次函数求最值方法总结
二次函数的最值与极值总结
二次函数的最值与极值总结二次函数是高中数学中常见的一类函数，具有形如y=ax^2+bx+c的一般式。
在研究二次函数的性质时，最值与极值是非常重要的概念。
本文将对二次函数的最值与极值进行总结和讨论。
一、最值的概念在数学中，最值指的是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，最值的存在与二次项的系数a的正负有关。
1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的最小值存在。
这个最小值即为函数的最小值。
2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的最大值存在。
这个最大值即为函数的最大值。
二、最值的求解方法1. 最值的求解方法一：利用函数的对称性二次函数关于x轴对称，对称轴方程为x = -b/(2a)。
所以，函数的最值点的横坐标一定在对称轴上。
当对称轴上有x值时，带入函数表达式即可求得对应的y值，确定最值点。
2. 最值的求解方法二：利用二次函数的顶点公式二次函数的顶点公式为x = -b/(2a)，y = f(x)。
通过求得的顶点坐标，就可以确定最值点的坐标。
根据二次函数的性质，当a>0时，对应的顶点为最小值点；当a<0时，对应的顶点为最大值点。
三、极值的概念在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
对于二次函数来说，极值的存在与一阶导数的符号有关。
1. 当一阶导数大于0时，函数递增，没有极小值。
2. 当一阶导数小于0时，函数递减，没有极大值。
3. 当一阶导数等于0时，函数可能存在极值或拐点。
此时，需要通过二阶导数或其他方法来进一步判断。
四、极值的求解方法1. 极值的求解方法一：利用导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)。
将一阶导数f'(x)等于0解方程，求得x的值。
然后，将求得的x值代入原函数f(x)中，求得对应的y值，确定极值点。
2. 极值的求解方法二：利用二阶导数法对二次函数进行求导，得到一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
二次函数的最值与极值问题
二次函数的最值与极值问题二次函数是数学中常见的一种函数类型，在很多实际问题中都可以用二次函数来描述。
在解决二次函数的最值与极值问题时，可以运用一些方法和技巧来求解。
本文将介绍一些常见的解题思路和方法。
一、二次函数的最值问题二次函数的最值指的是函数在定义域内的最大值或最小值。
当求解二次函数的最值时，可以利用二次函数的顶点和开口方向进行判断。
1. 定理1：对于开口向上的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0，顶点的 y 值是函数的最小值。
使用该定理时，可以先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最小值。
2. 定理2：对于开口向下的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a < 0，顶点的 y 值是函数的最大值。
同样地，使用该定理时，先求得二次函数的顶点，再将顶点的坐标代入原函数，得到最大值。
需要注意的是，二次函数的最大值或最小值可能在定义域内的某个点上出现，因此除了顶点外还需要考虑其他可能的极值点。
二、二次函数的极值问题二次函数的极值指的是函数在定义域内的局部最大值或最小值。
当求解二次函数的极值时，可以利用二次函数的导数和零点来寻找。
1. 求解极值的一般步骤如下：a) 求二次函数的导函数；b) 解二次函数的导函数为零的方程，得到零点；c) 将零点带入原函数，求得对应的函数值，得到极值。
2. 一个特殊情况是在二次函数的定义域 [a, b] 上求极值时，可以先求出导数，然后导数大于零的部分即是函数的递增区间，导数小于零的部分即是函数的递减区间。
接着，再对边界点和零点进行比较，得到极值。
三、综合练习与例题为了更好地理解二次函数的最值与极值问题，我们来进行一些练习和解题。
【练习题一】已知二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，1. 求二次函数的顶点及对应的最值；2. 求二次函数的极值。
【解答】1. 对于二次函数 f(x) = -2x^2 + 4x + 1，a = -2 < 0，可以判断开口向下，顶点的 y 值是最大值。
函数极值点求解方法
函数极值点求解方法引言函数的极值点是指函数在某个区间内取得最大值或最小值的点。
求解函数的极值点是数学中的一个重要问题，具有广泛应用价值。
本文将介绍几种常见的函数极值点求解方法。
二次函数的极值点求解方法当函数是一个二次函数时，可以使用求导法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 将函数表示为二次函数的标准形式：$f(x)=ax^2+bx+c$。
2. 求导函数：$f'(x)=2ax+b$。
3. 令导数等于0，解方程得到极值点的横坐标：$2ax+b=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。
4. 将横坐标代入原函数中，求得纵坐标。
