反比例函数(增减性、几何意义、面积)专项训练

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专题21反比例函数的图象与性质(3个知识点5种题型2种中考考法)(原卷版-初中数学北师大版9年级上册

专题21反比例函数的图象与性质（3个知识点5种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）知识点3.反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义（难点）【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用题型2.反比例函数与图形面积问题题型3.利用反比例函数图象的对称性解题题型4.创新题题型5.反比例函数与几何图形的综合【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小【方法四】成果评定法【学习目标】1.能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。

2.理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。

3.理解反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。

【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.反比例函数图象的画法（重点）（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．知识点2.反比例函数的图象与性质（重点）1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.注意：（1）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2.反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；注意：（1）反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.（2）反比例的图像关于原点的对称【例2】（2022秋•南华县期末）反比例函数与一次函数y ＝kx +1在同一坐标系的图象可能是（）A ．B ．C．D．【变式】（2022秋•大渡口区校级期末）在同一坐标系中，函数和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．【例3】（2023•瑞安市开学）对于反比例函数，当﹣1＜y≤2，且y≠0时，自变量x的取值范围是（）A．x≥1或x＜﹣2B．x≥1或x≤﹣2C．0＜x≤1或x＜﹣2D．﹣2＜x＜0或x≥1【变式】（2023•西湖区校级开学）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数（k为常数，k＞0）的图象上，其中y2＜0＜y1＜y3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x2＜x1＜x3知识点3.反比例函数表达式中比例系数k的几何意义（难点）通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k，与两条坐标轴围成矩形面积为k，注意加绝对值时，有正负两个答案．【例4】（2023•和平区校级三模）如图，点A在双曲线上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB ＝2，则k 的值为（）A ．2B ．4C ．﹣2D ．﹣4【变式】如图，矩形ABCD 的边CD 在x 轴上，顶点A 在双曲线1y x =上，顶点B 在双曲线3y x=上，求矩形ABCD 的面积．A B CDE Oxy【方法二】实例探索法题型1.反比例函数的图象与性质的应用1．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（）A ．P 1（1，﹣4）B ．P 2（4，﹣1）C ．P 3（2，4）D ．2.（2023•西湖区校级开学）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），都在反比例函数（k 为常数，k＞0）的图象上，其中y 2＜0＜y 1＜y 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＜x 2＜x 3B ．x 2＜x 3＜x 1C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 2＜x 1＜x 33.（2023春•东阳市期末）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点（3，﹣2）．（1）求此反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．（2）求当y ≤4，且y ≠0时自变量x 的取值范围．4.（1）平面直角坐标系中，点A (725)m m --，在第二象限，且m 为整数，求过点A 的反比例函数解析式；（2）若反比例函数3k y x -=的图像位于第二、四象限内，正比例函数2(1)3y k x =-过一、三象限，求整数k 的值．5.已知反比例函数(0)k y k x =≠，当自变量x 的取值范围为84x ≤≤--时，相应的函数取值范围是12y ≤≤--1，求这个反比例函数解析式．题型2.反比例函数与图形面积问题6.（1）若P是反比例函数3kyx=图像上的一点，PQ⊥y轴，垂足为点Q，若2POQs∆=，求k的值；（2）已知反比例函数kyx=的图像上有一点A，过A点向x轴，y轴分别做垂线，垂足分别为点B C，，且四边形ABOC的面积为15，求这个反比例函数解析式．7.（2022秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点．（1）求反比例函数的解析式和n的值；（2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．题型3.利用反比例函数图象的对称性解题8．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．39．（2023•广西）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D 两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若，则k的值为（）A．4B．3C．2D．1(1)若点A（1，1），分别求线段(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段14．（2022秋·安徽滁州·九年级统考期中）如图，已知1A，2A，3A，…，n A…是x轴上的点，且15．（2021秋·河北石家庄每个台阶凸出的角的顶点记作（1）若L 过点1T ，则k =（2）若曲线L 使得1T T ～16．（2022秋·全国·九年级期末）如图，已知反比例函数题型5.反比例函数与几何图形的综合17.过原点作直线交双曲线(0)ky k x=>于点A 、C ，过A 、C 两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形ABCD ，如图所示．（1）已知矩形ABCD 的面积等于8，求双曲线的解析式；（2）若已知矩形ABCD 的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式?如果能，请予求出；如果不能，说明理由．y ABCDOx18.正方形OAPB 、ADFE 的顶点A 、D 、B 在坐标轴上，点E 在AP 上，点P 、F 在函数(0)ky k x=>的图像上，已知正方形OAPB 的面积是16．（1）求k 的值和直线OP 的函数解析式；（2）求正方形ADEF 的边长．yABPFOxED19.如图，已知正方形OABC 的面积是9，点O 为坐原点，A 在x 轴上，C 在y 轴上，B 在函数(00)ky k x x=>>，的图像上，点P （m ，n ）在(00)ky k x x=>>，的图像上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别是E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积是S ．（1）求点B 的坐标；（2）当92S =时，求点P 的坐标；（3）写出S 关于m 的函数解析式．A BC PE FyOx【方法三】仿真实战法考法1.反比例函数的比例系数k 的几何意义1．（2023•福建）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y ＝和y ＝的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．﹣3B．﹣C．D ．32．（2023•湘西州）如图，点A 在函数y＝（x ＞0）的图象上，点B 在函数y＝（x ＞0）的图象上，且AB ∥x 轴，BC ⊥x 轴于点C ，则四边形ABCO 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．4考法2.利用反比例函数的性质比较函数值大小3．（2023•镇江）点A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．4．（2022•广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y45．（2021•广安）若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y2＜y1＜y3C．y1＜y2＜y3D．y3＜y2＜y1【方法四】成果评定法一、单选题A．1 43．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，在x轴于B、D两点，连结A ．4B ．65．（2022秋·福建厦门·九年级校考期中）如图，过双曲线上任意一点交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形A ．4B ．4-6．（2021秋·河北石家庄·九年级校联考期中）关于反比例函数A ．函数图像分别位于第一、三象限C ．函数图像过()(23A mB n -，、，A．4 10．（2023·江苏宿迁图像上，点E在yA．1B 二、填空题11．（2022秋·湖南永州13．（2022秋·黑龙江大庆的大小关系是14．（2023·安徽滁州15．（2023秋·重庆沙坪坝比例函数()0ky k x=≠上两点，平行线，两直线交于点16．（2023秋·福建泉州·九年级校考专题练习）如图，已知直线(00)a y x a x =>>，和b y x =象于点D ，过点C 作CE ∥17．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点112232021OA A A A A A ==== 图象分别交于点123,,,B B B 18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，点所示，分别过点A ，C 作x 轴与构成的阴影部分面积为2，则矩形三、解答题19．（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）已知反比例函数(1)函数的图象在第二、四象限？(1)求k的值；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出(3)设（2）中的角平分线与⊥．证：DE OA(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点()121,7552,,,,2A y B y C x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②当函数值2y =时，求自变量x 的值；(1)求点A 的坐标；(2)求反比例函数的解析式：(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；(2)动点P在第一象限内，且满足12PBO ODE S S∆∆=。

反比例函数(基础练习)

4.已知y与x成反比例，且当x=-3时，y=4，则当x=6时，y的值为_________
5.已知y与2x+1成反比例，且当x=1时，y=2，则当x=0时，y的值是________
6.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6。
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求y的值
7.已知函数y与x+1成反比例，且当x=﹣2时，y=﹣3。
3.如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0），C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C。（1）求k的值及直线OB的函数表达式：（2）求四边形OABC的周长。
4.双曲线y＝（k为常数，且k≠0）与直线y＝﹣2x+b，交于A（﹣ m，m﹣2），B（1，n）两点。
（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积。
A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0D.y2＜y1＜0
8.一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1y2（填“＜”或“＞”或“＝”）
四.反比例函数图像的几何意义
1.如图，若反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为6，则
A． B． C． D．
8.若函数y=ax-c与函数y= 的图象如图①②所示,则函数y=ax2+bx+c的大致图象为( )
六.反比例函数与几何综合
1.如图，直线AB与双曲线在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若△AOC的面积为3，则k的值为________

(完整版)反比例函数与面积问题练习题

反比例函数中的面积问题由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。

这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|（一）、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k）1、（1）(2008广东省深圳市)如图，直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB ⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝．（2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则．2、（2008贵州省黔南州）如图，矩形ABOD的顶点A是函数与函数在第二象限的交点，轴于B，轴于D，且矩形ABOD的面积为3．（1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点A、C的坐标．（3）若点P是y轴上一动点，且，求点P的坐标．（二）、已知反比例函数解析式，求图形的面积3、（1）（2008湖北省鄂州市）在反比例函数的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C． D．（2）(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则．二、利用点的坐标及面积公式求面积4、（2008四川省南充市）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．5、(2009年达州)如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4），点B的横坐标为－4.（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积.三、利用对称性求反比例函数有关的面积问题6、（（2009年福州）已知, A、B、C、D、E是反比例函数（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）7、（2009年济宁市）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .。

《反比例函数》专项练习和中考真题(含答案解析及点睛)

三角形的面积的性质求得△BOD 的面积，依据反比例函数的比例系数 k 的几何意义即可求解．
OA 1 【解析】解：如图作 AC⊥x 轴于点 C，作 BD⊥x 轴于点 D．∵ OB 3OA∴ =
OB 3
1
1
∵点 A 是双曲线 y (x 0) 上∴S△OAC= ∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，
22
4
1 ﹣S△AOD＝S 梯形 ADCE，得到
mm
1
（ + ）•（m﹣
m）＝ 3 ，即可求得 k＝ m2
＝2．
2 42
2
2
4
mm
【解析】解：根据题意设 B（m，m），则 A（m，0），∵点 C 为斜边 OB 的中点，∴C（，），
22
∵反比例函数 y＝ k （k＞0，x＞0）的图象过点 C，∴k＝ m m ＝ m2 ，
（3）设 B'(2m 5, 4) ， C'(2m 8,1) 在直线 y k (k 0) 上， x
有 (2m 5) 4 (2m 8) 1， m 2 ， B' (1, 4) ， C' (4,1) ，代入方程后有 k=-4；
综上所述，k=-6 或 k=-4；故答案为：-6 或-4．【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐标之和为对称轴横坐标的 2 倍是解题的关键．
x
22 4
∵∠OAB＝90°，∴D 的横坐标为 m，
k
m
∵反比例函数 y＝（k＞0，x＞0）的图象过点 D，∴D 的纵坐标为，作 CE⊥x 轴于 E，
x
4
3
∵S△COD＝S△COE+S 梯形 ADCE﹣S△AOD＝S 梯形 ADCE，S△OCD＝，

反比例函数(面积、动点)专项训练一第1课时(解析版)

【热身训练】要求：快速完成！并写出方法小结或感悟！1．已知两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）在反比例函数3y x=的图象上，当021>>x x 时，下列结论正确的是A ．120y y <>x x 时，有120y y <<2．（2013•铁岭）如图，点P 是正比例函数y=x 与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA ⊥OP 交x 轴于点A ，△POA 的面积为2，则k的值是． =y=S =k=1（（3．（2013•淄博）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是。

矩形×（矩形．（（交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．（1）求反比例函数的关系式；（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．5．（2013•十堰）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论．y=（，判断出四边形（上，；OA==CB=y==【问题解决】例．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数)0(<=x x k y 的图象上，则k 的值等于．答案：－12 解析：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，CG 交AD于M 点，过D 点作DH ⊥CG ，垂足为H ，∵CD ∥AB ，CD=AB ，∴△CDH ≌△ABO （AAS ），∴DH=AO=1，CH=OB=2，设C （m ，n ），D （m －1，n －2），则mn ＝（m －1）（n －2）=k ，解得n=2－2m ，BC AB BC ＝2AB ，解得：m ＝－2，n ＝6，所以，k ＝mn ＝－122．（2013•莆田）如图，直线l ：y=x+1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与原点O 关于直线l 对称．反比例函数y=的图象经过点C ，点P 在反比例函数图象上且位于C 点左侧，过点P 作x 轴、y 轴的垂线分别交直线l 于M 、N 两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求AN•BM的值．求得：得：，即；，﹣﹣AN=（﹣），﹣（﹣且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若AC≠BC．①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．，即，即，，∴；，∴，∴，即由①同理可得：又∵。

(完整版)北师大版反比例函数重点知识点总结及例题

反比例函数知识点及考点：（一）反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A）y = （k ≠0），（B）xy = k（k ≠0）（C）y=kx-1（k≠0）例题讲解：有关反比例函数的解析式（1）下列函数，①②. ③④.⑤⑥；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。

（2）下列函数表达式中，y是关于x的反比例函数的有（）①y=；②y=；③y=；④y=；⑤y=；⑥y=；⑦y=；⑧-2xy=1A．2个B．3个C．4个D．5个（3）关于函数y=，以下说法正确的是（）A．y是x的反比例函数B．y是x的正比例函数C．y是x-2的反比例函数D．以上都不对（4）函数是反比例函数，则的值是（）A．－1B．－2C．2D．2或－2（5）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（）A．反比例函数B．正比例函数C．一次函数D．反比例或正比例函数（6）若函数(m是常数)是反比例函数，则m＝________，解析式为________．（7）（2013安顺）若y=(a+1)是反比例函数，则a的值是，该反比例函数为(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。

