巴普斯定理

巴普斯定理 :
1、在一平面上取任一闭合区域，使它沿垂直于该区域的平面运动形成一个立体，那么这个立体图形的体积就等于质心所经路程乘以区域面积。
2、如果令某一长为L的曲线段沿着垂直于它所在平面的方向移动一段距离r，那么L,r与线段扫过的面积S存在关系：S=rL。
[编辑本段]应用
巴普斯定理1的应用一：
巴普斯定理用来求平面图形的质心是十分方便的，例如下面这个例子：
求半圆面质心。
令半圆面绕着它的直径旋转形成一个球体，假设半圆面的半径为R，那么它的面积即为S=πR^2/2，所得球体体积为V=4πR^3/3，又设质心离半圆面的圆心距离为X，则质心旋转一周经过的路程为L=2πX，由巴普斯定理得V=SL，所以X=4R/3π.
类似地，我们也可以求得三角形或其他平面几何图形的质心。
巴普斯定理2的应用二：
当然，巴普斯定理既然可以利用平面图形旋转后的体积来求质心，那么它也可以利用质心位置来求旋转体的体积。 例：
求圆锥体体积：
圆锥是由一个直角三角形绕直角边旋转得来的，所以它的体积等于三角形的质心到直角边的距离乘以直角三角形的面积，而三角形质心到直角边的距离又是直角边上高的1/3，于是体积的计算就十分简单了。
类似地，我们也可以求得圆环体等的体积。
巴普斯定理2的应用：
1、圆面积公式的又一证法：
将长为R的线段OP绕过O点且垂直于该线段的轴旋转一周即得到半径为R的圆O，质心经过路程为 2π*（1/2)R=πR，所以S=πR*R=πR^2。
2、3、圆环体表面积
圆心O距中心轴M的长度为R，圆O半径为r，则圆O周长为2πr，将它沿垂直于其所在平面的方向绕M轴一周后质心O移动路程2πR，所以旋转得到的空心圆环体的表面积为2πr*2πR=4π^2Rr。质心求法：巴普斯定理：一段线型物体，令其沿垂直于物体平面方向的速度运动，扫过的面积等于物体长度乘以质心通过的路程。

本题求法：运用巴普斯定理求出质心位置后，用简谐振动的判定即可求解。不过需要注意的是：简谐振动的判定既可以是线加速度与位移的关系，也可以是角加速与角位移的关系。角加速度等于所受力矩比质量。如此可解了。
　物体质量的分布中心，称为质心．竞赛中有一类求物体质心的问题，如求均匀半圆盘、均匀半圆型金属线的质心等，学生不知如何下手．其实，对于质量均匀分布的物体，求物体质心时有一个非常有用的定理——巴普斯定理．

巴普斯定理表述为：一个平面物体，质量分布均匀，令其上各质点沿垂直于平面的方向运动，在空间扫过一立体

体积，则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过的路程．

求证：当平面物体上各质点以相同的速度沿着一条与物平面垂直的直线运动时，在空间扫过的体积是一柱体，巴普斯定理成立．

平面物体上每一质点运动保持与物平面垂直，而各质点速度不等，质心沿曲线运动，平面物体在空间将扫出一个不规则体积．下面分步给出证明：

巴普斯定理：一个均匀薄板，作垂直于该面的运动，其扫过的体积等于质心走过的路程乘以板的面积。

当然，所谓垂直于该面的运动，并不单单指平动，否则算起来没有什么意义。还有一种特殊的运动，也是时时刻刻在垂直于改面运动，它就是绕固定轴旋转。实际上，绕固定轴旋转才是我们解决质心问题最常用的方法。

据个例子，让你算半圆均匀薄板的质心。如果没有这个定理，用积分算肯定很麻烦，可使用巴普斯定理，我们让薄板绕着直径旋转，得到一个球，体积可求；而板的面积也是可求的，所以质心转过的路程就可求了，就可以据此求出质心到直径的距离。在根据对称性，质心位置就确定了。瞧，多简单！