函数与方程

第九节函数与方程

考纲解读

1、了解函数的零点与方程根的关系，判断方程根的存在性及根的个数

2、能够根据具体函数的图像，用二分法求相应方程的近似解命题趋势探究

函数思想与方程思想是密切相关的，作为中学最主要内容的函数思想方法应用，在高考中的考查力度有加强趋势；函数的零点及二分法的思想会以选择题、填空题或解答题的形式

出现，在今后的高考中，也将会加大考查力度

知识点精讲

一、函数的零点

对于函数y = f x，我们把使f x = 0的实数x叫做函数y = f x的零点•

二、方程的根与函数零点的关系

方程f x =0有实数根二函数y二f x的图像与x轴有公共点二函数y二f x有零点.

三、零点存在性定理

如果函数y = f x在区间la,b〕上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fa f b :: 0

，那么函数y = f x在区间a,b内有零点，即存在〔a,b，使得f c =0,c也就是方

程f x[=0的根•

四、二分法

对于区间a,b 1上连续不断且f a f b :: 0的函数f x，通过不断地把函数f x的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法•求方程f x =0的近似解就是求函数f x零点的近似值.

五、用二分法求函数 f x零点近似值的步骤

（1 ）确定区间a,b 1 验证fa f b < 0，给定精度；•

（2）求区间a,b的中点X1.

（3）计算f为.若f捲=0,则x1就是函数f x的零点；若fa f x1：0，则令b =为

（此时零点X。• a,x1）.若f b f x1 : 0，则令a =X1 （此时零点x^ x「b）

（4）判断是否达到精确度名，即若a-b £ s则函数零点的近似值为 a （或b ）；否则重复第（2）—（4 ）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成

题型归纳及思路提示

题型33求函数的零点或零点所在区间思路提示求函数f X零点的方法:

（1 ）代数法，即求方程f X =0的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数y = f x的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数

例2.74求下列函数的零点：

（1）f x =x3 -2x2—x 2; （2）f x = x - 4.

X

变式1函数f X]=2x 3x的零点所在的一个区间是（）

A -2. -1

B 、-1,0

C 、0,1

D 、1,2

变式2设x0是方程ln x x = 4的解，贝U x0属于区间（）

A、0,1 B 、1,2 C 、2,3 D 、3,4

变式3设函数x°, y°，则X。所在的区间是

图像的交点为

A 0,1

B 、1,2 、2,3 D 、3,4

变式 4 若a ：：：b ... c,则函数f x = x-a x-bux-b x-c］、［x-c x-a 的两个零

点分别位于区间（）

A、a,b 和b,c 内 B 、-::,a 和a,b 内

c、b,c 和c,亠「i 内D、-::,a 和c, •：：内

题型34利用函数的零点确定参数的取值范围

思路提示：本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解

3 2

例2.75已知函数f x二ax bx cx d的图像如图2—29所示，则（）

0,1 C、b 1,2 D 、b 2,：：

图2-29

变式1若函数fx二a x-x-aa - 0且a = 1有两个零点，则实数a的取值范围是________________

变式2已知函数fx =log a x・x「ba . 0且a"，当2 ：：a ：：3 ：：b :::4时，函数f x的零点x o三［n,n 1 , n • N “，则n二__

变式3 （2012天津理14）已知函数x2—1

x -1

的图像与函数y =kx -2的图像恰有两个交

点，则实数k的取值范围是

题型35方程根的个数与函数零点的存在性问题

思路提示

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断

例2. 76判断方程3x—x2 =0的负实数根的个数，并说明理由•

评注如果y = f x在a,b 1上的图像时连续不断的曲线，且x0时函数y = f x在a,b上

的一个零点，不一定有f(a)f (b)c0如f(x)」x—•

< 2丿

变式1已知函数f x = ax2bx c 0，且f x = x没有实数根，证明：是否

f f x二X是否有实数根?

变式2 设M = & f (x )= x l N = & f [f (x 卩=x},证明：(1) M U N ; (2) f (x)为单

调函数时，是否有M = N

变式3对于定义域为0,11的函数f x，如果同时满足以下三条：

①对任意的0,1总有f x 一0;⑦f 1〔=1 ;③若x, _0,x2 _ 0" • x2乞1,都有

f x! x2 — f X1 + f X2成立，则函数f x为理想函数•

(1)若函数f x为理想函数，求f X的值域；

(2)判断函数g x =2x -1 0,1丨是否为理想函数，并给与证明；

X0 • 0,1 \使得f X0 庄0,1 1,且f f X0 = X0 , (3)若函数f x为理想函数，假定存在

求证：f x0 = x0.