第六讲 立体几何模型化思想.ppt
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[实用]立体几何知识点PPT文档
一、转化的思想 [例1] 如图所示,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点, AD⊥面ABC,AE⊥BD于E,AF⊥CD于F. 求证:BD⊥平面AEF.
[ 分 析 ] 要 证 BD⊥ 平 面 AEF , 已 知 BD⊥AE , 可 证 BD⊥EF 或 AF ; 由 已 知 条 件 可 知 BC⊥ 平 面 ADC , 从 而 BC⊥AF,故关键环节就是证AF⊥平面BDC,由AF⊥DC即 可获证.
③通过将几何体补形或分割为常见的基本几何体,通 过等体积变换,使问题变为可求的转化策略.
④通过添加辅助线面,将空间问题化为平面几何问题 的降维转化策略.
(3)逐步体会、掌握立体几何特有的方法. ①平移,沿平行线转移,沿平面的斜线转移,沿平面 转移等. ②平行投影与中心投影,特别是正投影. ③等积变换与割补. ④展开、卷起、折叠、旋转. 数学思想与方法不是孤立的,不能截然分离开来,在 数学思想指导下研究解决具体问题的方法,而研究解决问 题的方法过程中又丰富了数学思想. (4)类比的方法,类比平面几何的一些结论,可猜想立 体几何的一些结论,从而提供思维的方向.
[例4] 如图将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在 原正方体中的位置关系是
A.平行 B.相交且垂直 C.不相交也不平行 D.相交成60°
()
[解析] 本题是展开与折叠问题,考查空间想象能力, 如图折起后,B与D点重合,AB与CD成∠ABC=60°,选D.
[答案] D
[例5] 已知Rt△BAC中,AB=AC=a,AD为斜边BC 上的高,以AD为折痕使∠BDC折成直角.(如图所示)
图形
符号语言
文字语言
公理4:平行于同
一直线的两直线平
行.(平行线的传递
性)
直 线 与 直 线 平
《高中数学立体几何》课件
立体几何在数学、工程、建筑等领域 有着广泛的应用,是理解和描述现实 世界空间关系的重要工具。
立体几何的重要性
01
02
03
培养空间思维能力
学习立体几何有助于培养 学生的空间想象力和逻辑 思维能力,提高解决实际 问题的能力。
数学学科基础
立体几何是数学学科体系 中的重要组成部分,对于 理解数学概念、掌握数学 方法具有重要意义。
《高中数学立体几何》ppt课 件
目 录
• 立体几何简介 • 立体几何基础知识 • 立体图形的性质与分类 • 立体几何的应用 • 解题技巧与思路 • 立体几何的未来发展
01
立体几何简介
什么是立体几何
立体几何是研究三维空间中图形和物 体性质的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素,以及它们之间 的位置关系和度量关系。
角度的计算
角度是描述两条射线或线段之间夹角 的大小的量。在立体几何中,角度可 以通过使用三角函数或几何定理来计 算。
距离的计算
距离是描述两点之间或一点到一条线 段之间的最短路径的大小的量。在立 体几何中,距离可以通过使用勾股定 理或几何定理来计算。
03
立体图形的性质与分类
立体图形的性质
空间性
立体图形存在于三维空间 中,具有空间特性。
近现代发展
随着数学和科学技术的不断进步, 立体几何逐渐与代数学、分析学等 学科交叉融合,形成了更加丰富和 深入的研究领域。
02
立体几何基础知识
点、线、面的基本性质
点的基本性质
面的基本性质
Байду номын сангаас
点是几何学中最基本的元素,没有大 小和形状。在空间中,点的唯一特征 是它的位置。
面是由无数条线组成的,它只有面积 而没有厚度。面的形状和位置由其上 的点和其上的线的分布决定。
立体几何的重要性
01
02
03
培养空间思维能力
学习立体几何有助于培养 学生的空间想象力和逻辑 思维能力,提高解决实际 问题的能力。
数学学科基础
立体几何是数学学科体系 中的重要组成部分,对于 理解数学概念、掌握数学 方法具有重要意义。
《高中数学立体几何》ppt课 件
目 录
• 立体几何简介 • 立体几何基础知识 • 立体图形的性质与分类 • 立体几何的应用 • 解题技巧与思路 • 立体几何的未来发展
01
立体几何简介
什么是立体几何
立体几何是研究三维空间中图形和物 体性质的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素,以及它们之间 的位置关系和度量关系。
角度的计算
角度是描述两条射线或线段之间夹角 的大小的量。在立体几何中,角度可 以通过使用三角函数或几何定理来计 算。
距离的计算
距离是描述两点之间或一点到一条线 段之间的最短路径的大小的量。在立 体几何中,距离可以通过使用勾股定 理或几何定理来计算。
03
立体图形的性质与分类
立体图形的性质
空间性
立体图形存在于三维空间 中,具有空间特性。
近现代发展
随着数学和科学技术的不断进步, 立体几何逐渐与代数学、分析学等 学科交叉融合,形成了更加丰富和 深入的研究领域。
02
立体几何基础知识
点、线、面的基本性质
点的基本性质
面的基本性质
Байду номын сангаас
点是几何学中最基本的元素,没有大 小和形状。在空间中,点的唯一特征 是它的位置。
面是由无数条线组成的,它只有面积 而没有厚度。面的形状和位置由其上 的点和其上的线的分布决定。
Ppt课件立体几何
空间几何的计算问题
总结词
需要掌握常见的计算方法和技巧
详细描述
解决空间几何计算问题需要学生掌握常见的计算方法和技巧,如代数运算、三角 函数、平面几何等。学生需要了解这些方法的适用范围和运用技巧,以便在计算 过程中能够灵活运用,提高计算效率和准确性。
06
立体几何的发展趋势
立体几何与其他学科的交叉研究
归纳解题技巧
根据不同的题型,归纳出相应的 解题技巧,以便更快地找到解题
方法。
强化练习
通过大量的练习,可以更好地掌 握解题方法,提高解题效率。
05
立体几何的难点解析
空间几何的作图问题
总结词
空间想象能力要求高
详细描述
立体几何的作图问题需要学生具备较高的空间想象能力, 能够准确地将二维平面图形转化为三维空间图形。这需要 学生不断练习,提高自己的空间感知和想象能力。
曲面立体中,有些面是曲面,有 些面是平面。
曲面立体中,曲面之间可能相交 或平行,也可能呈弧形相切。
立体图形的对称性
立体图形具有对称性,即存在 一个或多个对称轴或对称中心 。
对称轴将立体图形分为两个或 多个相等的部分。
对称中心将立体图形旋转180 度后与原图重合。
03立体几何的应用Fra bibliotek立体几何的应用
空间几何体的性质
空间几何体具有对称性、 重心、表面积和体积等性 质。
点、线、面的关系
点与直线的关系
一个点在直线上,或者在 直线外。
点与平面的关系
一个点在平面上,或者在 平面外。
直线与平面的关系
直线在平面上,或者与平 面平行,或者与平面相交 。
空间几何的度量关系
01
02
03
高考数学第一轮章节复习课件 立体几何转化与化归思想
的角都 是25°的直线的条数为
()
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:过P点作平面α、β的法向量n1、n2,过P有几条直线 与α、β都成25°角即是过P有几条直线与n1、n2都成65° 角. 又∵α、β所成二面角为50°,∴n1、n2夹角中锐角为50°.相 当于过P点有两相交直线n1、n2成50°角,过P点与n1、n2 都成65°角的直线有3条,其中n1、n2所在平面内一条,平 面外两条.
