寿险精算第六章生存年金

6.2.3 连续生存年金
＊连续年金
1年支付m次，每次支付1/m的t年期期
末付年金现值为
a(m) t
1 vt i(m)
当m趋于无穷大时为连续年金，有
alima(m )lim1vt 1vt
t m t
i m (m )
1.连续终身生存年金
（ 1 ） a x E (a T)0 a TfT (t)d t0 1 v ttp xx td t
988427
例：计算（25）购买40年定期纯生存险的趸缴 纯保费，假定i＝6％，保险金额为1万元。
解：1000040E25 10000v40 40 p25 10000 D65 D25 10000 18537.44 811.675（元） 228384.94
＊利率和生者利下的累积系数和折现系数：
(1) 1 1 (1i)n lx
身寿险现值以
A
( x
m
)
表示。当m趋于无穷大时，有
Ax
lim
m
A(m) x
A(m) x
E(vKS(m)
)
E(vK1)E(1i)1S(m )
i i(m ) A x
1.终身生存年金
a(m) x
a(m) x
1 m
• 基本公式
a(m) x
1
k
vm
mk0
k m
px
• UDD假定下的近似公式
a(m) x
ax
※生存年金递推公式
a x 1 vp xa x 1
补充作业：
1.设利息力
t
0.2 1 0.05t
,
存活人数 lx75x,0x75,
求
Ax,A40,A4 10:20
,A 40:20
2.设 A x 0 .2 5 ,A x 2 0 0 .4 ,A x :2 0 0 .5 5 , 试计算 A1 , A 1
期初、期末支付的
终身生存年金 定期生存年金 延期生存年金 延期定期生存年金
1.终身生存年金
• (x)的每年1单位元期初付终身生存年金精算现值
ax kEx vk k px
k0
k0
k0
D xk Dx
Nx Dx
它是一系列保险期逐步延长的纯粹生存保险之和
• 期末付终身生存年金
ax kEx vkk px ax 1
例：某30岁的人投保养老年金保险，保险契约 规定，如果被保险人存活到60岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在60～69岁间死亡， 由其指定的受益人继续领取，直到领满10年为 止；如果被保险人在70岁仍然存活，则从70
岁起以生存为条件得到年金。如果年金每年支 付一次，一次支付6000元，预定利率为6%， 计算保单的趸缴净保费。
m1 2m
1d(m )ax (m ) A x (m )
2. n年定期一年m次生存年金
ax(m ： n) ax(m) nExax(m n)
ax(m ： n) ax(m)nExax(m n)
• UDD假定下的近似公式
a(m) x:n
a x:n
m 2m 1(1nEx)
a(m) x:n
a x:n
m 2m 1(1nEx)
提示：利用公式 1ax Ax
6.2.5 年付m次生存年金的精算现值
• 分类
– 终身年金与定期年金 – 期初付年金与期末付年金 – 延期年金与非延期年金
• 推导思路
– 寻找与一年一次付年金之间的关系
补充：关于
A (m ) x
的计算（见P109-110）
把死亡发生年划分成m个相等的部分，死亡给付
在死亡发生的那部分期末进行。这时1单位元的终
等额年金计算基数公式
险种
终身生存 年金
定期生存 年金
延期终身 生存年金
延期定期 生存年金
期初付
ax
Nx Dx
a Nx Nxn
x:n
Dx
m
ax
Nxm Dx
a m x:n
NxmNxmn Dx
期末付
ax
N x1 Dx
a Nx1Nxn1
x:n
Dx
m ax
Nxm1 Dx
a m x:n
Nxm1Nxmn1 Dx
Ax E(vT )
axE(aT)E(1 vT)1(1Ax)
1ax Ax
1da A
x:n
x:n
1a A
x:n
x:n
Ax vax ax
A1 va a
x:n
x:n
x:n
例：年龄为35岁的人，购买按连续方式给付 年金额为2000元的生存年金，利率i=6%， 试利用生命表在死亡均匀假设下终身生存年 金的精算现值。
kEx
k m 1
ax
a x :m
m E x a xm
延期m年期末付 n年定期生存年金
m n1
m n a x
kEx
k m 1
a a
x:mn
x:m
m E x axm :n
例：某人30岁时购买了从60岁起年支付额为 10000元的终身生存年金，求其趸缴净保费。 如果他在68.8岁时死亡，求此人所获年金在 30岁时的现值（假定利率为6% ）。
nEx vnnpx
lxn
(2)
nEx
t Ex nt Ext
tEx nEx
1 E nt xt
也叫精算累积因子和精算折现因子。
年龄
x
nEx
1 现时值
tE x
x+t
E n t x t
E n t x t n Ex
1
x+n
1
1 nE x
1 E n t x t
6.2.2 年付一次的生存年金精算现值
例：对于(30)的从60岁起每月500元的生存年 金，预定利率为6%。根据中国人寿保险业 经验生命表（1990 -1993）（男女混合） 求保单的趸缴净保费。
例：某保单提供从60 岁起每月给付500元的生存 年金，如果被保险人在60岁前死亡，则在死亡年 末给付10000元。设预定利率为6%，如果某人购 买了这种保单，根据中国人寿保险业经验生命表 （1990-1993）（男女混合）的资料，求这一年 金的精算现值。
ax
E
(a K
)
1 vK E(
i
)
E (1 (1 i ) v K 1 ) i
1 (1 i ) A x i
1iaxiAxAx
解释：在x岁上的1单位元等于(x)死亡年末的
1元现值 A x ，加上(x)存活期每年i元的利息
