例析平面方程的解法

例析平面方程的解法

平面方程是数学中相当重要的一类方程，有时也叫二元一次方程，它指的是在平面上只存在两个未知数的一次方程组。在求解平面方程时，需要找出方程组中未知数的取值范围。这是一个在数学中十分重要的问题，因此，要想掌握解决此类问题的技术，就应该了解平面方程的解法。

一、求解平面方程的四种方法

（1）求解具体的数学解

如果给定的平面方程可以归结为一元一次方程，那么可以通过一些简单的运算，如交换未知数、求公式等，得到方程的解。

（2）用图解法

可以用图来求解平面方程，其基本原理是将平面方程化为两个一次方程的投影，根据图形的交点求出未知数的值。

（3）矩阵运算法

此方法将平面方程看作矩阵，通过对矩阵的简化运算求出未知数的取值范围。

（4）极坐标法

将平面方程转换为极坐标表示，然后根据坐标图上的运算求出未知数的值即可。

二、例析

（1）求解具体的数学解

例1：求解方程组：x + 2y = 5，2x + 5y = 12

解：首先将上面的方程组化简，写成：

x + 2y = 5

2x + 5y = 12

将第二个方程组中的系数，即2和5同乘以（-1），得到： x + 2y = 5

-2x - 5y = - 12

将两个方程组中x的系数相加，得：

3y = -7

故y = -7/3

由第一个方程组算出x = 5 + 2(-7/3) = 5 - 14/3

故未知数的值为：x = 5 - 14/3，y = -7/3 。

（2）用图解法

例2：求解方程组：2x + y = 7，3x + 4y = 10

解：将上面的方程组化简，写成：

2x + y = 7

3x + 4y = 10

将第一个方程组中的系数，即2和1同乘以（-3），得到： -6x - 3y = -21

3x + 4y = 10

将2个方程组中y的系数相加，得：

-3x = -11

故x = 11/3

由第一个方程组算出y = 7 + (-11/3) = 7 - 11/3

故未知数的值为：x = 11/3，y = 7 - 11/3 。

还可以将该方程组画成坐标图象，可以得出如下坐标图：

△ABC的坐标为：A（3，0），B（0，7），C（11/3，7 - 11/3），即未知数的值为：x = 11/3，y = 7 - 11/3 。

（3）使用矩阵运算法

例3：求解方程组：3x - 6y = 15，x + 2y = 7

解：其实该类方程组可以用一个矩阵来表示，即

a11 a12 | b1

a21 a22 | b2

将上式表示为：

3 -6 | 15

1 2 | 7

要求解未知数x和y，就可以通过将矩阵进行运算简化，变成

1 0 | 3

0 1 | -3

即未知数的值为：x = 3，y = -3 。

（4）极坐标法

例4：求解方程组：x + y = 8，2x - y = 4

先将上述方程组转换为极坐标形式：

rcosθ + rsinθ = 8

2rcosθ - rsinθ = 4

因此，有 r = 4， cosθ = 4/8 = 1/2， tanθ = sinθ/cos

θ = sinθ/1/2 = 2sinθ = 1

即 sinθ = 1/2， cosθ = 1/2， tanθ = 1，

由此可求出θ =/4

再求出未知数x和y：

x = rcosθ = 4cosπ/4 = 4/√2

y = rsinθ = 4sinπ/4 = 4/√2

即未知数的值为：x = 4/√2，y = 4/√2。

三、总结

以上就是求解平面方程的四种方法，其实这四种方法都是一种对未知数取值范围的求抉择，有时也会受到给定的具体情况的限制，比如方程的系数大小，方程的解的个数等。无论使用哪一种方法，求解平面方程最重要的是要科学准确，完整地分析出未知数的取值范围，也要找出每种方法的优势和局限，只有这样才能更好地解决问题。