2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。

例题讲解：（1）（2013邵阳）下列四个点中，在反比例函数y=的图象上的是（）A．（3，-2）B．（3，2）C．（2，3）D．（-2，-3）（2）反比例函数y=的图象经过点（﹣2，3），则该图象经过象限（3）已知函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是（）A．2B．C．D．（4）反比例函数y=在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4（5）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限．（6）若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（）A、－1或1;B、小于的任意实数;C、－1; Ｄ、不能确定3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y随x的增大而________；（2）当k<0时,_________________,y随x的增大而______。

九年级数学下册第二十六章反比例函数经典大题例题(带答案)

九年级数学下册第二十六章反比例函数经典大题例题单选题1、春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开⁄)与药物在空气中的持续时间x(min)之间的函数关系，在门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y(mg m3打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后，学生才能进入室内答案：C分析：利用图中信息一一判断即可．解∶由图象可知，经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/m3，故A选项正确．不符合题意．设0<x<5时函数解析式为y1=k1x，把（5，10）代入得，k1=2，∴y1=2x，∴y1=8时，x=4，15-4=11，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，故B选项正确，不符合题意；由图象可知，y=5时，x<5或x>15，，设反比例函数解析式为y2=k2x，把（15，8）代入得：8=k215解得：k2=120，∴y2=120，x当y1=5时，x1=2.5，当y2=5时，x2=24，24-2.5=21.5＜35，故C选项错误，符合题意；当y1=2时，x1=1，当y2=2时，x2=60，60-1=59，故D选项正确．不符合题意，故选：C．小提示：本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，2、如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=4x连接BC，则ΔABC的面积等于（）A．8B．6C．4D．2答案：C分析：由于点A、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则SΔOBA＝SΔOBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可．解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S =12|k|．所以ΔABC 的面积等于2×12|k|=|k|=4．故选C ．小提示：考查了反比例函数y =k x 中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k |，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S ＝12|k |．3、某城市市区人口x 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为（）A ．y =x +50B ．y =50xC ．y =50x D ．y =x 50 答案：C分析：根据：平均每人拥有绿地y =总面积总人数，列式求解．解：依题意，得：平均每人拥有绿地y =50x．故选：C 小提示：本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系．4、一次函数y =mx +n 的图像与反比例函数y =m x 的图像交于点A 、B ，其中点A 、B 的坐标为A （-1m ，-2m ）、B （m ，1），则△OAB 的面积（）A ．3B ．134C ．72D ．154 答案：D分析：将点A 的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B 的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB 与y 轴交点D 的坐标，确定OD 的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．解：∵A （-1m ，-2m ）在反比例函数y =m x 的图像上，∴m =(-1m ) • ( -2m )=2，∴反比例函数的解析式为y =2x ， ∴B （2，1），A （-12，-4），把B （2，1）代入y =2x +n 得1=2×2+n ，∴n =-3，∴直线AB 的解析式为y =2x -3，直线AB 与y 轴的交点D （0，-3），∴OD =3，∴S △AOB =S △BOD +S △AOD=12×3×2+12×3×12 =154．故选：D ．．小提示：本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．5、为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y （万元）与月份x 之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误．．的是（）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元D．9月份该厂利润达到200万元答案：C分析：直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．A、设反比例函数的解析式为y=kx，把(1,200)代入得，k＝200，∴反比例函数的解析式为：y=200x，当x＝4时，y＝50，∴4月份的利润为50万元，正确意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确；C、当y＝100时，则100=200x，解得：x＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确．D、设一次函数解析式为：y＝kx＋b，则{4k+b=506k+b=110，解得：{k=30b=−70，故一次函数解析式为：y＝30x−70，故y＝200时，200＝30x−70，解得：x ＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确．故选：C ．小提示：此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．6、如图，A ，B 是反比例函数y =4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B分析：先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A ，B 两点的横坐标，求出A （2，2），B （4，1）．再过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，根据反比例函数系数k 的几何意义得出S △AOC =S △BOD =12×4=2．根据S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，得出S △AOB =S 梯形ABDC ，利用梯形面积公式求出S 梯形ABDC =12（BD +AC ）•CD =12×（1+2）×2=3，从而得出S △AOB =3．∵A ，B 是反比例函数y =4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x =2时，y =2，即A （2，2），当x =4时，y =1，即B （4，1），如图，过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则S △AOC =S △BOD =12×4=2，∵S 四边形AODB =S △AOB +S △BOD =S △AOC +S 梯形ABDC ，∴S △AOB =S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC =12（BD +AC ）•CD =12×（1+2）×2=3， ∴S △AOB =3，故选B ．小提示：本题考查了反比例函数y =k x (k ≠0)中k 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 与k 的关系为S =12|k |是解题的关键． 7、如图，点A 在反比例函数y =k x (x >0)图象上，AB ⊥x 轴于点B ，C 是OB 的中点，连接AO ，AC ，若△AOC 的面积为2，则k =（）A ．4B ．8C ．12D ．16答案：B分析：根据三角形中线的性质得出S △AOB =4，然后根据反比例函数k 的几何意义得解．解：∵点C 是OB 的中点，△AOC 的面积为2，∴S △AOB =4,∵AB ⊥x 轴于点B ，∴12AB ⋅OB =4,∴AB ⋅OB =8,∴k =8，故选：B．小提示：本题考查了反比例函数k的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数k的几何意义是解本题的关键．8、学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升10°C，加热到100°C时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温y(°C)与通电时间x(min)成反比例关系．当水温降至20°C时，饮水机再自动加热，若水温在20°C 时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则水温要从20°C加热到100°C，所需要的时间为（）A．6min B．7min C．8min D．10min答案：C分析：由图像知加热时水温y(°C)与通电时间x(min)成正比例关系，通电加热时水温每分钟上升10°C，所以关系式为y=10x+20，进而可求得水温要从20°C加热到100°C所需要的时间．解：由图可知水温要从20°C加热到100°C，水温y(°C)与通电时间x(min)成正比例关系，关系式为y=10x+ 20，当y=100时，x=8．故选：C．小提示：本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．9、已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：U=IR（或者I=U），实际生活中，由于给定已知量R不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（）A．B．C．D．答案：A分析：在实际生活中，电压U、电流I、电阻R三者之中任何一个不能为负，依此可得结果．，但自变量R的取值为负值，故选项A错误；B、C、D选项正确，不符合题意．A图象反映的是I=UR故选：A．小提示：此题主要考查了现实生活中函数图象的确立，注意自变量取值不能为负是解答此题的关键．10、已知点（－2，a）（2，b）（3，c）在函数y=k2+2（k为常数）的图像上，则下列判断正确的是（）xA．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a答案：A（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随分析：根据反比例函数的性质得到函数y=k2+2xx的增大而减小，则b＞c＞0，a＜0．∵k2+2＞0，∴函数y=k2+2（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，x∵﹣2＜0＜2＜3，∴b＞c＞0，a＜0，∴a＜c＜b．故选：A．小提示：本题考查反比例函数的增减性比较大小，熟记函数性质，判断每个象限内的特点是解题关键．填空题11、每年春季为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量y（mg/m3）与时间x（h）之间的关系如图所示，根据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且持续时间不能低于10h．请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到__h．答案：12分析：利用待定系数法求出反比例函数，利用y=6求出两函数交点坐标，再求正比例函数，利用y=3，求出两函数自变量值作差即可解：∵反比例函数经过点（24，2），∴k=xy=24×2=48，∴反比例函数的解析式为y＝48，x令y＝6，解得：x＝8，∴直线与双曲线的交点坐标为（8，6），∴正比例函数的解析式为y＝3x，4＝3，解得：x＝16，令y＝48xx＝3，解得：x＝4，令y＝34∴当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到16﹣4＝12h，所以答案是：12．小提示：本题考查正比例函数与反比例函数的联合应用，会用待定系数法求反比例函数解析式与正比例函数解析式，会求函数值是解题关键．12、如图，等腰ΔABC的两个顶点A(−1,−4)、B(−4,−1)在反比例函数y=k1（x<0）的图象上，AC=xBC．过点C作边AB的垂线交反比例函数y=k1（x<0）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线CD方向运动x3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2（x>0）图象上一点，则k2=__________．x答案：1分析：由AC=BC，CD⊥AB，得到△ABC是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数y=k1 x 的对称轴，直线CD的关系式是y=x，根据A点的坐标是A(−1,−4)，代入反比例函数y=k1x，得反比例函数关系式为y=4x ，在根据直线CD与反比例函数y=4x（x<0）的图象于点D，求得D点的坐标是（-2，-2），则OD=2√2，根据点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2x图象上，得到OP=√2，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数y=k2x，得k2=1．解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数y=k2x（x>0）图象上，∵AC=BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，∴CD是反比例函数y=k1x的对称轴，则直线CD的关系式是y=x，∵A点的坐标是A(−1,−4)，代入反比例函数y=k1x，得k1=xy=(−1)×(−4)=4则反比例函数关系式为y=4x又∵直线CD与反比例函数y=4x（x<0）的图象于点D，则有{y=xy=4x，解之得：{x=−2y=−2（D点在第三象限），∴D点的坐标是（-2，-2），∴OD=2√2，∵点P从点D出发，沿射线CD方向运动3√2个单位长度，到达反比例函数y=k2x图象上，∴OP=√2，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），将P（1，1）代入反比例函数y=k2x，得k2=xy=1×1=1，所以答案是：1．小提示：本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．13、如图，直线y=−x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，若AO=3BO，则k的值为________．答案：-4分析：先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．解:∵直线y=−x+3与y轴的交点A的坐标为(0,3)，∴AO=3．∵AO=3BO，∴BO=1，∵CB⊥x轴∴点C的横坐标为−1．把x=−1代入y=−x+3，得y=−(−1)+3=4，∴点C的坐标为(−1,4)，把C(−1,4)代入y=kx，得k=−4．故答案是：-4.小提示：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．14、如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x （x>0）和y=kx（x>0）的图象交于P、Q两点，若S∥POQ=13，则k的值为___________．答案：-18分析：根据反比例函数系数k的几何意义，则∥OPM和∥OMQ的面积都可求得（或用k表示），根据∥POQ的面积，即可得到一个关于k的方程，进而求解．解：由反比例函数的性质可知S∥OPM=12×8=4，S∥OMQ=12×|k|=-12k，∵S∥POQ=13，∴4-12k=13，解得k=-18，故答案是：-18.小提示：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，熟练掌握k的几何意义是解题的关键．15、已知△ABC的三个顶点为A(-1，1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y= 3的图象上，则m的值为________．x答案：52分析：根据中点的坐标和平移的规律，利用点在函数图像上，可解出m的值.△ABC的三个顶点为A（-1,1），B（-1,3），C（-3,3）∴AB的中点（-1,2），BC的中点（-2,0），AC的中点（-2，-1）∴AB边的中点平移后为（-1+m，2），AC中点平移后为（-2+m，-1）∵△ABC某一边中点落在反比例函数上∴2（-1+m）=3或-1×（-2+m）=3m=2.5或-1（舍去）.故答案是：5.2小提示：考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．解答题(x>0)的图像交于点A(a,4)．点B为x轴正半轴上一16、如图，正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=8x点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．（1）求a 的值及正比例函数y =kx 的表达式；（2）若BD =10，求△ACD 的面积．答案：（1）a=2；y=2x ；（2）635分析：（1）已知反比例函数解析式，点A 在反比例函数图象上，故a 可求；求出点A 的坐标后，点A 同时在正比例函数图象上，将点A 坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B 点坐标为(b ，0)，则D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，可求b 值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．（1）已知反比例函数解析式为y=8x ，点A(a ，4)在反比例函数图象上,将点A 坐标代入，解得a=2，故A 点坐标为(2，4)，又∵A 点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx ，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x ．故a=2；y=2x ．（2）根据第一问的求解结果，以及BD 垂直x 轴，我们可以设B 点坐标为(b ，0)，则C 点坐标为(b ，8b )、D 点坐标为(b ，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B 的坐标为(5，0)，D 点坐标为(5，10)，C 点坐标为(5，85)，则在△ACD 中，S △ACD =12×(10−85)×(5−2)=635．故△ACD 的面积为635．小提示：（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．（2）本题根据第一问求解的结果以及BD 垂直x 轴，利用待定系数法，设B 、C 、D 三点坐标，求出B 、C 、D 三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．17、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_______分钟时学生的注意力更集中．（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？．（3）教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．答案：（1）5；（2）y AB=2x+30；y CD=1000x分析：（1）（2）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差和18比较，大于18则能讲完，否则不能．（1）（2）设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x＋30，把B（10，50）代入得，k1＝2，∴AB解析式为：y1＝2x＋30（0≤x≤10）．设C、D所在双曲线的解析式为y2＝k2，x把C（20，50）代入得，k2＝1000，∴曲线CD的解析式为：y2＝1000（x≥20）；x当x1＝5时，y1＝2×5＋30＝40，，当x2＝30时，y2＝100030∴y1＞y2∴第5分钟注意力更集中．所以答案是：5；（3）当y=40时，2x+30=40,x=5．1000=40,x=25．x∴25−5=20>18．∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．小提示：此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．18、反比例函数y=k与一次函数y=2x−4的图像都过A(n,4)．x(1)求A点坐标；(2)求反比例函数解析式．答案：(1)点A的坐标为（4，4）(2)y＝16x分析：（1）把点A（n，4）代入一次函数y=2x-4求出n的值即可得出A点的坐标；求出k的值即可．（2）再把点A的坐标代入反比例函数y=kx（1）解：将点A（n，4）代入y＝2x﹣4得：2n﹣4＝4，解得：n＝4，∴点A的坐标为（4，4）．（2）解：将点A（4，4）代入y=k得：k＝16，x∴反比例函数解析式为y＝16．x小提示：本题主要考查的是一次函数及反比例函数图像上点的坐标特点，掌握函数图像的交点坐标即为函数解析式组成的方程组的解是解答本题的关键．。