结论. 4.通过添加辅助线而将立体几何问题转化为平面几何问
题.要在解题中很好地领会,自觉地运用. 5.等积转换也是等价转化思想的运用.
【示例1】 如图所示,正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长 均为4,M、N分别是BC、CC1的中点. (1)求证:BN⊥平面AMB1; (2)求三棱锥B—AB1N的体积.
[解] (1)∵M为BC中点,△ABC为正三角形, ∴AM⊥BC. 又侧面BCC1B1⊥底面ABC,∴AM⊥平面BCC1B1. 又BN⊂平面BCC1B1,∴AM⊥BN. 在正方形BCC1B1中,M、N分别为BC、CC1的中点, ∴B1M⊥BN,又AM∩B1M=M,∴BN⊥平面AMB=.
或
[领悟] 本题欲证线面垂直,先转化成证明线线垂直,而欲 证线线垂直又转化为证明线面垂直.有关线面位置关系的 论证往往就通过这种联系和转化得到解决.
2 球的表面积为S=4πR2=9π.
答案:9π
7.[理](2009·宁夏、海南高考)如图,四棱锥S-ABCD的底面是 正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍 ,P为侧棱SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若SD⊥平面PAC,求二面角 P-AC-D的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱SC上
(2)法一:设AC=x,在Rt△ABC中, BC=
高中数学必修立体几何初步 PPT
高中数学必修立体几何初步
本章概述
概述:由于在土木建筑、机械设计、航海测绘、空间技术研得研 究过程中等,都要涉及到对立体图形得研究,这就使得对立体图形 得特征及性质得研究成为必要。
对于立体几何这一章得学习方式,我们将以具体得立体图形为背 景,特别就是以长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、圆台体、球 体等几何体为背景,通过直观感知、画图确认、思维论证、度量 计算等方法,了解简单几何体得基本特征及其直观图、三视图。 学习要求:重点理解并掌握空间中得点、线、面得位置关系,并能 够用数学符号语言对某些位置关系进行表示与论证,培养与发展 大家得空间想象力、推理论证得能力与运用图形语言进行交流 得能力。
下面我们将一起学习空间中最基本得图形——平面 请大家想一想,在平内,最基本得图形就是什么呢? 在平面内,最基本得图形就是:点、直线、射线、线段。但就是在空间 中,最基本得图形除了以上得4种之外还有一种基本图形——平面。 大家知道:平静得桌面、黑板面、湖面都给我们一种平面得局部感觉。 请大家想一想,在空间中,平面给大家得感觉会就是怎样得呢? 在空间中,平面与直线一样,都就是无限延展得,因此,我们不能把一个无 限延展得平面在一张纸上或书本上表示出来,我们通常用平面得一部 分表示整个平面。 例如:
面叫做圆锥得底面。
(3)不垂直于轴得边旋转而成得曲 面叫做圆锥得侧面。
(4)无论旋转到什么位置不垂直于 轴得边都叫做圆锥得母线。
圆锥得表示:
用表示它得轴得端 S 点得两个字母表示, 如所示,记为:圆锥 SO
B
O
轴 侧面 母线
A 底面
圆台得结构特征:
圆台得定义1:把直角梯形绕着它得垂直于底边得腰
所在得直线在空间中旋转一周,则直角梯形得其它三 条边在旋转得过程中所形成得曲面围成得几何体会叫 作圆台
本章概述
概述:由于在土木建筑、机械设计、航海测绘、空间技术研得研 究过程中等,都要涉及到对立体图形得研究,这就使得对立体图形 得特征及性质得研究成为必要。
对于立体几何这一章得学习方式,我们将以具体得立体图形为背 景,特别就是以长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、圆台体、球 体等几何体为背景,通过直观感知、画图确认、思维论证、度量 计算等方法,了解简单几何体得基本特征及其直观图、三视图。 学习要求:重点理解并掌握空间中得点、线、面得位置关系,并能 够用数学符号语言对某些位置关系进行表示与论证,培养与发展 大家得空间想象力、推理论证得能力与运用图形语言进行交流 得能力。
下面我们将一起学习空间中最基本得图形——平面 请大家想一想,在平内,最基本得图形就是什么呢? 在平面内,最基本得图形就是:点、直线、射线、线段。但就是在空间 中,最基本得图形除了以上得4种之外还有一种基本图形——平面。 大家知道:平静得桌面、黑板面、湖面都给我们一种平面得局部感觉。 请大家想一想,在空间中,平面给大家得感觉会就是怎样得呢? 在空间中,平面与直线一样,都就是无限延展得,因此,我们不能把一个无 限延展得平面在一张纸上或书本上表示出来,我们通常用平面得一部 分表示整个平面。 例如:
面叫做圆锥得底面。
(3)不垂直于轴得边旋转而成得曲 面叫做圆锥得侧面。
(4)无论旋转到什么位置不垂直于 轴得边都叫做圆锥得母线。
圆锥得表示:
用表示它得轴得端 S 点得两个字母表示, 如所示,记为:圆锥 SO
B
O
轴 侧面 母线
A 底面
圆台得结构特征:
圆台得定义1:把直角梯形绕着它得垂直于底边得腰
所在得直线在空间中旋转一周,则直角梯形得其它三 条边在旋转得过程中所形成得曲面围成得几何体会叫 作圆台
立体几何中的数学思想
说明:证法一用了证线面平行,先证线线平行.证法二则是证线面平行,先证面面平行,然后说明直线在其中一个平面内.
