第一章 数制和码制

第一章 数制和码制

本章教学目的、要求：

1．掌握二进制、八进制、十进制、十六进制及其相互转换。 2．掌握原码、反码、补码的概念及转换，了解二进制补码的运算。 3．理解常用8421BCD 码和可靠性代码。 重点：不同进制数间的转换。

难点：补码的概念及二进制补码的运算。

第一节 概述

(一)数字量与模拟量

数字量：物理量的变化在时间上和数量上都是离散的。它们数值的大小和每次变化的增减变化都是某一个最小数量单位的整数倍，而小于这个最小数量单位的数值没有任何物理意义。

例如：统计通过某一个桥梁的汽车数量，得到的就是一个数字量，最小数量单位的“1”代表“一辆”汽车，小于1的数值已经没有任何物理意义。

数字信号：表示数字量的信号。如矩形脉冲。 数字电路：工作在数字信号下的电子电路。

模拟量：物理量的变化在时间上和数值上都是连续的。 例如：热电偶工作时输出的电压或电流信号就是一种模拟信号，

因为被测的温度不可能发生突跳，所以测得的电压或电流无论在时间上还是在数量上都是连续的。

模拟信号：表示模拟量的信号。如正弦信号。 模拟电路：工作在模拟信号下的电子电路。

这个信号在连续变化过程中的任何一个取值都有具体的物理意义，即表示一个相应的温度。

(二)数字信号的一些特点

数字信号通常都是以数码形式给出的。

不同的数码不仅可以用来表示数量的不同大小，而且可以用来表示不同的事物或事物的不同状态。

t

u t

第二节 几种常用的数制

数制：把多位数码中每一位的构成方法以及从低位到高位的进位规则称为数制。 在数字电路中经常使用的计数进制有十进制、二进制和十六进制。有时也用到八进制。

一、十进制数(Decimal)

十进制是日常生活中最常使用的进位计数制。在十进制数中，每一位有0~9十个数码，所以计数的基数是10。超过9的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的进位关系是“逢十进一”。

任意十进制数 D 的展开式：i i k D 10∑= k i 是第 i 位的系数，可以是0~9中的任何一个。 例：将十进制数12.56展开为：

2

1

1

10

610

510210156.12--⨯+⨯+⨯+⨯=

二、二进制数（Binary ）

二进制数的进位规则是“逢二进一”，其进位基数R=2， 每位数码的取值只能是0或1，每位的权是2的幂。

任何一个二进制数，可表示为：i i k D 2∑=

例如：

三、八进制数(Octal)

八进制数的进位规则是“逢八进一”，其基数R =8，采用的数码是0、 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7， 每位的权是 8 的幂。 任何一个八进制数也可以表示为：i i k D 8∑=

例如：

四、十六进制数(Hexadecimal)

十六进制数的特点是：

① 采用的 16 个数码为0、 1、 2、 …、 9、 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 。 符号A~F 分别代表十进制数的10~15。

② 进位规则是“逢十六进一”，基数R =16，每位的权是16的幂。 任何一个十六进制数， 可以表示为：i i k D 16∑= 例如：

10

3

2101232)375.11(2

1212021212021)011.1011(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=---10

10128)5.254(5.068764384868783)4.376(=++⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=-10

2

1

1

2

16)0664.939(16

116

116111610163)113(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅--AB

任意 N 进制数展开式的普遍形式：i i N k D ∑=

其中 k i 是第 i 位的系数；k i 可以是 0 ~ N-1 中的任何一个；N 称为计数的基数； N i 称为第 i 位的权。 五、不同进制数的对照表

第三节 不同数制间的转换

一、二—十转换

二进制数转换成十进制数时，只要将二进制数按权展开，然后将各项数值按十进制数相加，便可得到等值的十进制数。例如：

同理，若将任意进制数转换为十进制数，只需将数(N )R 写成按权展开的多项式表示式，并按十进制规则进行运算， 便可求得相应的十进制数(N )10。

二、十—二转换

① 整数转换——除2取余法。 例如：将(57)10转换为二进制数：

10

2

1

1

2

4

2)75.22(2

12

1212121)11.10110(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=--

② 小数转换——乘2取整法。 例如：将(0.724)10转换成二进制小数。

可见，小数部分乘2取整的过程，不一定能使最后乘积为0，因此转换值存在误差。通常在二进制小数的精度已达到预定的要求时，运算便可结束。

将一个带有整数和小数的十进制数转换成二进制数时，必须将整数部分和小数部分分别按除2取余法和乘2取整法进行转换，然后再将两者的转换结果合并起来即可。

同理，若将十进制数转换成任意R 进制数(N )R ，则整数部分转换采用除R 取余法；小数部分转换采用乘R 取整法。

三、二进制数与八进制数、十六进制数之间的相互转换

八进制数和十六进制数的基数分别为8=23，16=24， 所以三位二进制数恰好相当一位八进制数，四位二进制数相当一位十六进制数，它们之间的相互转换是很方便的。

二进制数转换成八进制数的方法是从小数点开始，分别向左、向右，将二进制数按每三位一组分组(不足三位的补0)，然后写出每一组等值的八进制数。

例如，求(01101111010.1011)2的等值八进制数： 二进制 001 101 111 010 ．101 100

二进制数转换成十六进制数的方法和二进制数与八进制数的转换相似，从小数点开始分别向左、向右将二进制数按每四位一组分组(不足四位补0)，然后写出每一组等值的十六进制数。

例如，将(1101101011.101)转换为十六进制数：

八进制数、十六进制数转换为二进制数的方法可以采用与前面相反的步骤，即只要

八进制 1 5 7 2 ．. 5 4 二进制 001 101 111 010 ． 101 100 所以 (01101111010.1011)2=(1572.54) 8

00 11 01 10 10 11 . 10 10

3 6 B . A