第二章§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
拉丁方实验设计例子
拉丁方实验设计例子【篇一：拉丁方实验设计例子】一、拉丁方格二、标准拉丁方格三、n阶拉丁方格的个数四、正交拉丁方格五、拉丁方格在安排试验中的应用六、几点说明七、拉丁方试验的直观分析八、拉丁方试验的方差分析一、拉丁方格 1.定义：用列的方阵，使每行每列中每个字母都只能出现一次，这样的方阵叫r阶拉丁方或rr拉丁方。
2.n阶拉丁方格二、标准拉丁方格1。
定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母顺序排列。
44标准拉丁方有4个abcd abcd abcd abcd badc badc bcdabdac cdba cdab cdab cabd dcab dcba dabc dcba （ii）（iii）（iv）三、n阶拉丁方格的个数一、方法：每个拉丁方格可用标准拉丁方格对行号或列号随机化排列方法得到其它符合要求的拉丁方格二、操作： 1.选中一个标准拉丁方格，编上行号或列号 2.固定行号，列号用不同排列得到。
有n!种 3.固定第二步得到的n!个方格的列号及第一行行号其它行用不同排列生成(n-1)!方格三、n阶拉丁方格的个数 4.计算总数s (n-1)!k为标准拉丁方格个数三、实例：3!=576三、3阶拉丁方格的个数:12 (12)四、正交拉丁方格各出现一次）四、正交拉丁方格定理：在nxn方格中，当n(>2)为素数或素数的幂时就有n-1个正交拉丁方格特例：n=2时，无n=3时，有n-1=2个n=4时，有n-1=3个：2 n=5时，有n-1=4个n=6时，没有：不为素数或素数的幂 n=7时，有n-1=6个 n=8时，有n-1=7个：23x3，4x4正交拉丁方格系3x3 4x4 iiiii 123 123 1234 1234 1234231 312 2143 3412 4321 312 231 3412 4321 2143 4321 2143 3412 五、拉丁方格在安排试验中的应用例1：考察abc三种不同水稻品种对亩产量的影响，需安排“单因素三水平”试验在同样精度下可减少试验次数；在同样试验次数下可提高结论的准确性例2：生产某种染料需三种原料：a-硫磺，b- 烧碱，c-二硝基，每种原料均取四个水平，要找一个最好的配方，使质量又好，成本又低，应怎样安排试验？全面试验：4 =64次先考虑a，b两因素的全面试验，共16次五、拉丁方格在安排试验中的应用再安排c：在4x4中取一个正交拉丁方格，如取第i个。
拉丁方与正交拉丁方的应用和构造
组合 数学是 一 门很 古 老 的学科 ， 们 对 它 的兴趣 和研 究颇 早 ， 人 它起 始 于数 学 游戏 ， 如 中 国古代 的游 例 戏九 连环 ， 起初 只是研究 娱乐 或审 美 要求 所 涉及 的组 合 问题． 近代 随着 计 算机 的出现 ， 组合 数学 这 门学科
得到 了迅 猛的发 展， 成为 了一 个重 要 的数 学分 支 ． 拉丁方 和 正交 拉 丁方 是 组合 数 学 中的一 个重 要课 题 ， 在
此外 ， 丁方 还可用于工 作分配 、 拉 信息处理 、 安排循 环赛程 ， 至应用 于大型并 行系统 的处理 器调度． 甚
类繁多， 而每 种参数又 可 以取 多个水平 值， 因此一 个完备 的遍历 考察有 巨大数 目的状态空 间， 真评 估往 往 仿 成为不可能完成 的任务 ． 利用正交拉 丁方均匀搭配不 同参 数和各 种取值， 组成特 定 的考核 状 态空 间， 使得 工 作量 呈几何 级数 下 降， 用较 少 的实验 次数就 能够 达到 近似 于全 遍历 状态空 间 的效果 ．１ 仅 ［ １
实际应 用 中有着重 要 的作用 ．
１ 拉 丁 方 和 正 交 拉 丁 方
定 义 １ 由 １ ２ … ， 成 的 ｎ 方 阵（ ， 求每 行 及 每列 １ ２ … 各 出现一 次 ， ， ， 构 × ） 要 ，， 这样 的方 阵称 为 拉 丁方． 定 义 ２ 设 Ａ１（ ， （ ＝ ‘） Ａ２ ＝ ） 是 两个 ｎ ｎ的拉 丁方 ． 矩 阵 （ ” ‘） 中的 ｎ 个数 偶 （ ” ｘ 若 ‘， ‘，
（ ， ） （ ４ （ ， ） （ ， ） 右 前 ３ １ ４， ） １３ ２ ２ （ ， ） （ ， ） （ ， （ ， ） 右 后 ４ ２ ３ ３ ２ ４） １ １