3、位置关系中的定性与定量的转化
立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。这两者既有联系又有区别,在一定条件下还可以互相转化。线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然;线线、线面、面面的成角是90°,这些量的结果,则反映了它们的垂直关系,反之亦然。可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。
(2)若直线 上的两点在平面α的两侧,且到平面α的距离相等,这时直线 与平面α相交(如图).
(3)若直线l上的两点在平面α的同一侧,且到平面α的距离相等(如图).
∵AA1⊥α于点A1,BB1⊥α于点B1.又A、B均在l上,且在α的同侧.∴AA1 BB1
∴AA1BB1为一平行四边形.∴AB∥A1B1∴这时直线l与平面α平行.
4、体积问题中的转化
研究简单几何体体积问题的过程中,利用祖暅定理,将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题,一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题,从而推导出柱体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中,“补法”和“割法”的先后运用,台体的体积,即补台成锥。所展示的割补转化;利用四面体、平面六面体等几何体体积的自等性,以体积为媒介沟通有关元素间的联系,从而使问题获解的等积转化等,均是转化的思想方法在体积问题中的体现。
VABCD= SΔBCM·AD.
CM= = = .设N是BC的中点,则MN⊥BC,MN= = = ,从而SΔBCM= ×2× = ,
故VABCD= × ×1= .
对于对棱相等的四面体,可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V= · ,
3、位置关系中的定性与定量的转化
立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是从定性和定量两个方向进行的。这两者既有联系又有区别,在一定条件下还可以互相转化。线线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,反之则不然;线线、线面、面面的成角是90°,这些量的结果,则反映了它们的垂直关系,反之亦然。可见教材中深刻地蕴含着位置关系中的定性与定量的转化关系。
(2)若直线 上的两点在平面α的两侧,且到平面α的距离相等,这时直线 与平面α相交(如图).
(3)若直线l上的两点在平面α的同一侧,且到平面α的距离相等(如图).
∵AA1⊥α于点A1,BB1⊥α于点B1.又A、B均在l上,且在α的同侧.∴AA1 BB1
∴AA1BB1为一平行四边形.∴AB∥A1B1∴这时直线l与平面α平行.
4、体积问题中的转化
研究简单几何体体积问题的过程中,利用祖暅定理,将一般柱体体积问题转化为长方体体积问题,一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题,从而推导出柱体和锥体体积公式等。三棱锥体积公式推导过程中,“补法”和“割法”的先后运用,台体的体积,即补台成锥。所展示的割补转化;利用四面体、平面六面体等几何体体积的自等性,以体积为媒介沟通有关元素间的联系,从而使问题获解的等积转化等,均是转化的思想方法在体积问题中的体现。
VABCD= SΔBCM·AD.
CM= = = .设N是BC的中点,则MN⊥BC,MN= = = ,从而SΔBCM= ×2× = ,
故VABCD= × ×1= .
对于对棱相等的四面体,可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中,再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V= · ,
《高中数学立体几何》课件
高中数学立体几何
本课程将介绍立体几何概念、用途和计算问题。掌握立体几何的基本原理和 解题方法,为学生今后考入理工类大学打下坚实的数学基础。
什么是立体几何
定义
立体几何是研究三维空间中的点、线、面、体之间 相互关系的数学学科。
应用
立体几何是极其重要的数学分支,广泛应用于数学、 物理学、工程技术等领域。
判定方法
全等性和相似性的判定方法非常的重要,我们将详细探讨。
立体几何中的平行与垂直
平行性质
掌握和理解平行线及其性质,将有助于解决立体几 何中很多形状相似、全等等问题。
垂直性质
垂直性质也是立体几何常见的性质之一,掌握垂直 关系及其应用将使你在解题时事半功倍。
立体几何的计算问题和解法
1
表面积和体积
了解计算表面积和体积的基本公式和应用场景,可为解决立体几何问题提供强有 力的支持。
2
三视图
掌握三视图生成及其应用,能够快速准确计算立体和思考方法,并通过多做习题来加强应用实践。
概念
立体几何涉及到许多概念,如棱锥、棱柱、圆锥、 圆柱、球、圆等。
立体几何的图形与性质
平面图形
圆的面积,直线与平面的关 系,多边形的性质等。
几何体
棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、 球、棱台、正四面体、正六 面体、正八面体、正二十面 体等。
性质总结
一些特殊的立体几何图形, 如对称性、表面积和体积等。
立体几何的投影与展开
投影
了解并掌握立体几何图形在平面上的投影,是解决 立体几何问题的关键。
展开
将一个三维立体图形切割后,展开成一个平面图形, 方便研究,是解决立体几何问题的有效方法之一。
立体几何中的相似与全等
相似
两个形状相似是指这两个形状在形状上相同,但大小比例不同。
本课程将介绍立体几何概念、用途和计算问题。掌握立体几何的基本原理和 解题方法,为学生今后考入理工类大学打下坚实的数学基础。
什么是立体几何
定义
立体几何是研究三维空间中的点、线、面、体之间 相互关系的数学学科。
应用
立体几何是极其重要的数学分支,广泛应用于数学、 物理学、工程技术等领域。
判定方法
全等性和相似性的判定方法非常的重要,我们将详细探讨。
立体几何中的平行与垂直
平行性质
掌握和理解平行线及其性质,将有助于解决立体几 何中很多形状相似、全等等问题。
垂直性质
垂直性质也是立体几何常见的性质之一,掌握垂直 关系及其应用将使你在解题时事半功倍。
立体几何的计算问题和解法
1
表面积和体积
了解计算表面积和体积的基本公式和应用场景,可为解决立体几何问题提供强有 力的支持。
2
三视图
掌握三视图生成及其应用,能够快速准确计算立体和思考方法,并通过多做习题来加强应用实践。
