抓住不变量解应用题精品

【关键字】思路、条件、问题、主动、加大、统一、发现、关键、关系、解决

应用题中的不变量

一、部分量不变

例1、育红小学六年级图书角原来有科技书与文艺书本数比是5∶6，借出10本科技书后，科技书与文艺书本数比是3∶4。科技书原来有多少本？

解法一：本题文艺书本数不变。由原来有科技书是文艺书本数的5

6，现在科技书是文艺书本数的

3

4，

则文艺书本数是10÷（5

6－

3

4）本，得科技书原来有的本数。

10÷（

5

6－

3

4）×

5

6

＝10÷

1

12×

5

6

＝100（本）

解法二：本题文艺书本数不变。由科技书与文艺书本数比。

原来5∶6＝10∶12

现在3∶4＝9∶12

则文艺书本数的份数12不变，得科技书原来有的本数。

10÷（10－9）×10＝100（本）

例2、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。小军原来有多少元钱？

[思路点拔]：题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因此，我们可以把小明的钱数看作单位“1”。这时“小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后，这时小军的钱数是小明的5/(17-5),即5/12”，再根据题中前两个条件可知，100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。因此小明的钱数是100÷1/3=300(元)，小军原有钱数是300×3/4=400（元）

例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原来有学生多少名？

[思路点拔]：从男生转走了4名看出，男生人数和班级总人数都发生了变化，但女生人数没有变。因此可以把女生人数这个不变量看作单位“1”，原来男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原来男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；现在男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,现在男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名) 例4、有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变为10%，需再加入多少克糖?

[思路点拔]：糖水600克中有水:600*(1-7%)=558克，所以,现在糖水总量是:558/(1-10%)=620克那么要加糖:620-600=20克

例5、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只，其中公鸡,后来又买回若干只公鸡后，母鸡占总只数的，问又买回多少只公鸡？

[思路点拔]：首先，找准不变量：母鸡只数，可以直接计算出来，算出其只数80×(1－)=44只。

然后，计算出来的公鸡44只代入变化后的关系中，找出其对应分率（1－=）。接着，算出变化后的总只数：44÷=100只。最后，对比变化前后总只数，得出结论：100－80=20只。

二、两个量和不变

例6、实验学校组织学生大扫除，六年级学生参加大扫除的人数是未参加的1

4，后来又有12名学生

主动参加，现在参加大扫除的人数是未参加的1

3，那么六年级有学生多少人？

解法一：本题六年级学生的人数和不变。学生参加大扫除的原来的人数是六年级的

1

4＋1

，现在的

人数是六年级的

1

3＋1

，得六年级学生人数。

12÷（

1

3＋1

－

1

4＋1

）＝12÷

1

20

＝240（人）

解法二：本题六年级学生的人数和不变。由参加大扫除的与未参加的人数比。

原来1∶4＝4∶16

现在1∶3＝5∶15

则六年级学生人数和的份数4＋16＝5＋15不变，得六年级学生人数。

12÷（5－4）×（5＋15）＝240（人）

例7、小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。问小芳借了多少本故事书给小丽？

[思路点拔]：小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+1)倍，因此小芳现有故事书的本数是(108+140) ÷(3+1)=62本，所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78（本）。可以验证一下：(108+78)÷(140-78)=186÷62=3，答案正确。

例8、有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：7，求原来上、下层各有多少本书？

[思路点拔]：根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可把总数量看作单位“1”。抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是2:3,知道上层书占总数的2/5；又根据上层与下层书的数量比是3:7,知道上层书占总数的3/10，两人故事书的总本数是：15÷（2/5-3/10）=150（本），所以上层原有书150×2/5=60（本），下层原有书150-60=90（本）。

例9、某校合唱队人数是舞蹈队人数的3/2，如果将合唱队队员调10人到舞蹈队，则合唱队人数变为舞蹈队人数的7/8，原合唱队有多少人？

[思路点拔]：根据合唱队与舞蹈队的前后人数之比可知，合唱队原来占全体人数的3/(3+2) ,后来调出10人后，占全体人数的7/(7+8)，则全体人数有：10÷[(3/(3+2) -7/(7+8)],求出全体人数后，就能根据原来占全体人数的比求出合唱队原来有多少人了．

三、两个量差不变

例10、五年级一班原来男、女生人数比是3∶5，后来男、女生各增加9人，现在男、女生人数比是3∶4。现在全班共有多少人？

解法一：本题男、女生人数差不变。原来男生人数是男、女生人数差的

3

5－3

，现在男生人数是男、

女生人数差的

3

4－3

，则男、女生人数差是9÷（

3

4－3

－

3

5－3

）人，得现在全班共有学生人数。

9÷（

3

4－3

－

3

5－3

）×

3＋4

4－3

＝9÷1.5×7

＝42（人）

解法二：本题男、女生人数差不变。由男、女生人数比。