年级下册5.1《垂线》名师教案
活动一画图实践
1．作直线EF的垂线.
(1)直线EF，画出直线EF的垂线，能画几条?EF
小组内交流,明确直线EF的垂线有多少条？即存在,但位置有不______性.〔无数条〕〔不确定〕
(2)怎样才能确定直线EF的垂线位置呢?
在直线EF上取一点A,过点A画EF的垂线, 能画几条?再经过直线EF外一点B画直线EF的垂线,这样的垂线能画出几条?
垂线性质：
答案：1条，如图：
2条，如图：
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直.
〔4〕如图AB与直线BC垂直。
点A与直线BC上各点的距离长短不一，我们可以
发现其中最短的应该是线段AB。线段AB的长度就
是点A到直线BC的距离。请量一量线段AB的长度.
结论：.
简记为：.
(5)直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离.
(4)点到直线的距离是从直线外一点向这条直线所作的垂线段的长度，它是一个数量概念，只能量出或求出，而不能画出，画出的是垂线段，不是点到直线的距离;点到直线的距离问题通常伴随着过一点作直线的垂线，作图的准确性直接影响到计算与区分，务必仔细、标准.
4、随堂检测
一、选择题
1.如下图,以下说法不正确的选项是( )
4、学习难点
掌握垂线的性质，并会利用所学知识进展简单的推理.
二、教学设计
〔一〕课前设计
1、预习任务
任务1
阅读教材P3-4，思考：垂线的定义是什么？我们用符号语言怎么表示？
任务2
阅读教材P4-5垂线有哪些性质？过一点如何作直线的垂线？
任务3
阅读教材P5，什么是点到直线的距离？
2、预习自测
〔1〕、两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，这两条直线就互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫做.假设“直线AB垂直于直线CD，垂足为O〞，那么记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号.
人教版初中数学七年级下册 垂线
1.贴 2.靠 3.移 4.画
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂
直.
1.贴 2.靠 3.移 4.画
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂
直.
1.贴 2.靠 3.移 4.画
二.垂线的性质
垂线的性质2：
连接直线外一点，与直线上各点的所有线段中，垂
线段最短.
探索新知
二.垂线的性质
垂线的性质2：
连接直线外一点，与直线上各点的所有线段中，垂
线段最短.
探索新知
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点
到直线的距离.
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
1.贴 2.靠 3.移
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂
直.
1.贴 2.靠 3.移 4.画
探索新知
过已知直线上一点能画这条直线的垂线吗？能画几条？
结论：过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂
如图，线段PO的长度即为点P到直线l的距离。
注意：距离是一个数量.
PO是点P到直线l的距离
学以致用
1.已知，如图， ⊥ ，垂足为，为过点的
一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（
A.相等
B.互余
D.互为对顶角
人教版数学七年级下册第五章垂线段课件
导引：根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线BC
的距离是线段AC的长，点B到直线AC的距离是线
段BC的长，点C到直线AB的距离是线段CD的长．
因为三角形ABC的面积S＝ 1AC·BC＝1AB· CD，
2
2
所以AC·BC＝AB·CD，进而可得CD＝2.4 cm.