正交实验法详解
正交实验法的由来一、正交表的由来拉丁方名称的由来古希腊是一个多民族的国家，国王在检阅臣民时要求每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表。
数学家在设计方阵时，以每一个拉丁字母表示一个民族，所以设计的方阵称为拉丁方。
什么是n阶拉丁方？用n个不同的拉丁字母排成一个n阶方阵（n<26 ），如果每行的n个字母均不相同，每列的n个字母均不相同，则称这种方阵为n*n拉丁方或n阶拉丁方。
每个字母在任一行、任一列中只出现一次。
什么是正交拉丁方？设有两个n阶的拉丁方，如果将它们叠合在一起，恰好出现n2个不同的有序数对，则称为这两个拉丁方为互相正交的拉丁方，简称正交拉丁方。
例如：3阶拉丁方（图1）用数字替代拉丁字母：（图2）二、正交实验法正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(33) 正交表按排实验，只需作9次，按L18(37) 正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
利用因果图来设计测试用例时, 作为输入条件的原因与输出结果之间的因果关系,有时很难从软件需求规格说明中得到。
往往因果关系非常庞大,以至于据此因果图而得到的测试用例数目多的惊人，给软件测试带来沉重的负担，为了有效地,合理地减少测试的工时与费用,可利用正交实验设计方法进行测试用例的设计。
正交实验设计方法:依据Galois理论,从大量的（实验）数据（测试例）中挑选适量的、有代表性的点（例），从而合理地安排实验（测试）的一种科学实验设计方法。
拉丁方课件
4、举例练习
拉丁方设计常被用于平衡实验安排的 时空顺序，也可被用于平衡机体变量 的影响。我们再以下面这个例子对拉 丁方做进一步说明。
（1）问题模式：
• 为了研究生字密度对学生阅读理解的 影响，研究者同时考虑到试验时间和 不同班级可能对阅读理解具有明显影 响，为了将这两个因素的影响从变异 的残差项中分离出去，研究者采用了 拉丁方实验设计。
（2）拉丁方格的组成：
• 拉丁方格是由实验中明显存在的两个额 外变量即实验时间和班级组成，其中班 级分为四档：b1,b2,b3,b4。从四个时间 段的被试中筛选出四个班级的被试各2人， 这样就有共计32名被试参加这一实验。 根据组成拉丁方格，拉丁方格中的每一 个格子中可以有时间段、班级相同的两 名被试，如表3所示。
②事先假设处理水平与无关变量水平间 没有交互作用。如果这个假设不能满足， 对实验中的一个或多个效应的检验可能有偏差
③随机分配处理水平给P2个方格单元 每个处理水平仅在每行每列中出现一次。 每个方格单元中分配一个或多个被试 因此总共需要的被试数量N=np2(n≥1)
拉 丁 方 实 验 设 计
随二 机、 区 组 实 验 设 计
表1 四种实验处理的随机区组实验设计
区组 A1 A2 A3 A4
星期一
星期二
星期三 星期四
3、拉丁方实验设计
• 现在我们进一步设想： 假如，在每天的实验中，一次只能测试一人， 每天参加实验的四名被试只能分别在 下午2～3点、3～4点、4～5点和5～6点 的四个时段接受测试，而测试时段不同也 可能会造成结果变化。这样一来， 每一种实验处理条件安排的时段就 也要取得平衡才行，你不能每天都 在2点钟安排所有被试接受A1处理条件， 或3点钟接受A1处理条件。
拉丁方设计
拉丁方设计-----------------------------------------------------------------“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
第二章§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
2.例 Aa Cb Bc
Bb Ac Ca
Cc Ba Ab
三,超方
如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相 互正交的拉丁方,则称它们为超方.
�
(
)
y.2j.
2 y... 2 p p
同理SS行,SS列 而SSe = SST SS拉丁 SS行 SS列
4.多重比较
Sy
. j.