第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册

第六章反比例函数及反比例函数k的几何意义专题训练北师大版2024—2025学年九年级上册反比例函数比例系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：例1.如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于3，则k的值等于（）A．﹣6B．6C．﹣3D．3变式1.如图，在▱AOBC中，对角线AB、OC交于点E，双曲线经过A、E两点，若▱AOBC的面积为18，则k的值是（）A．5B．6C．7D．8变式2.如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0），y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（）A．8B．﹣8C．4D．﹣4变式3.如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．则k的值为（）A．8B．﹣8C．﹣4D．4变式4.如图，点M是反比例函数y＝（x＜0）图象上一点，MN⊥y 轴于点N．若P为x轴上的一个动点，则△MNP的面积为（）A．2B．4C．6D．无法确定变式5.如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ，当点P在曲线C上运动，且点P在Q上方时，△POQ面积的最大值为（）A．2B．3C．4D．6变式6．如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6变式7.关于x的反比例函数y＝的图象如图，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB 与AB相交于点B．若△P AB的面积大于12，则关于x的方程（a ﹣1）x2﹣x+＝0的根的情况是（）A．2个不相等的实数根B．2个相等的实数根C．1个实数根D．无实数根变式8.如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．4B．2C．1D．6变式9.如图，若反比例函数的图象经过点A，AB⊥x轴于点B，C点是y轴上一点，且△ABC的面积4，则k的值为（）A．﹣8B．﹣4C．4D．8变式10.如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为6，则k的值为（）A．﹣3B．3C．﹣6D．6变式11.如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作AB ⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC 的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣6C．6D．﹣3变式12.下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式13.如图，将一块含30°角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，∠B＝60°，∠BAO＝90°，△AOB的面积为4，BO与x轴的夹角为30°，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为（）A．3B．C．6D．9变式14.如图1，在△OAB中，∠AOB＝45°，点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上，设△OAB的面积为S1；如图2，在△ABC中，AB＝AC，BC在x轴上，且OB：BC＝1：2，点A在反比例函数的图象上，设△ABC的面积为S2，则S1+S2的值为（）A．B．5C．D．变式15.如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（）A．5B．10C．15D．变式16.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B，△OAB的面积为8．若点P（a，4）也在此函数的图象上，则a的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4变式17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x 轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（）A．B．C．D．变式18.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（）A．B．3C．D．5变式19.如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y＝（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）A．4B．6C．8D．不能确定例2.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，它的对角线OB与函数的图象相交于点D，且，若矩形OABC的面积为24，则k的值是．变式1.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点P是▱ABCO对角线OB的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若▱ABCO的面积为30，且y轴将▱ABCO的面积分为1：3，则k的值为．变式2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为．变式3.如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰Rt△OAB，∠B＝90°，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限内，反比例函数y＝的图象与AB交于点C，连接OC，若BC＝2AC，△OBC的面积为6，则k的值为．变式4.如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝8，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝（k ≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为．变式5.如图，在平面直角坐标系中，点A、C在y轴上，且，点B（﹣2，0）在x轴上，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到△AB'C′，线段AB′与双曲线交于点D，连接B′C、C′C，当点D为AB′中点，且S△B'CC′＝6时，则k的值是．变式6.如图，在△AOB中，OC平分∠AOB，＝，反比例函数y＝（k＜0）图象经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为9，则k的值为．变式7.如图，点A，B，C，D是菱形的四个顶点，其中点A，D在反比例函数y＝（m＞0，x＞0）的图象上，点B，C在反比例函数y＝（n＜0）的图象上，且点B，C关于原点成中心对称，点A，C的横坐标相等，则的值为；过点A作AE∥x轴交反比例函数y＝（n＜0）的图象于点E，连结ED并延长交x轴于点F，连结OD．若S△DOF＝7，则m的值为．变式8.如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y＝的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y＝的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是．变式9.如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△ABO的斜边BO在x轴正半轴上，OB＝5，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点A，与AB边交于点C，且AC＝3BC，则a的值为，射线OA，射线OC分别交反比例函数y＝（b＞a＞0）的图象于点D，E，连接DE，DC，若△DEC的面积为45，则b的值为．变式10.如图，点A、B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k＝．变式11.如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，顶点A，C在双曲线上，顶点B，D在双曲线上，且BD经过点O．若k1+k2＝2，则菱形ABCD面积的最小值是．变式12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为；②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为．例3.如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上（1）求m，k的值；（2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣；（3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标．变式1.已知点A（a，ma+2）、B（b，mb+2）是反比例函数y＝图象上的两个点，且a＞0，b＜0，m＞0．（1）求证：a+b＝﹣；（2）若OA2+OB2＝2a2+2b2，求m的值；（3）若S△OAB＝3S△OCD，求km的值．变式2.如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．。

反比例函数中K的几何意义专题训练

反比例函数中K的几何意义专题训练【知识梳理】1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数y=kx交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC⋅|y A|+12OC⋅|y B|=12OC⋅(|y A|+|y B|)；（3）如图③，已知反比例函数y=kx的图象上的两点，其坐标分别为(x A，y A)，(x B，y B)，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=12OC⋅|y A|–12OC⋅|y B|=12OC⋅(|y A|−|y B|)．【精典训练】【01】如图，反比例函数y=kx(k≠0)的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO 的面积是3，则反比例函数的解析式是()A. y=32x B. y=3xC. y=6xD. y=34x【02】如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，矩形PEOF的面积为5，则反比例函数的表达式是________．【03】如图，点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，过点A作AD⊥y轴于点D，延长AD至点C，使AD＝DC，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC交y轴于点E．若△ABC 的面积为6，则k的值为．【04】如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=−8x在第二象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则S△AOB＝．【05】如图，双曲线y=kx与△OAB交于点A，C，已知A，B，C三点横坐标的比为5：5：2，且S△OAB＝21，则k＝．【06】如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象上，若矩形ABCD的面积为12，则k的值为（）A．6 B．3√3C．4√2D．12【07】如图，点A、B在反比例函数y=kx的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，四边形AMNB的面积是3，则k的值为（）A．-2 B．-4 C．2 D．4【08】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y=kx 的图象分别交BC，OB于点D，点E，且BDCD=54，若S△AOE＝24，则k的值为．【09】如图，过原点的直线与反比例函数y=kx(k>0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE.若AC=3DC，ΔADE的面积为8，则k的值为________.【10】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=2x（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．【11】如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=kx(x＞0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD＝9，则S△OBD的值为．【12】在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A(x,y)，我们把点B(1x ,1y)称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为(3,0)，顶点E在y轴上，函数y=2x(x>0)的图象与DE交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则△OBC的面积为_________．【13】如图，经过原点O 的直线与反比例函数y ＝ax （a ＞0）的图象交于A ，D 两点（点A 在第一象限），点B ，C ，E 在反比例函数y ＝bx （b ＜0）的图象上，AB ∥y 轴，AE ∥CD ∥x 轴，五边形ABCDE 的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为__，ba 的值为__．【14】如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=k 1x（x ＞0）及y 2=k 2x（x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2＝．【15】双曲线C 1：y =k 1x和C 2：y =k 2x如图所示，点A 是C 1上一点，分别过点A 作AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，垂足分别为点B 、点C ，AB ，AC 与C 2分别交于点D 、点E ，若四边形ADOE 的面积为4，则k 1﹣k 2＝．【16】如图，点A 是第一象限内双曲线y =mx （m ＞0）上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线y =nx （n ＜0）于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线y =nx （n ＜0）于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为92，则m ，n 的值不可能是（）A．m=19，n=−109B．m=14，n=−54C．m＝1，n＝﹣2 D．m＝4，n＝﹣2。

2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十六章-反比例函数专题测试试题(含答案解析)

