动态几何之胡不归阿氏圆,旋转相似问题

“胡不归”“阿氏圆”及旋转相似
一、胡不归型
【背景知识】
有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。

然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。

人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”
早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。

（如下图）A是出发地，B是目的地；A C是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。

为了急切回家，小伙子选择了直线路程A B 。

但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。

如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。

那么，这应该是那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在A C上选定一点D ，小伙子从A走到D ，然后从D折往B ，可望最早到达B 。

用现代的科学语言表达，就是：
若在驿道上行走的速度为
，在沙地上行走的速度为，即求的最
小值.
例题1、如图，P 为正方形A B C D对角线B D上一动点，若A B ＝2，则A P ＋B P ＋C P 的最小值为_______
解析：∵正方形A B C D为轴对称图形
∴A P =P C
A
B C
D P
∴A P+B P+C P=2A P+B P=
∴即求的最小值
接下去就是套路
我们要构造一个出来
连接A E，作∠D B E=30°，交A C于E，过A作A F⊥B E，垂足为F 在R t△P B F中，
∵∠P B F=30°
∴
由此我们把构造出来了
∴的最小值即为A F线段的长
∵∠B A E=45°，∠A E B=60°
∴解直角△A B E，得A O=B O=，O E=，O B=
根据面积法，·=·
求出A F=
（此外本题费马点亦可）
例题2
图1图2
总结步骤：第一步：将所求线段和改写为的形式（＜1）
第二步：在P B的一侧，P A的异侧，构造一个角度，使得s i n=
第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算即可
模型具体归纳如下：
练习1如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经______小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)
练习2
练习4
如图，△A B C在直角坐标系中，A B=A C，A（0，2），C（1，0），D为射线A O上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在A D上的运动速度是在C D上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______
练习5
如图，菱形A B C D的对角线A C上有一动点P，B C=6，∠A B C=150°，则线段A P+B P+P D的最小值为．
练习6
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+b x+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接P D，则P B+P D的最小值为；
练习7
如图，在△A C E中，C A=C E，∠C A E=30°，⊙O经过点C，且圆的直径A B在线段A E上．
（1）试说明C E是⊙O的切线；
（2）若△A C E中A E边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径A B；
（3）设点D是线段A C上任意一点（不含端点），连接O D，当C D+O D的最小值为6时，求⊙O的直径A B的长．
二、阿氏圆型
阿氏圆也是形如的形式（＜1）最终还是化分为整。

“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足
当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。

（时点的轨迹是线段的中垂线）
如图：为固定值，则此时点P的运动轨迹为。

证明：设B点坐标为（0，0）；A点坐标为（m，0）；P（x,y）.
则，.
由得
整理得：
所以当且时，点的轨迹是个圆，圆心为，半径。

所以此时有
所以一定会有△O P B∽△O A P。

例1.在△A B C中，∠A B C =90°，B C =8,A C =6,以C为圆心，4为半径的圆上
有一个动点D ,连接A D 、B D 、C D ，则B D +A D最小值
解析：根据阿氏圆定义
=为定值，不妨设B C与圆C交与E点取E C 中点F ,由已知且∠F C D =∠D C B 所以△F C D ∽△D C B F D =B D 所以B D +A D =F D +A D A F 由勾股定理可得A F =2
图1图2
注意：阿氏圆本质与胡不归不同，构造的关键是利用相似三角形的判定：对应线段成比例夹角相等从而化分为整，最后转化为两点之间线段最短问题例2.如图，在△A B C中，∠A C B =90°，A C =B C =4，
的半径为2，点D是
上的动点，点E在B C上，C E =1，连接A D 、D E ，则的最小值为__________。

例3.在△A B C中，A B =9，B C =8，∠A B C =60°，
的半径为6，P 是上的动点，连接P B 、P C ，则
的最小值为___________。

练习
1例2题图
例3题图
练习2
如图，在R t△A B C中，∠A C B=90°，C B=4，C A=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结A P，B P，A P+B P的最小值为（）
练习4
练习5：
（1）如图1，在△A B C中，A B=A C，B D是A C边上的中线，请用尺规作图作出A B边上的中线C E，并证明B D=C E；
问题探究：
（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形A B C D内部一动点，P A=3，求的最小值；
问题解决：
（3）如图3，在矩形A B C D中，A B=18，B C=25，点M是矩形内部一动点，M A=15，当最小时，画出点M的位置，并求出的最小值。

图1图2图3
第25题图
三、旋转相似
旋转相似的由来：
旋转相似成双对
△A B C∽△A B’C’△A B B’∽△A C C’（由相似判定二得来）常见几种特殊三角形的相似构造：
1.等腰直角三角形的旋转相似
以直角顶点为旋转中心以45°角的顶点为旋转中心
2.含30°角的直角三角形的旋转相似
例1如图，直线m∥n，且平行线之间的距离为3，直线n上有线段A B，始终保持A B＝2，点C是直线m上动点，连接A C，以A C为边，在A C左侧作矩形A C D E，使得边C D 与边A C的比为，连接D B，求D B的最小值.
例2，如图，B E、A C为四边形A B C E的对角线，C E=2，∠C A E=60°，∠C A B=90°，
∠C B A=30°，连接B E，求B E的最大值.
练习1如图，四边形A B C D中，B C=C D，∠B C D=90°，∠B A D=45°，S△A C D=9，求A D
练习2在四边形A B C D中，∠B A C=∠A D C=90°，且A D=C D,若B C=4，试求线段B D的最大值
简析：构造等腰直角△C B E，连接D E，取B C中点O，连接A O、E O,则A O+O E A E
而△C D B∽△C A E,A E=D B,A O=2,O E=,故D B（m a x）=
练习3如图，在凸四边形A B C D中，∠D A B=∠D B C=∠D C B=45°，A B=,问△A B C 的面积是否为定值，若为定值求出这个定值；若不是请说明理由
简析：作等腰直角△A E B,易证△E B D∽△A B C S△A E B=S△E B D所以S△A B C=16
练习2如图⊙O的半径为3，R t△A B C的顶点A，B在⊙O上，∠A=30°，∠B=90°，点C在⊙O内，当点A在圆上运动时，求O C的最小值
简解：△A B C∽△O B D得B D=O D=又易得△A O B∽△C D B
得D C=D B=O C O D-D C
所以O C最小值为
反思：如图⊙O的半径为3，R t△A B C的顶点B，C在⊙O上，∠B=90°，B C:A B=3:4点A在⊙O内，当点C在圆上运动时，求O A的最小值。