新知小结
正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决 此类问题的关键．解决此类问题应注意：(1)点到直线 的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也 不是垂线段；(2)距离表示线段的长度，是一个数量， 与线段不能等同；(3)用垂线段的长度表示点到直线的 距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了数形 结合思想．
巩固新知
1 如图，三角形ABC中，∠C=90°. (1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离 是哪些线段的长； (3)三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？
A
解：(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长．点B到直 线AC的距离是线段BC的长．
(2)AB边最长．因为连接点B与AC上各点的所有线 段中，垂线段最短，已知BC⊥AC，所以 BC<AB. 连接点A与BC上各点的所有线段中， 垂线段最短，已知AC⊥BC，所以AC<AB. 综上所述，三条边AB，AC，BC中，AB边最长．
距离的概念作出正确的判断即可．所以记忆与理解相
到达，则下列判断正确的是( A ) ③两点之间，垂线最短；
PD不是垂线段，所以CE＜PC，DF＜PD，所以 简单说成：垂线段最短．
A．小亮骑车的速度快 如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝6 cm，BC＝4 cm，
③点C到AB的垂线段是线段AB； 直，点O为垂足，我们把线段PO叫做点P到直线l的
人教版七年级下册数学5.1.2垂线(含答案)
5．1.2垂线基础填空1．垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是_________时，就说这两条直线____________，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的__________叫做__________。
2．符号：“⊥”读作“垂直于”，如AB⊥CD于O，含义是：直线AB与直线CD，是O.3．垂线性质：______________________________________________________________。
知识点1认识垂直1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2＝( )A．35°B．40°C．45°D．60°2．如图，AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是( )A．互为对顶角B．互补C．互余D．相等3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．知识点2画垂线4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )5.如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．知识点3垂线的性质6．如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( )A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线8．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D．垂线段最短9．下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个B．2个C．3个D．4个知识点4点到直线的距离10．如图所示，点P到直线l的距离是( )A．线段P A的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度综合题1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知直线AB ，CB ，l 在同一平面内，若AB ⊥l ，垂足为B ，CB ⊥l ，垂足也为B ，则符合题意的图形可以是( )3．如图所示，下列说法不正确的是( )A ．点B 到AC 的垂线段是线段AB B ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段 D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段 4．点P 是直线l 外一点，A ，B ，C 为直线l 上的三点，PA ＝4 cm ，PB ＝5 cm ，PC ＝2 cm ，则点P 到直线l 的距离( )A ．小于2 cmB ．等于2 cmC ．不大于2 cmD ．等于4 cm 5．如图，当∠1与∠2满足条件 时，OA ⊥OB.6.已知OA ⊥OC ，过点O 作射线OB ，且∠AOB ＝30°，则∠BOC 的度数为 ． 7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，ON ⊥OM.若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为 ．8．如图所示，O 为直线AB 上一点，∠AOC=31∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线． ⑴求∠COD 的度数；⑵判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由. 解：⑴∵∠AOC=31∠BOC 即∠AOC+∠BOC=_________°( ) ∴∠AOC =_________°∵OC 是∠AOD 的平分线∴∠COD=∠_________ =________( ) ⑵∵∠COD=∠_________ =________ ∴∠COD+∠AOC=________ ∴OD______AB9．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO垂直吗？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O.(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数；(3)在(2)的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F(点F与O不重合)，然后直接写出∠EOF的度数．5．1.2垂线答案基础填空1．垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是_直角_时，就说这两条直线_互相垂直__，其中一条直线叫做另一条直线的__垂__线，它们的___交点_叫做___垂足___。
人教版初一数学下册《垂线教学设计》
5.1.2 垂线教学设计（第一课时）一、设计理念在平面几何的教学中教师应该根据认知规律，设计符合学生认知水平的教学活动，通过学生的感知、思考、归纳和抽象，形成对几何图形的认识。
由于本节课的内容在理解上较为容易，因此在本教案的内容安排上，尝试利用“发现法”教学，引导学生自己观察，分析特征猜想结论，通过和同学们一起讨论探究得出垂线和垂线段的有关性质。
二、教材分析《垂线》是人教版七年级数学第五章《相交线与平行线》中的内容，包括垂直概念、垂线概念、用数学符号表示垂直、垂线的两个性质和点到直线距离等知识。
它是在学生对基本图形点、线、角有了初步认识的基础上学习的一种特殊位置关系，初步向学生参透由一般到特殊的思想。
其学习方式和研究方法，对今后认识图形、形成空间观念起到奠基的作用，特别是对今后要学习的三角形、平行四边形和圆都有举足轻重的作用，在物理的领域也不缺少垂线性质的应用。
也是培养学生观察、动手、分析、归纳能力的重要内容，对学生的探究精神、学习兴趣的培养都具有重要意义。
三、学情分析学生在小学四年级学习过垂线，对垂线图形有了最基本的认识，也了解了垂直的一些简单性质，但对垂线并没有深入的研究，没对垂线给出严格的几何定义，也没对垂线的性质作深入的探讨。
学生在七年级第三章学习了基本的图形点、线、角，这使学生学习垂线有了基础。
但是由于学生的年龄较小，学习几何的时间太短，理论性的证明往往使他们觉得枯燥无味，因此根据教材的特点，创设问题情境，让他们自己去发现事物的特性，尝试数学家发现问题的思维过程，会使学生充满极大的乐趣去参与教学活动，课堂的效果将会很好。
四、重点和难点重点：垂线的定义，用三角尺或量角器过一点画已知直线垂线。
难点：过一点画已知直线的垂线。
五、教学目标知识与技能：知道垂直是相交的特殊情况，理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
过程与方法：通过操作、探究等活动，培养学生的动手能力，并通过活动使学生对知识的学习从感性认识上升到理性认识。
人教版七年级数学下册第五章《垂 线》优质课课件
变式训练1-1:点O在直线AB上,且OC⊥OD.若∠COA=36°,则∠DOB的大 小为( B ) (A)36°(B)54°(C)64°(D)72° 解析:根据OC⊥OD, 得出∠COD=90°, 根据∠AOC+∠COD+∠DOB=180°, 得∠DOB=180°-∠AOC-∠COD=180°-36°-90°=54°. 故选B.