现值i a x 和死亡年年末i元利息的现值i A x 。
对终身寿险和连续终身生存年金，有
险种
延期m年初付 终身生存年金
m a x k E x
km
精算
现值
ax
a x:m
m E x axm
延期m年期初付 n年定期生存年金
m n1
m n a x
k Ex
km
a a x : mn x : m
m Ex
a xm : n
延期期末付生存年金
险种
精算 现值
延期m年期末 终身生存年金
m a x
3.延期生存年金
• 延期m年终身生存年金（UDD假定）
a(h)
mx
maxh2h1mEx
a(h)
mx
h1 max2h mEx
• 延期m年n年定期生存年金 （UDD假定）
m nax (h)m naxh 2 h1(m E xm nE x)
m nax (h)m naxh2 h1(m E xm nE x)
6.2 生存年金精算现值
6.2.1 生存年金的概念 生存年金（Life Annuity）是以被保险人
存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、 月）支付一次保险金的保险类型。
注：在生存年金研究中，习惯用 n E x 表示1单
位元纯生存保险的精算现值，即
nEx Ax:1n vnnpx
lxnE x(1i)nlxn
8、试求现年30岁。每年领取年金额1200元的期初 付终身生存年金的精算现值，给付方法为：
（1）按年；（2）按半年；（3）按季；（4）按月
9、某人以期末延期终身生存年金10000元遗留给其 子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精 算现值。
(2) ax
vt
0
t
pxdt
例：设随机变量T= T (x)的概率密度函数为
f(t)0.015e0.015t(t0), 利息力为0.05，试计算精算现值 a x
提示：利用公式
ax
1vt
0
f (t)dt
答案：15.38
2.连续定期生存年金
n
(1 )a x： n0a ttp x x tdtnp xa n
(2)
a x:n
nvt
0
t
pxdt
例：设生存函数为 S(x) 1 x , 利息力 110
0.05, 试计算精算现值 a 50 :10
提示：利用公式
a x:n
nvt
0
t
pxdt
3.延期m年连续生存年金
m
ax
ax
a x :m
1
(A x:m
Ax )
m E x axm
4.延期m年n年定期连续生存年金
＊期初付和期末付年金之间的关系
ax ax 1
maxmaxmEx
a x:n
1ax:nnEx
max m1 ax
a 1a
x:n
x:n1
mnax m1nax
例：对于（30）的从60岁起每年6000元的生 存年金，预定利率为6%。根据附表2求保单 的趸缴净保费。
例：某30岁的人购买了从60岁起的生存年金， 契约规定，在被保险人60岁～69岁时每年的 给付额为6000元，70岁～79岁每年的给付额 为7000元，80岁以后每年的给付额为8000元， 预定利率为6%，计算保单的趸缴净保费。
k1
k1
例：某人现年30岁，欲在其生存期间每年年 初向保险公司领取50元，则此人在30岁时的 趸缴净保费是多少？
2.定期生存年金
• 期初付定期生存年金
a x:n
n1
n1
kEx vkkpx
k0
k0
Nx
Nxn Dx
• 期末付定期生存年金
n
n
a x:n
kEx
vk k px
k1
k1
3.延期期初付生存年金
6、很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定： 在每年的年初，生存者缴纳R元于此基金，直至 缴付到64岁为止。到65岁时，生存者将基金均分， 使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领 取的金额为3600元。试求R的值。
7、某人现年40岁，在人寿保险公司购有终身生存年 金，每月末给付金额250元，试在UDD假设和利率 6%条件下，计算其趸缴净保费。
m nax
a x:mn
a x:m
1
(A A )
x:m
x :mn
m
Ex
a xm
:n
6.2.4. 生存年金与寿险的关系
对终身寿险和终身生存年金，有
Ax E(vK1) axE (aK 1)E (1d vK 1)1 dA x
即 1dax Ax
解释：对(x)投保时的1单位元等于(x)在存活期每年 初的1单位元的预付利息d和在(x)死亡年末的1单位 元给付现值之和
x: 20 x: 20
3.设年利率i=6%，试在死亡均匀分布假设下计算
A1 , 35:10
A 35:10
,
A35
4.年龄为40岁的人以现金1万元购买一张寿险保单。
保单规定，被保险人在ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年内死亡，则在其死亡年
末给付3万元；如在5年后死亡，则在其死亡年末
给付金额R元，试求R值。
5、年龄为55岁者，购买下列生存年金，每年给付 金额为3500元，试分别求其应缴的趸缴纯保费 （1）期初付15年定期生存年金； （2）期末付15年定期生存年金； （3）期初付终身生存年金； （4）期末付终身生存年金； （5）在60岁时开始支付的终身生存年金； （6）在60岁时开始支付的15年定期生存年金。
例：某人立有遗嘱：其子年满21岁时可获得 其5万元遗产。其子现年12岁，因有急事需提 前支取这笔遗产。若利率为6%，利用附表1的 生命表求其子现在可以支取的金额。
解：500009E12 50000v99 p12
500001.069 l21 l12
500001.06998322629439.2 (元)