高阶函数的极值点求解方法对于高阶函数，求解极值点可以依靠计算机算法进行近似求解。
其中，一种常用的方法是牛顿法。
具体步骤如下：1. 初始化变量，设初始点$x_0$。
2. 使用公式：$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，进行迭代，直到满足终止条件。
3. 最终迭代得到的$x_n$就是函数的极值点。
数值优化算法求解极值点除了上述方法外，还可以使用数值优化算法来求解函数的极值点。
常见的数值优化算法有梯度下降法、粒子群优化等。
这些算法一般适用于函数复杂、无法用解析方法求解的情况。
结论本文介绍了几种常见的函数极值点求解方法。
对于简单的二次函数，我们可以使用求导法求解极值点；对于复杂的高阶函数，可以采用牛顿法进行近似求解；而对于更加复杂的函数，可以使用数值优化算法来求解。
在实际应用中，选择合适的求解方法可以提高求解效率，为问题的解决提供有效的支持。
初中数学最值问题总结
初中数学最值问题总结初中数学中的最值问题主要涉及到以下知识点：1. 一次函数的最值：一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）在闭区间 [a, b] 上的最大值和最小值。
当 k > 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递增，最小值为 f(a)，最大值为 f(b)；当 k < 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递减，最小值为 f(b)，最大值为 f(a)。
2. 二次函数的最值：二次函数 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的最值主要出现在顶点处。
对于开口向上的抛物线（a > 0），最小值出现在顶点处；对于开口向下的抛物线（a < 0），最大值出现在顶点处。
3. 反比例函数的最值：反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）在 x > 0 的范围内单调递减，所以最大值为 k/x = k/x₁，最小值为 k/x = k/x₂。
在 x < 0 的范围内单调递增，所以最小值为 k/x = k/x₁，最大值为 k/x = k/x₂。
4. 对数函数和指数函数的最值：对数函数和指数函数都有其定义域和值域，因此在定义域内求解最值需要考虑函数的性质和定义域的限制。
5. 利用基本不等式求最值：基本不等式如算术平均数大于等于几何平均数等，可用于求解一些特定形式的最值问题。
解决最值问题的一般步骤包括：1. 分析问题：明确最值是在什么条件下取得，以及这个最值是最大值还是最小值。
2. 选择合适的方法：根据问题的性质选择合适的方法来求解最值，如一次函数、二次函数、反比例函数等。
3. 建立数学模型：根据问题的要求建立相应的数学模型，利用适当的公式和不等式来求解最值。
4. 解方程或不等式：解方程或不等式得到最值的取值范围或具体数值。
5. 检验答案：对答案进行检验，确保其符合问题的实际情况。
通过以上知识点和解题步骤的总结，学生可以更好地理解和掌握初中数学中的最值问题，提高解决这类问题的能力。
二次函数求最值方法总结
若 ，二次函数在 时的函数图像是递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
2、当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 的最值：
1)当 时， 时， 取最大值： ； 的最小值在 或 处取到。
2)若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递增的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
二、二次函数最值问题常见四种考察题型：
1)对称轴定、 取值范围定；
2)对称轴定、 取值范围动；
3)对称轴动、 取值范围定；
4)对称轴动、 取值范围动。
【例题解析】
例1．当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．
(1)当对称轴在所给范围左侧．即 时：当 时， ；
(2)当对称轴在所给范围之间．即 时：
当 时， ；
(3)当对称轴在所给范围右侧．即 时：
当 时， ．
综上所述：
【变式训练】
变式2、当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【变式训练】
变式1、当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
高考函数题型及解题方法总结
高考函数题型及解题方法总结
高考函数题型及解题方法总结
1、一元二次函数的求根求最值
求根：要求一元二次函数的根，可使用中国剩余定理，从根式公式中
求出函数的两个相等根；也可采用“二分法”或“牛顿迭代法”，从试值中求出函数的两个相等根。
求最值：要求一元二次函数的最值，可通过求函数的判别式delta=b^2-
4ac，并分析delta>0、delta=0和delta <0时函数在原点周围的情况，分
类判断即可求出函数的最值；也可根据函数有理切线斜率的性质，及
函数的拐点的特性，求出函数的最值。
2、多项式的分析
