函数的最大(小)值

第一章 1.3. 1（下）函数的最大（小）值

教学目的：⑴初步了解复合函数单调性的判断方法. ⑵理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑶学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程：

一.复习引入

1、函数单调性定义----上升的意义为单调递增，下降的意义为单调上升.，如何精确说明x 越大（小），y 越大（小），单调函数的定义.

2、初等函数：一次函数)0(≠+=k b kx y 、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，对称轴为界，反比例函数)0(≠=

k x

k y 的单调性，单调区间：

3、单调性的判定、单调区间的求法：（1）初等函数直接给出（2）画函数图象（3）定义法 比如作业：《作业本》1.3.1（一）10. 若函数()()2

15f x ax a x =--+在区间1

,12⎛⎫

⎪⎝⎭

上是增函数，求实数a 的范围.

解：若0a =，则()5f x x =-+，符合 若0a >，则对称轴11022

a x a a -=≤⇒>

若0a <，则对称轴11102a x a a

-=

≥⇒-≤<

综上：1a ≥-

4、单调性的证明方法：单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

5、补充作业：证明函数f(x)=x 3

在(-∞，+∞)上是增函数.错解：分类1212

0,0x x x x <<<<讨论，只说明了在()(),0,0,-∞+∞上递增，但并不是(),-∞+∞上递增；即使再分120x x <<讨论也还不够，12,x x 中可以有0吗？

就此说明：（1）并不因为0x >递增，0x <递增，而得出R 上递增.

也可以有解法：2

222

2

2

212

1122

122132422x x x x x x x x x x x ⎛⎛⎫

++=++=+++ ⎪ ⎝⎭⎝

或2

2

22

2222

12

12

1122122

2

x x x x x x x x x x ++++≥+-

=

（2）确定符号时，因式分解到底：

比如作业：《作业本》1.3.1（一）11. 判断函数()2

1

x f x x =-在区间()1,1-上的单调性，并

给出证明.

解：任意的()1212,1,1,x x x x ∈-<，()()()()

()()

1221122

2

1

2111x x x x f x f x x

x +--===-- ，充分

说明符号.

6、如上例，完全可能()2

1

x f x x =

-在某一区间上有两种或以上的单调性，怎样去划分呢？

比如：讨论函数2y x =在区间()1,1-上的单调性. 二.新课教学

（一）复合函数单调性------用增减的通俗语言解释

对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当

),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 以X 越大Y 越大（小）的通俗语言解释，不作证明 例1．求函数. 解：首先定义域为[]1,1-，()()2

1f x u x x =

=-， []1,0x ∈-时，()2

1u x x =-为增

函数，[]0,1x ∈时，()2

1u x x =-为减函数，因为()f x =[]1,0-为

()f x 的递增区间，[]0,1为()f x 的递减区间.

练习：已知函数y=f(x)在(－∞,+∞)上是减函数，则y=f(|x+2|)的单调递减区间是 ( B ) A.(－∞,+∞) B.［－2,+∞］ C.［2,+∞］ D.(－∞,－2)

（二）函数最大（小）值定义 观察图象引入

1．最大值

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

⑴对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；

⑵存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．（学生活动）

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 简单结论；讨论：初等函数：一次函数)0(≠+=k b kx y 、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 反比例函数)0(≠=

k x

k y 的最大值和最小值：

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

（1）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；

（2）如果y=f(x)在定义域上并非单一的单调函数，则进行单调区间分割，求出每一段上的最大值和最小值，再取各最大值中的最大者为y=f(x)

的最大值，各最小值中的最小者为y=f(x)的最小值.

练习：（教材P 32练习5）

（三）典型例题

例2．菊花烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它达到最高点爆炸.如果烟花距地面的高度hm 与时

间ts 之间的关系为2

() 4.914.718h t t t =-++,那么烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻？这时距地高度是多少(精确到1m)

？

解：作出函数2() 4.914.718h t t t =-++的图象,显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻,纵坐标就是这时距地高度