三年级面积计算、等量代换、重叠问题知识点
三年级下册《面积》知识点归纳-经典教学教辅文档
三年级下册《面积》知识点归纳1、认识面积2、认识面积单位：平方米 (m2) 平方分米(dm2) 平方厘米(cm2)3、计算长方形、正方形的面积: 长方形的面积 = 长宽正方形的面积 = 边长边长4、面积单位的换算: 1分米2 = 100 厘米21米2 = 100分米21公顷 = 10000米21千米2 = 1000000米21千米2 = 100公顷甚么是面积 (认识面积)1、经过先生参与画图活动，认识图形面积的含义。
2.经历比较两个图形面积大小的过程，体验比较策略的多样性。
3.在活动中培养先生的动手操作能力、分析综合能力和初步的空间观念和与人合作交流的能力。
量一量1引导先生探求长方形面积计算公式，初步理解长方形和正方形面积的计算方法，会正确地计算长方形和正方形的面积。
2.引导先生估计给定的长方形、正方形面积，培养先生的空间观念和几何直观能力。
3.经历数学知识的运用过程，感受身旁的数学，体验学数学、用数学的乐趣。
摆一摆 (长方形、正方形的面积)1、引导先生探求长方形面积计算公式，初步理解长方形和正方形面积的计算方法，会正确地计算长方形和正方形的面积。
2.引导先生估计给定的长方形、正方形面积，培养先生的空间观念和几何直观能力。
3.经历数学知识的运用过程，感受身旁的数学，体验学数学、用数学的乐趣。
铺地面 (面积单位的换算)1、结合解决成绩的具体情境，领会面积单位换算和运用大的面积单位的必要性。
2、掌握面积单位间的换算关系，能利用面积换算，解决一些简单的成绩。
3、初步培养先生的实践操作、分析、比较和综合的能力，进一步发展空间观念。
科学睡眠健康成长——在国旗下的发言各位尊敬的老师、各位亲爱的同学：大家上午好!我是来自预备二班的***。
今天，我非常的荣幸，能在3月21日世界睡眠日这一重要节日即将来临的时刻，和大家共同学习、分享《科学睡眠健康成长》这一主题内容。
睡眠是人体的一种主动过程，人的一生几乎有3分之1的时间在睡觉中度过。
《等量代换》 知识清单
《等量代换》知识清单一、什么是等量代换等量代换是数学中一种基本的思想方法，指的是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。
简单来说，就是两个相等的量可以互相替换。
例如，如果我们知道 1 个苹果的重量等于 2 个橘子的重量，而现在有 3 个苹果，那么就相当于有 6 个橘子。
这里就是用橘子的数量替换了苹果的数量，因为它们之间存在着等量关系。
二、等量代换的重要性等量代换在数学学习和日常生活中都具有极其重要的作用。
在数学学习中，它是解决很多数学问题的关键方法。
比如在代数运算中，通过等量代换可以将复杂的式子简化，从而更方便地进行计算和求解。
在几何图形中，也经常会用到等量代换的思想来证明一些定理和求解图形的面积、周长等问题。
在日常生活中，等量代换的思想也无处不在。
比如在购物时，我们会根据商品的价格和数量进行等量代换，计算出总花费；在比较不同物品的价值时，也会通过等量代换来做出更明智的选择。
三、等量代换的应用场景1、货币兑换当我们出国旅游或者进行国际贸易时，需要进行货币兑换。
例如，1 美元可以兑换 65 元人民币，如果我们有 50 美元，那么就可以通过等量代换计算出相当于 325 元人民币。
2、物品交换假设你有 3 本书，而你的朋友有 5 支笔，并且你们约定 1 本书可以换 2 支笔。
那么通过等量代换，你可以算出 3 本书可以换 6 支笔，而朋友的 5 支笔相当于 25 本书。
3、面积计算在计算不规则图形的面积时，我们常常会将其分割成几个规则的图形，然后通过等量代换，将不规则图形的面积转化为规则图形面积的组合。
4、重量衡量比如在市场上，知道 1 斤猪肉的价格和 1 斤牛肉的价格，当我们要比较买一定量的猪肉和牛肉哪个更划算时，就会用到等量代换。
四、等量代换的解题步骤1、找出等量关系这是等量代换的关键步骤。
需要仔细观察题目中给出的条件，找出两个或多个量之间的相等关系。
2、表示等量关系可以用等式、图表或者文字描述等方式，将找出的等量关系清晰地表示出来。
三年级数学下册期末总复习《5单元面积》必记知识点
三年级数学下册期末总复习《5单元面积》知识点必记知识点一、面积的定义•面积是指物体表面或封闭图形的大小。
•常用的面积单位有：平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）、公顷（ha）、平方千米（km²）等。
二、面积单位的换算•1平方分米= 100平方厘米•1平方米= 100平方分米= 10000平方厘米•1公顷= 10000平方米•1平方千米= 100公顷= 1000000平方米三、长方形和正方形的面积计算1.长方形的面积•公式：面积= 长× 宽•举例：一个长方形长5cm，宽3cm，其面积为5cm × 3cm = 15cm²。
2.正方形的面积•公式：面积= 边长× 边长•举例：一个正方形边长4cm，其面积为4cm × 4cm = 16cm²。
四、面积单位的实际应用•在生活中，我们可以找到很多与面积单位相关的实例。
•1平方厘米：大约是一个指甲盖的大小。
•1平方分米：大约是一个电脑A盘或电线插座的面积。
•1平方米：大约是一个教室侧面小展板的面积。
五、周长与面积的关系•周长是封闭图形一周的长度，面积则是封闭图形的大小。
•周长与面积的单位不同，不能进行比较。
例如，一个周长为16cm的正方形，其面积是16cm²，虽然数值相等，但意义不同。
六、注意事项•在计算面积时，需要确保使用的单位是合适的。
•比较两个图形的面积时，要使用统一的面积单位。
•长度单位和面积单位不能混淆。
通过以上的知识点梳理，相信同学们对三年级数学下册《5单元面积》的内容有了更清晰的认识。
在复习过程中，可以结合具体的题目进行练习，加深对知识点的理解和应用。
《等量代换》 知识清单