MSe = p
5.缺失数据时的统计分析
按照使误差平方和SSe为最小的原则来估计它, 注意总的自由度及误差平方和的自由度有变化
二,希腊-拉丁方设计
1.定义 构造两个拉丁方,使得两个拉丁方重叠时, 任一拉丁字母与每个希腊字母相遇一次, 也只相遇一次,这样一对拉丁方称为相互 正交.两个正交的拉丁方可用来设计包含 四个水平数相等且彼此不存在交互作用的 因子的试验问题,这种设计称为希腊-拉丁 方设计
2.模型
yijk = + αi + τ j + βk + εijk i = 1,, p, j = 1,, p, k = 1,, p εijk i.i.d N 0, σ2 ∑ αi = 0, ∑ τ j = 0, ∑βk = 0 j k i
(
)
3.方差分析 假设
H 0 : τ1 = τ 2 = = τ p H1 : 至少一个τi ≠ 0
两个正交的拉丁方可用来设计包含四个水平数相等且彼此不存在交互作用的因子的试验问题这种设计称为希腊拉丁方设计aabbcccbacbabccaab如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相互正交的拉丁方则称它们为超方
§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
例6 本试验问题的响应变量是某种导弹的交流发 电机的AC输出电压,因子及其水平如下: 1)定子的AC线圈的圈数,5个水平分别为 145(A),150(B),155(C),160(D),165(E); 2)转子的铁心体的铁心片数,5个水平分别为 230,240,250,260,270; 3)铁心片表面涂层质量,5个等级分别为 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ 三个因子彼此间都不存在交互作用.
《拉丁方设计》课件
稳定性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的稳定性，避免 实验结果受到实验组 稳定性的影响。
03
拉丁方设计的原理
拉丁方的构成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ素
拉丁方：一种数学结构，由n个元素组成，每个元素都有唯一的位置 拉丁方性质：每个元素在每行、每列、每个子方中只出现一次 拉丁方分类：根据元素排列方式，可以分为标准拉丁方、非标准拉丁方等 拉丁方应用：在密码学、组合数学、计算机科学等领域有广泛应用
拉丁方在实验设计中的作用
平衡性：拉丁方设计 可以平衡实验组和对 照组的数量，避免实 验结果受到实验组数 量的影响。
随机性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的随机性，避免 实验结果受到实验组 选择的影响。
重复性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的重复性，避免 实验结果受到实验组 重复次数的影响。
拉丁方在医学研究中的应用
临床试验设计：拉丁方设计可以 提高临床试验的效率和准确性
疾病诊断和治疗：拉丁方设计可 以用于疾病的诊断和治疗，提高 诊断和治疗的准确性
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
药物疗效评估：拉丁方设计可以 帮助评估药物的疗效和安全性
医学研究数据分析：拉丁方设计 可以用于医学研究数据的分析和 解释，提高研究结果的可靠性和 准确性
拉丁方的设计原则
拉丁方设计是基于拉丁字母的排列组合，通过改变字母的位置和顺序来形成不同的图案。
拉丁方设计的原则之一是保持图案的对称性和平衡性，使得图案看起来更加美观。
拉丁方设计的另一个原则是保持图案的连续性和流动性，使得图案看起来更加自然。
拉丁方设计的最后一个原则是保持图案的多样性和创新性，使得图案看起来更加有趣和 吸引人。
拉丁方的元素可以是数字、字母或其他符号，但通常用数字表示。
拉丁方试验设计及统计分析
拉丁方试验设计及分析1前言“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA 的顺序来安排实验处理的顺序。
或者把单组被试分为两半．一半按照ABBA的顺序实施处理，另一半按照BAAB的顺序实施处理。
SAS教程第二章常用试验设计
02 随机区组设计
定义与特点
定义
随机区组设计是一种将受试对象按照一定特征进行区组随机化，然后 对每个区组内的受试对象进行不同处理的试验设计方法。
区组随机化
将受试对象按照一定特征进行分组，每组称为一个区组，每个区组内 的受试对象具有相似性。
区组内的受试对象进行不同处理
每个区组内的受试对象可以接受不同的处理，以比较不同处理之间的 差异。
03 拉丁方设计
定义与特点
定义
拉丁方设计是一种用于多因素试验设计的统计方法，它通过将试验单元按照拉丁字母的排列顺序进行分组，使得 每个因素在每个水平上只出现一次。