。超
过
了
自
己
的
智
力
，
You made my day!
我们，还在路上……
(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近,行驶到D′位置 时,距离村庄D最近,请在公路AB上作出C′、D′的位置; 【导学探究】 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短.
解:(1)如图所示. 过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 C′, 过点 D 作 AB 的垂线,垂足为 D′.
5.1.2 垂 线
1.了解垂直的概念,掌握垂线的性质. 2.会过一点用三角板或量角器画已知直线的垂线.
1.垂直 两条直线相交所成的四个角中的任意一个角是 90° 时,我们说这两条直线互 相垂直. 如图:(1)直线AB、CD相交于点O,若∠AOC=90°,则 AB⊥CD .
(2)若AB⊥CD时,则∠COB= 90° . 2.垂线 垂直是相交的一种特殊情况,两直线 互相垂直 ,其中的一条直线叫做另一 条直线的垂线,它们的交点叫做垂足 .如图:AB⊥CD,垂足为O.
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在哪一段路上距离村庄C越来越远,而离村庄 D越来越近?(只叙述结论,不必说明理由)
解: (2)在线段C′D′这段路上,距离村庄C越来越远,而离村庄D越来越近. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长
人教版七年级下册数学精品课件(RJ) 第五章 相交线与平行线 相交线 垂线 第1课时 垂线及其性质
8．(10分)(1)如图①，作AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E，F； (2)如图②，分别过点P作垂线PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.
解：(1)如图①所示 (2)如图②所示
一、选择题(每小题5分，共10分) 9．(益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是 ( C) A.∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90° C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°
AOC，OF 平分∠BOC，所以∠EOC＝12 ∠AOC＝65°，∠COF＝12 ∠COB＝ 25°，所以∠EOF＝65°＋25°＝90°，所以 OE⊥OF (2)因为∠BOC＝α，所以∠AOC＝180°－α. 因为 OE 平分∠AOC，OF 平分∠BOC，
所以∠EOC＝12 ∠AOC＝90°－12 α，∠COF＝12 ∠COB＝12 α，所以∠EOF＝
14．(12分)如图所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，OM⊥ON，∠BOC ＝26°，求∠AOD的度数．
解：因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD，所以∠AOB＝2∠AOM＝ 2∠BOM，∠COD＝2∠CON＝2∠DON.因为OM⊥ON，所以∠MON＝90°，所 以∠CON＋∠BOC＋∠BOM＝90°.因为∠BOC＝26°，所以∠CON＋∠BOM ＝90°－26°＝64°，所以∠DON＋∠AOM＝64°，所以∠AOD＝∠DON＋ ∠AOM＋∠MON＝64°＋90°＝154°
【素养提升】 15．(16分)如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平 分∠BOC.