《等量代换》知识清单一、什么是等量代换等量代换是数学中一种非常重要的思想方法，它指的是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。
简单来说，如果两个量是相等的，那么在一定的条件下，它们可以互相替换。
例如，我们知道 1 个苹果的重量等于 2 个橘子的重量，而 2 个橘子的重量又等于 3 个草莓的重量。
那么通过等量代换，我们就可以得出 1 个苹果的重量等于 3 个草莓的重量。
等量代换的核心在于找到相等的量，并利用这种相等关系进行转换和推理。
二、等量代换的重要性1、解决数学问题在数学学习中，等量代换常常被用于解决各种问题，比如求解方程、几何证明、计算图形的面积和体积等。
通过等量代换，可以将复杂的问题简化，找到解题的关键。
2、培养逻辑思维学会等量代换能够帮助我们锻炼逻辑推理能力，让我们更加有条理地思考问题，从已知条件中推导出未知的结论。
3、为后续学习打下基础等量代换是数学中的基础思想方法之一，对于后续学习更高级的数学知识，如代数、函数等，都有着重要的铺垫作用。
三、等量代换的应用场景1、等式计算在等式中，如果有多个量之间存在等量关系，我们可以通过等量代换来求解未知量。
例如：已知 a ＋ b ＝ 5，b ＋ c ＝ 7，a ＝ 2，求 c 的值。
因为 a ＝ 2，代入 a ＋ b ＝ 5 中，可得 2 ＋ b ＝ 5，b ＝ 3。
再将 b ＝ 3 代入 b ＋ c ＝ 7 中，可得 3 ＋ c ＝ 7，c ＝ 4。
2、几何图形在计算几何图形的面积、周长等问题时，等量代换也经常被用到。
比如，两个三角形的高相等，底的长度存在倍数关系，那么它们的面积也存在相应的倍数关系。
3、实际生活在日常生活中，等量代换也有着广泛的应用。
例如，在购物时，如果知道不同商品之间的价格比例关系，就可以通过等量代换来比较哪种购买方式更划算。
四、等量代换的解题步骤1、分析题目仔细阅读题目，找出其中给出的等量关系和已知量、未知量。
三年级数学面积常用知识点
一、面积的概念1.面积的定义：面积是一个平面图形所覆盖的平面的大小。
2.面积的单位：常用的面积单位有平方米（㎡）、平方厘米（㎠）和平方分米（㎡）等。
二、常见图形的面积计算1.正方形的面积：正方形的面积等于边长的平方。
2.长方形的面积：长方形的面积等于长乘以宽。
3.三角形的面积：三角形的面积等于底乘以高的一半。
4.平行四边形的面积：平行四边形的面积等于底乘以高。
5.梯形的面积：梯形的面积等于上底加下底的和乘以高的一半。
三、面积的计算方法1.以网格法计算面积：通过将图形划分成小方格，计算小方格的个数来估算面积。
2.利用物体的形状计算面积：根据图形的形状，运用相应的公式计算面积。
3.使用面积公式计算面积：通过套用面积公式，直接计算出图形的面积。
四、图形的面积性质1.相似图形的面积比：如果两个图形相似，那么它们的面积之比等于对应边长的平方之比。
2.图形的面积可以加减：如果一个图形可以被分成几部分，那么它的面积就等于这几部分的面积之和。
3.图形的面积可以叠加：如果一个图形由几个相同的小图形组成，那么它的面积就等于小图形的面积乘以个数。
4.图形的面积可以平移不变：对于一些平面图形，将它平移或旋转不会改变它的面积大小。
五、解决实际问题中的面积计算1.实际问题中的面积计算：运用已知的面积知识点解决生活中的实际问题，例如房间的地板面积、田地的面积等。
六、综合应用1.图形的面积比较：给出几个图形的尺寸，通过计算面积大小来比较它们的大小。
2.综合图形的面积计算：给出一个图形，要求通过将它分割成几个简单的图形来计算整个图形的面积。
3.应用题：给出一些实际生活中的问题，要求通过运用面积知识来解决实际问题。
三年级上册数学重叠问题
三年级上册数学重叠问题一、引言在小学数学学习中，三年级上册数学是一个承上启下的阶段，对于学生后续数学学习具有重要意义。
其中，重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点。
本文将通过具体案例，深入探讨三年级上册数学重叠问题的概念、解题方法和应用场景，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
二、重叠问题的概念重叠问题是指两个或多个集合元素同时属于两个或多个集合的情况。
在三年级上册数学中，常见的重叠问题包括容斥原理、两堆物体等问题。
这类问题需要学生们能够准确识别元素的重叠情况，并运用适当的数学原理进行求解。
三、解题方法1. 列举法：对于简单的重叠问题，可以通过列举法直接求解。
例如，有两个盒子，其中一个盒子中有3个红球和2个白球，另一个盒子中有2个红球和3个黑球。
求至少有一个红球但颜色未知的球的总数。
通过列举，我们可以得到共有5个球。
2. 容斥原理：容斥原理是一种常用的解题方法，适用于两个集合之间存在重叠的情况。
通过将重叠元素的个数加到两个集合的并集元素个数上，再减去重复计算的部分，可以求出最终结果。
例如，有5个男生和3个女生参加了数学竞赛，问至少有一个男生参加竞赛的学生人数。
根据容斥原理，至少有一个男生参加竞赛的学生人数为5+3-1=7人。
3. 画图法：对于较复杂的问题，可以通过画图来帮助理解。
通过将重叠部分用阴影标出，可以直观地看到元素的分布情况，从而快速找到答案。
四、应用场景重叠问题在日常生活和工作中也经常出现，如运动会报名、志愿者招募等。
学生们可以通过解决重叠问题培养逻辑思维和判断能力，为未来的学习和工作打下基础。
例如，在志愿者招募中，如果有两个志愿者团队同时申请了一些职位，就需要用到重叠问题的知识来计算最终的招募结果。
又如，在超市购物时，需要计算会员卡同时属于两种会员类型的人数，从而决定是否给予优惠。
五、总结三年级上册数学重叠问题是一个相对较难但非常重要的知识点，需要学生们认真理解和掌握。
通过列举法、容斥原理等解题方法，我们可以解决各种类型的重叠问题。
人教版小学三年级数学下册第五单元《面积》知识点归纳总结
第五单元《面积》知识点归纳总结（一）面积的定义1、面积物体表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。