人教版九年级数学下册第二十六章-反比例函数专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，反比例函数k y x=过点A ，正方形ABOC 的边长为2，则k 的值是（）A ．2B ．2-C ．4D ．4-2、如图，AOB 和BCD △均为等腰直角三角形，且顶点A 、C 均在函数(0)k y x x=>的图象上，连结AD 交BC 于点E ，连结OE ．若4OAE S =△，则k 的值为（）A ．22B ．23C ．4D ．423、关于反比例函数12y x=，下列说法不正确的是（） A ．图象经过(2,6) B ．图象位于一、三象限 C ．图象关于直线y x =对称 D ．y 随x的增大而增大4、已知点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线y ＝﹣1x上，下列说法中错误的是（） A ．若x 1＝x 2，则y 1＝y 2 B ．若x 1＝﹣x 2，则y 1＝﹣y 2 C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＜y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 25、如图，OAC 和BAD 都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数6y x=在第一象限的图象经过点B ，则OAC 与BAD 的面积之差OACBADSS-为（）A ．9B ．12C ．6D ．36、若反比例函数k y x=的图象经过点(4,1)-，则这个函数的图象一定经过点（）A ．(4,1)--B ．1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(4,)1-D ．1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭7、如图，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是边长为2的正方形，点A ，D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在线段AB 上，点B ，E 在反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象上，若S 四边形OABC ﹣S 四边形ADEF ＝2，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．68、若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3）都是反比例函数y ＝21a x--的图象上的点，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，则下列各式中正确的是（） A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 1＜y 2＜y 39、如果反比例函数的图象经过点P （﹣3，﹣1），那么这个反比例函数的表达式为（） A ．y ＝3xB ．y ＝﹣3xC ．y ＝13xD ．y ＝﹣13x10、反比例函数4y x-=与一次函数1y x =-在同一坐标系中的大致图象可能是（） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、已知反比例函数2k y x+=，在x >0时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是_____．2、如图，四边形ABCO 是平行四边形，2, 6.OA AB ==点C 在x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上．若点D 在反比例函数(0)ky x x=<的图像上，则k 的值为_________．3、若反比例函数y ＝1kx-，当x >0时，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是_______． 4、反比例函数1y x=-(x <0)图象上的点的函数值y 随x 增大而_____ (填“增大”或“减小”)． 5、如图，曲线AB 是顶点为B ，与y 轴交于点A 的抛物线y ＝﹣x 2+4x +2的一部分，曲线BC 是双曲线ky x=的一部分，由点C 开始不断重复“A ﹣B ﹣C ”的过程，形成一组波浪线，点P (2018，m )与Q (2020，n )均在该波浪线上，则mn ＝________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、如图：一次函数的图象与反比例函数ky x=的图象交于()2,6A -和点()4,B n ．（1）求点B的坐标；（2）根据图象回答，当x在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝kx的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是；（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝kx的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为．3、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第分钟时学生的注意力更集中．（2）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请说明理由．4、如图，已知一次函数122y x=-与反比例函数kyx=的图象在第一、三象限分别交于A，B两点，点B的横坐标为2-，连接,OA OB．（1）求k的值（2）求AOB的面积．5、我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当20x≤时，y与x是正比例函数关系；当20x≥时，y与x是反比例函数关系）．（1）根据图象求当20x≥时，y与x之间的函数关系式；（2）当20x≥时，体内抗体浓度不高于140微克/ml时是从注射药物第多少天开始?---------参考答案----------- 一、单选题 1、D 【分析】根据正方形ABOC 的边长为2，求出点A （-2，2），根据反比例函数ky x=过点A ，将点A 坐标代入解析式求出k 即可．【详解】解：∵正方形ABOC 的边长为2， ∴OB =OC =2， ∴点A （-2，2），∵反比例函数k y x=过点A ， ∴224k xy ==-⨯=-．故选：D ．【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，正方形的性质，解题关键是根据正方形边长得出点A 坐标． 2、C 【分析】先证明,AO CB ∥可得4,ABOAEOSS==如图，过A 作AQ x ⊥轴于,Q 利用等腰直角三角形的性质证明12,2AOQAOBSS ==再利用反比例函数k 值的几何意义可得答案.【详解】解： AOB 和BCD △均为等腰直角三角形，45,AOB CBD ∴∠=︒=∠ ,AO CB ∴∥ 4,ABO AEOSS∴==如图，过A 作AQ x ⊥轴于,QAOB 为等腰直角三角形，,90,AO AB OAB ∴=∠=︒,QO QB ∴=12,2AOQAOBSS ∴==24,AOQk S∴==反比例函数的图象在第一象限，则0,k ＞4.k ∴=故选C 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，反比例函数k 值的几何意义，掌握“反比例函数k 值的几何意义”是解本题的关键. 3、D 【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【详解】解：A 、反比例函数12y x=中，当2x =时，6y =，即该函数图象经过点(2,6)，说法正确，不合题意； B 、反比例函数12y x=的图象位于第一、三象限，说法正确，不合题意； C 、反比例函数12y x=的图象关于直线y x =对称，说法正确，不合题意； D 、反比例函数12y x=的图象在每一象限内y 随x 的增大而减小，说法错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是正确掌握相关性质． 4、D 【分析】先把点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）代入双曲线y ＝1x-，用y 1、y 2表示出x 1，x 2，据此进行判断．【详解】解：∵点（x 1，y 1），（x 2，y 2）均在双曲线y ＝1x-上，∴y 1＝11x -，y 2＝21x -．A 、当x 1＝x 2时，11x -＝21x -，即y 1＝y 2，故本选项说法正确；B 、当x 1＝﹣x 2时，11x -＝21x ，即y 1＝﹣y 2，故本选项说法正确； C 、因为双曲线y ＝1x-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当0＜x 1＜x 2时，y 1＜y 2，故本选项说法正确；D 、因为双曲线y ＝1x-位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大，所以当x 1＜x 2＜0时，y 1<y 2，故本选项说法错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，熟悉掌握反比例函数的图象变化进行比较是解题的关键． 5、D 【分析】已知反比例函数的解析式为y =6x ，根据系数k 的代数意义，设函数图象上点B 的坐标为(m ，6m)再结合已知条件求解即可；【详解】解：如图，设点C (n ，0)，∵点B 在反比例函数y =6x的图象上，∴设点B (m ，6m)．∵△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∴点A 的坐标为(n ，n )，点D 的坐标为(n ，6m )，AD =BD ， ∴n −6m =m −n ，化简整理得m 2−2mn =−6． ∴S ΔOAC −S ΔBAD =12n 2−12(m −n )2=−12m 2+mn =−12(m 2−2mn )， ∴S △OAC −S ΔBAD =3．故选D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，三角形面积，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征．6、C【分析】根据已知条件求出k 的值判断即可；【详解】 ∵反比例函数k y x=的图象经过点(4,1)-，∴()414k =-⨯=-， A 中，()()4144-⨯-=≠-，所以函数的图象不经过该点，故本项错误；B 中，14242⎛⎫-⨯=-≠- ⎪⎝⎭，所以函数的图象不经过该点，故本项错误； C 中，()414⨯-=-，所以函数的图象经过该点，故本项正确；D 中，1422⨯=，所以函数的图象不经过该点，故本项错误；【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，准确计算是解题的关键．7、D【分析】设B 点坐标为（m ，n ），则OA =m ，AB =n ，根据S 四边形OABC ﹣S 四边形ADEF ＝2，得到2OA AB AD DE ⋅-⋅=，即42OA AB ⋅-=，则6mn =，由此即可得到答案．【详解】设B 点坐标为（m ，n ），∴OA =m ，AB =n ，∵S 四边形OABC ﹣S 四边形ADEF ＝2，∴2OA AB AD DE ⋅-⋅=，即42OA AB ⋅-=，∴6mn =，又∵点B 在反比例函数k y x =上，∴6k mn ==故选D ．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函比例系数的几何意义．8、B【分析】先根据20a ≥，可以得到210a --<，则可得到反比例函数21a y x --=的图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y 随x 的增大而增大，据此求解即可．解：∵20a ≥，∴211a +≥∴210a --<， ∴反比例函数21a y x--=的图象位于二、四象限，如图，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴y 2＜y 3＜y 1．故选B ．【点睛】本题主要考查了比较反比例函数的函数值的大小，解题的关键在于能够根据题意得到210a --<从而判断出反比例函数图像的增减性．9、A【分析】根据点P 的坐标，利用待定系数法即可得．【详解】解：设这个反比例函数的表达式为(0)k y k x=≠，由题意，将点(3,1)P --代入得：3(1)3k =-⨯-=，则这个反比例函数的表达式为3y x =，【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．10、A【分析】反比例函数y＝﹣4x的图象位于第二、四象限，一次函数y＝x﹣1的图象必过第一、三，四象限，且与y轴的交点在y轴负半轴上，根据以上两个特征即可确定结果．【详解】解：∵y＝﹣4x中的比例系数为-4∴反比例函数y＝﹣4x的图象位于第二、四象限，∵一次函数y＝x﹣2中比例系数为正数1，∴一次函数y＝x﹣2的图象必过第一、三象限，∵一次函数y＝x﹣2中b=-2，∴一次函数y＝x﹣2的图象还过第四象限，即一次函数y＝x﹣2的图象过第一、三、四象限，∴满足题意的是选项A，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，在给定了反比例函数与一次函数的解析式后，根据它们的比例系数即可确定函数图象经过的象限，根据一次函数的b的符合可最后确定一次函数所经过的象限．二、填空题【解析】【分析】反比例函数(0)k y k x=≠当0k >时，图象分布在一、三象限，在每个分支中，y 随x 的增大而减小；当0k <时，图象分布在二、四象限，在每个分支中，y 随x 的增大而增大．【详解】解：根据题意，反比例函数2k y x+=，在x >0时，y 随x 的增大而减小，可知该反比例函数图象分布在第一象限，20k +>2k ∴>-故答案为：2k >-．【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2、【解析】【分析】根据平行四边形的性质和旋转的性质可以求得点D 的坐标，从而可以求得k 的值．【详解】解：如图，作DM ⊥x 轴由题意可得，OA =2，AF =2，∴∠AFO =∠AOF ，∵AB ∥OF ，∠BAO =∠OAF ，∴∠BAO =∠AOF ，∴∠BAF +∠AFO =180°，解得，∠BAO =60°，∴∠DOC =60°，∵AO =2，AD =6，∴OD=4，∴点D 的横坐标是：-4×cos60°=-2，纵坐标为：-4×sin60°=∴点D 的坐标为（-2，，∵D 在反比例函数y=kx （x ＜0）的图象上，∴2k ，得k故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、坐标与图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3、k>1【解析】【分析】若反比例函数y＝1kx-，当x>0时，y随着x的增大而增大，即反比例系数1-k<0，从而求得k的范围．【详解】解：∵反比例函数y＝1kx-，当x>0时，y随着x的增大而增大，∴1-k<0解得：k>1．故答案为：k>1．【点睛】正确理解反比例函数的性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求．4、增大【解析】【分析】根据反比例函数的比例系数10k=-<进而判断函数的增减性，即可求得答案【详解】解：10k=-<∴反比例函数1yx=-(x<0)图象上的点的函数值y随x增大而增大故答案为：增大【点睛】本题考查了判断反比例函数的增减性，理解“0k<时，反比例函数图象在每个象限内是y随x增大而增大”是解题的关键．5、18【解析】【分析】依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为2，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y＝12x，依据点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，点Q、点Q'离x轴的距离相同，都为3，即点Q的纵坐标n＝3，即可得到mn的值．【详解】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，20186=3362÷…，由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2，∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，由B（2，6）可得，2612k=⨯=∴双曲线解析式为y=12x，202020182-=，故点Q与点P的水平距离为2，∴点Q'的横坐标224=+=，∴在y＝12x中，令x＝4，则y＝3，∴点Q、点Q'离x轴的距离相同，都为3，即点Q的纵坐标n＝3，∴6318mn =⨯=，故答案为：18．【点睛】此题考查图象规律的探究，根据图象中点的坐标得到点坐标的变化规律是解题的关键．三、解答题1、（1）()4,3B -；（2）2x <-或04x <<．【分析】（1）先根据点A 的坐标可得反比例函数的解析式，再将点B 的坐标代入计算即可得；（2）结合点,A B 的坐标，根据一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方即可得．【详解】解：（1）将点()2,6A -代入k y x=得：2612k =-⨯=-，则反比例函数的解析式为12y x =-，将点()4,B n 代入12y x =-得：1234n =-=-，则点B 的坐标为()4,3B -；（2）一次函数的值大于反比例函数的值表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方， 2x ∴<-或04x <<．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键．2、（1）2y x-=，(1,0)B ；（2）10x -<<或2x >；（3）(1或(1 【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数关系式求出k ，把0y =代入一次函数关系式求得B 点横坐标，进而求得结果；（2）先求出直线和反比例函数另一个交点坐标，然后由图象得出结果；（3）因为//CD OB ，所以只需CD OB =，设点C 的纵坐标是a ，表示出C 、D 两点横坐标，列出方程求得结果．【详解】解：（1）k y x =过(2,1)A -， 2(1)2k xy ∴==⨯-=-，2y x-∴=，由0y =得，10x -+=，1x ∴=，(1,0)B ∴；（2）由21x x -=-+得， 12x =，21x =-，∴当一次函数值小于反比例函数值时，10x -<<或2x >，故答案是：10x -<<或2x >；（3）设(1,)C a a -，2(D a -，)a ， 2|1|CD a a ∴=-+，当CD OB =时，2|1|1a a-+=，a ∴=1a =±C 在第二象限，a =1a =(1C ∴或(1，故答案是：(1或(，1．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数及其图象性质，平行四边形判定等知识，解题的关键是设点的坐标，正确表示线段长度．3、（1）5；（2）能，理由见解析．【分析】（1）根据函数解析分别求得5x =时，30x =时的函数值，即可得到结论；（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．【详解】设线段AB 的解析式为：y AB ＝kx +b ，把（10，50）和（0，30）代入得，105030k b b +=⎧⎨=⎩，解得230k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为：230AB y x =+；设双曲线CD 的函数关系式为：CD a y x =，把（20，50）代入得，50＝20a ， ∴a ＝1000，∴双曲线CD 的函数关系式为：1000CD y x=；（1）当5x =时，40AB y =，30x =时，1003CD y = 100403> 故答案为：5；（2）当y ＝40时，则2x +30＝40，解得x ＝5；当y ＝40时，则1000x＝40，解得x ＝25． ∴25﹣5＝20＞18．∴教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键．4、（1）6k =；（2）8．【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出点B 的坐标，再利用待定系数法即可得；（2）设一次函数122y x =-与x 轴的交点为点C ，先根据一次函数的解析式求出点C 的坐标，再联立一次函数和反比例函数的解析式求出点A 的坐标，然后根据AOB 的面积等于AOC △的面积与BOC 的面积之和即可得．【详解】解：（1）对于一次函数122y x =-，当2x =-时，1(2)232y =⨯--=-，即(2,3)B --，将点(2,3)B --代入ky x =得：2(3)6k =-⨯-=；（2）如图，设一次函数122y x =-与x 轴的交点为点C ，当0y =时，1202x -=，解得4x =，即(4,0)C ，由（1）可知，反比例函数的解析式为6y x =，联立1226y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得23x y =-⎧⎨=-⎩或61x y =⎧⎨=⎩，则(6,1)A ，所以114143822AOC BOC AOB SS S =+=⨯⨯+⨯⨯=，即AOB 的面积为8．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．5、（1）5600y x=；（2）体内抗体浓度不高于140微克/ml 是从注射药物第40天开始【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；（2）结合所求解析式，把140y =代入求出答案．【详解】解：（1）设当20x 时，y 与x 之间的函数关系式是k y x =，图象过(20,280)解得：5600k =， y 与x 之间的函数关系式是5600y x=；（2）当20x ≥时，5600140x=，解得：40x =， ∴体内抗体浓度不高于140微克/ml 是从注射药物第40天开始．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确求出函数解析式．。

