第2章-气体动理论3

i kT 2
k 1.38 1023 J / K
推广：气体分子有 t个平动自由度、r个转动自由度、s个振动 自由度，则分子的平动、转动、振动动能分别为：
t kT , 2
r kT , 2
s kT 2
气体分子的平均总动能为：
1 t r s kT 2
注意：本章中把气体分子都视为刚性分子来处理，忽略其振动 单原子分子气体（i=3）
2 2
D
任一速率区间1~2内的分子 数占总分子数的百分比为：
分布函数的 归一化条件
0
v2 N f ( v )dv v1 N
f ( v)
dN f ( v )dv N 1
S
o
v1 v2
v
C
注：如果能想到分子分母 同时乘以N的话，更快捷。
分子速率在vv+dv区间内的分子数为： dN 这些分子的速率总和为：
N=NAM / Mmol
Ek M mol EK t 8.27 1021 J N MN A
3 t kT 2
2 t T 3k
＝ 400 K
气体分子速率分布率
一. 速率分布函数 f ()
dN 表示速率分布在~ +d区间内的分子数占总分 f ( )d 子数的百分比。 N
绝对温度是分子热运动 剧烈程度的度量。
计算题 容器内有 M=2.66 kg 氧气，已知其气体分子的平动动能 总和是EK=4.14×105 J，求(1)气体分子的平均平动动能； (2)气体温度． (阿伏伽德罗常量NA＝6.02×1023 /mol，玻尔兹曼常量k ＝ 1.38×10-23 J· K-1 ， 氧 气 的 摩 尔 质 量 Mmol=32×103kg/mol)
2. 理想气体的内能
由理想气体的微观模型可知，理想气体分子间没有相 互作用势能，故其内能为所有理想气体分子的总平均 动能和分子内部势能之和。 3. 常温下理想气体刚性分子的自由度为i=t+r，忽略了 分子内部的振动动能和振动势能，则每个分子的平均 i 1 总能量为平动动能和转动动能之和:
2 2
kT ( t r )kT
PV RT
平衡态：在不受外界条件影响下，经过足够长时间后孤立系统必将 达到一个宏观性质（即宏观参量）不随时间变化的状态。
阿伏伽德罗定律: 在相同压强和温度下，各种理想气体在相同的 体积内所含分子数相等。
P nkT
理想气体温度公式：
2 P n t 3 3 t kT 2
1 2 t mv 2
因此使得平动动能与转动动能达到相同，即每个
自由度上也平均分配了kT/2能量。
(二)、理想气体的内能
1. 实际气体的内能
气体内能：所有气体分子 的动能和势能的总和。
内能 —— 气体中 所有分子 各自由度的动能 ( 平动、转 动、振动 )与分子内部原子间的相互作用势能 (振动势 能)，还包含分子间的相互作用势能。

x
z


C ( x, y, z )
y
3.多原子分子气体 例如:氨气(NH3)、水蒸气(H2O)、甲烷 (CH4)等多原子分子气体，其模型可用 多个刚性质点来代替。 平动自由度 转动自由度 总自由度 i