1平方米：边长是1米的正方形，它的面积是1平方米。
1平方分米：边长是1分米的正方形，它的面积是1平方分米。
1平方厘米：边长是1厘米的正方形，它的面积是1平方厘米。
2、生活中的1平方厘米、1平方分米、1平方米1平方厘米（指甲盖）、1平方分米（电脑光盘或电线插座）、1平方米（教室侧面的小展板）。
注意：①面积指的是封闭图形的大小，不是封闭图形没有具体面积。
②长度单位和面积单位之间不能比较大小。
（二）面积单位间的进率①进率100：1平方米= 100平方分米1平方分米= 100平方厘米②进率10000：1平方米= 10000平方厘米③进率1000000：1平方千米= 1000000平方米④相邻两个常用的长度单位之间的进率是10 ；相邻两个常用的面积单位之间的进率是100 。
（三）面积单位间的转化一看：看是高级单位转化成低级单位，还是低级单位转化成高级单位；二想：想进率是多少；三转：①高级单位→低级单位，×进率②低级单位→高级单位，÷进率（四）周长公式长方形的周长= （长＋宽）×2长= 周长÷2－宽或者：（周长－长×2）÷2= 宽宽= 周长÷2－长或者：（周长-宽×2）÷2=长正方形的周长= 边长×4正方形的边长= 周长÷4（五）面积公式长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4已知面积求长：长=面积÷宽已知面积求边长：边长=面积开平方已知周长求长：长=周长÷2 - 宽已知面积求边长：边长=面积÷4（六）铺砖问题1、地面面积÷地砖面积=总块数2、沿长铺的块数(地面长÷地砖边长) ×沿宽铺的块数(地面宽÷地砖边长) =总块数（七）常见题型1、求周长：缝花边、围栅栏、围栏杆、池塘或花坛周围小路长度、围操场跑步的长度······2、求面积：课本等封面大小、刷墙、花坛面积、给餐桌配玻璃、洒水车洒到的地面······3、粉刷刷墙（有的中间有黑板、窗户等）：用大面积－小面积。
面积的计算与单位转换(知识点总结)
面积的计算与单位转换（知识点总结）面积是我们在日常生活和学习中常常遇到的一个概念，它广泛应用于建筑、土地测量、地理学等领域。
正确计算和转换面积单位是我们进行这些计算和测量工作的基础，下面将对面积的计算和单位转换进行知识点总结。
一、面积的计算1. 矩形面积计算矩形的面积计算公式为：面积 = 长 ×宽。
当已知矩形的长和宽时，可直接将两者相乘得到面积。
例如，一个长为5米、宽为3米的矩形的面积为15平方米。
2. 正方形面积计算正方形的面积计算公式为：面积 = 边长 ×边长。
正方形的四条边长度相等，故只需将边长平方即可得到面积。
例如，一个边长为4厘米的正方形的面积为16平方厘米。
3. 三角形面积计算三角形的面积计算公式为：面积 = 底边 ×高 / 2。
其中，底边为三角形底部的边长，高为从底边到顶点的垂直距离。
根据底边和高的数值，将其代入公式即可计算三角形的面积。
例如，一个底边长为6米，高为4米的三角形的面积为12平方米。
4. 圆的面积计算圆的面积计算公式为：面积= π × 半径^2。
其中，π（pi）是一个无限不循环小数，通常近似取3.14。
将半径的平方乘以π即可得到圆的面积。
例如，一个半径为5厘米的圆的面积为78.5平方厘米（取π≈3.14）。
二、面积单位转换1. 平方米与平方厘米转换1平方米等于10,000平方厘米。
要将平方米转换为平方厘米，只需将平方米数乘以10,000；反之，将平方厘米数除以10,000即可得到平方米数。
2. 平方米与平方千米转换1平方千米等于1,000,000平方米。
要将平方千米转换为平方米，只需将平方千米数乘以1,000,000；反之，将平方米数除以1,000,000即可得到平方千米数。
3. 平方米与公顷转换1公顷等于10,000平方米。
要将平方米转换为公顷，只需将平方米数除以10,000；反之，将公顷数乘以10,000即可得到平方米数。
4. 平方厘米与平方毫米转换1平方厘米等于100平方毫米。
三年级数学重叠问题知识点
三年级数学重叠问题知识点
三年级数学重叠问题对于大多数学童来说，是一个比较重要的科目。
但是数学
重叠问题需要大量练习，孩子们也容易被困扰。
了解这些知识点非常有必要，否则就会错过学习的机会。
在三年级数学重叠问题中，首先要学习的是运算符号的熟练应用。
要掌握加减
乘法的计算。
加减乘除四则运算不仅仅只是计算，还要熟悉四则运算的表达方式，如英语表达和谐音表达。
其次，学习分数运算。
要学会分子分母的概念，如正分数、负分数、近似分数等。
另外，学习字节运算，包括十位数、百位数、成百数等。
如何运用所学的知识来解决问题，能够有效提高计算能力。
最后，学习比例问题。
比例问题包括比例理论及其应用，比例形式与等量形式，比例等比数列的概念，三角形中各边两两比例的关系以及比例的设计应用。
总的来说，三年级数学重叠问题的知识非常重要，可以帮助学童掌握数学知识。
家长们应该引导和鼓励孩子按照顺序来学习，利用课余时间多做一些练习，帮助孩子拓宽数学能力。
三年级《面积》知识点
三年级《面积》知识点面积是数学中一个重要的概念，它描述了一个平面图形所占据的空间大小。
对于三年级的学生来说，理解面积的概念和计算方法是非常基础的数学技能。
以下是关于面积的一些基础知识点：1. 面积的定义：面积是描述一个平面图形所覆盖的区域大小的数值。
它通常用平方单位来表示，比如平方厘米、平方米等。
2. 面积的单位：常用的面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）等。
这些单位之间的换算关系是：1平方米 = 100平方分米 = 10,000平方厘米。
3. 基本图形的面积计算：- 正方形：面积等于边长的平方。
如果边长是a厘米，面积就是a×a平方厘米。
- 长方形：面积等于长乘以宽。
如果长是l厘米，宽是w厘米，面积就是l×w平方厘米。
- 三角形：面积等于底乘以高的一半。
如果底是b厘米，高是h厘米，面积就是(b×h)÷2平方厘米。