初中数学反比例函数中的面积问题专项强化练习

初中数学反比例函数中的面积问题专项强化练习夯实基础1.如图，点A 是反比例函数xy 6-=(x <0)的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B . C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为（） A . 1 B . 3 C . 6 D . 122.如图，直线y =mx 与双曲线xky =交于A . B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM ，若S △ABM =2，则k 的值是( )A . 2B . m −2C . mD . 43.如图，点A 在双曲线x y 1=上，点B 在双曲线xy 3=上，且AB ∥x 轴，C ，D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 44.如图，点B 是反比例函数上一点，矩形OABC 的周长是20，正方形BCGH 和正方形OCDF 的面积之和为68，则反比例函数的解析式是______.5.如图，点P 、Q 是反比例函数xky =图象上的两点，P A ⊥y 轴于点A ，QN ⊥x 轴于点N ，作PM ⊥x 轴于点M ，QB ⊥y 轴于点B ，连接PB 、QM ，△ABP 的面积记为S 1，△QMN 的面积记为S 2，则S 1 S 2.(填“>”或“<”或“=”)6.如图，在平面直角坐标系中，过点M (−3，2)分别作x 轴、y 轴的垂线与反比例函数xy 2=的图象交于A . B 两点，则四边形MAOB 的面积为 .7.如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy 4-=和xy 2=的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为 .8.如图，已知双曲线xky =(k <0)经过Rt △OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C . 已知点A 的坐标为(−6，4).(1)求此反比例函数的解析式； (2)连接OC ，求△AOC 的面积.9.(1)如图，过反比例函数xky =(x >0)图象上任意一点P (x ，y )，分别向x 轴与y 轴作垂线，垂线段分别为P A 、PB ，证明：S 矩形OAPB =k ，S △OAP =21k ，S △OPB =21k . (2)如图，反比例函数xky =(x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 交于点D 、 E ，若四边形ODBE 的面积为9，求k 的值.能力培优1.如图所示，已知点P 为反比例函数xy 4=(x >0)图象上的一点，且P A ⊥x 轴于点A ，P A ，PO 分别交于反比例函数xy 1=图象于B ，C 两点，则△P AC 的面积为( ) A . 1 B . 1.5 C . 2 D . 32.如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A . D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B . E 在反比例函数xky =的图象上，OA =1，OC =6，则正方形ADEF 的边长为 .3.函数x y 4=和x y 1=在第一象限内的图象如图，点P 是x y 4=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交xy 1=的图象于点B . 给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②P A 与PB 始终相等；③四边形P AOB 的面积大小不会发生变化；④CA =31AP .其中所有正确结论的序号是（）A . ①②③B . ②③④C . ①③④D . ①②④4.如图，点A 在双曲线xy 3=第三象限的分支上，连结AO 并延长交第一象限的图象于点B ，画BC ∥x 轴交反比例函数xky =的图象于点C ，若△ABC 的面积为6，则k 的值是 .5.如图，点B 1在反比例函数xy 2=(x >0)的图象上，过点B 1分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为C 1和A ，得到第一个矩形AOC 1B 1，点C 1的坐标为(1，0)；取x 轴上一点C 2(23，0)，过点C 2作x 轴的垂线交反比例函数图象于点B 2，过B 2作线段B 2A 1⊥B 1C 1，交B 1C 1于点A 1，得到第二个矩形A 1C 1C 2B 2；依次在x 轴上取点C 3(2，0)，C 4(25，0)…按此规律作矩形，则第10个矩形A 9C 9C 10B 10的面积为 .6.如图，双曲线x k y =与xy 6-=上分别有两点A . B ，AB ∥x 轴，直线y =x +b 过点A ，另交xky =于C ，交x 轴、y 轴于M 、N ，若MC =CA =AN ，且△ABC 面积为1，则k = .7.如图,P 是反比例函数xky =(k >0)的图象上的任意一点,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,已知S △OPM =3.(1)求k 的值；(2)若直线y =ax (a >0)与上述反比例图象在第三象限交于一点A ,Q 为反比例函数图象上一点,过Q 作y 轴的垂线,垂足为N (0,3).假设四边形AOQN 的面积为21，求a 的值。

专题训练：用反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题(含答案)

专训1 用反比例函数系数k 的几何意义解与面积相关问题名师点金：反比例函数的系数k 具有一定的几何意义，|k |等于反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上任意一点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的面积．在反比例函数的图象中，涉及三角形或矩形的面积时，常用系数k 的几何意义求解．反比例函数的系数k 与面积的关系1．如图，过y 轴上任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝－4x 和y ＝2x 的图象交于A 点和B 点，若C 为x 轴上的任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(第1题) (第2题) (第3题)2．如图，P 是反比例函数y ＝kx 的图象上一点，过P 点分别向x 轴，y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为( )A ．y ＝－6xB ．y ＝6xC ．y ＝－3xD ．y ＝3x3．【2016·菏泽】如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC －S △BAD为( )A ．36B ．12C ．6D ．3(第4题) (第5题) (第6题)4．如图，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，B 两点，BC ⊥x 轴于点C ，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．【2016·本溪】如图，点A ，C 为反比例函数y ＝kx (x ＜0)图象上的点，过点A ，C 分别作AB ⊥x 轴，CD ⊥x 轴，垂足分别为B ，D ，连接OA ，AC ，OC ，线段OC 交AB 于点E ，点E 恰好为OC 的中点，当△AEC 的面积为32时，k 的值为( )A ．4B ．6C ．－4D ．－6已知面积求反比例函数的表达式题型1 已知三角形面积求函数表达式7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B (2，n )，连接BO ，已知S △AOB ＝4.(1)求该反比例函数的表达式和直线AB 对应的函数表达式； (2)若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积．(第7题)题型2 已知四边形面积求函数表达式8．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数y ＝－x －(k ＋1)的图象与函数y ＝kx 在第二象限的图象的交点，AB ⊥x 轴于B ，AD ⊥y 轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3.(1)求两函数的表达式；(2)求两函数图象的交点A ，C 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一动点，且S △APC ＝5，求点P 的坐标．(第8题)已知反比例函数表达式求图形的面积题型1 利用对称性求面积9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y ＝－6x ，y ＝6x ，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？(第9题)题型2 利用点的坐标及面积公式求面积10．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x (x ＜0)的图象相交于点A ，点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，4)，点B 的横坐标为－4.(1)试确定反比例函数的表达式； (2)求△AOC 的面积．(第10题)题型3 利用面积关系求点的坐标11．【2016·兰州】如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A (3，1)在反比例函数y ＝kx的图象上．(1)求反比例函数y ＝kx的表达式；(2)在x 轴的负半轴上存在一点P ，使得S △AOP ＝12S △AOB ，求点P 的坐标；(3)若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，点A ，O 的对应点分别为点E ，D .直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．(第11题)参考答案1．A 点拨：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则 S △ABC ＝12AB ·h＝12(AP ＋BP )·h ＝12(AP ·h ＋BP ·h ) ＝12(|－4|＋|2|) ＝12×6 ＝3. 故选A . 2．A3．D 点拨：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a ，b ，可得出B 点坐标为(a ＋b ，a －b )．因为点B 在反比例函数y ＝6x 第一象限的图象上，所以(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2＝6.所以S △AOC －S △BAD ＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3.故选D .4．A5．D 点拨：由题意，易得出S △ODB ＝S △AOC ＝12×|－4|＝2.易知OC ＝OD ，AC ＝BD ，所以S △AOC ＝S △ODA ＝S △ODB ＝S △OBC ＝2.所以四边形ACBD 的面积为S △AOC ＋S △ODA ＋S △ODB ＋S △OBC ＝8.6．C 点拨：设点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫m ，k m ，则点E ⎝⎛⎭⎫12m ，k 2m ，A ⎝⎛⎭⎫12m ，2km ，根据三角形的面积公式可得出S △AEC ＝－38k ＝32，由此即可求出k 值．7．解：(1)如图，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D . 由题易知OA ＝2，BD ＝n .∴S △AOB ＝12OA ·BD ＝12×2n ＝4.∴n ＝4.∴B 点的坐标为(2，4)．∴反比例函数的表达式为y ＝8x.设直线AB 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，2k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2. ∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋2.(第7题)(2)对于y ＝x ＋2，当x ＝0时，y ＝0＋2＝2，∴C 点的坐标为(0，2)． ∴OC ＝2.∴S △OCB ＝S △AOB －S △AOC ＝4－12×2×2＝2.8．解：(1)由题中图象知k ＜0，由已知条件得|k |＝3，∴k ＝－3. ∴反比例函数的表达式为y ＝－3x ，一次函数的表达式为y ＝－x ＋2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ，y ＝－x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝－1.∴点A ，C 的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．(3)设点P 的坐标为(0，m )，直线y ＝－x ＋2与y 轴的交点为M ，则点M 的坐标为(0，2)．∵S △APC ＝S △AMP ＋S △CMP ＝12PM (|－1|＋|3|)＝5，∴PM ＝52，即|m －2|＝52.∴m ＝92或m ＝－12.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，92或⎝⎛⎭⎫0，－12. 9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD 分成四个全等的小矩形．因为点A 为y ＝6x 的图象上的一点，所以S 矩形AEOH ＝6.所以S 矩形ABCD ＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．所以所需钢条一共要花600元．10．解：(1)∵点A (－2，4)在反比例函数y ＝k 2x 的图象上，∴k 2＝－8.∴反比例函数的表达式为y ＝－8x.(2)∵点B 的横坐标为－4，且点B 在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴其纵坐标为2.∴点B 的坐标为(－4，2)．∵点A (－2，4)，B (－4，2)在直线y ＝k 1x ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－2k 1＋b ，2＝－4k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b ＝6.∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝x ＋6.当y ＝0时，x ＝－6. ∴点C 的坐标为(－6，0)． ∴S △AOC ＝12×6×4＝12.11．解：(1)∵点A (3，1)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝3×1＝ 3.∴反比例函数的表达式为y ＝3x. (2)∵A (3，1)，AB ⊥x 轴于点C ， ∴OC ＝3，AC ＝1.由题意易得△AOC ∽△OBC ， ∴OC BC ＝AC OC. ∴BC ＝OC 2AC＝3.∴B 点坐标为(3，－3)． ∴S △AOB ＝12×3×(1＋3)＝2 3.∴S △AOP ＝12S △AOB ＝ 3.设点P 的坐标为(m ，0)， ∴12×|m |×1＝ 3. ∴|m |＝2 3.∵P 是x 轴的负半轴上的点， ∴m ＝－2 3.∴点P 的坐标为(－23，0)． (3)点E 的坐标为(－3，－1)．点E 在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵－3×(－1)＝3＝k ，∴点E在该反比例函数的图象上．。

反比例函数及其应用(共35道)—2023年中考数学真题(全国通用)(解析版)