C ( x, y, z )
t3 r3 x tr 33 6

y
实际上，双原子分子和多原子分子都是非刚性的，分 子内原子的相对位置会发生变化，存在振动自由度。
双原子分子有一个振动自由度；
多原子分子(设原子数为n)最多可以有3n个自由度，其中3个 是平动、3个是转动，其余的3n-6个都是振动自由度。
非刚性理想气体分子的自由度为分子的平动、转动和 振动自由度之和。
3、能量按自由度均分定理
等概率假设：在热运动中，任何一种运动形式都不会 比另一种运动更占优势， ( 平动、转动、振动 )各种运 动形式机会均等。 在温度为 T 的热平衡系统，物质 ( 气体、液体和固体 ) 中分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，且等 于kT/2。这就是能量按自由度均分定理，简称能量均 分定理。 如果气体分子具有 i个自由度，则每个分子的总平均动 能为：
vp
在同一温度下，分布曲线与气体分子质量 m有关。分子质量越小， 最概然速率越大。
平均速率：大量分子的速率的算术平均值
vf (v)dv
0
8kT 8RT kT RT 1.60 1.60 m m
方均根速率：气体分子速率平方的统计平均值的平方根
3kT 3RT 3kT 3RT kT RT 2 v 1.73 1.73 v f (v)dv m m m 0
z
C ( x, y, z )
转动自由度
总自由度
t3 r0 x i tr 30 3
y
2.双原子分子气体 例如 : 氢气 (H2)、氧气 (O2) 等双原子分子气 体，其模型可用两个刚性质点模型来代替。 平动自由度 转动自由度 总自由度
z
t3 r2 i tr 32 5
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前节回顾
理想气体在宏观定义和分子模型描述的 基础上，还遵守状态方程(理想气体平衡 态的宏观参量P、V、T间的函数关系)。
f ()：表示分布在速率附近单位速率区间的分子数占总分子数 的百分比，是速率的函数，称为气体分子的速率分布函数 。
dN f ( )＝ Nd
v2 N f ( v )dv v1 N
0
dN f ( v )dv N 1
二、麦克斯韦速率分布律
m 3 / 2 2 m 2 / 2 kT f ( ) 4π( ) e 2πkT
f ( v ) Ndv
v2
dN Nf (v)dv
v2
分布在速率1~2区间的分子速率总和为
v2
v1 v2
dN Nf (v)dv
v1
分布在速率1~2区间的分子数
v1
dN Nf (v )dv
v1
分布在速率1~2区间的分子的平均速率呢？
§2-6 能量均分定理 理想气体的内能
i 1).一个分子的内能为: 2 kT i i 2).1 mol气体分子的内能为: E0 N A kT RT 2 2 M i i RT RT 3). M 千克气体的内能： E 2 2 3 E RT 单原子分子气体：
2 5 刚性双原子分子气体： E RT 2 6 刚性多原子分子气体： E RT 2 i 当温度变化T时 E RT 2
理想气体在平衡态下，分布在速率附近单位速率区间的分子数 占总分子数的百分比。是一个统计规律，仅适用于由大量分子 组成的平衡态的气体。
最概然速率(最可几速率)： f()分布曲 线有一极大值(峰值)对应的速率
vp 2kT m 2 RT

1.41
kT RT 1.41 m
气体分子质量一定，分布曲线随温度而变。 温度升高，曲线峰值右移且高度下降，速 率小的分子数减小而速率大的分子数增多。
█ 一个质点在空间自由运动需要三个独立坐标(x, y, z)才能确 定其位置，因此质点具有三个自由度。 █ 若一个质点被限制在曲面或平面上运动，则只需两个独立 坐标，自由度数为2； █ 若质点被限制在直线或曲线上运动，则 只有一个自由度； 一个刚体的空间运动可以分解为质心平动和绕通过质心轴的 转动。 刚体位置的确定： ①. 质心位置的确定(x,y,z); ②. 转轴的方位的确定(两个独立的方位角, 或)； cos2 cos2 cos2 1 ③. 旋转角的确定；
kT
3 2 5 kT 2 6 kT 2
双原子分子气体（i=5）
多原子分子气体（i=6）
只和温度 有关
能量均分定理的说明：
1）该定理是统计规律，只适用于大量分子组成的系统。 2）微观上是由于大量分子无规则碰撞的结果。 由于分子的激烈碰撞（几亿次/秒），使平动动能 与转动动能不断转换， 平动动能 转动动能
对于一定量的理想气 体，它的内能只是温 度的函数, 而且与热 力学温度成正比。
i 当温度变化dT时 dE RdT 2
例如： 物体沿一维直线运动，最少 只需一个坐标，则自由度数为1
x
轮船在海平面上行驶，要描写轮船 的位置至少需要两维坐标，则自由 度为 2。
但对于火车在轨道上行驶时自由度 是多少呢？ —— 自由度是 1 （只需知道走了多 长路程），由于受到轨道限制有一 维坐标不独立。
飞机在天空中飞翔，要描写飞机的 空间位置至少需要三维坐标，则自 由度为 3。
分子的无规则热运动：分子作为质点，仅考虑分子 的平动。 实际上，一般分子具有：平动、转动、原子振动； 以下将讨论分子热运动的能量所遵循的统计规律；
内能
(一).能量按自由度均分原理
1.自由度
自由度是描述物体运动自由程度的物理量。
在力学中，自由度是指决定一个物体的空间位置所需 要的独立坐标数. 独立坐标数：描写物体位置所需的最少坐标数。

自由运动的刚体有：三个平 动自由度,三个转动自由度,共 6个自由度.
2、理想气体分子自由度
理想气体刚性分子(组成分子的原子之间无相对位置变化 )的自 由度为：分子的平动、转动自由度之和。
刚性气体分子的自 由度依分子的结构 不同而不同。 He
O2
H 2O
NH 3
1.单原子分子气体 例如：He、Ne、Ar，其模型可用 一个质点来代替。 平动自由度