4. 面积的比较：通过比较两个或多个图形的面积，可以判断它们的大小。
面积大的图形覆盖的空间更多。
5. 面积的实际应用：面积的概念在日常生活中有很多应用，比如计算房间的地面面积、选择合适大小的纸张等。
6. 面积的测量：在实际测量中，我们可以使用尺子来测量图形的边长，然后根据公式计算面积。
7. 面积的估算：在没有精确测量工具的情况下，我们可以通过估算来快速判断两个图形面积的大小。
8. 面积的拓展：随着学习的深入，学生将学习到更复杂的图形，如圆形、多边形等的面积计算方法。
通过学习面积，三年级的学生不仅能够掌握基本的数学概念，还能培养空间观念和逻辑思维能力。
希望这些知识点能够帮助学生更好地理解和应用面积的概念。
三年级数学两个正方形求重叠部分的面积
三年级数学两个正方形求重叠部分的面积正方形是一个具有四条相等边且四个角皆为直角的四边形。
在数学中，我们学习到了求重叠部分的面积的方法，这在解决一些几何问题时非常有用。
我们需要知道两个正方形的边长。
假设第一个正方形的边长为a，第二个正方形的边长为b。
我们可以通过这两个边长来确定正方形的面积。
正方形的面积公式是边长的平方。
因此，第一个正方形的面积为a^2，第二个正方形的面积为b^2。
现在我们来看如何求两个正方形的重叠部分的面积。
设重叠部分的的面积为A。
我们需要找到重叠部分的边长。
要计算出重叠部分的边长，我们需要找到两个正方形的重叠部分的四条边的交点，然后计算出这四个交点的距离。
考虑到正方形的属性，我们可以发现两个正方形的重叠部分肯定也是一个正方形。
因此，我们可以得出结论：两个正方形的重叠部分的边长与最小的正方形的边长相同。
设最小的正方形的边长为c。
那么重叠部分的面积为c^2。
接下来我们需要确定最小正方形的边长c。
我们知道，最小正方形的边长一定小于等于两个正方形的边长中的最小值。
如果a>b，则最小边长为b；如果a<b，则最小边长为a；如果a=b，则最小边长为a（或b）。
于是，我们可以得出计算两个正方形重叠部分面积的公式：如果a>b，则重叠部分的面积为b^2；如果a<b，则重叠部分的面积为a^2；如果a=b，则重叠部分的面积为a^2（或b^2）。
这就是求两个正方形重叠部分面积的方法。
根据给定的两个正方形的边长，我们可以通过这个公式得到重叠部分的面积。
例如：假设第一个正方形的边长为8，第二个正方形的边长为6。
根据公式，因为8>6，所以重叠部分的面积为6^2=36平方单位。
这个公式比较简单，而且实际操作起来也很容易。
只需要找到两个正方形的边长中的最小值，并计算出最小值的平方。
通过练习这个方法，我们可以更好地理解正方形的性质，提高我们的几何推理和计算能力。
所以，通过简单的公式和逻辑分析，我们可以轻松地解决两个正方形重叠部分面积的问题。
三年级下册数学知识点第六单元《面积》
三年级下册数学知识点第六单元《面积》数学是一切科学的基础，可以说人类的每一次重大进步背后都是数学在后面强有力的支撑。
接下来，就和小编一起来学习三年级下册数学知识点第六单元。
三年级下册数学知识点第六单元《面积》(一)面积和面积单位：1、物体的表面或封闭图形的大小，就是他们的面积。
2、比较两个图形面积的大小，要用统一的面积单位来测量。
3、要弄清长度单位与面积单位的联系与区别(二)长方形、正方形面积的计算：1、正方形：(A)周长=边长×4——使用长度单位正方形的边长=周长÷4(B)面积=边长×边长——使用面积单位2、长方形：(A)周长=(长+宽)×2——使用长度单位(B)面积=长×宽——使用面积单位(三)面积单位间的进率1、常用的长度单位：米、分米、厘米——进率是10;1米=10分米=100厘米=1000毫米2、常用的面积单位：平方厘米，平方分米、平方米。
——进率是100;边长1厘米的正方形面积是1平方厘米。
边长1分米的正方形面积是1平方分米。
边长1米的正方形面积是1平方米。
1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，1平方米=平方厘米;3、“公顷”(测量菜地面积、果园面积)和“平方千米”(测量城市土地面积)是用来测量土地的更大的面积单位;边长100米的正方形面积是1公顷(平方米)。
边长1千米(1000米)的正方形面积是1平方千米。
1公顷=平方米;1平方千米=100公顷4、质量单位：克(g)、千克(kg，也叫公斤)、吨(t)。
1000克=1千克，1000千克=1吨。
5、计量路程或测量铁路、河流等比较长的物体时，一般用千米(km)作单位，又叫公里。
(四)各图形的特点：长方形的特点：对边相等，四个角都是直角;正方形的特点：四条边相等，四个角都是直角;平行四边形的特点：两组对边平行且相等。
注：面积和周长是不能相比较的;能正确进行面积单位间的换算;分清楚什么时候填长度单位，什么时候填面积单位，填土地面积单位时，比较小的土地面积(如：公园、体育场馆、超市、果园、广场)等一般情况下填公顷;(城市的占地、国家的面积、江河湖海的面积)等一般情况下填平方千米。
三年级面积计算、等量代换、重叠问题知识点
三年级面积计算专题简析：我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。
因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例题1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。
这个正方形木板的面积是多少平方米？思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。
4米3米正方形的面积：3×3=9米。
练习一1，把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？2，把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？3，将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？例题2 学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。