多项式的分析：可使用“系数比例”、“极坐标曲线”、“相关数列”等方法，从多项式本身角度分析多项式性质及多项式各分段性质；也可使用“解
析法”，将一维函数转化为一等关系，从而分析多项式的性质。
3、参数方程的解法
使用“换元法”，将参数方程中的参数化为一个变量，并采用一元混合
方程的解法去求解；也可使用“牛顿迭代法”，通过试值法得到参数方
程的解；或使用“分步解法”，将参数方程转化为一组参量方程，一步
步地求解参数方程。
4、函数图象的绘制和分析
采用“图形分析法”，结合函数图象结构特点，分析函数图象性质；也
可根据函数定义域及值域以及函数特性，使用“穷举法”绘制函数图象。
5、函数及函数图象之间的关系
要求函数及函数图象之间的关系，可利用函数导数的性质，将函数求
导得到函数的导数，或考虑到函数的有理切线斜率的性质，从而把函
数的性质及函数图象的性质联系起来；又或者根据函数有理切线的特点，从函数图象中求出函数的特性。
初中数学求最值的几种常见方法
初中数学求最值的几种常见方法
求最值是数学中常见的问题之一，下面介绍几种常见方法。
1. 数学定义法：根据数学定义，推导出最值的计算方法。
比如，对于一元二次函数 $y=ax^2+bx+c$，最值为 $y_{\min} = c -
\frac{b^2}{4a}$，即抛物线的最低点。
2. 辅助函数法：通过构造辅助函数，将原函数的最值问题转化为辅助函数的最值问题。
比如，在求一个区间 $[a,b]$ 上的函数
$f(x)$ 的最大值时，可以构造辅助函数 $g(x) = -f(x)$，然后求$[a,b]$ 上 $g(x)$ 的最小值，即可得到 $f(x)$ 的最大值。
3. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数来确定其最值点。
求得导数为零或不存在的点即为极值点，再通过二阶导数判断该点是极大值还是极小值。
需要注意的是，极值点不一定是最值点，还需要结合函数在极值点的取值情况进行判断。
4. 线性规划法：线性规划是一种优化问题，可用于求解含有多个变量的最值问题。
通过设置优化目标和约束条件，建立线性规划模型，再用线性规划算法求解最值。
这种方法在实际问题中应用广泛，比如生产计划、投资组合等领域。
以上是几种常见的求最值方法，不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
二次函数的最值
二次函数的最值二次函数是一种非常常见和重要的数学函数形式，具有许多应用和特点。
其中一个重要的特点就是它的最值。
本文将介绍二次函数的最值问题，包括如何求解最值以及最值的应用。
一、最值的概念在数学中，最值是指一个函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。
二次函数的最值是指二次函数在定义域内取得的最大值或最小值。
二、最值的求解求解二次函数的最值可以通过求导数或者求二次函数对称轴来实现。
1. 求导数法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过求导数来找到最值。
首先，对二次函数求一阶导数，然后令导数等于0，即求解方程ax^2 + bx + c = 0。
这样可以找到二次函数的驻点，将驻点代入二次函数，得到最值。
2. 对称轴法对于一般二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过求其对称轴来找到最值。
二次函数的对称轴公式为x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入二次函数，即可得到最值。
三、最值的应用最值问题在实际应用中有着广泛的应用，尤其是二次函数的最值。
1. 经济学应用在经济学中，二次函数的最值问题常用于研究成本、利润或者效益等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助经济学家做出更合理的决策。
2. 物理学应用在物理学中，二次函数的最值问题常用于研究物体的运动轨迹、能量等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助物理学家预测和解释实验现象。
3. 工程学应用在工程学中，二次函数的最值问题常用于研究设计优化、材料选取等方面。
通过分析二次函数的最值，可以帮助工程师在设计和实施工程项目时作出最佳决策。
四、例题演示假设有一个二次函数y = -x^2 + 2x + 3，我们来求解它的最值。
1. 求导数法首先，对二次函数求导数，得到y' = -2x + 2。
令导数等于0，即-2x + 2 = 0，解得x = 1。
将x = 1代入二次函数，得到y = 4。
所以，二次函数y = -x^2 + 2x + 3的最值为y = 4。
利用几何知识求最值的几种方法
利用几何知识求最值的几种方法最值问题在中学数学教材中占有相当重要的地位，而与“不等式”“函数值域”都有着密切联系。
中学中我们学习了不少关于求最值的方法。
本文利用我们学过的知识把复数,几何等知识融合在一起给出了求最值的几种巧妙方法，诣在归纳总结，给以后学习最值问题提供参考。
1.用比较半径法求最值。
此方法主要是从代换的角度出发，巧妙应用圆的半径来探索求最值。
这类题目的特点是所求函数和限制条件一般由一个是二次曲线形式的。
利用坐标变换把二次曲线变成圆，再把目标函数变为直线，因在同一个坐标系内直线过圆，所以圆上的点到直线的距离小于等于半径。