(1)若∠BOC＝50°，试探究OE，OF的位置关系； (2)若∠BOC为任意角α(0°<α<180°)，则(1)中OE，OF的位置关系是否仍成立？ 请说明理由．由此你发现什么规律？
七年级下册数学垂线知识点
七年级下册数学垂线知识点
数学是一门比较抽象的学科，但是在生活中却处处可见。
今天
我们要讲的垂线知识点，在几何图形中起到了重要的作用。
下面
我们将逐步讲解垂线的定义和相关概念。
一、垂线的定义
垂线是与另一条直线或平面相交，且相交点与另一条直线或平
面上一点连线垂直的线段。
其特点是与所相交的直线或平面垂直。
二、垂线的性质
1.垂线与直线或平面垂直相交，且在相交点处的角度为90度。
2.垂线的长度是从垂足(垂线与直线或平面的交点)到相交点的
距离。
3.同一点到直线或平面上的垂线只有一条。
三、垂线的应用
垂线在解决数学问题中有广泛的应用，下面我们将具体讲解。
1.求两直线间的距离
在解决两直线间的距离问题时，可将一条直线上的点到另一条直线上的垂线长作为距离。
2.求三角形中心
在三角形中，三条垂线交于一点，称为垂心。
此时垂心是三角形的中心，可以帮助我们解决三角形的相关问题。
3.求线段的中垂线
线段的中垂线是指垂直于线段中点连线的线段。
线段的中垂线与线段垂直且平分线段。
以上是垂线在数学中的一些应用，可以帮助我们解决很多几何
问题。
在学习垂线时，需要掌握几何基础知识，例如：角度，直线，平面等等。
还需要多做习题，加深对垂线的理解和应用。
结语
垂线是几何图形中的基础概念之一，掌握了垂线的定义和性质，可以更好的理解几何问题。
本文通过详细讲解，希望能为大家的
学习提供一些帮助。
同时，也希望大家能够在学习过程中注重理
解和巩固，提高数学水平。
七年级数学下册《-垂线》课件
1放、 2靠、 3画线、
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
1.垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,过点Ａ作l
的垂线.
B
问题：这样的垂
线能画几条？
A
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
0 2靠1 :靠2 三3 角板4 ,把5 三6 角7板的8 一9直角10 边11 靠在直尺上;
B
∴AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么， ∠AOD=90°。
书写形式：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直定义练习:
C
E
填空
⑴已知：AB⊥CD,∠1=∠2
求证：EF⊥AB 证明：∵CD⊥AB
与射线、线段、射线与直线垂直， 特指它们所在的直线互相垂直.
请你画图，
并用尺量一下，
看看哪一条线
段最短？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上 各点所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引
P
垂线，这点与垂足间的线段
叫做垂线段。
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，线 段PA叫做点P到直线l的垂线段.
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,直线a、b
bb b
所成的∠α也会发生变化.
当∠α =90°时,
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第8题
图放大
第8题
图还原
9. 如图，是小凡同学在体育课上跳远后留下 的脚印，他的跳远成绩是线段___A__P___的长．
第9题
图放大
第9题
图还原
10. 如图，AC⊥CB 于点 C，CD⊥AB 于点 D， 下列关系中，①AD＞CD；②CD＞BD；③BC＞BD； ④AC＞BC，一定成立的是___③___．(填序号)
5.1.2 垂线
5第.12.2课垂时 线
1. 有下列说法：①连接两点的线段的长度叫
做两点间的距离；②连接直线外的点和直线上的点
的线段叫做点到直线的距离；③从直线外一点所引
的这条直线的垂线叫做这点到直线的距离；④直线
外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到直线
的距离．其中正确的是( D )
A．①②
B．②③
第12题
图放大
第12题
图还原
13. 如图，在直角三角形 ABC 中，若斜边为 BC，两直角边分别为 AB，AC，设 BC＝a，AC＝b，
AB＝C．
第13题
图放大
第13题
图还原
13. 如图，在直角三角形 ABC 中，若斜边为 BC，两直角边分别为 AB，AC，设 BC＝a，AC＝b，
AB＝C．
AB＝C．
(3)试化简|a－b|＋|c－a|＋|b＋c－a|. 解：因为 BC＞AC，BC＞AB，AC＋AB＞BC， 所以 a＞b，a＞c，b＋c＞a， 所以原式＝a－b－(c－a)＋b＋c－a＝a－b－c ＋a＋b＋c－a＝a.