反比例函数及其应用（35道）一、单选题A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长BA 交y 轴于点D ，根据反比例函数k 值的几何意义得到1212ADO S =⨯=△，3OCBD S =矩形，根据四边形ABCO 的面积等于ADOOCBD S S−矩形，即可得解．【详解】解：延长BA 交y 轴于点D ，∵AB x ∥轴， ∴DA y ⊥轴，∵点A 在函数2(0)y x x =>的图象上，∴1212ADO S =⨯=△，∵BC x ⊥轴于点C ，DB y ⊥轴，点B 在函数3(0)y x x =>的图象上，∴3OCBD S =矩形，∴四边形ABCO 的面积等于312ADOOCBD S S−=−=矩形；故选B ．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k 的几何意义，是解题的关键．A ．321y y y <，20y >，函数图象在第二象限内为增函数，420−<−<， 120y y ∴<<．30>，3(3,)C y ∴点在第四象限，30y \<，1y ∴，2y ，3y 的大小关系为312y y y <<．故选：C ．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．A ．当3x >时，12y y D ．当10x −<<时，12y y <【答案】B【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．【详解】解：A 、当3x >时，12y y >，则此项错误，不符合题意； B 、当1x <−时，12y y <，则此项正确，符合题意； C 、当03x <<时，12y y <，则此项错误，不符合题意； D 、当10x −<<时，12y y >，则此项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．A ．123y y y <，∴图象在一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∵2101−<−<<， ∴2130y y y <<<．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数ky x =(k 是常数，0k ≠)的图象是双曲线，当0k >，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当 0k <，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大．【答案】A【分析】连接四边形ABCD 的对角线AC BD 、，过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF x ⊥轴，直线1y x =−与x 轴交于点M ，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定()11142四边形△ABC COD D S S OM DE CF ===⋅+，再求出直线1y x =−与x 轴交于点()1,0M ，通过联立1y x k y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩求出C D 、纵坐标，代入方程求解即可得到答案．【详解】解：连接四边形ABCD 的对角线AC BD 、，过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF x ⊥轴，直线1y x =−与x 轴交于点M ，如图所示：根据直线1y x =+、1y x =−与双曲线()0ky k x =>交点的对称性可得四边形ABCD 是平行四边形，()11142四边形△ABC O D C D S S OM DE CF ∴===⋅+，直线1y x =−与x 轴交于点M ， ∴当0y =时，1x =，即()1,0M ，1y x =−与双曲线()0ky k x =>分别相交于点C D 、，∴联立1y x k y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，即1k y y =−，则20y y k +−=，由0k >，解得y =，∴1112⎤⨯⨯−=⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦2=，解得34k =，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．A ．2:3:6B ．6:3:2C ．1:2:3D ．3:2:1【答案】A【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1， ∴长方体物体的A 、B 、C 三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1， ∵FP S =，0F >，且F 一定，∴P 随S 的增大而减小， ∴111::::2:3:6321A B C P P P ==．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据一次函数图象确定a 、b 的符号，进而求出ab 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A 、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴00a b >>，， ∴0ab >，∴反比例函数aby x =的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A 不符合题意；B 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴00a b <>，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B 不符合题意；C 、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴00a b ><，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C 不符合题意；D 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴00a b <>，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意11FL F L =代入数据求得245F L =，即可求解．【详解】解：∵11FL F L =，125cm L =，19.8NF =，∴259.8245FL =⨯=， ∴245F L =，函数为反比例函数，当35cm L =时，245735F ==，即245F L =函数图象经过点()35,7．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】由正方形的性质得2BC AB ==，可设2,2k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭可求出k 的值．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∵2,AB BC CD AD ==== ∵点E 为AD 的中点， ∴11,2AE AD ==设点C 的坐标为2,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,222k kBO AO AB BO ==+=+, ∴1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵点C ，E 在反比例函数ky x =的图象上，∴21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭，解得，4k =，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数ky x =（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点()x y ，的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结【答案】C【分析】过点,A B 分别作,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，,AE BD 交于点C ，得出B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ，则1,1AC k BC k =−=−，根据AB =【详解】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =−=−，又∵90ACB ∠=︒，AB =∴()()(22211k k −+−=∴13k −=（负值已舍去）解得：4k =，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为与OAB 关于直线 A ．23 【答案】A【分析】过点B 作BD x ⊥轴，根据题意得出1,BD OD ==和性质得出2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，利用各角之间的关系180OBA OBD '∠+∠=︒，确定A '，B ，D 三点共线，结合图形确定)2C，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),O A B ，∴1,BD OD ==∴AD OD =tan BD BOA OD ∠==，∴2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒， ∵OA B '与OAB 关于直线OB 对称， ∴120OBA '∠=︒， ∴180OBA OBD '∠+∠=︒， ∴A '，B ，D 三点共线， ∴2A B AB '==， ∵A C BC '=， ∴1BC =， ∴2CD =，∴)2C，将其代入(0,0)ky k x x =>>得：k =故选：A ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．A ．2B ．2−C ．1D ．1−【答案】A【分析】证明四边形ANOM 是矩形，根据反比例函数的k 值的几何意义，即可解答．【详解】解：AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2， 2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x 轴，y 轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k是解题的关键．二、填空题【答案】63y x =−【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案．【详解】解：将反比例函数6y x =的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x =−，故答案为：63y x =−．【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．14．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形OABC 和正方形CDEF 中，点A 在y 轴正半轴上，点C ，F 均在x 轴正半轴上，点D 在边BC 上，2BC CD =，3AB =．若点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是．【答案】18y x =【分析】设正方形CDEF 的边长为m ，根据2BC CD =，3AB =，得到()3,2B m ，根据矩形对边相等得到3OC =，推出()3,E m m +，根据点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，得到()323m m m⨯=+，得到3m =，推出18y x =．【详解】解：∵四边形OABC 是矩形， ∴3OC AB ==，设正方形CDEF 的边长为m ， ∴CD CF EF m ===， ∵2BC CD =， ∴2BC m =， ∴()3,2B m ，()3,E m m +，设反比例函数的表达式为ky x =，∴()323m m m⨯=+，解得3m =或0m =（不合题意，舍去）， ∴()3,6B ，∴3618=⨯=k ，∴这个反比例函数的表达式是18y x =，故答案为：18y x =．【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k 的几何意义．统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOC 的边两点．若AOC 的面积是【答案】4【分析】过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，由点B 为AC 的中点，推出C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得直线BC 的解析式，得到A 点坐标，根据AOC 的面积是6，列式计算即可求解．【详解】解：过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，∴BD CE ∥， ∴ABD ACE ∽，∴BD ABCE AC =，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =， ∵点B 为AC 的中点， ∴12BD AB CE AC ==， ∴22CE BD m ==，∴C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线BC 的解析式为y ax b =+， ∴22k ma b mk ma b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2232k a m k b m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为2322k k y x m m =−+，当0x =时，32ky m =，∴A 点坐标为302k m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，根据题意得132622k m m ⋅⋅=，解得4k =，故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．【答案】33【分析】过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得，AO AB =，120OAB ∠=︒，在Rt ABC 中求出BC 、AC 的长，即可得出点B 的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k 的值．【详解】解∶过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得，AO AB =，120OAB ∠=︒， ∵点A 的坐标为(0，2)， ∴2AO AB ==， ∵120OAB ∠=︒，∴180********BAC OAB ∠∠=︒−=︒−︒=︒， ∴9030ABC BAC ∠∠=︒−=︒， ∴AC =12AB =1221⨯=，由勾股定理得BC ==∴213OC AO AC =+=+=，∴点B 的坐标为(3)， ∵点B 恰好落在反比例函数ky x =的图象上，∴3k =故答案为∶3【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出点B 的坐标．【答案】>【分析】把2x =−和=1x −分别代入反比例函数2y x =中计算y 的值，即可做出判断．【详解】解：∵点()12,A y −和点()21,B y −都在反比例函数2y x =的图象上，∴令2x =−，则1212y ==−−；令=1x −，则2221y ==−−，12−>−，12y y ∴>，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y 的值是解题的关键．若OAB 的面积为【答案】196/136【分析】由k 的几何意义可得19212k =，从而可求出k 的值．【详解】解：AOB 的面积为||192212k k ==，所以k =196．故答案为：196．【点睛】本题主要考查了k 的几何意义．用k 表示三角形AOB 的面积是本题的解题关键．【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值．【详解】解：∵函数()0ky k x =≠的图象经过点()3,2A −和(),2B m −∴把点()3,2A −代入得326k =−⨯=−，∴反比例函数解析式为6y x −=，把点(),2B m −代入得：62m −−=，解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．【答案】1.5（满足12k <<都可以）【分析】先判断出一次函数7y x b =−+的图象必定经过第二、四象限，再根据120x x ⋅>判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即630k −<，最终选取一个满足条件的值即可．【详解】解：70−<，∴一次函数7y x b =−+的图象必定经过第二、四象限，120x x ⋅>，∴反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， ∴反比例函数63ky x −=（1k >且2k ≠）的函数图象经过第一、三象限，∴630k −>，∴2k <， ∵1k >， ∴12k <<，∴满足条件的k 值可以为1.5，故答案为：1.5（满足12k <<都可以）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据120x x ⋅>判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限．的正ABC 的顶点，现将ABC 绕原点【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画AOB 即可），当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，根据ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，可得OB OA=A 、B 分别作x 轴垂线构造相似，则BFO OEA ∽，根据相似三角形的性质得出3AOE S =△，进而根据反比例函数k 的几何意义，即可求解．【详解】当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，连接AO ，ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，则30BAO ∠=︒，∴tan tan30BAO ∠=︒=OB OA=，如图所示，过点,A B 分别作x 轴的垂线，交x 轴分别于点,E F ，AO BO ⊥，90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒，∴90BOF AOE EAO ∠=︒−∠=∠， ∴BFO OEA ∽，∴213BFO AOES OB S OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴212BFOS−==，∴3AOE S =△， ∴6k =．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．【答案】2/2−+【分析】过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，证明DAO CBA ≌，进而根据全等三角形的性质得出,DA CB AC OD ==，根据点(),2A m ，进而得出()2,2B m m +−，根据点,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上．列出方程，求得m 的值，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，∴90C CDO ∠=∠=︒， ∵,90OA AB OAB =∠=︒， ∴90DAO CAB CBA ∠=︒−∠=∠ ∴DAO CBA ≌ ∴,DA CB AC OD == ∵点A 的坐标为()m,2．∴2AC OD ==，AD BC m == ∴()2,2B m m +−∵,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，∴()()222m m m =+−解得：1m =或1m =（舍去）∴22k m ==故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点B 的坐标是解题的关键．【答案】4【分析】根据题意可设点P 的坐标为()22m m ，，则()2D m m ，，把()2D m m ，代入一次函数解析式中求出m 的值进而求出点P 的坐标，再求出k 的值即可．【详解】解：∵PA x ⊥轴于点,A PB y ⊥轴于点,B PA PB =， ∴点P 的横纵坐标相同， ∴可设点P 的坐标为()22m m ，，∵D 为PB 的中点， ∴()2D m m ，，∵()2D m m ，在直线1y x =+上，∴12m m +=， ∴1m =， ∴()22P ，，∵点P 在反比例函数()0ky k x =>的图象上，∴224k =⨯=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P 的坐标是解题的关键．【答案】6【分析】延长CD 交x 轴于点F ，设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k 的值．