根据公式.求得最值。
例1.已知求函数的最值。
分析:此题限制条件是一个二次曲线—椭圆。
目标函数为一直线，若令：则恰能得到一个圆的方程，而目标函数12X-5Y是一过圆心的直线,这些恰好符合我们给出的条件,所以我们不妨用此方法去解.解：令圆: 。
如图：显然圆上任一点P(X,Y)到直线：12X-5Y=0的距离即例2.已知x+3y-10=0,求函数的最小值。
解：设则直线方程：如图：圆：从而本题变为求圆半径的最小值。
当直线与圆相切时圆的半径取得最小值。
即：故.1.切线法求最值。
①利用“直线关系法”求最值。
这类题目的特点是点在平面上的二次曲线域（包括边界）上运动，求目标函数的最值。
此解法关键是把约束条件恒等变形，化成二次曲线上或形内的适合条件，再令（为非零实数），转化成求的最值，则可求出的最值。
这种思路主要应用了斜率不变的直线系来解决问题。
例1. 若点的坐标适合求。
分析:由题我们可以看出所适合的条件是在这个圆形区域内,所求函数恰好为一直线,故我们可以用此方法去解.解：变形为，适合条件的点为圆周上和圆内的点。
设目标函数，这是斜率为的平行直线系，如图：此题转化为求斜率为的直线与圆相切的方程。
又因为我们有代入则得即：，解之得所以的最大值是5，最小值是。
②斜率法求最值。
这类题的特点是所求目标函数一般为分式,如根据的关系我们把它写成是二次曲线上点,从而这个式子可以看做是点(a,b)到曲线上任一点的斜率的最值,在根据二次曲线的切线求得最值.此法能形象地说明该式最值的几何意义。
数学解决函数极值的三种方法
数学解决函数极值的三种方法函数的极值指的是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解函数的极值是数学中的重要问题之一，有着广泛的应用。
本文将介绍三种常用的数学方法来解决函数的极值问题。
一、导数法导数法是求解函数极值最常用的方法之一。
该方法基于导数的性质，通过求函数的导数来研究函数在不同点的变化情况。
假设函数f(x)在[a, b]区间内连续可导。
下面是求解函数极值的步骤：1. 求出函数f(x)的导数f'(x)。
2. 求出导数f'(x)的零点，即解方程f'(x) = 0。
3. 求出[a, b]区间内导数f'(x)的极值点，即对导数f'(x)求导，得到f''(x)，再求出f''(x) = 0的解。
4. 将[a, b]区间内得到的所有解代入原函数f(x)中，得出这些点对应的函数值。
5. 比较得出的函数值，找出最大值和最小值。
导数法求解函数极值的优点是简单易懂，只需要求导和解方程，相对较快。
但该方法的缺点是依赖函数的可导性，对于非连续或不可导的函数不适用。
二、一元二次函数法一元二次函数法是解决函数极值问题的另一种常用方法。
该方法适用于形如f(x) = ax² + bx + c的二次函数。
下面是使用一元二次函数法求解函数极值的步骤：1. 将函数f(x)化为顶点形式，即使用平方完成或配方法将函数转化为f(x) = a(x-h)² + k的形式。
2. 根据一元二次函数的性质，当a>0时，函数在顶点(h, k)处取得最小值；当a<0时，函数在顶点(h, k)处取得最大值。
3. 找出顶点的横坐标h，即x = -b/2a。
代入f(x)，求得函数的极值。
一元二次函数法的优点是适用范围广，并且可以直观地得到函数的极值点。
但对于不是二次函数的情况，该方法并不适用。
三、二阶导数法二阶导数法是一种更加精确的求解函数极值的方法。
高中数学求最值的方法
高中数学求最值的方法
1、配方法:形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x 的二次方程。
由于，∴≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，及≥≤，注意正，定，等的应用条件，即:a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法:形如的函数，令，反解出x，代入上式，得出关于t 的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
还有三角换元法，参数换元法。
6、数形结合法形：如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值：首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x)，偶函数；若f(x)=-f(-x)，奇函数。
二次函数求最值的解题技巧
二次函数求最值的解题技巧嘿，咱今儿就来聊聊二次函数求最值这档子事儿啊！你说这二次函数，就像个调皮的小精灵，有时候让人摸不着头脑，但别怕，咱有招儿对付它！先说说啥是二次函数，不就是那形如 y=ax²+bx+c 的家伙嘛！这里面的 a、b、c 可都有大作用呢。
求最值，咱得先看看这 a 的正负。
要是 a 大于 0，那图像就像个开口向上的抛物线，有个最低点，也就是最小值；要是 a 小于 0 呢，那图像就是开口向下的抛物线，有个最高点，也就是最大值啦。
举个例子吧，比如有个二次函数 y=x²+2x+3，这里 a=1 大于 0，那咱就知道它有最小值。
咋求呢？可以用配方法呀！把它变成y=(x+1)²+2，一下子就看出来啦，当 x=-1 的时候，最小值就是 2 呀！再比如 y=-x²+4x-3，a=-1 小于 0，有最大值。
咱还是用配方法，y=-(x-2)²+1，那最大值就是 1，当 x=2 的时候取到。