特点
拉丁方设计具有均衡性和代表性，能够有效地减少试验次数，提高试验效率，并且能够避免因试验顺序或处理顺 序对试验结果的影响。
适用范围
通过比较不同组之间的产量差异，我们可以分析施肥和灌溉 对农作物产量的影响，并得出相应的结论。
04 正交设计
定义与特点
定义
正交设计是一种试验设计方法，它通过正交表来安排多因素、多水平的试验，以最小试验次数获得尽 可能多的信息。
特点
正交设计具有均衡分散、整齐可比的特点，能够有效地控制试验误差，提高试验精度和可靠性。
当处理因素之间存在 交互作用时，可以采 用交叉设计。
实例分析
在研究药物对治疗不同疾病的效果时，可以采用交叉设计，将受试者随机分配到 不同的药物组，每个受试者接受所有药物的处理，处理顺序在不同受试者之间进 行交叉。
在研究不同运动方式对减肥效果的影响时，可以采用交叉设计，将受试者随机分 配到不同的运动方式组，每个受试者接受所有运动方式的处理，处理顺序在不同 受试者之间进行交叉。
在农业试验中，可以将不同品种的作 物按照生长环境、土壤肥力等特征进 行区组随机化，然后对每个区组内的 作物进行不同的施肥处理，比较不同 施肥处理对作物生长的影响。
拉丁方设计
拉丁方的应用注意事项一：当实验的动物数量较少的时候二：当需要排除单位组因素所产生的系统误差对实验造成的影响的时候。
（在后面有详细的例子会对该问题就行阐述）。
三;主要是为了消除单位组内的实验单位之间的差异而对于拉丁方的定义是什么呢？如果有n个字母排列起来，将他们分成一个矩阵，这n个字母在n排和n列当中只能出现一次，我们称之为n阶方程为n×n阶拉丁方。
第一行第一列都是按照顺序来排列的拉丁方叫做基本拉丁方或标准拉丁方。
拉丁方实验的优点①精确度高:他比随即组多设置了一个单位组因素，因此横列和竖列两个单位组的变异则从实验误差当中分离了出来，误差小，而且精确度较高，在动物较少的情况下可以选择。
②实验结果的分析非常的方便③尤其是适合做大型动物或者成本比较高，数量较少的一些动物实验，因此反刍动物的实验用的比较多。
拉丁方实验设计可用于处理三因素的实验，行因素和列因素考虑在内，而不考虑其他的外来因素时所使用的方法。
拉丁方实验的缺点①因为在处理的过程当中，横列、竖列、实验处理数等都必须要相等，因此在处理数这一环节收到了比较大的影响，处理数多了工作量大，处理数少了影响检验的灵敏性。
因此此实验设计就缺乏灵活性，实验空间缺乏延展性，而且重复过多。
②注意是否有交互影响，例如做钙与磷对泌乳的影响时，他们都会对奶牛的泌乳量产生影响，但是还可能会产生交互影响，发挥1+1＞2的效果。
还有就是例如前一阶段做的奶牛的泌乳实验，用的某种微量元素或者添加剂，在做下一阶段实验时还要考虑到是否有残留效应。
为了研究夏季蛋鸭圈舍当中不同的温度对蛋鸭的生产性能的影响，我们将温度分为了A、B、C、D、E，5个，这5种温度分别在5个圈舍内起作用，对应的圈舍为1、2、3、4、5，由于鸭群和温度对于它的产蛋量都有非常大的影响，因此采用拉丁方实验设计，这样可以更好的消除这几组因素对于实验当中所产生的系统误差。
那么根据上面的一些内容以及定义我们在对鸭子进行实验的时候，有可能会遇到以下的一些情况。
拉丁方与正交拉丁方的应用和构造
拉丁方与正交拉丁方的应用和构造刘秀梅【摘要】引入拉丁方的概念,介绍了拉丁方和正交拉丁方在实际中的应用,并给出它们的构造方法.【期刊名称】宁德师范学院学报（自然科学版）【年(卷),期】2010(022)004【总页数】3【关键词】拉丁方;正交拉丁方;构造;应用组合数学是一门很古老的学科,人们对它的兴趣和研究颇早,它起始于数学游戏,例如中国古代的游戏九连环,起初只是研究娱乐或审美要求所涉及的组合问题.近代随着计算机的出现,组合数学这门学科得到了迅猛的发展,成为了一个重要的数学分支.拉丁方和正交拉丁方是组合数学中的一个重要课题,在实际应用中有着重要的作用.1 拉丁方和正交拉丁方定义1 由1，2，…，n 构成的n×n 方阵(aij）n×n,要求每行及每列1，2，…,n 各出现一次,这样的方阵称为拉丁方.定义 2 设 A1=（aij（1））n×n，A2=（aij（2））n×n 是两个n×n 的拉丁方.若矩阵（aij（1），aij（2））n×n 中的n2 个数偶（aij（1），aij（2））互不相同，i，j=1，2，…，n，则称 A1和 A2正交,或称 A1和 A2是互相正交的拉丁方.任意的正整数n都存在n阶拉丁方，但不是存在任意阶数的正交拉丁方.1782年,欧拉提出了一个著名的欧拉猜想——不存在n=4k+2阶的正交拉丁方,直到1900年法国的塔利证明了欧拉猜想n=6对是正确的,到1960年印度数学家玻色等证明了对于2和6以外的其他4k+2型数欧拉猜想都不正确.2 拉丁方和正交拉丁方的应用拉丁方的应用起始于20世纪早期,它首先被人们作为平衡非完整块设计应用在统计分析中,拉丁方在实际应用中非常广泛.其中一个很重要的应用是合理安排实验.