花坛的面积是多少平方米？思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。
根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为20÷4=5米，所以花坛的面积是：5×5=25平方米。
练习二1，一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？2，运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。
3，在公园里有两个花圃，它们的周长相等。
其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。
例题3 求下面图形的面积。
（单位：厘米）1432思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。
如下图：1432从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。
三年级数学两个正方形求重叠部分的面积
三年级数学两个正方形求重叠部分的面积摘要：一、问题引入二、重叠部分的面积计算方法1.两个正方形完全重合2.两个正方形部分重合三、实际案例演示1.案例一：两个正方形完全重合2.案例二：两个正方形部分重合四、总结与拓展正文：一、问题引入在三年级的数学课程中，我们可能会遇到这样一个问题：两个正方形相交，如何求它们重叠部分的面积？为了解决这个问题，我们需要了解重叠部分的面积计算方法。
二、重叠部分的面积计算方法1.两个正方形完全重合当两个正方形完全重合时，它们重叠部分的面积就是其中一个正方形的面积。
例如，一个边长为4 厘米的正方形，其面积为16 平方厘米，与另一个边长为4 厘米的正方形重叠，那么重叠部分的面积就是16 平方厘米。
2.两个正方形部分重合当两个正方形部分重合时，我们可以通过减去不重叠的部分来计算重叠部分的面积。
例如，一个边长为4 厘米的正方形和一个边长为2 厘米的正方形相交，它们的面积分别为16 平方厘米和4 平方厘米。
不重叠的部分是一个边长为2 厘米的正方形，其面积为4 平方厘米。
因此，重叠部分的面积为16 平方厘米- 4 平方厘米= 12 平方厘米。
三、实际案例演示1.案例一：两个正方形完全重合假设我们有两个边长为4 厘米的正方形，它们完全重合，我们要求它们重叠部分的面积。
根据计算方法，重叠部分的面积就是其中一个正方形的面积，即16 平方厘米。
2.案例二：两个正方形部分重合假设我们有两个正方形，一个边长为4 厘米，另一个边长为2 厘米，它们部分重合。
我们要求它们重叠部分的面积。
根据计算方法，首先计算不重叠的部分，即一个边长为2 厘米的正方形，其面积为4 平方厘米。
然后，用大正方形的面积减去小正方形的面积，即16 平方厘米- 4 平方厘米= 12 平方厘米。
因此，重叠部分的面积为12 平方厘米。
四、总结与拓展通过以上分析和案例演示，我们可以得出结论：求两个正方形重叠部分的面积，需要根据具体情况判断。
人教版三年级数学第六单元面积知识点
人教版三年级数学第六单元面积知识点小学处于学习数学的黄金阶段，为了丰富大家的数学知识，本文精心为大家准备了三年级数学第六单元面积知识点，希望可以为大家的学习带来帮助。
三年级数学第六单元面积知识点( 一)面积和面积单位：1、要弄清长度单位与面积单位的联系与差别;2、要仔细审题，弄清题目要求后再做。
( 二)长方形、正方形面积的计算：1、正方形： (A) 周长 =边长 4 使用长度单位(B)面积 =边长边长使用面积单位2、长方形： (A) 周长 =( 长 +宽 )2 使用长度单位(B)面积 =长宽使用面积单位 ( 三) 面积单位间的进率1、长度单位：米、分米、厘米进率是 10;1 米=10 分米 =100 厘米 =1000毫米2、面积单位：平方厘米、平方分米、平方米进率是 100;1 平方米 =100 平方分米， 1 平方分米 =100 平方厘米， 1 平方米 =10000 平方厘 ;3、公顷 ( 丈量菜地面积、果园面积 ) 和平方千米 ( 丈量城市土地面积 ) 是用来丈量土地的更大的面积单位 ;4、质量单位：克 (g) 、千克 (kg ，也叫公斤 ) 、吨 (t) 。
1000 克=1 千克， 1000 千克=1吨。
5、计量行程或丈量铁路、河流等比较长的物体时，一般用千米 (km) 作单位，又叫公里。
( 四) 各图形的特色：长方形的特色：对边相等，四个角都是直角;唐宋或更早以前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应教授者称为“博士”，这与现在“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别解说“武事”或解说“经籍”者，又称“讲课老师”。
“教授”和“助教”均原为学官称呼。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的解说者；尔后者则于西晋武帝时代即已建立了，主要辅助国子、博士培育生徒。
“助教”在古代不单要作入流的学识，其教书育人的职责也十分清晰。
唐朝国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
三年级数学两个正方形求重叠部分的面积
一、引言在数学领域，求两个形状的重叠部分的面积是一项常见而又有趣的问题。
尤其是对于三年级的学生来说，通过求解两个正方形的重叠部分面积，可以锻炼他们的逻辑思维和几何空间想象能力。
本文将围绕着这个主题展开深入讨论，首先从简单的概念出发，逐步深入，帮助读者全面理解和掌握这一问题。