概念
立体几何涉及到许多概念,如棱锥、棱柱、圆锥、 圆柱、球、圆等。
立体几何的图形与性质
平面图形
圆的面积,直线与平面的关 系,多边形的性质等。
几何体
棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、 球、棱台、正四面体、正六 面体、正八面体、正二十面 体等。
性质总结
一些特殊的立体几何图形, 如对称性、表面积和体积等。
立体几何的投影与展开
投影
了解并掌握立体几何图形在平面上的投影,是解决 立体几何问题的关键。
展开
将一个三维立体图形切割后,展开成一个平面图形, 方便研究,是解决立体几何问题的有效方法之一。
立体几何中的相似与全等
相似
两个形状相似是指这两个形状在形状上相同,但大小比例不同。
第6章立体几何初步复习课件-湘教版必修3
②球的表面不能展开为平面图形,其表面积公式为 S=4πR2。
3.柱体的体积公式为 V=Sh(S 为底面面积,h 为高),锥体的体积公式为 V=13Sh(S 为底面面积, h 为高)。球的体积公式为 V=43πR3=13SR(其中 S 为 球的表面积,R 为球的半径)。
四、线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种。 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况。 1.证明线线平行的方法 ①线线平行的定义; ②公理 3:平行于同一条直线的两条直线互相平行; ③线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,a∩β=b⇒a∥b; ④线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b; ⑤面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b。
故该几何体的体积 V=12× 2×1× 2=1。
答案:C
方法点评:本题考查了通过三视图复原对应实物 (或几何体)的形状,并求该几何体的体积,考查了同 学们的空间想象能力及空间模型的构建能力。
专题三 空间几何体的最值问题 将空间几何体的表(侧)面展开,化折(曲)为直,使空间 图形问题转化为平面图形问题,即空间问题平面化,是解决立体 几何问题最基本、最常用的方法.将空间图形展开成平面图形后, 弄清几何体中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关 键。
2.证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义; ②判定定理 1: ml⊥,mn,⊂αl⊥,nm∩n=A⇒l⊥α; ③判定定理 2:a∥b,a⊥α⇒b⊥α; ④面面平行的性质定理:α∥β,a⊥α⇒a⊥β; ⑤面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β。
六、面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种。 1.证明平面平行的方法 ①面面平行的定义; ②面面平行的判定定理:a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,a∩b=A⇒α∥β; ③线面垂直的性质定理:垂直于同一条直线的两个平面平行,即 a ⊥α,α⊥β⇒α∥β; ④公理 3 的推广:平行于同一平面的两个平面平行,即 α∥γ,β∥γ⇒α ∥β。
3.柱体的体积公式为 V=Sh(S 为底面面积,h 为高),锥体的体积公式为 V=13Sh(S 为底面面积, h 为高)。球的体积公式为 V=43πR3=13SR(其中 S 为 球的表面积,R 为球的半径)。
四、线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种。 两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况。 1.证明线线平行的方法 ①线线平行的定义; ②公理 3:平行于同一条直线的两条直线互相平行; ③线面平行的性质定理:a∥α,a⊂β,a∩β=b⇒a∥b; ④线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α⇒a∥b; ⑤面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b。
故该几何体的体积 V=12× 2×1× 2=1。
答案:C
方法点评:本题考查了通过三视图复原对应实物 (或几何体)的形状,并求该几何体的体积,考查了同 学们的空间想象能力及空间模型的构建能力。
专题三 空间几何体的最值问题 将空间几何体的表(侧)面展开,化折(曲)为直,使空间 图形问题转化为平面图形问题,即空间问题平面化,是解决立体 几何问题最基本、最常用的方法.将空间图形展开成平面图形后, 弄清几何体中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关 键。
2.证明直线与平面垂直的方法 ①线面垂直的定义; ②判定定理 1: ml⊥,mn,⊂αl⊥,nm∩n=A⇒l⊥α; ③判定定理 2:a∥b,a⊥α⇒b⊥α; ④面面平行的性质定理:α∥β,a⊥α⇒a⊥β; ⑤面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β。
六、面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种。 1.证明平面平行的方法 ①面面平行的定义; ②面面平行的判定定理:a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,a∩b=A⇒α∥β; ③线面垂直的性质定理:垂直于同一条直线的两个平面平行,即 a ⊥α,α⊥β⇒α∥β; ④公理 3 的推广:平行于同一平面的两个平面平行,即 α∥γ,β∥γ⇒α ∥β。
北师大版高中数学必修第二册第六章立体几何初步课件(一)
2.画法:一般地,用平行四边形表示平面,当平面水平放置时,通常把
平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍.
3.命名:平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,也可以用表示平行四边
形顶点的字母表示,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点
的字母表示.