嘿，你想想，这求最值不就跟咱找宝藏似的嘛，得有方法有技巧才能找到那个最珍贵的点呀！还有一种方法呢，就是利用对称轴。
对称轴公式知道不？x=-b/2a 呀！找到对称轴，再结合 a 的正负，不就能知道最值在哪啦？就像走迷宫，有了对称轴这个线索，咱就能顺藤摸瓜找到最值的位置。
你可别小瞧这些技巧，它们在好多地方都能派上大用场呢！比如在解决实际问题的时候，什么最大面积啦，最大利润啦，都得靠它们来帮忙。
咱学知识不就是为了用嘛，学会了这些解题技巧，就像有了一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！所以啊，别觉得二次函数求最值难，只要咱用心去琢磨，多练练，肯定能掌握得牢牢的！到时候，什么难题都不在话下啦！加油吧，朋友们！让我们一起把二次函数这个小精灵给驯服咯！。
求基本不等式最值的方法
求基本不等式最值的方法基本不等式最值的求解方法是数学中的重要内容，它在解决实际问题和数学推导中具有广泛的应用。
下面将介绍几种常见的方法来求解基本不等式的最值。
1. 利用二次函数性质：对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别是实数，当 a>0 时，函数开口向上，最小值为 f(-b/2a)；当 a<0 时，函数开口向下，最大值为 f(-b/2a)。
2. 利用数轴和符号的方法：以不等式的变量为基准，将不等式化简为一维数轴上的问题。
首先找到不等式的解集，并根据不等式中的符号（大于号或小于号）确定最值的类型（最大值或最小值）。
然后，根据最值的要求，找到数轴上对应的点，即最值点。
3. 利用 AM-GM 不等式：AM-GM 平均值不等式是一种用于估计数值大小的方法。
对于非负实数 a1, a2, ..., an，其几何平均值 GM = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)，算术平均值 AM = (a1 + a2 + ... + an)/n，不等式表达式为GM ≤ AM。
通过利用 AM-GM不等式，将给定的不等式进行转换和化简，可以求解不等式的最值。
4. 利用导数和极值：对于连续函数 f(x) 在某个区间内，如果 f'(x) 存在且连续，可以通过求解 f'(x) = 0 的根来找到函数 f(x) 的极值点。
然后根据极值的类型（极大值或极小值）来确定最值。
以上是一些常见的方法来求解基本不等式的最值。
根据具体的不等式形式和要求的最值类型，我们可以选择合适的方法进行求解。
在实践中，掌握这些方法并灵活运用它们，将能够有效地解决各种不等式最值的问题。
求函数最值的方法总结
求函数最值的方法总结一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。
简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。
下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。
函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。
函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。
通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。
文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。
函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。
求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。
同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。
最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。
（1）代数法。
代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。
求函数最值的12种方法
求函数最值的12种方法在数学中，函数的最值是指函数在定义域上的极大值和极小值。
求函数的最值有很多不同的方法，下面将介绍12种常用的方法。
希望能够帮助你对函数的最值求解有更深入的理解。
方法一：函数图像法这是最直观的方法之一，通过绘制函数的图像，可以清楚地观察到函数的最值点所在的位置。
最大值对应函数的极大值点，最小值对应函数的极小值点。
方法二：导数法求函数的最值，常常使用导数法。
首先求函数的导数，然后将导数为零的点与定义域的边界进行比较，即可得到函数的最值点。
方法三：导数的符号法求函数的最值，还可以通过分析导数的符号来求解。
当导数恒大于零时，函数是递增的，函数的最大值出现在定义域的上界；当导数恒小于零时，函数是递减的，函数的最小值出现在定义域的下界。
方法四：高次函数的极值点对于高次函数来说，还可以通过求导数的高阶导数来找到极值点。
当高阶导数为零时，该点可能是极值点；当高阶导数不为零时，可通过判断导数的符号来确定它是极大值还是极小值。
方法五：函数的平均值定理利用函数的平均值定理可以得到函数最值的一个粗略的估计。
