含参不等式的恒成立问题

在区间
[m, n] 上恒成立
f


f
(m) 0 (n) 0
④
f (x) ax b 0 (a 0)
在区间 [m,] 上恒成立
a 0


f
(m)

0
⑤ f (x) ax2 bx c 0(a 0) 在区间 [m, n] 上恒成立， b2 4ac 0
都有 f (x) c2 成立，求 c 的取值范围。 6.（09银川一摸）已知 f (x) 2x3 3x2 ，若在区间[0, m] (m 0) 上
恒有 f (x) x 成立，求 m 的取值范围.
7.(06四川21)已知函数 f (x) x3 3ax 1, g(x) f (x) ax 5 ，
1 x 2
故 x 的取值范围为(1, 2)
【探究提高】
1、讨论形如 ax2 bx c 0 的恒成立问题时必须对a 0, a 0分类讨论，否则会漏解.
2、已知不等式恒成立求参数范围的问题，涉及函数、方程、不等式，综合性强，常利 用以下结论会起到事倍功半的效果.
① ax2 bx c 0
当 4(a2 3) 0, 即 a 3 或 a 3 时，
不等式 3x2 2ax 1 0 的解集为：( a
a2 3 a ,
a2 3 )
3
3
要使 f (x) 3x2 2ax 1 0
对一切
x ( 2 , 1) 33
成立
则有 ( 2 , 1) ( a a2 3 , a a2 3 )
学习目标：
学生掌握确定恒成立不等式中参数范围的常见求解策略与方法。
学习重难点：
根据不同条件选择恰当的方法确定不等式恒成立中的参数范围。
数学思想方法：
转化与化归、函数与方程、数形结合等思想方法。
【诊断训练】
1. 若不等式 x 1 x 2 k 对一切 x R 恒成立，则实数的取值范围是（ ）.
），则 2a [g(t)]max
由
g(t) 的单调性可知
[ g (t )]m ax

g(1) 3

4
2a 4, a 2
故 a 的取值范围为 [2,)
解法3. (集合包含关系法)
f (x) x3 ax2 x 1 f (x) 3x 2 2ax 1


f
函数 f (x)
(x) 在区间 3x2 2ax
( 2 , 3
1 0
1) 内是减函数 3 对一切 x (
2 3
,
1 3
)
成立
当 4(a 2 3) 0, 即 3 a 3 时，
不等式
3x 2

2ax
源自文库
1
0对一切
x (
2 3
,
1) 3
均不成立；
其中 f (x) 是 f (x) 的导函数，对满足 1 a 1 的一切 a 的值，
都有 g(x) 0 ，求实数 x 的取值范围.
3
3
又因为 f (x)在（0，2] 上递减
所以 2 a 2 a 3 3
法4.3x2 2ax
2
在同一直角坐标系内作函数 y 3x2 , y 2ax 的图像
3. 法1. 因为 y x 2 2(a 1)x 2 在 [4,) 上是增函数 所以 y 2x 2(a 1) 0 在 [4,) 上恒成立 故 a 1 x 在 [4,) 上恒成立 所以 a 3 法2. 因为y x2 2(a 1)x 2 在 [1 a, ) 上是增函数 所以 1 a 4 所以 a 3
或

b 2a

m
f (m) 0
或
b n 2a
f (n) 0
⑥
f (x) ax2 bx c 0(a 0) 在区间
[m, n]
上恒成立，

f f
(m) 0 (n) 0
⑦已知函数 f (x)的值域为 [m, n] ，则 f (x) a 恒成立 f (x)min a m a f (x) a 恒成立 f (x)max a n a