【详解】解：延长CD 交x 轴于点F ，如图，由点D 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，AB CD ∥，AD CD ⊥， ∴CD y ⊥轴，AD OF ∥，则kDF a OF a ==，，∵AD OF ∥， ∴CDA CFO △∽△， ∴CD AD ACCF OF OC ==， ∵2AC AO =，∴23AC OC =， ∴2223CD CF DF a ===，2233k AD OF a ==， ∵8AD CD ⋅=，即2283k a a ⨯=，∴6k =，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．则ABP 的面积是【答案】152【分析】把()2,3A −代入到22k y x =可求得2k 的值，再把(),2Bm −代入双曲线函数的表达式中，可求得m 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】∵直线11y k x b =+与双曲线22k y x =（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A−，(),2B m −两点，∴2232k m =−⨯=−∴263k m =−=，，∴双曲线的表达式为：26y x =−，()3,2B −，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ， ∴3BP =， ∴1153(32)22ABPS=⨯⨯+=，故答案为152．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．三、解答题26．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，设反比例函数的解析式为（k ＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值；（2）若该反比例函数与过点M （﹣2，0）的直线l ：y=kx+b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为时，求直线l 的解析式．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•23k+•2k=，解方程即可解决问题；试题解析：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入，得到3k=2，∴．（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，∴y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），∵△ABO的面积为，∴×2×3k+•2k=，解得k=，∴直线l 的解析式为．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．(1)2m =，4a =，求函数3y 的表达式及(2)当a 、m 在满足0a m >>的条件下任意变化时，(3)试判断直线PH 与BC 边的交点是否在函数【答案】(1)函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12(2)不变，理由见解析 (3)在，理由见解析【分析】（1）由2m =，4a =，可得(20)A ，，()20B −，，12y x=，22y x −=，则4AB =，当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H ⎛⎫− ⎪⎝⎭，；待定系数法求一次函数3y 的解析式为325y x =−+，当0x =，35y =，则()05P ，，根据()11154222PGH S ⎡⎤⎛⎫=⨯−−⨯− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△，计算求解即可；（2）求解过程同（1）；（3）设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −⎛⎫⎪⎝⎭，，代入22y k x b =+得，2221b am a k b a a =+⎧⎪−⎨+=⎪⎩，解得221b aa k a m =+⎧⎪⎨=⎪−⎩，即1a x a a m y +−=+，当x m a =−，()11y a m a a a m ⨯+=−+=−，则直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m ay m a −=−=，进而可得结论．【详解】（1）解：∵2m =，4a =，∴(20)A ，，()20B −，，12y x=，22y x −=，∴4AB =，当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H ⎛⎫− ⎪⎝⎭，；设一次函数3y 的解析式为3y kx b =+，将()21E ，，142G ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入3y kx b =+得，21142k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得25k b =−⎧⎨=⎩，∴325y x =−+，当0x =，35y =，则()05P ，，∴()1111542222PGH S ⎡⎤⎛⎫=⨯−−⨯−=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△； ∴函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12；（2）解：PGH △的面积不变，理由如下：∵(0)A m ，，(0)B m a −，，1m y x =，2m ay x −=，∴AB a =，当x m =，11m y m ==，则()1E m ，；当1y a =，m a x =，解得m x a =，则m G a a ⎛⎫⎪⎝⎭，；当2y a =，m a a x −=，解得m a x a −=，则m a H a a−⎛⎫ ⎪⎝⎭，；设一次函数3y 的解析式为113k x b y =+，将()1E m ，，m G a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入113k x b y =+得，11111mk b m k b a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111a k m b a ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，∴31ax a m y =−++，当0x =，31y a =+，则()01P a +，，∴()11122PGH m m a S a a a a ⎡−⎤⎛⎫=⨯−⨯+−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△； ∴PGH △的面积不变；（3）解：直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上，理由如下：设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −⎛⎫⎪⎝⎭，，代入22y k x b =+得，2221b a m a k b a a =+⎧⎪−⎨+=⎪⎩，解得221b aa k a m =+⎧⎪⎨=⎪−⎩， ∴1ax a a m y +−=+，当x m a =−，()11y am a a a m ⨯+=−+=−，∴直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m ay m a −=−=，∴直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上．【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求OAB 的面积；(3)过动点()0T t ，作x 轴的垂线l ，l 与一次函数y x m =−+和反比例函数ky x=的图象分别交于当M 在N 的上方时，请直接写出t 的取值范围．【答案】(1)一次函数的解析式为3y x =−+，反比例函数的解析式为2y x =(2)32(3)0t <或12t << 【分析】（1）把()1，2A 分别代入一次函数和反比例函数求出m k 、的值即可得到答案；（2）联立32y x y x =−+⎧⎪⎨=⎪⎩求出点B 的坐标，令直线AB 与x 交于点C ，由直线AB 求出点C 的坐标，最后由1122AOBAOCBOCA B SSSOC y OC y =−=⋅⋅−⋅⋅，进行计算即可得到答案；（3）直接由函数图象即可得到答案．【详解】（1）解：把()1，2A 代入一次函数y x m =−+，得12m −+=，解得：3m =，∴一次函数的解析式为：3y x =−+，把()1，2A 代入反比例函数ky x =，得21k =，解得：2k =，∴反比例函数的解析式为：2y x =；（2）解：联立32y x y x =−+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，()21B ∴，，令直线AB 与x 交于点C ，如图，，当0y =时，30x −+=，解得：3x =， ()30C ∴，，11113323122222AOBAOCBOCA B SS SOC y OC y ∴=−=⋅⋅−⋅⋅=⨯⨯−⨯⨯=（3）解：由图象可得：，当M 在N 的上方时，t 的取值范围为：0t <或12x <<．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键．(1)当气球内的气压超过150KPa 少时气球不会爆炸（球体的体积公式(2)请你利用p 与V 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．【答案】(1)气球的半径至少为0.2m 时，气球不会爆炸； (2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎【分析】（1）设函数关系式为k p =，用待定系数法可得 4.8p V =，即可得当150p =时， 4.80.032150V ==，从而求出0.2r =；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【详解】（1）设函数关系式为kp V =，根据图象可得：1200.04 4.8k pV ==⨯=， ∴4.8p V =，∴当150p =时，4.80.032150V ==，∴3430.0323r ⨯=，解得：0.2r =，4.80k =>，p ∴随V 的增大而减小，∴要使气球不会爆炸，0.032V ≥，此时0.2r ≥， ∴气球的半径至少为0.2m 时，气球不会爆炸；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．轴的对称点，OAC 的面积是【答案】(1)y x =(2)(2P −++或(2P −−−【分析】（1）设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得,k C m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，结合OAC 的面积是8．可得()182k m m m +=，从而可得答案；（2）先求解()2,4A ，()2,4C −，可得直线为28y x =+，联立828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，再解方程组即可．【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数(0)ky k x =≠的图象上，∴设,k A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴,k C m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵OAC 的面积是8．∴()182k m m m +=，解得：8k =；∴反比例函数解析式为：8y x =；（2）∵点A 的横坐标为2时， ∴842A y ==，即()2,4A ，则()2,4C −，∵直线2y x b =+过点C ， ∴44b −+=， ∴8b =，∴直线为28y x =+， ∴828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：24x y ⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩或24x y ⎧=−−⎪⎨=−⎪⎩，经检验，符合题意；∴(2P −++或(2P −−−．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D 在反比例函数图象上，且横坐标大于3OBDS=【答案】(1)4y x =(2)132y x =−+【分析】（1）根据四边形OABC 是边长为2的正方形求出点B 的坐标，代入ky x =求出k ；（2）设4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DH x ⊥轴，根据OBD OBH BHD ODH S S S S =+−V V V V 面积列方程，求出点D 坐标，再由待定系数法求出直线BD 的函数表达式．【详解】（1）解：四边形OABC 是边长为2的正方形， ∴4OABC S xy ==正方形， ∴4k =；即反比例函数的表达式为4y x =．（2）解：设4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DH x ⊥轴，点()2,2B ，4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0H a ，∴12OBH S OH AB a=⋅=V 1144(2)(2)222BHD a S DH AH a a a −=⋅=⋅⋅−=V ，122ODH S OH DH =⋅=V3OBD OBH BHD ODH S S S S =+−=V V V V∴4(2)232a a a −+−=，解得：14a =，21a =−，经检验4a =，是符合题意的根，即点()4,1D ，设直线BD 的函数解析式为y kx b =+，得∶ 2241k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：123k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，即：直线BD 的函数解析式为132y x =−+．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数ky x =图象上任意一点做x 轴、y 轴的垂线，组成的长方形的面积等于k，灵活运用几何意义是解题关键．2(1)求反比例函数的解析式；(2)点C 在这个反比例函数图象上，连接【答案】(1)8y x =(2)()4,2C【分析】（1）利用正切值，求出4OB =，进而得到()2,4A ，即可求出反比例函数的解析式；（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，易证四边形ABOE 是矩形，得到2OE =，4AE =，再证明AED △是等腰直角三角形，得到4DE =，进而得到()6,0D ，然后利用待定系数法求出直线AD 的解析式为6y x =−+，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C 的坐标．【详解】（1）解：AB y ⊥轴，90ABO ∴∠=︒，1tan 2AOB =∠，12AB OB ∴=，2AB =，4OB ∴=，()2,4A ∴，点A 在反比例函数()0ky x x =>的图象上，248k ∴=⨯=，∴反比例函数的解析式为8y x =；（2）解：如图，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，90ABO BOE AEO ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABOE 是矩形，2OE AB ∴==，4OB AE ==，45ADO ∠=︒，AED ∴是等腰直角三角形， 4DE AE ∴==，246OD OE DE ∴=+=+=，()6,0D ∴，设直线AD 的解析式为y kx b =+，2460k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得：16k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为6y x =−+，点A 、C 是反比例函数8y x =和一次函数6y x =−+的交点，联立86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得：24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩，()2,4A ， ()4,2C ∴．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线AD 的解析式是解题关键．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数的部分时（点M 可与点,D E 重合）【答案】(1)反比例函数解析式为y x =，()22E ，(2)30m −≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OAAB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可；（2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OAAB OA ∥，⊥， ∵()4,1D 是AB 的中点， ∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0ky x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x ==时，2x =， ∴()22E ，；（2）解：当直线 y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =；当直线 y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =−；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x =>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合）， ∴30m −≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【答案】(1)反比例函数的表达式为y x =−；一次函数的表达式为22y x =−+(2)142BC =【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数()0ky x x =<的图象经过点()1,4A −，∴144k =−⨯=−， ∴反比例函数的表达式为4y x =−；∵一次函数2y x m =−+的图象经过点()1,4A −，∴()421m=−⨯−+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =−+；（2）解：∵1OD =， ∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =， ∵1y =时，14x =−，解得4x =−，则()41B −，，∵1y =时，122x =−+，解得12x =，则112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()114422BC =−−=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求AOB 的面积； (3)请根据图象直接写出不等式【答案】(1)12y x =−，32y x =−+(2)9(3)<2x −或04x <<【分析】（1）把点B 代入反比例函数()0ky k x =≠，即可得到反比例函数的解析式；把点A 代入反比例函数，即可求得点A 的坐标；把点A 、B 的坐标代入一次函数一次函数()0y ax b a =+<即可求得a 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；（2）AOB 的面积是AOC 和BOC 的面积之和，利用面积公式求解即可；（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x 的范围，直接得出结论．【详解】（1）∵点()4,3B −在反比例函数ky x =的图象上，∴34k −=，解得：12k =− ∴反比例函数的表达式为12y x =−．∵(),3A m m −在反比例函数12y x =−的图象上，∴123m m =−−，解得12m =，22m =−（舍去）．∴点A 的坐标为()2,6−．∵点A ，B 在一次函数y ax b =+的图象上，把点()2,6A −，()4,3B −分别代入，得2643a b a b −+=⎧⎨+=−⎩，解得323a b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的表达式为332y x =−+；（2）∵点C 为直线AB 与y 轴的交点，∴把0x =代入函数332y x =−+，得3y = ∴点C 的坐标为()0,3 ∴3OC =，∴AOB AOC BOC SS S =+ 1122A B OC x OC x =⋅⋅+⋅⋅11323422=⨯⨯+⨯⨯9=．（3）由图象可得，不等式k ax b x <+的解集是<2x −或04x <<．【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．。

