2021高考数学考点精讲精练《04 单调性》(讲解)(解析版)

考点4：单调性【思维导图】

【常见考法】

考法一：单调性的判断

1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1

x －x D ．f (x )＝ln(x ＋1)

[答案】C

【解析】 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1

x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．

2.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ）

A ．y x =

B ．2y

x

C ．y x =

D ．1y x =-

【答案】D

【解析】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2y

x 在区间(0,)+∞上单调递增；

由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；

结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．

考法二：求单调区间

1．函数()()

2

ln 56f x x x =-+-的递减区间是__________.

【答案】5

,32⎛⎫ ⎪⎝⎭

【解析】意可知2560x x -+->，解得23x <<，所以()()

2

ln 56f x x x =-+-的定义域是()2,3，

令()2

56u x x x =-+-,对称轴是52

x =

， ()256u x x x =-+-在52,2⎛⎫

⎪⎝

⎭

上是增函数，在5,32

⎛⎫ ⎪⎝

⎭

是减函数，

又

()ln f u u =在定义域()0,∞+上是增函数，

()()2ln 56f x x x =-+-是()ln f u u =和()256u x x x =-+-的复合函数， ()()2ln 56f x x x ∴=-+-的单调递减区间是5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：5,32⎛⎫

⎪⎝⎭

．

2.求的函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的增区间 ，减区间 。

【答案】单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．

【解析】函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．

3.求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的增区间 ，减区间 。 【答案】见解析

【解析】易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧

－

x －12＋2，x ≥0，－

x ＋1

2

＋2，x <0.

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

4．函数ln y x x =的单调递减区间是 。 【答案】1

(0,)e -

【解析】由题意，可得()ln 1,(0)f x x x =+>'，

令()0f x '<，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0,)e -.

考法三：比大小

1．已知函数f (x )＝log 2x ＋1

1－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0 B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0

D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0

【答案】B

【解析】∵函数f (x )＝log 2x ＋1

1－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，

∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 2．函数()f x 是R 上的减函数，若1

3(2)a f =，3(log 2)b f =，21

(log )3c f =，则( )

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．c b a <<

【答案】A 【解析】

10

3

221>=，

13

21

∴>，330log 2log 31<<=，30log 21∴<<，2

1

log 03

<，13

321

2log 2log 3

∴><，

()f x 是R 上的减函数，a b c ∴<<.故选：A.

考法四：解不等式

1．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．

【答案】()()313,--⋃+∞，

【解析】由已知可得22

230

030a a a a a ⎧--⎪-⎨⎪+⎩

＞＞＞解得－33.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．故

答案为：()()313,--⋃+∞，

2.设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ，x <2，

x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是 。 [答案] (－∞，2]

[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]．

考法五：求参数

1．函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则 。

【答案】

1

2

m < 【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数，则有210m -＜，解可得12

m <， 2函数2(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 。