名师点析1.平面是只描述不定义的原始概念,它具有无限延展性,是
B.曲面都是有一定大小的
C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的
D.平面图形是空间图形的重要组成部分
解析组成几何体的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是
无限延展的;直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点可
以排除A,B,C.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
几何中基本元素的位置关系
名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌
拉金字塔.其中,又以胡夫金字塔为最,是“世界七大奇迹”之一,现高
136米,塔身是用230万块巨石堆砌而成,底面是一个近似的正方形,
相当于一座四十多层的摩天大厦.关于金字塔,至今还有诸多未解
之谜.现在把胡夫金字塔的外形轮廓抽象成几何体,同学们知道它
相交.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.在学习立体几何的过程中,要注意与初中所学平面几何
知识进行类比,不要照搬,因为平面几何中的一些结论不能推广到
空间中.
2.当两个平面相交时,可以像如图那样,把被遮挡部分画成虚线或不
画.这样,看起来立体感强一些.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线BD1既不相交又不平行的棱
定.
答案AD
激趣诱思
平行四边形的锐角画成45°,横边长画成邻边长的两倍.
3.命名:平面通常用希腊字母α,β,γ等来表示,也可以用表示平行四边
形顶点的字母表示,还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点
的字母表示.
名师点析1.平面是只描述不定义的原始概念,它具有无限延展性,是
B.曲面都是有一定大小的
C.直线是无限个点组成的,而线段是由有限个点组成的
D.平面图形是空间图形的重要组成部分
解析组成几何体的面既可以是平面,也可以是曲面;曲面也可以是
无限延展的;直线和线段都是由无数个点组成的.根据这些特点可
以排除A,B,C.
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
几何中基本元素的位置关系
名的是祖孙三代金字塔——胡夫金字塔、哈夫拉金字塔和门卡乌
拉金字塔.其中,又以胡夫金字塔为最,是“世界七大奇迹”之一,现高
136米,塔身是用230万块巨石堆砌而成,底面是一个近似的正方形,
相当于一座四十多层的摩天大厦.关于金字塔,至今还有诸多未解
之谜.现在把胡夫金字塔的外形轮廓抽象成几何体,同学们知道它
相交.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.在学习立体几何的过程中,要注意与初中所学平面几何
知识进行类比,不要照搬,因为平面几何中的一些结论不能推广到
空间中.
2.当两个平面相交时,可以像如图那样,把被遮挡部分画成虚线或不
画.这样,看起来立体感强一些.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线BD1既不相交又不平行的棱
定.
答案AD
激趣诱思
立体几何精品PPT课件
(2)基本方法的复习要模式化 在复习中,要借助具有一定代表性的几何图形, 归纳总结证明线线、线面、面面平行的各种方 法.
高三一轮复习课件 立体几何中的平行问题
2.突出立体几何的重点知识—求精
新课程高考题比较注重求问形式的多元化,但 问题最终的落脚点无外乎是判断或证明平行,而 解决的方法主要集中在一两个常见的形式上。 比如求证空间中直线和平面的平行关系,要么 采用线面平行的判定定理——在该平面中找到 一条和该直线平行的直线(利用中位线或平行 四边形),要么采用面面平行的定义——构造 过该直线与该平面平行的平面.
高三一轮复习课件 立体几何中的平行问题
3.总结立体几何解题规律—求准
立体几何解题过程中,常有明显的规律性,所 以复习中必需对概念、定理、题型、方法进行总 结、归类,进而建立知识框架和网络,弄清各概 念之间的包含关系,理清定理的来龙去脉和相互 转化的过程,从内涵和外延上区分容易混淆的概 念,从条件、结论和使用范围上区分容易混淆的 定理。如“中点”这个条件在题目中出现的频率 相当高,这个现象背后肯定有规律!其实道理很 简单,因为一个中点如果连到另一个中点,就会 出现中位线,然后自然会出现平行关系。所以能 够利用这些规律去解决问题,会使我们思路更加 明确而避免走弯路。
高三一轮复习课件 立体几何中的平行问题
4.研究考试说明和教学要求—求据
认真充分的研究考试大纲及说明,《考试大纲》 及各省的《考试说明》,是依据《普通高中数 学课程标准》制定的,是高考命题的指挥棒, 它规定了考试的性质、内容、形式、难度等, 而且对考查不同的知识提出了明确的层次要求。 只有研究好它们,才能有针对性、有重点的进 行复习,避免盲目于题海中。
基本题型
题型一:判断型
题型二:计算型 填空题 题型三:论证型 ——解答题
高三一轮复习课件 立体几何中的平行问题
2.突出立体几何的重点知识—求精
新课程高考题比较注重求问形式的多元化,但 问题最终的落脚点无外乎是判断或证明平行,而 解决的方法主要集中在一两个常见的形式上。 比如求证空间中直线和平面的平行关系,要么 采用线面平行的判定定理——在该平面中找到 一条和该直线平行的直线(利用中位线或平行 四边形),要么采用面面平行的定义——构造 过该直线与该平面平行的平面.
高三一轮复习课件 立体几何中的平行问题
3.总结立体几何解题规律—求准
立体几何解题过程中,常有明显的规律性,所 以复习中必需对概念、定理、题型、方法进行总 结、归类,进而建立知识框架和网络,弄清各概 念之间的包含关系,理清定理的来龙去脉和相互 转化的过程,从内涵和外延上区分容易混淆的概 念,从条件、结论和使用范围上区分容易混淆的 定理。如“中点”这个条件在题目中出现的频率 相当高,这个现象背后肯定有规律!其实道理很 简单,因为一个中点如果连到另一个中点,就会 出现中位线,然后自然会出现平行关系。所以能 够利用这些规律去解决问题,会使我们思路更加 明确而避免走弯路。
高三一轮复习课件 立体几何中的平行问题
4.研究考试说明和教学要求—求据
认真充分的研究考试大纲及说明,《考试大纲》 及各省的《考试说明》,是依据《普通高中数 学课程标准》制定的,是高考命题的指挥棒, 它规定了考试的性质、内容、形式、难度等, 而且对考查不同的知识提出了明确的层次要求。 只有研究好它们,才能有针对性、有重点的进 行复习,避免盲目于题海中。
基本题型
题型一:判断型
题型二:计算型 填空题 题型三:论证型 ——解答题
第六章 立体几何.ppt
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6.2空间两条直线
三、两条异面直线所成的角
直线a,b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a ′∥a,b′∥b,因为这两条相交直线和另外两条相交直线分别平行 时,两组直线所成的锐角(或直角)相等,所以直线a′和b′所成的 锐角(或直角)的大小,只由直线a、b的相互位置来确定,与点O 的位置无关,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线和b所成的角,如图6-15(a)~(c)所示。
两个平面平行的判定定理1:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (三)二面角
修筑堤坝时,为了使它经济耐久,必须使水坝面和水平面成适当 角度;车刀刀口也要根据用途的不同,磨成不同的角度,这些都说明 有必要讨论两个平面相交所成的角的问题.
