斜齿轮的优化设计与有限元分析

现代设计方法三级项目报告斜齿轮的优化设计和有限元分析姓名：课程名称：现代设计方法指导教师：-------------------------------------------------------来自燕大2013年5月目录1 任务分工 02 问题描述 03 基于matlab的斜齿轮参数优化 03.1 目标函数的建立 03.2 约束条件的建立 (1)3.3 建立数学模型 (2)3.4 斜齿轮参数 (2)4 基于ansys的斜齿轮有限元分析 (3)4.1 网格划分本 (3)4.2 加载 (4)4.3 受力分析 (5)4.4 分析结果 (5)5 总结 (6)6 参考文献 (6)斜齿轮的优化设计和有限元分析徐航，赵航，骆华玥（燕山大学 机械工程学院）摘 要： 本文利用matlab 和ansys 对二级同轴斜齿轮减速器进行了优化设计。

通过对中心距的优化得到了最理想的齿轮参数，即在满足使用强度的前提下，最大限度的降低了成本。

1 任务分工徐航负责Matlab 和Ansys 的模拟仿真 赵航负责模型的建立及数值的分析计算 骆华玥负责演示文稿和说明书的制作。

2 问题描述齿轮减速器广泛使用在煤炭、 机械等行业,传统设计全由设计人员手工完成， 但在性能更好、 使用更可靠方便、 成本更低、 体积或质量更小的指标要求下， 希望能从一系列可行的设计方案中精选最优， 传统的设计方法做不到， 因而有必要采用matlab 优化方法来确定其设计参数。

再运用Ansys 软件来对其进行受力模拟，通过Ansys 就可以辨别优化方案的可靠性，对其进行筛选，通过Matlab 和Ansys 软件的共同使用就可以对方案进行提前鉴别，避免了不必要的损失，更有利于资源的优化使用和效益的产生。

3 基于matlab 的斜齿轮参数优化3.1 目标函数的建立据优化目标的不同， 齿轮减速器设计可以有多种最优化方案，文中讨论的是在满足齿轮传动强度、刚度和寿命条件下，使减速器体积最小或质量最小。

显然，若减速器结构紧凑， 则其重量和体积为最小，而结构的紧凑和否，关键在于减速器的总中心距，因此以总中心距最小为优化目标，建立优化设计数学模型。

二级斜齿圆柱齿轮减速器总中心距 A 的数学表达式为()()34343341212112211cos 21cos 2i Z m i Z m A A A n n +=+===ββ式中 mn12，i12和 mn34,i34———高速级和低速级齿轮的法向模数和传动比Z1，Z3———高速级和低速级小齿轮的齿数 β———斜齿轮螺旋角因为总传动比 i 已知，则 i12=i34=√2。

又因为是同轴减速器mn12=mn34，Z1=Z3， β12=β34。

所以目标函数有3个独立的设计变量：[][]Tn T Z mx x x X 34334321,,,,β== 令f （x ）=A ，所以目标函数的表达式是：()()i1x cos 2x x x f 321+=要求解的是目标函数 f （x ）的最小值， 即 minf （x ）。

3.2 约束条件的建立 （1）齿根弯曲疲劳强度计算[]F Sa Fa nF Y Y Y Y m bd KT σσβε≤=112式中 K ———齿轮传动的载荷系数； T1———主动轮的转矩；YFa ，YSa ，Y ε，Y β———齿形修正系数， 应力修正系数，重合度 系数，螺旋角系数σ F ———齿轮许用弯曲应力。

（2）齿面接触疲劳强度[]H H E H KT Z Z Z Z σσβε≤+∙=u 1u bd 2211式中 ZE ， ZH ，Z ε，Z β———材料弹性系数，节点区域系数重合度系数，螺旋角系数； d1———小齿轮分度圆直径； [σF] ———齿轮许用接触应力。

（3）将齿根弯曲疲劳强度条件、齿面接触疲劳强度条件分别按高速级大小齿轮、低速级大小齿轮进行参数化，得到以下 6 个强度约束条件，均为非线性约束。

①高速级齿轮齿根弯曲疲劳强度约束条件[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-0i cos 20cos 22121222121212n 2211212111212n 11F Sa Fa F Sa Fa Y Y Y Y Z m b KT Y Y Y Y Z m b KT σβσββεβε大齿轮：小齿轮：②高速级齿轮齿面接触疲劳强度约束条件[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+∙≤-+∙0i 1i d b 20i 1i d b 22121222221212121211212211112121212H H E H H E KT ZZ Z Z KT Z Z Z Z σσβεβε大齿轮：小齿轮：（4）其他约束条件考虑到齿轮传动平稳、 斜齿轮轴向力不可太大、满足短期过载条件、 高速级和低速级大齿轮浸油深度大致相近、 齿轮分度圆直径不能太小等因素， 可建立以下隐性约束， 均为线性的。

