对偶问题

y1, y2, y3 0
3
--第2章 对偶问题--
例：某企业计划生产甲、乙两种产品，该两种产品均需经 A、B、C、
D 四种不同设备加工，按工艺资料规定，在各种不同设备上的加工 时间及设备加工能力、单位产品利润如表中所示。问：如何安排产 品的生产计划，才能使企业获利最大?
设备
产品
A
B
C
D 单位利润
Y 0
（3）max z = C X
s.t AX b <========>
X 0
min w = Y b
s.t YA C
Y0
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等式、无约束情况的对偶：
原问题
对偶问题
max Z CX
AX b
s.t.
X 0
min W Yb
YA C
s.t .
Y 无约束
11
Fra Baidu bibliotek
推导:
y2
4 X1 16 y3
4 X2 12 y4
X1 0 , X2 0
设第i种资源价格为yi,（ i=1, 2, 3, 4,） 则有 min w= 12y1 + 8y2 + 16y3 +12 y4
s.t 2y1 + y2 + 4y3 +0 y4 2
2y1 +2y2 + 0y3 +4 y4 3 yi 0, (i=1, 2, 3, 4 )
--第2章 对偶问题--
第 二 章 线性规划的对偶理论
Duality 对偶 Dual Problem 对偶问题 Dual Linear Programming 对偶线性规划 Dual Theory 对偶理论
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--第2章 对偶问题--
2.1 问题的提出
例 甲方生产计划问题： ⅠⅡ
原问题
对偶问题
max Z CX AX b
minW bTY ATY CT
X 0 （1） max z = C X
Y 0
Y [ y1, y2 ,..., y3 ]T
min w = Y b
s.t AX b
s.t YA C
X 0
Y0
Y [ y1, y2 ,..., y3 ]
这是规范形式 的原问题，由此写出其对偶问题如右方所示，那么，当原问题 不是规范形式时，应如何写出其对偶问题？可以先将原问题化成规范的 原问题，再写出对偶问题。
·······················
am1 X1 + am2 X2 + ┈ + amn Xn bm xj 0，j=1,2,┈,n
y1 y2
ym
对偶问题：
min w = b1 y1 + b2 y2 + ┈ + bm ym
s.t
a11 y1 + a21 y2 + ┈ + am1 ym c1 x1
总的租金收入： 12 y1 16 y2 15 y3
而就乙方而言，希望甲方的租金收入在满足约束的条件下越小越好，
这样双方才可能达成协议。
原问题的对偶问题
于是得到下述 的线性规划模型： min W 12 y1 16 y2 15 y3
s.t 2 y1 4 y2 2
2y1 5y3 3
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(原问题)
<========>
( 对偶问题)
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--第2章 对偶问题--
2.2 原问题与对偶问题的关系
一般表示式：
原问题：
max z = c1 X1 + c2 X2 + ┈ + cn Xn
s.t
a11 X1 + a12 X2 + ┈ + a1n Xn b1
a21 X1 + a22 X2 + ┈ + a2n Xn b2
s.t YA C
Y 0
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（3）max z = C X
s.t AX b
X 0
--第2章 对偶问题--
设X= -X´
变形
max = -CX ´
st. -AX´ b X´ 0
min w = Y b s.t -YA - C
则有
Y 0
min w = Y b
s.t YA C
Y 0
能力 乙方租借设备：
设备A 2 2
12
设备B 4 0
16
设备C 0 5
15
利润 2 3
Ⅰ，Ⅱ各生产多少, 可获最大利润?
甲方以何种价格将设备A、B、 C租借给乙方比较合理？ 请为 其定价。
max Z
2x1 3x2
2x1 2x2 12
4
x1
16 5x2 15
x1, x2 0
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--第2章 对偶问题--
对偶模型其他结构关系
（2）若模型为
max z = C X
s.t AX b
X 0
变形
Min w=Y ´(-b)
st. Y ´(-A) C Y ´ 0
令 Y= -Y ´
max z = C X
对偶问题
s.t - AX -b
X 0 对偶变量Y
min w = Y b
a12 y1 + a22 y2 + ┈ + am2 ym c2 x2
·························
a1n y1 + a2n y2 + ┈ + amn ym cn xn
yi 0，(i=1,2,···,m )
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--第2章 对偶问题--
典式模型对应对偶结构矩阵表示
原问题化为：
max Z CX
AX b s.t. AX b
X 0
max Z CX
即：
A b s.t. A X b
X 0
2
--第2章 对偶问题--
思路： 就甲方而言， 租金收入应不低于将设备用于自己生产时的利润。
解：假设A、B、C的单位租金分别为 y1, y2 , y3 ，所以生产产品Ⅰ的资源
用于出租时，租金收入应满足：
2 y1 4 y2 2
类似的，生产产品Ⅱ的资源用于出租时，租金收入应满足：
2 y1 5y3 3
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对偶问题典式：
--第2章 对偶问题--
用矩阵形式表示：
（1） max z = C X s.t AX b <========> X 0
（2） max z = C X
s.t AX b <========>
X 0
min w = Y b
s.t YA C Y0
min w = Y b s.t YA C
甲产品 2
1
4
0
2
乙产品 2
2
0
4
3
加工能力 12
8
16 12
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--第2章 对偶问题--
1.最大生产利润模型
2.资源最低售价模型
设 企业生产甲产品为X1件， 乙产品为X2件，则
max z= 2 X1 +3 X2
s.t 2 X1 +2 X2 12 y1
X1 +2 X2 8