平面内的一条直线,把这个平面分面两部分,每一部分叫做半平 面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直 线叫做二面角的棱,两个半平面叫做二面角的面.
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6.1平面和平面的基本性质
图为几何里的平面是无限延展的,所以平行四边形仅是它所表 示的平面的一部分.平面通常用一个希腊字母α,β,γ等来表示。有 时亦用表示平面的平行四边形的两个相对顶点字母表示,如图6-1 (a)所示的平面记作平面AC。 (二)平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两个点在一平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内。如图6-2(a)所示。
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6.5多面体
(三)棱柱的种类 ①以侧棱的位置分 侧棱和底面斜交,叫做斜棱柱;侧棱和底面垂直,叫做直棱柱; 底面是正多边形的直棱柱,叫做正棱柱. ②以侧棱的条数分 一个棱柱有几条侧棱就是几棱柱,也可说底面是几边形就是几棱 柱.
6.2空间两条直线
三、两条异面直线所成的角
直线a,b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a ′∥a,b′∥b,因为这两条相交直线和另外两条相交直线分别平行 时,两组直线所成的锐角(或直角)相等,所以直线a′和b′所成的 锐角(或直角)的大小,只由直线a、b的相互位置来确定,与点O 的位置无关,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直 线和b所成的角,如图6-15(a)~(c)所示。
两个平面平行的判定定理1:如果一个平面内有两条相交直线都 平行于另一个平面,那么这两个平面平行. (三)二面角
修筑堤坝时,为了使它经济耐久,必须使水坝面和水平面成适当 角度;车刀刀口也要根据用途的不同,磨成不同的角度,这些都说明 有必要讨论两个平面相交所成的角的问题.
平面内的一条直线,把这个平面分面两部分,每一部分叫做半平 面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直 线叫做二面角的棱,两个半平面叫做二面角的面.
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6.1平面和平面的基本性质
图为几何里的平面是无限延展的,所以平行四边形仅是它所表 示的平面的一部分.平面通常用一个希腊字母α,β,γ等来表示。有 时亦用表示平面的平行四边形的两个相对顶点字母表示,如图6-1 (a)所示的平面记作平面AC。 (二)平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两个点在一平面内,那么这条直线上 所有的点都在这个平面内。如图6-2(a)所示。
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6.5多面体
(三)棱柱的种类 ①以侧棱的位置分 侧棱和底面斜交,叫做斜棱柱;侧棱和底面垂直,叫做直棱柱; 底面是正多边形的直棱柱,叫做正棱柱. ②以侧棱的条数分 一个棱柱有几条侧棱就是几棱柱,也可说底面是几边形就是几棱 柱.
高中数学立体几何空间几何体结构-PPT
⑷两个面平行且相似,其余各面都就是梯形得多面体就是棱台( × )
⑸有两个面互相平行,其余四个面都就是等腰梯形得六面体就是棱
台
(√)
(×)
⑹棱台各侧棱得延长线交于一点
(×)
⑺各侧面都就是正方形得四棱柱一定就是正方体
菱形
如图,正四棱锥S-ABCD被一平行于底面得平面A'B'C'D'所截,其中A'为SA 得中点、若四棱锥得底边AB=4,求截得得正棱台ABCD-A'B'C'D'得上底面面积 与下底面得面积之比。
线
叫做圆锥得侧面。
顶点:作为旋转轴得直角边与斜边得交点
A
母线:无论旋转到什么位置,直角三角形得斜 边叫做圆锥得母线。
顶点 S
轴
侧 面
O B
底面
圆锥可以用它得轴来表示。
如:圆锥SO
注:棱锥与圆锥统称为锥体
6、圆台得结构特征
用一个平行于圆锥底面得平面去截圆锥,底面与截面之 间得部分就是圆台、
圆台得轴,底面,侧面,母线与圆锥相似
底面
两底面得全等得多边形
多边形
两底面就是相似得多边形
侧面 侧棱
平行于底面 得平面
平行四边形 平行且相等
三角形 相交于顶点
梯形 延长线交于一点
与两底面就是全等得多边形 与底面就是相似得多边形 与两底面就是相似得多边形
过不相邻两 侧棱得截面
平行四边形
三角形
梯形
D1
E
C1
A1
F
D
A
B1 C
B
例2 一个三棱柱可以分割成几个三棱锥?
C1
B1 C1
B1
立体几何部分简介 PPT课件 人教课标版
全日制普通高级中学教科书(实验修订本.必修)
二 简单几何体
9.7 棱柱 9.8 棱锥 9.9 研究性学习课题:多面体欧拉公式 的发现 9.10 球
全日制普通高级中学教科书(实验修订本.必修)
大纲教材
从点、线、面到几何体,按公理化 体系,按知识的逻辑关系安排内容, 结构严谨,“数学味”浓厚——优 点.
如图长方体中线段A’B所在 直线与线段C’C所在直线的 位置关系如何描述呢?