11.3 反比例函数的图象与性质知识讲解20202021学年八年级数学下册基础知识专项讲练苏科版

专题11.3 反比例函数的图象与性质（知识讲解）【学习目标】1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．3. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．【要点梳理】要点一、反比例函数的定义一般地，形如kyx= (k为常数，0k¹)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.特别说明：（1）在kyx=中，自变量x是分式kx的分母，当0x=时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y¹.故函数图象与x轴、y轴无交点.（2）kyx= ()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）kyx= ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx=中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x y、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：　（1）设所求的反比例函数为：kyx= (0k¹)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数k的值；（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx=中.要点三、反比例函数的图象和性质 1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.特别说明：（1）若点(a b ，)在反比例函数k y x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(k 为常数，0k ¹) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x 值的增大而增大；特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.要点四：反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线xk y =(0k ¹) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .过双曲线xk y =(0k ¹) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k . 特别说明：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.类型一、反比例函数的解析式1、已知函数121,y y y y =-与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当1x =时，2y =；当2x =-时，7y =-．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）求当3x =时的函数值．【答案】（1）24y x x =-；（2）1113【分析】（1）设111(0)y k x k =¹，222(0)k y k x=¹，然后表示出y 、x 的函数关系式，再把两组数据代入函数解析式进行计算即可得解；（2）把自变量3x =代入函数解析式进行计算即可得解．解：（1）1y Q 与x 成正比例，\设111(0)y k x k =¹，2y Q 与x 成反比例，\设222(0)k y k x=¹，12y y y =-Q ，21k y k x x \=-，Q 当1x =时，2y =；当2x =-时，7y =-．\12212272k k k k -=ìïí-+=-ïî，解得1242k k =ìí=î，24y x x \=-；（2）当3x =时，21431133y =´-=．【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量求函数值的方法，是基础题，表示出y 、x 的函数关系式是解题的关键．举一反三：【变式】如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图像相交于点()2,3A 和点B ．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点B 作BC x ^轴于C ，求ABC S V ；（3）是否在y 轴上存在一点D ，使得BD CD +的值最小，并求出D 坐标．【答案】（1）6y x=；（2）5；（3）存在，()0,1D -【分析】（1）将A 的坐标代入反比例函数解析式中，求出k 的值，即可确定出反比例函数解析式；（2）将反比例函数解析式与一次函数解析式联立组成方程组，求出方程组的解，根据B 所在的象限即可得到B 的坐标；三角形ABC 的面积可以由BC 为底边，A 横坐标绝对值与B 横坐标绝对值之和为高，利用三角形的面积公式求出即可．（3）作C 关于y 轴的对称点C′，连接BC′交y 轴上一点D ，连接CD ，求出BC′的直线解析式，即可求出D 的坐标．解：（1）∵一次函数1y x =+与反比例函数k y x=相交于()2,3A 6k x y =×=6y x\=（2）如图：16y x y x =+ìï\í=ïî，∴123,2x x =-=．∴()3,2B --过B 作BC x ^轴12552ABC S \=´´=V （3）存在．作C 关于y 轴的对称点C ¢，连接BC ¢交y 轴上一点D ，连接CD ，()3,0C ¢设BC ¢的直线方程(0)y mx n m =+¹3032m n m n +=ìí-+=-î∴131m n ì=ïíï=-î113y x \=-令0,1x y ==-∴()0,1D-【点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：因式分解法解一元二次方程，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积公式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．类型二、反比例函数的图象分布2、反比例函数3k y x +=的图象在二、四象限，则k 的取值范围是（）A ．3k >-B ．3k <-C ．3k …D ．3k -…【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象和性质，函数位于二、四象限，k+3＜0，解不等式即可得出结果．解：∵3k y x+=的图象在二，四象限，∴k+3＜0，即 k ＜ -3．故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数3k y x+=（k≠0）的性质：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限．举一反三：【变式】反比例函数y=1m x -的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是（）A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜1【答案】C【解析】试题解析：∵反比例函数y=1m x-的图象在第一、三象限，∴m-1＞0，解得m ＞1．故选C ．【点拨】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．3．已知关于x 的函数y ＝kx +k 和y ＝－k x（k ≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据反比例函数的性质判断出k 的取值，再根据一次函数的性质判断出k 取值，二者一致的即为正确答案．解：当k ＞0时，反比例函数的系数-k ＜0，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；当k ＜0时，反比例函数的系数-k ＞0，所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限，只有A 满足．故选：A ．【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．举一反三：【变式】一次函数y kx k =-与反比例函数k y x=在同一直角坐标系中的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据k>0时，k<0时，分析一次函数y kx k =-与反比例函数k y x=的图象所在的象限，即可得到答案.【详解】当k>0时，一次函数y kx k =-的图象经过第一、三、四象限，反比例函数k y x= 的图象的两个分支在第一、三象限；当k<0时，一次函数y kx k =-的图象经过第一、二、四象限，反比例函数ky x =的图象的两个分支在第二、四象限；正确的图象为：B,故选：B.【点拨】此题考查一次函数的图象所在的象限，反比例函数所在的象限，正确掌握比例系数与函数图象所在的象限的关系是解题的关键.类型三、反比例函数的图象的增减性4、若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)k y k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（）A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >【答案】B【分析】由反比例函数(0)k y k x=<，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，由此分三种情况①若点A 、点B 在同在第二或第四象限；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限；③若点A 在第四象限且点B 在第二象限讨论即可．【详解】解：∵反比例函数(0)k y k x=<，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，①若点A 、点B 同在第二或第四象限，∵12y y >，∴a-1＞a+1，此不等式无解；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限，∵12y y >，∴1010a a -ìí+î＜＞，解得：11a -<<；③由y1＞y2，可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能．综上，a 的取值范围是11a -<<．故选：B ．【点拨】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．举一反三：【变式】关于反比例函数1p y x-=的下列说法：①若其图象在第三、一象限，则1p <；②若其图象上两点()11,M x y 、()22,N x y ，当120x x <<时，12y y >，则1p >；③其图象与坐标轴没有公共点．其中正确的说法是（）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：∵反比例函数1p y x-=，∴若其图象在第三、一象限，则1-p ＞0，得p ＜1，故①正确；若其图象上两点M （x1，y1）、N （x2，y2），当x1＜0＜x2时，y1＞y2，则1-p ＜0，得p ＞1，故②正确；其图象与坐标轴没有公共点，故③正确；故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．举一反三：【变式】反比例函数(0)k y k x=¹的图象如图所示，以下结论错误的是（）A ．0k >B ．若点()1,3M 在图象上，则3k =C ．在每个象限内，y 的值随x 值的增大而减小D ．若点()1,A a -，()2,B b 在图象上，则a b >【答案】D【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．【详解】解： ∵反比例函数的图象位于一、三象限，∴k ＞0故A 正确；当点M （1，3）在图象上时，代入可得k=3，故B 正确；当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故C 正确；将A （-1，a ），B （2，b ）代入(0)k y k x=¹中得到，得到a=-k ，2k b = ∵k ＞0∴a ＜b ，故D 错误，故选：D ．【点拨】本题考查了反比例函数的性质，牢记反比例函数的比例系数的符号与其图象的关系是解决本题的关键类型四、反比例函数与一次函数的综合5、如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2m y x=的图象交于点()()3,2,,6A B n --两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求AOB V 的面积；【答案】（1）124y x =--，26y x=-；（2）8【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数求出m 的值，从而得到点A 的坐标以及反比例函数解析式，再将点B 坐标代入反比例函数求出n 的值，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB 与y 轴相交于点C ，根据一次函数解析式求出点C 的坐标，从而得到点OC 的长度，再根据S △AOB=S △AOC+S △BOC 列式计算即可得解．【详解】解：()1把()32A -，代入2m y x=得326m =-´=-，\反比例函数解析式为26y x=-，把()6B n -，代入26y x=-得66n -=-，∴解得1n =，B \点坐标为()16-，，把()()3216A B --，，，代入1y kx b =+得326k b k b -+=ìí+=-î，解方程组得24k b =-ìí=-î，\一次函数解析式为24y x =--；()2当0x =时，244y x =--=-，则AB 与y 轴的交点坐标为C ()04-，，ABO AOC BOC 11S =S +S =43+4122D D \´´´´V ()143182=´´+=．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数解析式问题．掌握反比例函数与一次函数解析式的求法，会利用分割法求两函数的交点与原点构成三角形的面积是解题关键．举一反三：【变式】已知双曲线k y x=与直线14y x =相交于A 、B 两点．第一象限上的点(),M m n （在A 点左侧）是双曲线k y x=点上的动点，过点B 作//BD y 轴交x 轴于点D ．过()0,N n -作//NC x 轴交双曲线k y x =于点E ，交BD 于点C ．（1）若点D 坐标是()8,0-，求A 、B 两点坐标及k 的值．（2）若B 是CD 的中点，四边形OBCE 的面积为4，求直线CM 的解析式．【答案】（1）()8,2A ；B ()8,2--；k=16；（2）2233y x =+【分析】（1）根据D 点的横坐标为-8，求出点B 的横坐标代入14y x =中，得2y =-，得出B 点的坐标，即可得出A 点的坐标，再根据求出即可；（2）根据111122,,2222D D ======DCNO DBO OEN S mn k S mn k S mn k ，即可得出k 的值，进而得出B ，C 点的坐标，再求出解析式即可．解：（1）∵(),80D -，∴B 点的横坐标为8-，代14y x =入中，得2y =-．∴B 点坐标为()8,2--．∵A 、B 两点关于原点A 对称，∴()8,2A ．∴8216k xy ==´=；（3）∵()0,N n -，B 是CD 的中点，A 、B 、M 、E 四点均在双曲线上，∴mn k =，2,2n B m æö--ç÷èø，()2,C m n --，(),E m n --．22DCNO S mn k ==矩形，1122DBO S mn k ==△，1122OEN S mn k ==△，∴4DBO OEN DCNO OBCE S S S S k =--==V V 矩形四边形．∴4k =．∵2,2n B m æö--ç÷èø在双曲线4y x =与直线14y x =上，∴()()2421242n m n m ìæö-´-=ç÷ïïèøíï´-=-ïî，解得1122m n =ìí=î或2222m n =-ìí=-î（舍去）∴()4,2C --，()2,2M ．设直线CM 的解析式是y ax b =+，把()4,2C --和()2,2M 代入得：4222a b a b -+=-ìí+=î，解得23a b ==．∴直线CM 的解析式是2233y x =+．【点拨】本题考查反比例函数解析式，一次函数解析式，掌握反比例函数解析式，一次函数解析式待定系数求法，关键是点B 横纵坐标关系，以及4DBO OEN DCNO OBCE S S S S k =--==V V 矩形四边形构造方程组解决问题．类型五、反比例函数的面积问题6、如图，直线3y x =-，与反比例函数k y x =的图象交于点A 与点(),4B m -．（1）求反比例函数的表达式；（2）求不等式3k x x-³的解集；（3）若Р是第一象限内双曲线上的一个动点，连接OP ，过点Р作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，若POC D 的面积为3，求点Р的坐标．【答案】（1）4y x =；（2）4x ³，或10x -<<；（3）()2,2，或()1,4，或45,5æöç÷èø【分析】（1）先求出点B 的坐标，然后利用待定系数法将B代入反比例函数解析式中即可求出其表达式；（2）求出点A 与点B 坐标后观察函数图象即可求解；（3）设点P 的坐标为()4,0P a a a æö>ç÷èø，用a 表示出△POC 的面积，从而列出关于a 的方程，解方程即可．解:()143m -=-，得1m =-，()1,4B \--．()144k \=-´=-，∴反比例函数的表达式为4y x=；()2由43x x-=，得124,1x x ==-，∴A(4,1)，B(-1,-4)，\不等式3k x x-³的解集为4x ³或10x -<<．()3设()4,0P a a a æö>ç÷èø，则,)3C a a -（，()1143322POC p S PC x a a aD ==--=，由436a a a æö-+=ç÷èø，得122,1a a ==；由436a a a æ-öç÷èø-=，得345,2a a ==-．0,a >Q \点P 的坐标为)2,2（，或()1,4，或45,5æöç÷èø【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，一次函数y ax b =+经过(3,0),(0,6)A B 两点，且与反比例函数k y x=的图象相交于,C E 两点，CD x ^轴，垂足为D ，点D 的坐标为(2,0)D -．（1）从一次函数与反比例函数的解析式；（2）求CDE △的面积．【答案】（1）26y x =-+，20y x-=；（2）CDE △的面积为35．【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，然后求出点C 的坐标，即可求出反比例函数的解析式；（2）联合两个解析式，求出点E 的坐标，根据三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：（1）Q 一次函数y ax b =+经过(3,0),(0,6)A B 两点，3006a b b +=ì\í+=î，解得：26a b =-ìí=î，所以一次函数的解析式为：26y x =-+．将2x =-代入上式，得点C 的坐标为(2,10)-．代入k y x=，得：20k =-，所以反比例函数的解析为：20y x -=．（2）联立方程组2620y x y x =-+ìï-í=ïî．解得11210x y =-ìí=î，1154x y =ìí=-î，\点E 的坐标为(5,4)E -．CDE \V 的面积为：111073522CDE E C S CD x x D =´´-=´´=．【点拨】本题考查了应用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，以及求三角形的面积，解题的关键是掌握反比例函数和一次函数的性质进行解题．类型六、反比例函数与几何综合7、如图，已知点A 在反比例函数()0k y k x=<的图象上，点B 在直线4y x =-的图象上，点B 的纵坐标为1-，AB x ^轴，且92OAB S D =()1求k 的值；()2点P 在y 轴上，AOP V 是等腰三角形，求点P的坐标．【答案】（1）-12；（2）点P 的坐标为()()()12340,5, 0,5,0,8,250,8P P P P æö--çè-÷ø【分析】()1可先求得B 点坐标，再结合△OAB 的面积可求得AB 的长，则可求得A 点坐标，把A 点坐标代入反比例函数解析式可求得k 的值；()2分三种情况: ①OP=OA ；②AP=OA ；③AP=OP 三种情况进行讨论解：()1Q 点B 在直线4y x =-的图象上，点B 的纵坐标为1-，41,x \-=-3,x \=3,(1).B \-设点A 的坐标为(3,)t ，则1,1t AB t <-=--．92OAB S D =Q ()191322t \--´=，解得4,t =-\点A 的坐标为(3,4)-．4,123k k -=-\=12y x\=-()2分三种情况：①点O 为顶点时：如图1，12OP OP OA ==．∵点A 的坐标为(3,4)-，∴5OA =；∴125==OP OP ()()120,5,0,5P P \-．②点A 为顶点时：如图2．35,AP OA ==作AH y ^轴于H ，则34==HP HO ；()30,8P \-③点P 为顶点时：如图3．44AP OP =作OA 的垂直平分线PQ ，交y 轴于点4P ，∵点A 的坐标为(3,4)-，∴OA 的表达式为43y x =-；∴OA 的中点坐标为3,22æö-ç÷èø，设PQ 的表达式为34y x b =+，将3,22æö-ç÷èø代入得，258b =-4P Q \的表达式为32548y x =-．4250,8P æö\-ç÷èø综上得出，点P 的坐标为()()()1234250,5,0,5,0,8,0,8P P P P æö---ç÷èø．【点拨】本题考查反比例函数和几何、反比例函数和一次函数相结合等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用分类讨论的数学思想，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，直线AD ：33y x =+与坐标轴交于A D 、两点，以AD 为边在AD 右侧作正方形ABCD ，过C 作CG y ^轴于G 点．过点C 的反比例函数(0)k y k x=¹与直线AD 交于,E F 两点．（1）求证：△AOD ≌△DGC ；（2）求E 、F 两点坐标；（3）填空：不等式33k x x+>的取值范围是_________．【答案】（1）证明见解析；（2）()()1,6,2,3E F --；（3）20x -<<或1x >．【分析】（1）由题意易得,90AD CD ADC =Ð=°，进而可得ADO DCG Ð=Ð，然后问题可求证；（2）由直线AD 的解析式可求出()()1,0,0,3A D -，由（1）可得1,3DG OA CG OD ====，则有2OG =，然后联立一次函数与反比例函数解析可求解；（3）由（2）及图像可直接进行求解．（1）证明：Q 正方形ABCD ，,90AD CD ADC \=Ð=°，90AOD DGC Ð=Ð=°Q ，90ADO GDC DCG GDC \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ADO DCG \Ð=Ð，AOD DGC \V V ≌；（2）解：330y x =+=Q 时，1x =-，()()1,0,0,3A D \-，由()1可知1,3DG OA CG OD ====，2OG \=，即()3,2C ，即6y x=，联立336y x y x =+ìïí=ïî，解得：122,1x x =-=；()()1,6,2,3E F \--；（3）由图像及（2）可得：不等式33k x x+>的取值范围是20x -<<或1x >；故答案为20x -<<或1x >．【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合及正方形的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合及正方形的性质是解题的关键．。

《反比例函数》专题专练及答案.

1《反比例函数》专题专练专题一：反比例函数1．考点分析反比例函数函数是数学中最重要的内容之一，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，其中反比例函数的初步知识是每年的必考知识点，试题多以填空题和选择题的形式出现，重点考查基础理论、概念、方法，一次函数和反比例函数的综合题也越来越多．2．典例剖析例1．（2009年济宁市）如图2，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上，则图中阴影部分的面积等于. 分析：本题已经给出了函数关系式，只要根据反比例函数的图象和性质进行面积计算即可．解：由反比例函数的中心对称性可知：阴影部分的面积等于就等于半径为1的圆的面积，即πr2=π例2．(2009年陕西省若A(x1，y 1 ，B(x2，y 2 是双曲线xy 3=上的两点，且x 1>x2>0，则y 12（填“>”“=”“<”）．分析：本题主要考查如何根据条件，结合反比例函数图象和性质进行比较大小，只要根据反比例函数的性质即可解决问题，也可以利用代入计算的方法．解：（1）因为k=3>0，y 随x 的增大而减小，又x 1>x2>0，所以y 1＜y 2，应填＜例3．（2009年内蒙古包头）如图3，已知一次函数1y x =+的图象与反比例函数ky x=的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为．分析：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系，即12S k =解：由2k =，且图象在第一象限内，所以2k =，由12y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩得点A 坐标为(1,2，而1y x =+与x 轴的交点坐标为(-1,0，所以AB=2，BC=2，由勾股定理得AC ===点评：以上三例主要是考查反比例函数图象性质的最基本的知识，重点考查对基本知识的理解和运用情况，考查数形结合能力、分析研究问题的能力．x2专练一：1、已知点(12 -，在反比例函数ky x=的图象上，则k =． 2、函数y x m =+与(0 my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（）3、反比例函数(0 ky x x=>图象如图3示，则y 随x 的增大而． 4、如图4在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上运动，连结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为E ，设DP ＝x ，AE ＝y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（）（A ）（B ）（C ）（D ）5、在对物体做功一定的情况下，力F (牛与此物体在力的方向上移动的距离s (米成反比例函数关系，其图象如图5示，P (5，1 在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是米．6、一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图6示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y 与x 的函数图象是（）7、函数xy 1-=的图象上有两点 , (11y x A ， , (22y x B ，若0<21x x <，则（）A ．21y y C．21y y = D ．1y 、2y 的大小不确定图2图3图4图638、如图7已知反比例函数x 1y =的图像上有一点P ，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形。