二、两个正方形的重叠部分面积概念解析在讨论两个正方形的重叠部分面积之前，首先需要了解正方形的特征和性质。
正方形是一种特殊的四边形，具有四条边长度相等，四个内角均为直角的特点。
当两个正方形重叠时，它们的部分区域形成了一个新的图形，我们的目标就是求解这个重叠部分的面积。
三、简单情形下的解决方法针对三年级的学生，可以从简单的情形开始引导他们理解。
通过绘制两个重叠的正方形，让学生先观察并估算重叠部分的面积。
引导他们从边长和面积的角度出发，逐步引入坐标系和矩阵的思想，帮助他们建立起解决问题的数学模型。
四、逐步深入的解决方法在学生掌握了基本概念后，可以引导他们逐步深入地思考。
可以通过平移、旋转和镜像等操作，将两个正方形重叠部分的面积问题拓展到更加复杂的情形。
这样的拓展不仅可以锻炼学生的空间想象能力，也可以让他们更好地理解数学中的抽象概念。
五、总结回顾经过以上的讨论和思考，我们不难发现，求解两个正方形重叠部分的面积并不是一项孤立的数学问题，而是需要将几何形状与数学空间结合起来进行综合思考和分析的活动。
通过这样的学习过程，学生不仅可以掌握具体的计算方法，更重要的是培养他们的逻辑思维能力和动手实践能力。
个人观点和理解作为一个数学爱好者，我认为数学不仅是一门工具性学科，更是一门富有创造性和探索精神的学科。
通过引导学生解决类似两个正方形重叠部分面积的问题，可以培养他们的数学兴趣和求知欲，激发他们对数学的热爱。
虽然这个问题看似简单，但背后却蕴含着深刻的数学内涵，希望能够引起更多学生对数学的兴趣和好奇心。
在知识的文章格式中，我们可以使用序号标注的方式对文章进行排版，以便读者更好地理解和消化文章内容。
三年级数学重叠问题
三年级数学重叠问题在三年级的数学学习中，学生们开始接触集合及其相关的概念。
在这个阶段，重叠问题是一个重要的概念，需要学生理解和掌握。
以下是对三年级数学重叠问题的详细解释。
1.集合的交集集合的交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
例如，集合A 和B的交集表示为A∩B，其中包含A和B中共同有的元素。
2.集合的并集集合的并集是指两个或多个集合中所有的元素组成的集合。
例如，集合A 和B的并集表示为A∪B，其中包含A和B中的所有元素。
3.集合的补集集合的补集是指在一个集合中，除了包含某些元素的集合之外的所有元素组成的集合。
例如，集合A中除了B之外的所有元素组成的集合表示为A-B或B'。
4.重叠的概念重叠是指在两个或多个集合中，有部分元素是相同的。
这种重叠的部分可以是两个集合的交集，也可以是其中一个集合与另一个集合的补集的交集。
5.重叠的表示方法在数学中，我们通常用符号来表示重叠的概念。
例如，A∩B表示集合A和B的交集，A∪B表示集合A和B的并集，A-B表示集合A中除了B之外的所有元素组成的集合，B'表示集合B的补集。
当两个集合有重叠部分时，我们可以用符号来表示重叠的部分。
例如，A∩B表示A和B的重叠部分。
6.重叠问题的应用重叠问题在现实生活中有很多应用。
例如，在统计中，我们可能需要计算两个或多个群体中的重叠部分以评估重复计数的问题；在医学中，我们可能需要确定两个或多个疾病之间的重叠部分以更好地理解它们的关联性；在经济学中，我们可能需要计算两个或多个市场之间的重叠部分以评估竞争关系。
7.重叠问题的实例一个常见的重叠问题的实例是：在一个班级中，有些学生参加了数学俱乐部，有些参加了科学俱乐部，有些两个俱乐部都参加了。
这个问题就可以视为一个重叠问题，因为有些学生同时参加了两个俱乐部。
8.重叠问题的解决方案解决重叠问题的方法因具体情况而异。
在一些情况下，我们可以通过计算两个或多个集合的交集来找到重叠部分。
三年级下册数学难点问题面积重点知识汇总
【三年级下册数学】难点问题：面积重点知识汇总知识点一：周长和面积的概念
1、封闭图形一周的长度，叫做周长。
2、物体表面或封闭图形的大小，叫做他们的面积。
知识点二：常用单位
1、面积常用单位：平方米、平方分米、平方厘米
2、长度常用单位：千米、米、厘米、毫米
知识点三：单位换算
1、面积：1平方米=100平方分米
1、面积：1平方分米=100平方厘米
1、面积：1平方米=10000平方厘米
进率：相邻两个面积单位之间的进率是100
2、长度：1米=10分米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米2、长度：1米=100厘米 1千米=1000米
进率：相邻两个长度单位之间的进率是10
知识点四：公式
1、长方形
周长=(长+宽)×2 面积=长×宽长=面积÷宽宽=面积÷长2、正方形
周长=边长×4 面积=边长×边长边长=面积÷4 边长=面积÷边长。
《等量代换》 知识清单
《等量代换》知识清单一、什么是等量代换等量代换是数学中一种基本的思想方法，指的是用一种量（或一种量的一部分）来代替和它相等的另一种量（或另一种量的一部分）。
简单来说，就是在等式中，如果两个量相等，那么可以用其中一个量去替换另一个量。
例如，如果我们知道 2 个苹果的重量等于 1 个西瓜的重量，那么当需要计算 4 个苹果的重量时，就可以通过等量代换，得出 4 个苹果的重量等于 2 个西瓜的重量。
等量代换的核心在于找到两个相等的量，并明确它们之间的替换关系。
二、等量代换的应用场景1、解决数学运算问题在加减法运算中，等量代换可以帮助我们简化计算。
比如，已知 A ＋ B ＝ 10，B ＝ 3，那么我们可以通过等量代换，将 B 的值代入第一个式子，得出 A ＋ 3 ＝ 10，从而计算出 A ＝ 7。
在乘法运算中，也经常用到等量代换。
例如，若 3×C ＝ 18，那么通过等量代换，可以得出 C ＝ 6。
2、几何图形中的应用在几何图形中，等量代换常用于求图形的面积、周长等。
比如，两个三角形等底等高，那么它们的面积相等。
如果已知一个三角形的面积和相关条件，就可以通过等量代换求出另一个与之等底等高三角形的面积。
3、实际生活中的运用在购物时，如果知道不同商品之间的价格等价关系，就可以通过等量代换来比较不同组合商品的价值。