第13题(3)
C．③④
D．①④
第1题
2. (2019·常州)如图，在线段 PA，PB，PC， PD 中，长度最短的是( B )
A．线段 PA C．线段 PC
第2题
B．线段 PB D．线段 PD
图放大
第2题
图还原
3． 如图，有三条公路，其中 AC⊥AB，小明和小亮 分别以 A 地、B 地为起点，同时沿着 AC，BC 的路线骑车
第11题(3)
12. 如图，在△ABC 中，AC＝5，BC＝6，BC 边上的高 AD＝4，若点 P 在边 AC 上(不含端点)移动， 求 BP 最短时的值．
解：根据垂线段最短可知，当 BP⊥AC 时，BP 最短． ∵S△ABC＝12×BC×AD＝12×AC×BP， ∴6×4＝5BP，∴BP＝254，即 BP 最短时的值为254.
AB＝C．
(2)试用所学知识说明：AC＋AB＞BC； 解：因为点 C 与点 B 之间，BC 是线段，而 AC ＋AB 是折线，根据“两点之间，线段最短”，可得 BC＜AC＋AB，即 AC＋AB＞BC.
第13题(2)
13. 如图，在直角三角形 ABC 中，若斜边为 BC，两直角边分别为 AB，AC，设 BC＝a，AC＝b，
A．4.5 C．6
第4题
B．5 D．7
图放大
第4题
图还原
5. 已知线段 AB 长为 10cm，点 A，B 到直线
l 的距离分别为 6cm 和 4cm，则符合条件的直线 l 有
( C) A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
第5题
6. 点 P 是直线 l 外一点，点 A，B，C，D 是直
线 l 上的点，连接 PA，PB，PC，PD．其中只有 PA
与 l 垂直，若 PA＝7，PB＝8，PC＝10，PD＝14， 则点 P 到直线 l 的距离是________．
7
第6题
7. 如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝acm，BC ＝bcm，则 BD 的取值范围是____b_c_m_＜__B_D__＜__a_c．m
第7题
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第7题
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8. 如图，城建局在河堤上 A 处向河岸修排水 渠时，要求施工人员沿与河岸 l 垂直的方向开挖，以 保证管道铺设最省，这种做法的依据是 ___垂__线__段__最__短___．
第11题(1)
11. 如图，点 M，N 分别在直线 l1，l2 上，画 出三条线段，使它们的长分别是：
(2)点 M 到直线 l2 的距离； 解：过点 M 向 l2 作垂线段 MA.
第11题(2)
11. 如图，点 M，N 分别在直线 l1，l2 上，画 出三条线段，使它们的长分别是：
(3)点 N 到直线 l1 的距离． 解：过点 N 向 l1 作垂线段 NB.
(1)试用所学知识说明：斜边 BC 是最长的边；
解：因为 CA 是点 C 到直线 AB 的垂线段，所以 AC ＜BC.
因为 AB 是点 B 到直线 AC 的垂线段，所以 AB＜BC， 故 AB，AC，BC 中，斜边 BC 最长．
第13题(1)
13. 如图，在直角三角形 ABC 中，若斜边为 BC，两直角边分别为 AB，AC，设 BC＝a，AC＝b，
第10题
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第10题
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11. 如图，点 M，N 分别在直线 l1，l2 上，画 出三条线段，使它们的长分别是：
第11题
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第11题
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11. 如图，点 M，N 分别在直线 l1，l2 上，画 出三条线段，使它们的长分别是：
(1)M，N 两点间的距离； 解：连接 MN，线段 MN 即是所要求画的线段．
到 C 地．若他们同时到达，则下列判断正确的是( C)
A．两人的速度一样快 B．小明骑车的速度快 C．小亮骑车的速度快 D．由于不知道公路的长短，故无法判断
第3题
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第3题
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4． 如图，在三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC ＝5，点 P 是 BC 边上的动点，则 AP 的长不可能是 ( A)