例如,1,2,3,4这4种品牌的汽车轮胎磨损测试,若动用编号为A,B,C,D的4辆小汽车参加试验,由于同一牌子的轮胎在不同部位,不同车的磨损程度有差别,为了使试验次数少且均衡,可以安排如下：如果同时要考虑4种不同牌子的刹车车闸对车胎的磨损,则还要求4种车闸在4辆车及4个不同位置各出现一次.当然还要求不同牌子的轮胎和车闸恰好配合一次.车闸的实验安排如右：上述两个矩阵为正交的拉丁方，则车轮与车闸的配合试验可安排如下：拉丁方在无线通信仿真设计中也有着很重要的作用.在无线通信系统设计中,仿真链路可变的参数种类繁多,而每种参数又可以取多个水平值,因此一个完备的遍历考察有巨大数目的状态空间,仿真评估往往成为不可能完成的任务.利用正交拉丁方均匀搭配不同参数和各种取值,组成特定的考核状态空间,使得工作量呈几何级数下降,仅用较少的实验次数就能够达到近似于全遍历状态空间的效果.[1]此外,拉丁方还可用于工作分配、信息处理、安排循环赛程，甚至应用于大型并行系统的处理器调度.3 拉丁方与正交拉丁方的构造拉丁方的构造很容易，只要调换任意两个数字的位置或把每一行由前一行循环置换即可得到.下面主要讨论正交拉丁方的构造.3.1 求给定n阶拉丁方的正交侣定义3 由1，2，…，n构成的n阶拉丁方A中，若n个两两不同行也不同列的位置上出现了所有的数字，则称这n个位置是一个截态.若A有n个两两无公共位置的截态,则称A有个截态分解.[2]对于一个拉丁方，“有截态分解”和“有正交侣”是等价的.设n阶拉丁方A的n个两两无公共位置的截态分别是T1，T2，…，Tn把截态Ti的元改为i.i=1，2，…，n.得到的矩阵B即为A的正交侣.在上述矩阵A即有截态分解,T1用*表示,T2用d表示,T3用w表示,T4用Δ表示,则可得Α的正交侣Β为：3.2 对给定阶数n求一组正交拉丁方若n=Pa,且n≥3，其中P是一个素数，a是正整数,则存在n-1个互相正交的n 阶拉丁方.例如,4,5,7,8,9等阶数的拉丁方,此类拉丁方可以用以下方法构造正交拉丁方:设F=｛a1 ，a2，…，an ｝是有限域，其中an=0,则n-1 个相互正交的拉丁方如下,设Ak=，k=1，2，…，n-1.a ij(k)=ak▯ai+aj，i，j=1，2，…，n，k=1，2，…，n-1.其中,“+”和“g”分别是域的“加”和“乘”法运算.下面以构造4阶的正交拉丁方为例：设 F=｛1，a，1+a=a2，0 ｝,则可得：阶数较高的正交拉丁方可用以下方法由阶数低的正交拉丁方得到：定理1 设A1，A2是一对m阶的正交拉丁方,B1，B2是另一对n阶的正交拉丁方，则是一对mn阶的正交拉丁方.例如,15阶正交拉丁方可用3阶和5阶正交拉丁方构成.对于正交拉丁方的构造,人们想出了各种各样的方法，其他方法可见文献[1][5][7].参考文献：[1]刘栋,周卢涛.正交拉丁方在无线通信仿真中的应用[J].计算机仿真,2002（5）：143-146.[2]康庆德.拉丁方和正交拉丁方 [J].自然杂志,1987（9）：605-610.[3]卢开澄,卢华明.组合数学 [M].北京：清华大学出版社,2006.[4]屈寅春,毛珍玲等.优美的均衡组合结构—从均衡组合问题谈正交拉丁方[J].无锡职业学院学报,2010（9）:56-58.[5]林淑飞.一种双偶数阶正交拉丁方的构造方法[J].云南民族大学学报,2010(9):265-268.[6]丁颂康.对称拉丁方的正交性和一类赛程安排问题[J].上海海运学报,2002（3）：82-85.[7]陶照民.偶阶幻方和奇阶正交拉丁方的构造方法[J].应用数学学报,1983（3）:276-281.E-mail：meililiumei@【文献来源】https:///academic-journal-cn_journal-ningde-normal-university-natural-science_thesis/0201250218994.html。
拉丁方设计概述
拉丁方设计资料的方差分析
变异来源
SS
df
MS
F
P
处理间 个体间 日期间 残差
218.0257
4
54.5064
1.24 0.3445
2853.6733 4 713.4183 16.27 0.0001
508.0735 0.0684
526.1408
12
43.8451
总变异
4105.9133 24 171.0797
3 C 7.3 F 7.3 E 6.8 A 7.4 B 6.0 D 7.7 7.1
4 A 7.4 E 7.7 C 6.4 F 5.8 D 7.1 B 6.4 6.8
5 F 6.4 B 6.2 D 8.1 E 8.5 C 6.4 A 7.1 7.1
6 D 5.9 A 8.2 F 7.7 B 7.5 E 8.5 C 7.3 7.5
研究设计
正确应用拉丁方、希腊拉丁方设计(2)
采用区组设计尽可能不要有数据缺失； 在使用区组化技术时，如果区组的个体数少于
处理组数时，可以选用不完全设计技术。 采用区组化设计技术时，由于所需样本含量较
少，由此，要求观察指标的个体变异不太大 (相对于处理效应)。如不能满足这个要求，则 每个试验单元必须重复，增加样本含量，降低 抽样误差。