平均值定理指出，如果函数连续且可微分，那么在两个点之间存在一个点，使这三个点的斜率与两点之间切线的斜率相同。
这个点可能是函数的极值点。
方法六：拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解带有约束条件的函数最值问题。
通过引入拉格朗日乘子，将带有约束条件的函数最值问题转化为无约束条件的函数最值问题。
然后可以利用导数法等方法来求解。
方法七：边界法对于函数的有界定义域，可以通过比较边界处函数值的大小来求解最值问题。
找到定义域的上界和下界，并将其代入函数，比较函数值的大小即可得到最值。
方法八：几何法对于一些特殊的函数图像，可以利用函数的几何性质来求解最值。
如对于抛物线函数，其最值点处对应抛物线的顶点。
方法九：二次函数的最值对于二次函数，可以通过求取顶点坐标来得到函数的最值。
二次函数的顶点坐标即为函数的最值点。
方法十：三角函数的最值对于一些三角函数，可以利用函数图像的周期性来求解最值问题。
初二数学下学期次函数知识点总结
初二数学下学期次函数知识点总结
次函数是二次函数的另一种称呼。
求解次函数的知识点总结：
1. 次函数的标准形式：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2. 次函数的图像：次函数的图像为抛物线，开口方向由二次项系数a的正负号决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 次函数的顶点坐标：次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为次函数。
4. 次函数的对称轴：次函数的对称轴为x = -b/2a。
5. 次函数的判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac，Δ的值可以判断次函数的性质。
当Δ>0时，次函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，次函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，次函数没有实数根。
6. 次函数的零点（根）：即次函数的解，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0
来求得。
7. 次函数的最值问题：次函数的最值问题可以通过求解顶点的纵坐标来得到。
当a>0时，次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，次函数的最大值为f(-b/2a)。
8. 次函数与二次函数的关系：二次函数是次函数的特殊情况，即当次函数的一阶项系
数b为0时，即为二次函数。
以上是次函数的部分重要知识点总结，希望对你有帮助！。
一次函数求最值问题
归纳总结
一、一次函数最值在数学问题中的 确定方法：
1.有确定的一次函数关系式；
2.有自变量的取值范围；
3.根据一次函数的增减性确定它的最值。
学习目标：
1.会用一次函数解决数学中的最值问题 2.掌握用一次函数最值在实际问题中的解答思 路和方法
快乐导学： 二、一次函数最值在实际问题中的确定方法
1.某汽车停车场预计五一这天将停放大小汽车1000 辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车 每辆次5元。 （1）写出这天停车场的收费总额P（元）与大车停 放辆次x（辆）之间的函数关系式。 解：（ 1）P=10x+5(1000-x)=5x+5000 （2）这天停车场的收费总额最多为多少元？ （3）如果这天停放的大汽车不低于停车总辆次的 解：（ 2）∵P随x的增大而增大，0≤x≤1000 60%，那么，这天停车场的收费总额最少为多少元？ ∴当x=1000时，P最大。 当x=1000时，P=5×1000+5000=10000
所以这天停车场的收费总额最多为10000元。
解：（3）根据题意得： x≥ 1000×60% 0≤x≤1000 解得 600≤x≤1000 ∵ P随x的增大而增大， 故当x=600时，P最小。 当x=600 时 ，P=5×600＋5000=8000 所以，五一这天停车场的收费总额最少为8000元。
归纳与总结 二、一次函数最值在实际问题中的解答 思路：
回顾与反思
1、本课内容所运用的知识点 2、学习本课的收获、体会
3、对于本节课的内容你还有哪些疑惑？
作 业
学练优84页
1、求一次函数解析式。 2、结合题意列出不等式（组），确定自变量的取值 范围。
3、根据一次函数的增减性，计算函数的最大（小）值。
二次函数最值问题解题技巧
二次函数最值问题解题技巧介绍二次函数是高中数学中重要的内容之一，而求二次函数的最值问题在解题过程中也是非常常见的。
本文将介绍解决二次函数最值问题的一些技巧和方法，帮助读者更好地理解和应用。
1. 二次函数的基本形式二次函数一般可以写成如下形式：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
先来看一个具体的例子：例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的最值。
2. 求二次函数的顶点求解二次函数的最值问题，首先需要求出函数的顶点。
二次函数f(x)=ax2+bx+c的顶点坐标可以通过以下公式得到：x=−b2a例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的顶点坐标。