a恒成立，则
a
的取值范围是________
2. 设函数 f (x) mx 2 mx 1
①若对于一切实数 x，f (x) 0 恒成立，求m 的取值范围。 ②若对于 m [2,2] ，f (x) m 5 恒成立，求 x 的取值范围。
变式2：
解：（１）当 m 0 时，显然成立； 当 m 0 时，应有 m 0, m2 4m 0
【例题讲解】
（08全国I.21）已知函数 f (x) x3 ax2 x 1 , x R ，设函数 f (x) 在区间
( 2 , 1) 33
内是减函数，求 a 的取值范围.
解法1. (函数最值法)
f (x) x3 ax2 x 1 f (x) 3x 2 2ax 1
33
33
直线 l : y 2ax ，由题意可知 (a 0)
且点B应在直线 l 上或下方.
当直线 l经过点 B( 1 , 4)时，a 2 由图像可知当 a 2 时，符合题意
33
故 a 的取值范围为 [2,)
【变式训练】
1.
(2010山东)若对任意
x＞0
， x
2
x 3x
1
解之得 4 m 0 综上：m 的取值范围为 4 m 0 （2）将f (x) m 5 变换成关于 m的不等式 m(x2 x 1) 6 0
则命题等价于m [2, 2] 时，g(m) m(x2 x 1) 6 0 Q x2 x 1 0 g(m)在m [2, 2] 上单调递增 只需 g(2) 2(x2 x 1) 6 0
B. k 1
C. k 1
D. k 1
2.如果对x2 ( y 1)2 1上的任意一点 P(x, y) ，不等式x y c 0 恒成立， 则 c 的取值范围是（ ）
A. c 2 B. c 2 1 C. c 0
D. c 1 2
3．设 f (x) x 2 mx 1 ，分别在下列条件下求 m 的取值范围。
A.[3,) B.(,3] C.[3,) D.(,5]
1．转化成求 x 1 x 2 的最小值
法1.距离法
1
2
P1
P2
P3
x 构造数轴上的点P，其坐标为 定点A、B坐标分别为1，2，
则原不等式左端即 PA PB
法2.利用 a b a b
3
x 1 x 2 (x 1) (x 2) 3
33
3
3
a a2 3 1
于是
且
3
3
a a2 3 2
3
3
解得 a 2
故 a 的取值范围为 [2,)
解法4. (数形结合法)
f (x) x3 ax2 x 1 f (x) 3x 2 2ax 1

函数 f (x) 在区间 ( 2 , 1) 内是减函数 33
⑧若 f (x, a) m 对任意 x D恒成立，则 f (x, a)min m
若 f (x, a) m对任意 x D恒成立，则 f (x, a)max m
作业
1.若不等式 x 4 x 3 k 对一切 x R 恒成立，则实数 k 的取值范围是（ ）
A. k 1
恒成立

a

0 0
或
a b 0 c 0
ax2 bx c 0
恒成立

a

0 0
或
a b 0 c 0
②
f (x) ax b 0 在区间
[m, n]上恒成立


f f
(m) 0 (n) 0
③
f (x) ax b 0
21
f (x) 3x2 2ax 1 0
对一切
x ( , ) 33
即
3x 2
1
2ax
对一切
x (
2 , 1) 33
成立.
成立
A B
2 1 33
在同一直角坐标系内作函数 y 3x2 1 与 y 2ax 的图像，如图：
设点 A( 2 , 7 ), B( 1 , 4)
-1
2
法3.设 f (x) x 1 x 2
2x 1, (x 1) 则 f (x) 3, (1 x 2)
2x 1, (x 2)
2.法1 f (x) 3x2 2ax 0 在 (0, 2] 上恒成立
因为 f (0) 0 只需 f (2) 0 即 a 3

函数 f (x) 在区间
( 2 , 1) 内是减函数 33
f (x) 3x2 2ax 1 0
对一切
x ( 2 , 1) 33
成立
2a 3x 1 x ( 2 , 1)
x
33
令 x t ，则
1t 2
3
3
设
g(t) 3t 1（ 1 t 2 t3 3

函数
f
(
x)
在区间(
2 3
,
1) 3
内是减函数，
f (x) 3x2 2ax 1 0
对一切
x ( 2 , 1) 33
成立
只需

f
(
2 3
)

0

f
(
1) 3

0
解得 a 2
故 a 的取值范围为 [2,)
解法2. （分离参数法）
f (x) x3 ax2 x 1 f (x) 3x 2 2ax 1
A. k 3 B. k 3 C. k 3 D. k 3
2．已知函数 f (x) x3 ax2 1在区间 (0,2] 内单调递减，则实数 a 的取值范围是（
A. a 3 B. a 3 C. a 3 D. 0 a 3 3.已知函数y x2 2(a 1)x 2 在 [4,) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
⑴若对于任意 x 都有 f (x) 0 成立；
⑵当 x [1,2] ， f (x) 0 恒成立； ⑶当 x (0, 1] ， f (x) 0 恒成立.
2
4.（09江西.17）设函数 f (x) x3 9 x2 6x a ，若对于任意 x ， 2
f (x) m 恒成立，求 m 的取值范围。 5．（07全国I.20）设函数 f (x) 2x3 9x2 12 x 8c，若对于任意 x [0,3] ，
法2 法3.
a
令
f
3x 2 ( x)
在 (0, 2] 3x2 2ax
上恒成立
0
即 a3 x(3x 2a)

0

x

0或x

2 3
a
当 a 0, x 0 时，f (x) 0 f (x)在（0， ）上递增，不合题意
当 a 0, 2 a x 0时，f (x) 0 f (x)在（0，2 a] 上递减