在引导学生观察长方体模型时, 应注意使学生有目的地、有序地、 全面地观察模型体现的点、直线、 平面之间的关系。观察后,要让 学生对位置关系进行概括,实现 由直观感知、操作确认到思辨论 证的过渡。
三、几点建议
1.努力完善几何的教育功能。 不仅仅要逻辑推理,也要合情推理,从 而加强学生的空间直观能力。 2.注意内容及其要求的变化。 例如,减少了定理的证明:4个公理、9 个定理中只有4个性质定理需要证明,其 余4个判定定理只需通过直观感知、操作 确认,归纳得出。
普通高中课程标准实验教科书
数 学 必修② 立体几何部分简介
安吉高级中学 梁卫宏
主要内容
主要变化
1.从整体到局部、具体到抽象
与以往立体几何内容体系相比, 本模块立体几何的内容体系结构 有重大调整。
第九章 直线、平面、简单几何体
一 空间直线和平面 二 9.1 平面 9.2 空间直线 9.3 直线与平面平行的判定和性质 9.4 直线与平面垂直的判定和性质 9.5 两个平面平行的判定和性质 9.6 两个平面垂直的判定和性质
3.充分使用长方体模型
长方体中的棱与棱、棱与面、面与面 之间的位置关系,是研究直线与直线、 直线与平面、平面与平面位置关系的 很好载体。教科书在空间点、直线、 平面位置关系(主要是平行、垂直的 判定和性质)都以长方体为直观载体, 引导学生进行操作确认,获得充分感 知的基础上,得出猜想后再进行严密 的论证和计算。
二 简单几何体
9.7 棱柱 9.8 棱锥 9.9 研究性学习课题:多面体欧拉公式 的发现 9.10 球
全日制普通高级中学教科书(实验修订本.必修)
大纲教材
从点、线、面到几何体,按公理化 体系,按知识的逻辑关系安排内容, 结构严谨,“数学味”浓厚——优 点.
如图长方体中线段A’B所在 直线与线段C’C所在直线的 位置关系如何描述呢?
在引导学生观察长方体模型时, 应注意使学生有目的地、有序地、 全面地观察模型体现的点、直线、 平面之间的关系。观察后,要让 学生对位置关系进行概括,实现 由直观感知、操作确认到思辨论 证的过渡。
三、几点建议
1.努力完善几何的教育功能。 不仅仅要逻辑推理,也要合情推理,从 而加强学生的空间直观能力。 2.注意内容及其要求的变化。 例如,减少了定理的证明:4个公理、9 个定理中只有4个性质定理需要证明,其 余4个判定定理只需通过直观感知、操作 确认,归纳得出。
普通高中课程标准实验教科书
数 学 必修② 立体几何部分简介
安吉高级中学 梁卫宏
主要内容
主要变化
1.从整体到局部、具体到抽象
与以往立体几何内容体系相比, 本模块立体几何的内容体系结构 有重大调整。
第九章 直线、平面、简单几何体
一 空间直线和平面 二 9.1 平面 9.2 空间直线 9.3 直线与平面平行的判定和性质 9.4 直线与平面垂直的判定和性质 9.5 两个平面平行的判定和性质 9.6 两个平面垂直的判定和性质
3.充分使用长方体模型
长方体中的棱与棱、棱与面、面与面 之间的位置关系,是研究直线与直线、 直线与平面、平面与平面位置关系的 很好载体。教科书在空间点、直线、 平面位置关系(主要是平行、垂直的 判定和性质)都以长方体为直观载体, 引导学生进行操作确认,获得充分感 知的基础上,得出猜想后再进行严密 的论证和计算。
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例题一.客观题 1.(2014•广东)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4, 则下列结论一定正确的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定
解: 在正方体中, 若 AB 所在的直线为 l2,CD 所在的直线为 l3, AE 所在的直线为 l1, 若 GD 所在的直线为 l4,此时 l1∥ l4, 若 BD 所在的直线为 l4,此时 l1⊥l4, 故 l1 与 l4 的位置关系不确定, 故选:D
球心到△ABC 的外接圆圆心的距离 d=1 故球的半径 R= 故选 D = =
例题二.解答题
5.如图,AB 是圆 O 的直径,P A 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 P AC; (2)设 Q 为 P A 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC
E,F 分别是 AC,PC 的中点 ,∴ EF∥ PA, ∵三棱锥 P-ABC 为正棱锥 ,∴ PA⊥ BC(对棱互相垂直 ),∴ EF⊥ BC, 又∵ EF⊥ BF,而 BF∩ BC=B,∴ EF⊥平面 PBC,∴ PA⊥平面 PBC, ∴∠ APB=∠ APC=90° ,结合△ APB≌△ BPC 可知∠ BPC=90° . 以 PA,PB,PC 为从同一顶点 P 出发的正方体三条棱 , 将此三棱锥补成正方体 ,则它们有相同的外接球 , 正方体的体对角线就是外接球的直径 .因为 AB=2, 所以 PA=
证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC. 由 P A⊥平面 ABC,BC 又 P A∩AC=A,P A 所以 BC⊥平面 P AC. 平面 ABC,得 P A⊥BC. 平面 P AC, 平面 P AC,AC
(2)连 OG 并延长交 AC 于 M,连接 QM,QO,由 G 为△AOC 的重心, 得 M 为 AC 中点. 由Q为P A 中点,得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM MO BC 平面 PBC,PC 平面 QMO, 平面 QMO,BC∩PC=C, 平面 PBC,
三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两相等(即为等腰四面体),所以把它扩展为长方 体,它也外接于球,设三棱锥 A-BCD 三条棱为 则 , ,长方体的棱长为 ,
,且此长方体的面对角线的长分别为:2, , 体对角线的长为球的直径, 2
答案为②④⑤
变式训练 1.已知正三棱锥 P-ABC 中,E,F 分别是 AC,PC 的中点 , 若 EF⊥BF,AB=2,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为
2. (2014•新课标 I)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画 出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各条棱中, 最长的棱的长度 为( )
A.6
B.6
C.4
D.4
3.(2012·安徽文改编)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB =CD,AC=BD,AD=BC,则________( 写出所有正确结论的编号). ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直; ②四面体 ABCD 每个面的面积相等; ③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小 于 180°; ④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分; ⑤三棱锥 A-BCD 中,AB=2,AD= 球的表面积为 8π ,AC= 则四面体 ABCD 的外接
因为 PD=CD,点 E 是 PC 的中点, 所以 DE⊥PC,因为 PC∩BC=C, 所以 DE⊥平面 PBC, 由 BC⊥平面 PCD,DE⊥平面 PBC, 可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形, 即四面体 EBCD 是一个鳖臑, 其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB
若是,写出其每个面的直角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P﹣ABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2, 求 的值.