解：根据公式x=−b2a ，代入a=2和b=−4，可以得到x=−−42×2=1。
将x=1代入原函数f(x)，可以计算出对应的y值：f(1)=2×12−4×1+1=−1。
所以函数f(x)的顶点坐标为(1,−1)。
3. 确定开口方向在求得顶点后，我们还需要确定二次函数的开口方向，以便进一步确定最值的位置。
在一般情况下，当二次函数的系数a为正时，抛物线开口向上；当a为负时，抛物线开口向下。
在已知顶点的情况下，通过判断a的正负即可确定开口方向。
例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的开口方向。
解：由于a=2为正数，所以二次函数f(x)的抛物线开口向上。
4. 求解最值根据顶点坐标和开口方向，我们可以得出二次函数的最值。
当二次函数开口向上时，最小值就是函数的顶点值；当二次函数开口向下时，最大值就是函数的顶点值。
例子1：设f(x)=2x2−4x+1，求函数f(x)的最小值。
解：由于函数f(x)是向上的抛物线，最小值就是顶点坐标的纵坐标。
所以函数f(x)的最小值为−1。
5. 问题求解的一般步骤在解决二次函数最值问题时，我们可以总结出一般的步骤如下：1.将二次函数写成标准形式：f(x)=ax2+bx+c；2.使用公式x=−b求得顶点坐标(x,y)；2a3.判断抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；4.根据开口方向，并结合顶点坐标，得出最值结果。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、图像法求二次函数最值；
2、利用分类讨论思想和二次函数图像特点求解二次函数最值。
（对称轴、 取值范围、函数图像增减性）
作业：Байду номын сангаас
1、当 时，求函数 的最大值和最小值．
2、当 时，求函数 的最大值(其中 为常数)．
学生姓名
性别
年级
学科
数学
授课教师
上课时间
年 月 日
第（ ）次课
共（ ）次课
课时： 课时
教学课题
二次函数求最大值和最小值
教学目标
利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值
教学重点与难点
含有参数的二次函数最值求解。
课堂引入：
1)由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容）。
分析：由于 所给的范围随着 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即 时：当 时， ；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即 时：
当 时， ；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 时：
当 时， ．
综上所述：
【变式训练】
变式2、当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．
若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递增的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
二、二次函数最值问题常见四种考察题型：
1)对称轴定、 取值范围定；
2)对称轴定、 取值范围动；
3)对称轴动、 取值范围定；
4)对称轴动、 取值范围动。
【例题解析】
例1．当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
2)当 时，求函数 的最大值和最小值．
（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫）
二次函数求最值方法总结：
一、设 ，当 时，求 的最大值与最小值。
1、当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 的最值：
1)当 时， 时， 取最小值： ； 的最大值在 或 处取到。
2)若 ，二次函数在 时的函数图像是递增的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
若 ，二次函数在 时的函数图像是递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
2、当 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得 的最值：
1)当 时， 时， 取最大值： ； 的最小值在 或 处取到。
2)若 ，二次函数在 时的函数图像是单调递减的，则 时， 取最小值；则 时， 取最大值。
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【变式训练】
变式1、当 时，求函数 的最大值和最小值．
分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 的值．
解：作出函数的图象．当 时， ，当 时， ．
【例题解析】
例2、当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．