在工程测量中，当无法直接测量某个长度或距离时，可以通过与已知长度或距离建立等量关系，从而间接得出所需测量的值。
三、等量代换的原则1、相等性原则进行等量代换的两个量必须是相等的，这是最基本的前提。
2、可替换性原则等量的量必须是在相同的条件和环境下可以相互替换的。
3、等量传递原则如果 A ＝ B，B ＝ C，那么 A ＝ C。
通过这种传递关系，可以进行多次等量代换。
四、等量代换的步骤1、观察与分析首先要仔细观察题目中给出的条件和关系，确定哪些量是相等的，以及它们之间的联系。
2、确定替换量根据观察和分析的结果，明确要进行替换的量。
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三年级面积计算专题简析：我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。
因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例题1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。
这个正方形木板的面积是多少平方米？思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。
4米3米正方形的面积：3×3=9米。
练习一1，把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？2，把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？3，将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？例题2 学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。
花坛的面积是多少平方米？思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。
根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为20÷4=5米，所以花坛的面积是：5×5=25平方米。
练习二1，一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？2，运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。
3，在公园里有两个花圃，它们的周长相等。
其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。
例题3 求下面图形的面积。
（单位：厘米）1432思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。
如下图：1432从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。
所以，这个图形的面积为：8＋3=11平方厘米。
想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？练习三计算下面图形的面积。
（单位：厘米）(1)15203040(2)31122(3)1112514例题4 有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。
如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？思路导航：如果两个长方形没有叠放，那么它们的面积就是别 8×3×2=48平方厘米，现在两个长方形重叠了一部分，重叠部分是个边长3厘米的正方形，面积是3×3=9平方厘米，因此，这个图形的面积是48－9=39平方厘米。
练 习 四1，两张边长8厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌面被盖住的面积是多少？8884482，求下图中阴影部分的面积。
（单位：分米）5522773，一个长方形与一个正方形部分重合（如下图），求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米）5569例题5 一个长方形若长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，若宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米。
求原来长方形的面积。
3厘米2厘米18平方厘米10平方 厘米从图上可以看出，长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，说明原来长方形的宽是10÷2=5厘为；宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米，说明原来长方形的长是18÷3=6厘米。
所以，原来长方形的面积是：6×5=30平方厘米。
练 习 五1，一个长方形，若长减少5厘米，面积就减少50平方厘米，若宽增加7厘米，面积就增加28平方厘米。
原来长方形的面积是多少平方厘米？2，一个正方形若边长都增加4厘米，面积就增加56平方厘米。
原来正方形的面积是多少平方厘米？3，一个长方形，若宽增加6分米就是一个正方形，面积就增加了66平方分米，求原来长方形的面积。
我也能行1、小明家有一张长方形饭桌，长25分米，宽12分米，要配多大面积的台布？假如要在台布周边缝上花边，花边要多长？2、课桌长60厘米,经测量四周长度是200厘米,那桌面的面积有多大?3工厂订做一种多规格的长方形模具，只知道模具的面积统一要求为24平方分米，且长宽都是整数，请你列举出这模具的不同规格。