研究设计
2 B 144.4 E 132.8 D 113.2 C 119.2 A 115.2
3 C 143.0 A 123.0 E 115.8 D 118.0 B 103.8
4 A 129.8 D 104.0 C 114.8 B 116.2 E 100.6
5 E 142.8 C 120.0 B 105.8 A 110.6 D 109.8
拉丁方试验设计方案统计分析
拉丁方实验设计及分析1前言“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，实验处理数=横行单位组数=直列单位组数=实验处理的重复数。
在对拉丁方设计实验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从实验误差中分离出来，因而拉丁方设计的实验误差比随机单位就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
组设计小，实验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA的顺序来安排实验处理的顺序。
或者把单组被试分为两半．一半按照ABBA的顺序实施处理，另一半按照BAAB的顺序实施处理。
如何理解拉丁方实验设计
如何理解“拉丁方实验设计”(邓涛)近来，不少学生问到拉丁方设计如何理解的问题，而且提出不同教材的表述也不一样.为了不去一一解答，我这里再结合《应用实验心理学》上的表述作一说明.我的基本看法是：拉丁方实验设计与区组实验设计一样，都是为了平衡额外变量，以防止这些额外变量成为混淆因子，破坏实验研究的内部效度.如果简化点来解释，一般来说，区组实验设计多用于对一个额外变量的平衡，如被试因素、时间顺序因素、空间位置因素等；拉丁方实验设计则可以看成是区组设计的扩展，即扩展到可以平衡两个额外变量（当然，如果设计巧妙，也可以达到对多于两个额外变量的平衡，但那也是在二维平衡模式上变化出来的）.为了说明，拉丁方设计及其与区组设计的联系，我们先说一说区组设计.区组实验设计是在考察自变量影响效应的实验中，考虑到一个额外变量的影响，将这个额外变量作为区组变量，对其在各种实验处理条件下产生的影响进行平衡，同时将该区组变量引起的变异从残差中分离出来.比如，限于实验室条件，研究者开展某一实验研究时每天只能为4名被试进行测试，实验处理也有四个水平：A1、A2、A3、A4.如果认为不在每周中的同一天进行测试，可能会引起测试结果的变化，这种影响又是比较重要的.于是可以将测试时间作为区组变量，即把同一天接受测试的被试看作是一个区组.这样就可以形成一个区组实验设计，如表2-8所示.表2-8 四种实验处理的随机区组实验设计现在我们进一步设想：假如，在每天的实验中，一次只能测试一人，每天参加实验的四名被试只能分别在下午2～3点、3～4点、4～5点和5～6点的四个时段接受测试，而测试时段不同也可能会造成结果变化.这样一来，每一种实验处理条件安排的时段就也要取得平衡才行，你不能每天都在2点钟安排所有被试接受A1处理条件，或3点钟接受A1处理条件.于是，研究中采用测试天和测试时段两方面因素的平衡方法安排实验，构成了一个单因素的拉丁方实验设计，设计模式如图2-9所示.在这一设计中，测试是在星期几、测试是在每一天的哪一时段，这两个额外变量就都取得了很好的平衡.表2-9 四种实验处理的拉丁方实验设计从这一例子可以看出，拉丁方（latinsquare）是一个含P行P列，把P个实验处理分配给P×P方格的管理方案，它便于在复杂研究程序中有条理地管理各个工作单元，并平衡两种额外变量的影响.在工农业生产试验和心理与教育研究中，拉丁方都得到普遍应用.在这种实验设计中，首先根据自变量处理的水平数确定两个额外变量的水平数，然后利用两个额外变量的各个水平结合在一起构造一个拉丁方格，最后再将自变量的不同处理平衡地安排在这个方格中，就构成了一个研究方案，其结果要保证自变量的每一个水平在拉丁方格的每一行和每一列都出现且只出现一次.很明显，在这种设计中，自变量的水平数或水平结合数、额外变量的水平数必须相等.拉丁方设计常被用于平衡实验安排的时空顺序，也可被用于平衡机体变量的影响.我们再以下面这个例子对拉丁方做进一步说明.问题模式：为了研究简单反应时间与光刺激的颜色和强度的关系，研究者同时考虑到被试的气质类型及年龄因素可能对反应时间具有明显影响，为了将这两个因素的影响从变异的残差项中分离出去，研究者采用了拉丁方实验设计.拉丁方格的组成：拉丁方格是由实验中明显存在的两个额外变量即被试的气质类型和被试年龄档组成，其中年龄分为四档：10～13岁、15～18岁、20～23岁、25～28 岁.从四个年龄档的青少年中筛选出四种典型气质类型者各2人，这样就有共计32名被试参加这一实验.根据气质类型和年龄档组成拉丁方格，拉丁方格中的每一个格子中可以有年龄档相同、气质类型相同的两名被试，如表2-10所示.