a1≤mn12≤b1,a2≤Z1≤b2,a3≤β≤b3可根据经验确定设计变量的上下边界 bj 和 ai ：1≤x1≤6,20≤x2≤40,8≤x3≤30 3.3 建立数学模型把上述数据分别代入目标函数及约束条件，可得，目标函数标准式约束条件标准式：()321x cos x x 27.2x f min =04.532x x 8.0cos 49.4235.35405946x x 8.0cos 19.12535.3540390x x 8.2cosx 59.8620450x x 6x x 8.0259.34cosx 32313322213231332231322122313≤-≤-+≤-≤-+x x x x1≤x1≤6 20≤x2≤40 8≤x3≤303.4 斜齿轮参数1.工件材料：小齿轮选用45钢，调质，HB1=240HBS;大齿轮选用45钢，正火，HB2=200HBS ； 齿轮精度 8 级； 传动效率取 i=12.6， i12=i34=3.5； 载荷系K=2.2； 齿宽系数 ψd=b/d1=0.8。

转矩：T1=22.13 N •m T2=73.60 N •m T3=245.00 N •m 。

2. 齿轮齿面接触许用应力[][]a 59431MP H H ==σσ [][]a 4.53242MP H H ==σσ3.齿轮齿根弯曲许用应力[][]a 45031MP F F ==σσ [][]a 39042MP F F ==σσ4.修正系数985.078.043.28.189906.080.12.2707.054.17.234123412341234123412414a 2a 3412313a 1a ====================ββεεββεεZ Z Z Z Z Z Z Z Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y H H E E Sa Sa F F Sa Sa F F5.matlab 编程计算采用 MA TLAB 软件优化工具箱求解最优结果，进行非线性有约束多元函数最小值计算[4]， 命令函数为 fmincon 。

函数m 文件function [c,ceq]=m(x)c(1)=259.34*cos(x(3)/180*pi)/(0.8*x(1)^3*x(2)^2+6*x(1)^2*x(2))-450 c(2)=862.59*cos(x(3)/180*pi)/(0.8*x(1)^3*x(2)^2)-390c(3)=354.35*sqrt(125.19*cos(x(3)/180*pi)^3/(0.8*x(1)^3*x(2)^3+6*x(1)^2*x(2)^2))-594 c(4)=354.35*sqrt(42.49*cos(x(3)/180*pi)^3/(0.8*x(1)^3*x(2)^3))-532.4 ceq=[] end程序代码fun='2.27*x(1)*x(2)/cos(x(3)/180*pi)';x0=[5,40,20];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];lb=[2,20,8];ub=[5,40,20];[x,fval,exitflag，ouput]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@m)结果：x =2 20 8fval =91.6923exitflag =1output =iterations: 5funcCount: 20lssteplength: 1stepsize: 0algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search' firstorderopt: 0constrviolation: 0message: [1x788 char]4基于ansys的斜齿轮有限元分析4.1网格划分本文对斜齿齿轮根应力分析选用185单元。

网格划分结果如图：4.2加载边界条件：在模型上给底面、侧面及对称面上的所有节点加以固定约束限制三个平动自由度。

最不利加载线位置：就单个齿轮而言，他的加在线的位置和长度随齿轮的转动二不断变化，要得到齿根最大应力，需要确定最不利加在线位置，取决于齿轮的啮合位置和接触线上的载荷分布，接触线上的载荷分布和齿轮制造误差及受载条件下的齿轮、轴、轴承的变形等诸多因素有关，而这些因素不易确定。

理论上载荷应由同时的多对齿分担，单位简化计算，假设全部载荷作用和只有一对齿啮合时的齿顶来进行分析，另用重合度系数Yε对齿根弯曲应力予以修正。

4.3 受力分析KNF KN F KN F KN F a r n t 650170049004600====4.4 分析结果由运算结果可知在齿根处的应力为110MP考虑到重合度系数最后的应力为110×0.707=77.77MP理论计算： 将数据代入下式3434333234n 32cos 2βεβσY Y Y Y Z m b KT Sa Fa F =得 80.85MP对比可知ansys 计算结果和理论结果相近，误差为3.8％5 总结此次现代设计方法概论的课程设计使我们受益匪浅，在学习Matlab 和Ansys 两种软件的时候，我们都是按照教科书上给定的步骤练习，就是一个模仿的过程，但是这次我们要自主选题，对这两种软件的运用需要熟练掌握，通过此次课设，我们基本上掌握了这两种软件的一些运用，此次课设，由于涉及到两门小课，工作量较大，但是在我们的齐心协力之下，终于完成了这一课题，用一句话概括即为：过程是艰苦的，结果却是丰硕的。

6 参考文献有限元分析,ANSYS 理论和使用 王崧,刘丽娟 机械设计 许立忠,周玉林 机械机构有限元分析 张文志,韩清凯。