4、已知乒乓球台是由两块边长为12分米的正方形桌子并成的，乒乓球台的面积是多少？5、芳华2区建立在一块正方形土地上，小明绕着小区走了一圈共400米，那小区的面积是多少？6、李师傅将一块边长为8分米的正方形木板平均切成两块三角板，每块三角板的面积是多少？7、课桌长70厘米，宽40厘米，把两张这样的桌子并在一起，面积有多大，你能画出其图形表示吗？8、妈妈将一块边长是16分米的正方形桌布平均剪成4个小正方形，每个小正方形的面积是多少？9、从一张长30厘米、宽20厘米的a4纸上折出一个最大的正方形，这个正方形的面积有多大？等量代换专题简析：等量代换是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量，可以互相代换。
当年曹冲称象时，就是运用了这种方法。
因为只有当大象与一船石重量相等时，两次船下沉后被水面所淹没的深度才一样，所以称大象的体重只要称出一船石的重量就可以了。
在有些问题中，存在着两个相等的量，我们可以根据已知条件与未知数量之间的关系，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题的方法，这就是等量代换的基本方法。
例题1 1个梨的重量等于2个苹果的重量，1个苹果的重量等于3个桃子的重量。
想一想，1个梨的重量等于几个桃子的重量？思路导航：根据“1个苹果重=3个桃子重”，可得出2个苹果重=6个桃子重；又因为“1个梨重=2个苹果重”，所以1个梨重=6个桃子重。
练习一2，1个菠萝的重量等于6个苹果的重量，2根香蕉的重量等于1个菠萝的重量。
1根重蕉的重量等于几个苹果的重量？例题2 1个足球的重量等于2个排球的重量，1个排球的重量等于6只乒乓球的重量。
如果1只乒乓球重8克，那么1只足球重多少克？思路导航：根据“1只排球=6只乒乓球的重量”可知“2只排球=12只乒乓球的重量”，又因为“1只足球=2只排球的重量”，所以1只足球=12只乒乓球的重量。
所以1只足球重：8×（6×2）=96克。
练习二1，1个菠萝的重量等于2个梨的重量，1个梨的重量等于2个苹果的重量。
1个苹果重100克，1个菠萝重多少克？2，1只猴子的重量=2只兔子的重量1只兔子的重量=3只小鸡的重量。
已知1只小鸡重量200克，1只猴子重多少克？3，1只排球重100克，1只乒乓球重多少克？例题3 想一想，1只白皮球的重量等于几只黑皮球的重量？思路导航：根据“2只花皮球的重量=4只黑皮球的重量”可知1只花皮球的重量=2只黑皮球的重量；再根据“1只白皮球的重量+1只花皮球的重量=5只黑皮球的重量”可推出1只白皮球的重量=3只黑皮球的重量。
练习三1，1个菠萝加1个梨的重量等于7个桃子的重量，2个梨的重量等于4个桃子的重量。
那么，1个菠萝的重量等于几个桃子的重量？2，1只兔子的重量＋1只猴子的重量=8只鸡的重量3只兔子的重量=9只鸡的重量1只猴的重量=？只鸡的重量3，1只松鼠的重量＋1只兔子的重量=5只鸭的重量2只松鼠的重量=6只鸭的重量1只兔子的重量=几只鸭的重量例题4思路导航：由图我们可知每种水果在图中都出现了3次，那可求4种水果各3个的总重量：630＋730＋330＋800=2490克；再求4种水果各1个的重：2490÷3=830克。
然后根据图1可求出1个梨的重量：830－630=200克；根据图2求出1个苹果的重量：830－730=100克；根据图3求出1个菠萝的重量：830－330=500克；根据图4求出1个桃子的重量：830－800=30克。
练习四1，已知：1只鸡的重量＋1只猴的重量=1500克1只猴的重量＋1只鸭的重量=1800克1只鸡的重量＋1只鸭的重量=1300克求：三种动物每只各重多少克？2，已知：1筐苹果的重量＋1筐橘子的重量=90千克1筐橘子的重量＋1筐香蕉的重量=140千克1筐香蕉的重量＋1筐苹果的重量=150千克求：三种水果每筐各多少千克？3，已知：红气球个数＋蓝气球个数＋绿气球个数=35个蓝气球个数＋绿气球个数＋白气球个数=43个绿气球个数＋白气球个数＋红气球个数=33个红气球个数＋蓝气球个数＋白气球个数=48个求：红、蓝、绿、白四种颜色的气球各多少个？例题5 用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？思路导航：用3个鹅蛋能换9个鸡蛋，说明1个鹅蛋能换9÷3=3个鸡蛋；2个鸡蛋能换4个鸽子蛋，说明1个鸡蛋能换4÷2=2个鸽子蛋。
那么1个鹅蛋就能换2×3=6个鸽子蛋，所以5个鹅蛋能换6×5=30个鸽子蛋。
练 习 五1，20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？ 2，2头猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换几只兔子？ 3，○=△△，○○○=□，□=（ ）个△重叠问题专题简析：三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
例题1 六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？思路导航：根据题意，画出下图：从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。
练 习 一1，小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2，学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？3，同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。
这一排共有多少个同学？?面10面8面例题2 同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？思路导航：根据题意，画出下图：由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。