(Ⅰ)证明:因为
PD⊥底面 ABCD,所以 PD⊥BC,
因为 ABCD 为正方形,所以 BC⊥CD, 因为 PD∩CD=D,所以 BC⊥平面 PCD, 因为 DE⊂平面 PCD,所以 BC⊥DE,
.
6 ,∴ 2R=PA=
6
(R 为外接球的半径 ) ,
∴三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 S=4πR2=4π=6π.
变式训练 2.(2014•模拟)三棱锥 P﹣ABC 中, 底面△ABC 是边长为 2 的正三角形, PA⊥底面 ABC,且 PA=2, 则此三棱锥外接球的半径为( )
根据已知中底面△ABC 是边长为 2 的正三角形,PA⊥底面 ABC, 可得此三棱锥外接球, 即为以△ABC 为底面以 PA 为高的正三棱柱的外接球 ∵△ABC 是边长为 2 的正三角形, ∴△ABC 的外接圆半径 r= ,
所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO, 所以 QG∥平面 PBC.
五、双垂四面体(三节棍模型) 三条棱 AB、BC、CD 两两互相垂直的四面体 ABCD, 这种四面体构成许多简单多面体的基本图形, 不妨称为双垂四面体, ①它的四个面都是直角三角形; ②CD⊥平面 ABC,AB⊥平面 BCD; ③相邻两节所在三角形中,第三边上的垂线恰好是该边与另一 节所在平面的垂线(即 BE⊥面 ACD ,CF⊥面 ABC) , 此四面体的三条两两互相垂直的棱,如同一条三节棍,因此,我们也把它称为“三节棍” 模型。
第六讲 立体几何模型化思想
一、长方体模型 1.长方体 中 是长方体的对角线,它有几个结论:
①体对角线长是: ②若体的对角线与一个端点的三条棱所成的角分别为 ,则
③若体的对角线与一个端点的三个面所成的角分别为
,则
④考虑四面体 即
是对棱长分别相等的四面体, ,对棱长分别是
二.正方体
①正方体的体对角线垂直于异面的面对角线
例题二.解答题
5.如图,AB 是圆 O 的直径,P A 垂直圆 O 所在的平面, C 是圆 O 上的点. (3)求证: cos PBC cos PBA cos ABC
五、双垂四面体(三节棍模型) 如图 3,四面体 A-BCD,AB⊥面 BCD,CD⊥面 BCA,这种四面体构成许多简单多 面体的基本图形,不妨称为双垂四面体,主要性质: (1)它的四个面都是直角三角形; (2) ;
②11
种展开图
第一类:有四个面在一条线上,有 6 种情形,如下所示:
第二类:恰好最多有三个面在一条线上,有四种情形,如下所示:
第三类:最多有两个面在一条直线上,只有一种情形,如图 11 所示.
③. 用 一 个 平 面 截 正 方 体 。
可得 到三 角形 、矩 形、正 方 形、五 边 形、六 边形 、正 六边 形、 菱 形、梯 形 。
6 a= 3
;
③对棱互相垂直且对棱的距离 d=
④外接球半径
R=
;
⑤内切球半径
r=
.
⑥正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高)
五、双垂四面体(三节棍模型) 三条棱 AB、BC、CD 两两互相垂直的四面体 ABCD, 这种四面体构成许多简单多面体的基本图形, 不妨称为双垂四面体, ①它的四个面都是直角三角形; ②CD⊥平面 ABC,AB⊥平面 BCD; ③相邻两节所在三角形中,第三边上的垂线恰好是该边与另一 节所在平面的垂线(即 BE⊥面 ACD ,CF⊥面 ABC) , 此四面体的三条两两互相垂直的棱,如同一条三节棍,因此,我们也把它称为“三节棍” 模型。
三、直角四面体( “墙角 ”模型) 在三棱锥 中, ,且 .
①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心;
③体积
V=
;
④外接球半径
R=
;
四、正四面体
正四面体的性质:设正四面体的棱长为 ① 表面积 V S
表
,
=
;
②体积
1 3
3 a2 4
=12,
在三个直角三角形 EBA,EBG,EBC 中,斜边 AE=EC=ED, ∵AE⊥EC,∴△EAC 为等腰三角形, 则 AE2+EC2=AC2=12 ,即 2AE2=12, ∴AE2=6,则 AE= ,∴从而得 AE=EC=ED= ,
∴△EAC 的面积 S= =3, 在等腰三角形 EAD 中,过 E 作 EF⊥ AD 于 F, 则 AE= 则 EF= ,AF= = , = , ,
解: (Ⅱ)设 AB=x,在菱形 ABCD 中,由∠ABC=120° , 得 AG=GC= x,GB=GD= ,
∵AE⊥EC,△EBG 为直角三角形, ∴BE= x, = = ,
∵三棱锥 E﹣ACD 的体积 V= 解得 x=2,即 AB=2, ∵∠ABC=120° ,
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosABC=4+4﹣2× 即 AC= ,
( II)解:作 DE⊥PB 于 E,已知 PD⊥底面 ABCD, 则 PD⊥BC,由(I)知,BD⊥AD,又 BC∥AD, ∴BC⊥BD. 故 BC⊥平面 PBD,BC⊥DE, 则 DE⊥平面 PBC. 由题设知 PD=1,则 BD= ,PB=2. ,
根据 DE•PB=PD•BD,得 DE= 即棱锥 D﹣PBC 的高为 .
∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为 S= 故该三棱锥的侧面积为 3+2 .
5. (2012•湖南)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30° , 求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.
4. (2015•新课标 I)如图,四边形 ABCD 为菱形, G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD.