同等学力经济学-西方经济学-计算与证明

第五门：西方经济学-计算与证明西经＠计算＠一＠1、若某厂商面对的市场需求曲线为Q＝20–3P，求价格P＝2时需求的点弹性值。

该厂商如何调整价格才能使得总收益增加。大纲P134

本题主要考察价格弹性系数对总收益的影响。缺乏弹性时↑P则收益↑，弹性大↓P则收益↑

基本理论或公式如下：点弹性系数E d＝–dQ/dP·P/Q，孤弹性系数E d＝–ΔQ/ΔP·(P1+P2)/(Q1+Q2)

当P＝2时，Q＝14。点弹性系数E d＝–dQ/dP·P/Q＝–d(20–3P)/dP·2/14＝–(–3)·2/14＝3/7＝0.43

由于价格弹性系数＝0.43<1，即缺乏弹性，故提高产品价格会使总收益增加。

西经＠计算＠一＠2若市场需求曲线为Q＝120–5P，求价格P＝4时需求价格的点弹性，并说明怎样调整价格才能使得总收益增加。

当价格P＝4时，需求量Q＝100。

根据需求价格弹性系数定义有E d＝–dQ/d P·P/Q＝–(–5)·4/100＝0.2

由于价格弹性系数小于1，即缺乏弹性，故提高价格会使得总收益增加。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 解注：需求的价格弹性与收益关系：

(1)若需求价格弹性系数E d>1，该商品的需求富有弹性。价格↓会使厂商销售收入↑，价格↑会使厂商销售收入↓。弹性越大，降低价格，收益的增加量就越大

(2)若需求价格弹性系数E d<1，该商品的需求缺乏弹性，价格↓会使厂商销售收入↓，价格↑会使厂商销售收入↑。特别是E d＝0，那么厂商销售收入同比例于价格的变动，即收益随价格↓而同比例减少，随价格↑而同比例增加。

(3)对于E d＝1的单一弹性商品，价格↑或↓对厂商的销售收入没有影响。

需求曲线：Q d＝α–β·P其中–β＝ΔQ d/ΔP，–β表示需求曲线相对于价格轴的斜率。

供给曲线：Q S＝–δ+г·P其中г＝ΔQ S/ΔP，г表示供给曲线相对于价格轴的斜率。

弧弹性：E d＝–ΔQ/ΔP·(P1+P2)/(Q1+Q2)

点弹性：E d＝–dQ/dP·P/Q

西经＠计算＠三＠1、已知企业的生产函数为У＝5L–L2，其中L为雇佣工人的数量。求企业劳动投入的合理区域。大纲P163

需要的基本理论与公式如下：(MP L=AP L到MP L=0)

首先，AP L＝TP L/L＝У/L。用У＝5L–L2代入后，得到AP L＝(5L–L2)/L＝5–L (1)

同时，MPL＝ΔTP L/ΔL＝ΔУ/ΔL。用У＝5L–L2代入后，得到MP L＝d(5L–L2)/dL

＝(5×1×L0–1×2×L1)/(1×L0)＝5–2L (2)

劳动投入的合理区域为MP L＝AP L到MP L＝0的区间。

1、当AP L与MP L相交时，厂商决定最低的劳动投入量，即合理区域的起始点。此时MP L＝AP L。将上面的(1)、

(2)两式代入后得到，5–L＝5–2L。→L＝0。

2、当边际产量为0时，厂商决定最大的劳动投入量，即合理区域的终点。此时MP L＝0。将上面的(2)两式代入后得到，5–2L＝0。→L＝2.5。

因此，企业劳动投入的合理区域为[0，2.5]。

西经＠计算＠三＠2、已知厂商的生产函数为Y＝10L–3L2，其中L为雇用工人数。求：(1)厂商限定劳动投入量的合理区域?((2)若企业生产的产品价格P＝5，现行工资率rL＝10，企业应雇用多少工人?)(06年)(参见简答7)

(1)由生产函数可以求得厂商的平均产量和边际产量

AP L＝TP/L＝У/L＝(10L–3L2)/L＝10–3L (1)

MP L＝ΔУ/ΔL＝d(10L–3L2)/dL＝(10×1×L0–3×2×L1)/(1×L0)＝10–6L (2)

当平均产量与边际产量相交，即AP L＝MP L时，决定最低的劳动投入量：将(1)、(2)代入，10–3L＝10–6L得L ＝0

当边际产量为零，即MP L＝0时，决定劳动投入量的最大值：10–6L＝0得L＝5/3

可见，该厂商的合理投入区为[0，5/3]。

(2)厂商雇用劳动的最优条件为P•MP L＝r L→5×(10–6L)＝10→L＝4/3，即劳动的最优投入量为4/3个单位。

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 解注：生产函数是在技术水平不变的情况下，厂商在一定时期内时期内使用可能的生产要素组合与它们所能生产的最大产量之间的关系。У＝ƒ(L,K)其中，L为劳动投入量，K为资本投入量，У为这些投入量所能生产的最大产出量。TP为既定生产要素所生产的最大产出量被称为该要素的总产量。AP为平均产量，MP为边际产量。

公式为：AP L＝TP/L＝У/L

MP L＝ΔTP/ΔL＝ΔУ/ΔL

第(2)问参见五内容。因MR＝P→MRP＝MR·MP＝P·MP＝r L，又因为VMP＝MRP→所以VMP＝P·MP＝r L 西经＠计算＠三＠2、厂商的生产函数为У＝ALαKβ，生产要素L和K的价格分别为r L和r K，1、求厂商的生产要素最优组合。2、如何资本的数量K＝1，求厂商的短期成本函数。3、求厂商的长期成本函数

1、根据生产要素最优化组合原理，MP L/r L=MP K/r K。 (1)

在本例中，MP L＝ΔTP/ΔL＝ΔУ/ΔL＝d(ALαKβ)/dL＝A×α×Lα-1Kβ。 (2)

在本例中，MP K＝ΔTP/ΔK＝ΔУ/ΔK＝d(ALαKβ)/dK＝A×β×LαKβ-1。 (3)

用(2)、(3)代入(1)式后，得MP L/r L＝MP K/r K。→ A×α×Lα-1Kβ/r L＝A×β×LαKβ-1/r K。→α×r K×Kβ＝β×r L×Lα……(4)。这就是厂商的生产要素最优组合。

2、短期成本函数由下列二元方程组所决定：

У＝ƒ(L,K)→把K＝1代入后，得У＝A×Lα×1β→У＝A Lα……(5) →L＝(У/A)1/α

c＝r L L+r K K →把K＝1代入后，得c＝r L×L+r K×1→ c＝r K+r L×L (6)

对(4)、(5)两式联合求解后，得c＝r K+r L×(У/A)1/α。此即短期成本函数。

3、长期成本函数由下列三条件方程组所决定：

У＝ƒ(L,K)→得У＝A×Lα×Kβ (7)

c＝r L L+r K K →得c＝r L×L+r K×K (8)

MP L/r L＝MP K/r K →即(4)式，得α×r K×Kβ＝β×r L×Lα (4)

对(7)、(8)、(4)三式联合求解后，得K＝→L＝，把L、K代入(7)式后，得c＝，此即长期成本函数。

西经＠计算＠三＃4、厂商的生产函数为У＝24L1/2K2/3，生产要素L和K的价格分别为rL＝1和rK ＝2。求：(1)厂商的最优生产要素组合?(2)如果资本的数量K＝27，厂商的短期成本函数?(3)厂商的长期成本函数?(03年)(参见下面的证明与简答9题)P181

1、据生产要素最优组合条件MP L/r L＝MP K/r K，

其中MP L＝ΔTP/ΔL＝ΔУ/ΔL＝d(24L1/2K2/3)/dL＝(24×1/2×L(1/2-1)×K2/3)/(1×L0)＝12L-1/2K2/3 (1)