第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解

第五专题矩阵的数值特征

（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）

一、行列式

已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|

证明一：参照课本194页，例4.3.

证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；

从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹

矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义：

n n

ii i

i1i1

tr(A)a

==

==λ

∑∑，etrA=exp(trA)

性质：

1. tr(A B)tr(A)tr(B)

λ+μ=λ+μ，线性性质；

2. T

tr(A )tr(A)=；

3. tr(AB)tr(BA)=；

4. 1

tr(P AP)tr(A)-=；

5. H H

tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；

6. n

n

k k

i i i 1

i 1

tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;

从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；

8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥⇒λ≥λ）；

9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。

若干基本不等式

对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式

[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]

得

定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)

这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时

0≤|tr(AB)|≤

定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则

0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A) ≤tr(A)﹒tr(B)

λ1(B)表示B的最大特征值。

证明：

tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) ≥0，又因为

A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A1/2BA1/2，得

tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A)

=λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)

推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，则

tr(A)tr(A-1)≥n

另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。

三、矩阵的秩

矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。

定义：矩阵A 的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A)

性质：

1. rank(AB)min(rank(A),rank(B))≤；

2. rank(A B)rank(A,B)rank(A)rank(B)+≤≤+；

3.

H H

rank(AA )rank(A )rank(A)==； 4. rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY)===，其中X 列满秩，Y 行满秩（消去法则）。

定理（Sylvester ）：设A 和B 分别为m×n 和n×l 矩阵，则

rank(A)rank(B)n rank(AB)+-≤

m i n (r a n k (A ),r a

≤ Sylveste 定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。

四、相对特征根

定义：设A 和B 均为P 阶实对称阵，B>0，方程 |A-λB |=0的根称为A 相对于B 的特征根。

性质：|A-λB |=0等价于|B -1/2AB -1/2-λI|=0

(因为B>0，所以B 1/2>0)

注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。

定义：使(A-λi B)l i=0的非零向量l i称为对应于λi 的A相对于B的特征向量。

性质：

①设l是相对于λ的A B-1的特征向量，则

A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l)

B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量

（转化为求A B-1的特征向量问题）。

②设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则

B-1/2AB-1/2l=λl

可得

A (B-1/2l)=λB(B-1/2l)

则B-1/2l 为对应λ的A相对于B的特征向量

（转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。

五、向量范数与矩阵范数

向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。

1. 向量范数定义：设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数x，并满