表2－10 4×4拉丁方格被试气质类型被试年龄档次多血质胆汁质粘液质抑郁质10～1315～1820～2325～28实验处理的组成：实验中自变量有两个，即光的颜色和强度.自变量的颜色取两个水平，红光和绿光，分别用A1和A2表示；光的强度也取两个水平，相对强度为1和1/4，分别用B1和B2表示.于是两个自变量结合而成的实验处理分别为：A1B1——红光＋1（即光的颜色为红光、光的相对强度为1）A1B2——红光＋1/4A2B1——绿光＋1A2B2——绿光＋1/4实验处理的编排：按照拉丁方实验设计的基本原则，将四种实验处理安排在拉丁方格中，某种实验处理被分配到拉丁方格中的某一方格，该方格中对应的两个被试就要完成这一种实验处理.首先，我们给出一个基本的拉丁方设计形式，如表2－11所示.表2-11 标准的4×4拉丁方实验方案被试气质类型被试年龄档次多血质胆汁质粘液质抑郁质10～13A1B1A1B2A2B1A2B215～18A1B2A2B1A2B2A1B120～23A2B1A2B2A1B1A1B225～28A2B2A1B1A1B2A2B1表2-11所示的实验设计方案就是一个标准的或基本的4×4拉丁方的实验设计.有了这样的设计方案之后，实验程序的编排就非常清晰了.按照这一设计进行实验，不仅能将两个额外变量的效应从残差项中分离出来，而且也有利于增进复杂实验过程的条理性.有了表2-11所示的实验方案，每个被试需要完成什么样的实验就很清晰了，比如15～18岁组两个胆汁质的学生只需完成A2B1实验处理，即“绿光＋1”实验处理、25～28岁组两个粘液质的学生只需完成A1B2实验处理，即“红光＋1/4”实验处理.有了表2-11所示的标准拉丁方实验设计方案之后，还可以将该方案进行随机化处理，即可以对其中的实验安排做随机的两行互换或两列互换，得到各种不同的拉丁方实验方案.比如，将表2-11中第1列和第四列对换就可以得到表2-12所示的拉丁方实验方案.表2－12 在标准4×4拉丁方实验方案基础上变换得到的实验方案被试气质类型被试年龄档次多血质胆汁质粘液质抑郁质10～13A2B2A1B2A2B1A1B115～18A1B1A2B1A2B2A1B220～23A1B2A2B2A1B1A2B125～28A2B1A1B1A1B2A2B2再将表2-12中的第2行和第3行对换就可以得到表2-13所示的拉丁方实验方案.表2-13 在表2-12基础上变换得到的拉丁方实验方案被试气质类型被试年龄档次多血质胆汁质粘液质抑郁质10～13A2B2A1B2A2B1A1B115～18A1B2A2B2A1B1A2B120～23A1B1A2B1A2B2A1B225～28A2B1A1B1A1B2A2B2进行拉丁方实验设计中，其选取用来构成拉丁方格的额外变量不能与研究的自变量之间存在交互效应，两个额外变量之间也不能存在交互效应.其数据的方差分析方法与随机区组实验设计相似，可以对数据的变异及其自由度进行分解，计算过程是：首先计算总变异，然后计算自变量及其交互效应引起的变异、两个额外变量主效应引起的变异，再计算误差项变异，即可得到各种变异方差及其与误差方差的比率F.拉丁方实验设计既有优点也有缺点.其优点是，在许多研究情境中，这种设计比完全随机和随机区组设计更加有效，它可以使研究者平衡并分离出两个额外变量的影响，因而减小实验误差，可获得对实验处理效应的更精确的估价.另外，通过对方格单元内误差与残差的F检验，可以检验额外变量与自变量是否有交互作用，以检验采用拉丁方设计是否合适.拉丁方设计的缺点是，它的关于自变量与额外变量不存在交互作用的假设在很多情况下都难以保证，尤其当实验中含有多个自变量的时候.因此，拉丁方实验设计在多因素实验中不常用.另外，拉丁方实验设计要求每个额外变量的水平数与实验处理数必须相等，这也在一定程度上限制了拉丁方实验设计的使用[1].(其他实验设计的模式可参见《应用实验心理学》第一、第二、第三章)[1] 舒华. 心理与教育研究中的多因素实验设计. 北京：北京师范大学出版社. 1994:58。
拉丁方设计
拉丁方设计--——--—--——-—----————--——-—--———-—--——---———--------—-———-——-———-“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制,使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中,每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小,试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计.这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出,每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
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(
)
y.2j.
