危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态

x y x y cos 2 x sin 2 2 2
11.2 平面应力状态分析
x y 2 2 max x y ( ) x 2 2 min 在 0 和 0 + 90°两个方向中， max 的方向总是在 x 指向
解构建内各处的应力状态，据此作出构件的强度校核。这 就是研究应力状态的目的。 二、应力状态的研究方法 单元体：单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布，且
任意一对平行平面上的应力相等
11.1 应力状态的概念
主单元体：各侧面上切应力均为零的单元体 主平面：切应力为零的截面 主应力：主面上的正应力 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均 为主平面, 三个互相垂直的主应力分别
11.2 平面应力状态分析
假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分eaf 作为 研究对象 y
y
e
e
x
α a f
x
x
x
x
x
α
α
n α
α
f
a
y
y
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积 为dAsin
11.2 平面应力状态分析
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得

D B
C
A

y
D′
x
x y 1 1 OC OB (OA OB ) (OA OB ) 2 2 2
11.2 平面应力状态分析
2.最大正应力及方位 最大正应力方位 x y d 令 2[ sin 2 x cos 2 ] 0 d 2 2 x 0 tan2 0 90 x y 0
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面. 最大正应力 将 0和 0+90°代入公式
第11章 应力状态和强度理论
11.1 应力状态的概念 11.2 平面应力状态分析
11.3 三向应力状态的最大应力
11.4 广义胡克定律 11.5 强度理论的概念 11.6 常用的四个强度理论
11.1 应力状态的概念
一、应力状态的概念
受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，称为这
一点的应力状态。要判断一个受力构件的强度，就必须了
和
比较
2 x tan 2 0 x y
x y tan 21 2 x
1 可见 tan 2 0 tan 21
π π 21 2 0 , 1 0 2 4
即最大正应力所在截面与极值切应力所在截面相差45º
11.2 平面应力状态分析
二、图解法 1.应力圆 将斜截面应力计算公式改写为
的那一侧 3.极值切应力及方位 极值切应力的方位 令 得到max和min (主应力）
x y tan 21 2 x
x y d 2[ cos 2 x sin 2 ] 0 d 2
11.2 平面应力状态分析
极值切应力
x y 2 max 2 ( ) x 2 min
e
F
n
0 dA ( xdAcos )sin
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( xdA cos )cos ( y dA sin )cos
x
x
α
α
n α
α
f
F 0
t
( y dA sin )sin 0
a
y
dA ( xdAcos )cos ( xdA cos )sin
y
t
( y dA sin )sin ( ydA sin )cos 0
化简以上两个平衡方程最后得 x y x y cos 2 x sin 2
2 x y 2 2

sin 2 x cos 2
11.2 平面应力状态分析
2
2
3
1
1
1
1 2
1
1 3 2
11.2 平面应力状态分析
一、解析法 1.斜截面上的应力 平面应力状态的普遍形
y
y y
x x
x
y
y x x
式如图所示 .单元体上
有x ,x 和 y , y 符号规定：
z
正应力仍规定拉应力为正 切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正 由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正

x y
2 x y 2

x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去,得
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
2 )2 x
11.2 平面应力状态分析
11.2 平面应力状态分析
2.应力圆作法 （1）建 - 坐标系,选定比例尺
y
y
y
x
x
x y
x
Ｏ

11.2 平面应力状态分析
（2）量取 OA= x AD = x得D点 OB= σ y BD´=τ y得D´点 O （3）连接 DD′两点的直线 与 轴相交于C 点 以C为圆心, CD 为半径作圆, 该圆就是相应于该单元体的 应力圆 该圆的圆心C坐标为
2 1 3
3 1
记为1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的
顺序来排列, 即
1 2 3
2
11.1 应力状态的概念
应力状态的分类 1. 单向应力状态：只有一个主应力不等于零 2. 二向应力状态 ：两个主应力不等于零 3.空间应力状态 ： 三个主应力均不等于零 通常将单向和二向应力状态称为平面应力状态，将二 向和三向应力状态称为复杂应力状态。
因为x ,y ,x 皆为已知量,所以上式是一个以,为变量的 圆周方程.当斜截面随方位角 变化时,其上的应力 , 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆. 圆心的坐标 圆的半径
(
x y
2
2
, 0)
2 )2 x
R (
x y
此圆习惯上称为 应力圆,或称为莫尔圆