一元二次方程的概念及其解法正误例析

一元二次方程的概念及其解法正误例析

一元二次方程是初中数学的重要内容之一，初学时对其概念及解法常常会出现这样那样的错误，现列举一些典型错误并作简要剖析，旨在帮助同学们尽量减少直至避免类似的错误.

例1 下列关于x 的方程：①02=++c bx ax ，②0532=-+x

x ，③0322=--x x ，④0232=+-x x 中，一元二次方程的个数是（ ）.

Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.4

错解：B

剖析：由一元二次方程的定义容易判断方程②④不是一元二次方程，故出错的原因是误把①判断为一元二次方程.事实上，当0=a 时，①就不是关于x 的一元二次方程了.

正解：A

点评：“0≠a ”是一元二次方程的一般形式02=++c bx ax 的一个重要组成部分.

例2 写出方程05382=--x x 的二次项、一次项及常数项.

错解一：二次项是2

8x ，一次项是x 3，常数项是5.

错解二：将原方程化为05382=--x x ，故二次项是28x ，一次项是x 3，常数项是5. 错解三：将原方程化为05382=--x x ，故二次项是8，一次项是3-，常数项是－5. 剖析：错解一忽视了二次项、一次项、常数项都是在方程为一般形式下定义的，求解时没把方程化为一般形式；错解二漏掉了各项的符号；错解三混淆了二次项与二次项系数，一次项与一次项系数的概念.

正解：将原方程化为一般形式05382=--x x ，故二次项是28x ，一次项是x 3-，常数项是5-.

点评：二次项、一次项、常数项都是方程在一般形式下定义的，故写一元二次方程的二次项、一次项、常数项时要先化方程为一般形式.

例3 解方程()()223=++x x

错解：原方程可化为()()2123⨯=++x x ，故13=+x 或22=+x ，

故0,21=-=x x x .

剖析：此解法与()()023=++x x 的解法混淆了.事实上，用因式分解法解一元二次方程的根据是：若0=ab ，则0=a 或0=b .本题中方程的左边虽是两个因式的积，但右边是2而不是0，切勿将()()223=++x x 与()()023=++x x 相混淆.

正解：原方程化为0452

=++x x ，故()()041=++x x ，故01=+x 或04=+x ，故4,121-=-=x x .

点评：用因式分解法解一元二次方程，关键是把方程右边化为0，左边分解因式. 例4 解方程()()2322

-=-x x 错解：方程两边同除以()2-x ，得32=-x ，故5=x .

剖析：方程两边同除以()2-x 时，没有考虑到()2-x 也可以为0，故漏掉了()2-x 这个解.

正解：移项，得()()02322

=---x x ，即()()0322=---x x ，即()()052=--x x ，故02=-x 或05=-x ，故5,221==x x .

点评：解一元二次方程时不能随便在方程两边同除以含有未知数的式子.

例5 关于x 的方程()

()0112122=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.

错解：因方程有两个不相等的实数根，故△＝()[]()

()18141222+=--+m m m ＞0，故m ＞－1.

剖析：“关于………不相等的实数根”告诉我们此方程是一元二次方程，故012≠-m ，错解正是忽视了这个条件，导致求解出来的m 的取值范围有使二次项系数为0情况.

正解：因方程有两个不相等的实数根，故△＝()[]()

()18141222

+=--+m m m ＞0，故m ＞－1.又012≠-=m a ，故1±=m ，故m 的取值范围是m ＞－1且1≠m . 点评：解这类问题要特别注意二次项系数不能为0的条件.

例6 用公式法解方程x x 7422

=-

错解：∵,4,7,2-===c b a ∴()814247422=-⨯⨯-=-ac b ，

∴ 4

9722817±-=⨯±-=x ， ∴ 4497,2149721-=--==+-=x x . 剖析：错在没有把方程化为一元二次方程的一般形式就直接应用求根公式.

正解：原方程化为一般形式，得04722=--x x ，∴4,7,2-=-==c b a ，

故△＝()()8142472=-⨯⨯--，故()4

9722817±=⨯±--=x ，故2

1497,449721-=-==+=x x . 点评：用公式法解一元二次方程，关键是把方程化为一般形式，以便正确确定a 、b 、c 的值.

请同学们指出下题的解法错在哪里？

m 为何值时，关于x 的方程()()0112122=+++-x m x m 有实数根？

错解：因方程是一元二次方程，故它有实数根就必须：012

≠-m 且△＝()()141422

--+m m ≥0，解得m ＞－1且1≠m ，即当m ＞－1且1≠m 时，方程有实数根.

用公式法、分解因式法解方程的误区

公式法、分解因式法是解一元二次方程的两种重要的方法，熟练掌握这两种方法非常重要.为了帮助你学好这两种解法，现就解题中易出现的错误分析如下：

一、应用公式法时，忽视a 、b 、c 的符号.

例1 解方程2x 2-6x=1.

错解：因为a=2，b=6，c=1，

所以b 2-4ac=36-8=28>0，

所以x 1=2

734286242+-=+-=-+-a ac b b ，

x 2=2

734286242--=--=---a ac b b . 所以方程的解为x 1=273+-，x 2=2

73--. 分析:错解在运用公式法解一元二次方程时，将b 、c 的符号搞错.用公式法解一元二次方程，先将方程化为一般形式，然后再确定a 、b 、c 的值，最后代入求根公式.

正解：将方程化为一般形式为：2x 2-6x=1=0，

这里a=2，b=-6，c=-1，

b 2-4ac=(-6)2-4×1×(-1)=40，

所以x 1=2103410264406+=+=+，x 2=2

1034406-=-. 提示： 一元二次方程是解决实际问题中的一种重要的工具，而解方程又是本章的一个重要组成部分，是列一元二次方程解实际的基础，应熟练理解其解法，避免出现解题过程中的错误.

二、理解不透，公式用错

例2 解方程2x 2-3x=2.

错解：因为a=2，b=-3，c=-2，

所以x=2

1693+±-，所以x 1=1，x 2=-4. 剖析：利用公式法解一元二次方程，要熟练掌握公式的特征，错解没有理解公式的特征，当b=-3时，出现了-b=-3的错误，且分母中的2a ，当a=2时，2a=4，而错解等于2了.

正解：a=2，b=-3，c=-2，

所以x 1=425341693+=++=2，x 2=4

25341693-=+- 提示：利用公式法解方程的关键是正确找出a 、b 、c 的值，且熟练把握公式的特征.

三、解法混淆，求解不当

例3 解方程(2x-1)(3x+2)=1.

错解: 由方程，得2x-1=1或3x+2=1，解得x 1=1，x 2=-3

1. 剖析: 错解在对分解因式法解决一元二次方程理解不对.用分解因式法解一元二次方