2 y... 2 p p
同理SS行,SS列 而SSe = SST SS拉丁 SS行 SS列
4.多重比较
Sy
. j.
MSe = p
5.缺失数据时的统计分析
按照使误差平方和SSe为最小的原则来估计它, 注意总的自由度及误差平方和的自由度有变化
二,希腊-拉丁方设计
1.定义 构造两个拉丁方,使得两个拉丁方重叠时, 任一拉丁字母与每个希腊字母相遇一次, 也只相遇一次,这样一对拉丁方称为相互 正交.两个正交的拉丁方可用来设计包含 四个水平数相等且彼此不存在交互作用的 因子的试验问题,这种设计称为希腊-拉丁 方设计
偏差平方和的分解
SST = ∑∑∑ yijk y...
i j k
(
)
2
= ∑∑∑ yi.. y... + ∑∑∑ y.j. y... + ∑∑∑ y..k y...
2 2 i j k
(
)
(
)
(
)
2
+ ∑∑∑ yijk yi.. y.j. y..k + 2y...
i j k
(
i
j
k
)
i
2.模型
yijk = + αi + τ j + βk + εijk i = 1,, p, j = 1,, p, k = 1,, p εijk i.i.d N 0, σ2 ∑ αi = 0, ∑ τ j = 0, ∑βk = 0 j k i
(
)
3.方差分析 假设
H 0 : τ1 = τ 2 = = τ p H1 : 至少一个τi ≠ 0
§5 拉丁方设计与正交拉丁方设计
例6 本试验问题的响应变量是某种导弹的交流发 电机的AC输出电压,因子及其水平如下: 1)定子的AC线圈的圈数,5个水平分别为 145(A),150(B),155(C),160(D),165(E); 2)转子的铁心体的铁心片数,5个水平分别为 230,240,250,260,270; 3)铁心片表面涂层质量,5个等级分别为 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ 三个因子彼此间都不存在交互作用.
(
)
(
)
i
j 2
k
∴ ESSe = (p 2)(p 1)σ ∴ F = SS
SS拉丁
e
p 1
(p2 )(p1)
计算
SST = ∑∑∑ y ijk y...
i j k
(
)
2
2 y... 2 = ∑∑∑ y ijk 2 p i j k
SS拉丁 = ∑∑∑ y. j. y... = ∑
2 i j k j
铁心片表面涂层质量等级 Ⅰ 铁心 体的 铁心 片片 数 230 240 250 260 270 C E D A B Ⅱ B C A E D Ⅲ A B C D E Ⅳ D A E B C Ⅴ E D B C A
一.拉丁方设计
1.定义 在由p个拉丁字母(或p个不同符号)排成 的p行p列的方阵中,若每行的p个元素不同, 每列的p个元素也不同,则称这个方阵为一 个p阶拉丁方
2.例 Aa Cb Bc
ห้องสมุดไป่ตู้Bb Ac Ca
Cc Ba Ab
三,超方
如果一个拉丁方有若干个与它正交且又相 互正交的拉丁方,则称它们为超方.
�
j
k
2
= SS +SS +SS +SS 行 列 e 拉丁
检验统计量
y . j. = + τ j + ε . j. y ... = + ε ... 2 ESS 拉丁 = E ∑ ∑ ∑ + τ j + ε . j. ε ... i j k = p ∑ τ 2 + (p 1)σ 2 j
j
(
)
同理
ESS 行 = p ∑ α i2 + (p 1)σ 2 ESS 列 = p ∑ β 2 + (p 1)σ 2 k
i i
2 ESST = E∑∑∑ αi + τ j + βk + εijk ε... i j k 2 2 2 2 2 = p∑ αi + p∑ τ j + p∑βk + p 1 σ