求数列通项公式常用的七种方法

求数列通项公式常用的七种方法

林彩凡 山东省东阿县实验高中 252200

一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公

式()d n a a n 11-+=或1

1-=n n q a a 进行求解.

例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨

⎧-=+=+5

4111d a d a 解得⎩⎨⎧-==23

1d a

∴ ()5211+-=-+=n d n a a n

二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .

例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n

n s ，求通项n a .

分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =()()

32321----n n =1

2-n

而111-==s a 不适合上式，()

()⎩

⎨⎧≥=-=∴-22111n n a n n

三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3

1

1=

+，其中11=a ，求n a . 分析：Θ 13+=n n a s

①

∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得

n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即

3

4

1=+n n a a ()2≥n

又1123

1

31a s a ==

不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以3

4

为公比的等比数列

∴ 2

2

2343134--⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪

⎭

⎫

⎝⎛=n n n a a ()2≥n

∴()()⎪⎩⎪

⎨⎧≥⎪

⎭

⎫ ⎝⎛==-23431112n n a n n

注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，

类比出1-n a 与1-n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.

四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规

律”的数时，就可以用这种方法.

例4：

()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a

分析：Θ 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a

323=-a a 534=-a a

┅

321-=--n a a n n ()2≥n

以上各式相加得

()()2

11327531-=-+++++=-n n a a n Λ ()2≥n

又01=a ，所以()2

1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式，

∴ ()2

1-=n a n (

)*

∈N

n

五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有

()1

n

n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.

例5：111,1

n n n

a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a

分析：Q 11

n n n

a a n -=- ∴

11

n n a n a n -=- ()2,n n N *≥∈ 故3241123123411231

n n n a a a a n

a a n a a a a n -===-g

g g g L g g g g L g ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以()

n a n n N *=∈ 六、构造法：

㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面

形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:

一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则 ()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+ ∴()1b k m =- 即1

b

m k =- 故111n n b b a k a k k -⎛

⎫+

=+ ⎪--⎝⎭ ∴数列11n b a k -⎧⎫

+

⎨⎬-⎩

⎭

是以k 为公比的等比数列，借助它去求n a 例6：已知111,21n n a a a -==+ ()

2,n n N *

≥∈ 求通项n a

分析：Q 121n n a a -=+

∴()1112221n n n a a a --+=+=+

∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列 ∴()111122n n n a a -+=+⋅=

故21n

n a =-

㈡、取倒数法：这种方法适用于11

n n n ka a ma p

--=

+()2,n n N *

≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠）

，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子.

例7：已知1

1122,2

n n n a a a a --==

+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a

Q 1122n n n a a a --=

+ ∴

1112111

22

n n n n a a a a ---+==+ 即

11112

n n a a --= ()2,n n N *≥∈ ∴ 数列1n a ⎧⎫⎨

⎬

⎩⎭

是以12为首项，以1

2为公差的等差数列 ∴

()1111222

n n

n a =+-⋅= ∴2

n a n

=

㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l

n n a a -=（,k l 为非零常数）

例8：已知()2

113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a