信号与系统复习知识总结

重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分：

确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号；

正弦信号是最常用的周期信号,正弦信号组合后在任一对频率或周期的比值是有理分数时才是周期的;其周期为各个周期的最小公倍数;

① 连续正弦信号一定是周期信号;

② 两连续周期信号之和不一定是周期信号;

周期信号是功率信号;除了具有无限能量及无限功率的信号外,时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号,当∞→t ,0)(≠t f 的非周期信号是功率信号;

1. 典型信号

① 指数信号： ()at f t Ke =,a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =,s j σω=+ ④ 抽样信号： sin ()t

Sa t t

= 奇异信号

（1） 单位阶跃信号

1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点;

（2） 单位冲激信号

单位冲激信号的性质：

1取样性 11()()(0)()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞

∞

-∞-∞

=-=⎰⎰

()0t δ=当0t ≠时

相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 2是偶函数 ()()t t δδ=- 3比例性 ()1

()at t a

δδ=

4微积分性质 d ()

()d u t t t

δ= ； ()d ()t u t δττ-∞=⎰

5冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； ()()d (0)f t t t f δ∞

-∞

''=-⎰ ()d ()t

t t t δδ-∞

'=⎰ ；

带跳变点的分段信号的导数,必含有冲激函数,其跳变幅度就是冲激函数的强度;正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激;

重难点2.信号的时域运算 ① 移位： 0()f t t +, 0t 为常数

当0t >0时,0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上左移0t ；当0t <0时, 0()f t t +相当于()f t 波形在t 轴上右移0t ;

② 反褶： ()f t - ()f t -的波形相当于将()f t 以t =0为轴反褶; ③ 尺度变换： ()f at ,a 为常数

当a >1时,()f at 的波形时将()f t 的波形在时间轴上压缩为原来的1a

； 当0

; ④ 微分运算： ()d

f t dt

信号经微分运算后会突出其变化部分; 2. 系统的分类

根据其数学模型的差异,可将系统划分为不同的类型：连续时间系统与离散时间系统；线性系统与非线性系统；时变系统与时不变系统； 重难点3.系统的特性

（1） 线性性

若同时满足叠加性与均匀性,则称满足线性性;

当激励为1122()()C f t C f t +1C 、2C 分别为常数时,系统的响应为

1122()()C y t C y t +;

线性系统具有分解特性：

)()()(t y t y t y zs zi +=

零输入响应是初始值的线性函数,零状态响应是输入信号的线性函数,但全响应既不是输入信号也不是初始值的线性函数;

（2） 时不变性 :对于时不变系统,当激励为0()f t t -时,响应为0()f t t -; （3） 因果性

线性非时变系统具有微分特性、积分特性; 重难点4.系统的全响应可按三种方式分解：

各响应分量的关系：

重难点5.系统的零输入响应就是解齐次方程,形式由特征根确定,待定系数由-0初始状态确定;零输

入响应必然是自由响应的一部分;

重难点6.任意信号可分解为无穷多个冲激函数的连续和：

那么系统的的零状态响应为激励信号与单位冲激响应的卷积积分,即)()()(t h t f t y zs *=;零状态响

应可分解为自由响应和强迫响应两部分;

重难点7.单位冲激响应的求解;冲激响应)(t h 是冲激信号作用系统的零状态响应; 重难点8.卷积积分

（1） 定义 ττττττd f t f d t f f t f t f )()()()()(*)(212121-=-=⎰⎰∞

∞-∞∞-

（2） 卷积代数

① 交换律 )(*)()(*)((1221t f t f t f t f =

② 分配率 )(*)()(*)()]()([*)(3121321t f t f t f t f t f t f t f +=+ ③ 结合律 )](*)([*)()(*)](*)([321321t f t f t f t f t f t f = 重难点9.卷积的图解法 求某一时刻卷积值 卷积过程可分解为四步：

1换元： t 换为τ→得 f 1τ, f 2τ

2反转平移：由f 2τ反转→ f 2–τ 右移t → f 2t-τ 3乘积： f 1τ f 2t-τ

4积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分; 3性质

1ft δt=δtft = ft )()(*)(00t t f t t t f -=-δ

)()(*)(2121t t t f t t t t f --=--δ 210,,t t t 为常数

2ft δ’t = f’t 3ftut ()()d ()d t

f u t f τττττ∞-∞

-∞

=-=⎰

⎰

ut ut = tut

4[]121221d ()d ()d ()*()*()()*d d d n n n

n n n

f t f t f t f t f t f t t t t ==

5121212[()*()]d [()d ]*()()*[()d ]t t t

f f f f t f t f τττττττ-∞-∞-∞==⎰⎰⎰

6 f 1t –t 1 f 2t –t 2 = f 1t –t 1 –t 2 f 2t = f 1t f 2t –t 1 –t 2 = f t –t 1 –t 2

7 两个因果信号的卷积,其积分限是从0到t ; 8系统全响应的求解方法过程归纳如下：

a.根据系统建立微分方程；

b.由特征根求系统的零输入响应)(t y zi ；

c.求冲激响应)(t h ；

d.求系统的零状态响应)()()(t h t f t y zs *=；

e.求系统的全响应

)()()(t y t y t y zs zi +=;

重难点10.周期信号的傅里叶级数

任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t 1T 为其周期可展开为傅里叶级数; 1三角函数形式的傅里叶级数

0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞

==++∑ 式中11

2T π

ω=

,n 为正整数;