第八章、图与网络

显的并不重要，因此，图论中的图与几何图，工程图
等本质上是不同的。
一、图与网络的基本知识
（一）图与网络的基本概念 1、图及其分类
第八章
定义1
一个图是由点集V={vi}和V中元素的无序对的
一个集合E＝{ek}所构成的二元组，记为G＝(V，E)，V中的 元素vi叫做顶点，E中的元素ek叫做边。 当V，E为有限集合时，G称为有限图，否则，称为无 限图。本章只讨论有限图。
等问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加以
解决。
一、图与网络的基本知识
第八章
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系， 常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
例1:图8.2是我国北京、上海、重庆等十四个城市之间 的铁路交通图，这里用点表示城市，用点与点之间的线表示 城市之间的铁路线。
A
B C D E
F G H
第二节
定义14
树
第八章
连通且不含圈的无向图称为树。
树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。 树的性质可用以下定理表示： 定理6 图T=(V,E)，|V|=n,|E|=m,则下列关于树的说法是等 价的：
1 T是一个树。
2 T无圈，且m=n-1。 3 T连通，且m=n-1。 4 T无圈，但每加一新边即得惟一一个圈。 5 T连通，但任舍去一边就不连通了。 6 T中任意两点，有惟一链相连。 图8-9
若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一 条边，得到图G的一生成子图G1。若G1不含圈，则G1是G 的一个生成树。 若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意 去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。依此类推，可以 得到图G的一个生成子图GK，且不含圈，从而GK是一个 生成树。
第二节
图的生成树的求法1：
第二节
树
第八章
二、图的生成（支撑）树 定义15 设图K=(V,E’)是图G=(V,E)的一生成（支撑）子 图,如果图K=(V,E’)是一个树,那么称K是G的一个生成树。 G中属于生成树的边称为树枝，不在生成树上的边称为弦。 例如,图8.10b 是图8.10a 的一个生成树。 v5 v3 v5 v3 v1 v6 v2 v2 a v4 b v4 v1
一、图与网络的基本知识
第八章
定义2 一个无环，无多重边的图称为简单图，含有 多重边的图称为多重图。如不特别说明，都是简单图。
定义3 每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为
完全图。有n个顶点的无向完全图记作Kn。 有向完全图则是指每一对顶点间有且仅有一条有向边 的简单图。 定义4 图G＝(V，E)的点集V可以分为两个非空子集 X，Y，即X∪Y＝V，X ∩Y＝ Ø ，使得E中每条边的两 个端点必有一个端点属于X，另一个端点属于Y．则称G 为二部图(偶图)，有时记作G＝(X，Y，E)。
v3
v1 v2
v5
v7
v6
v4
图8.5
一、图与网络的基本知识
常用的名词：
第八章
一个图G或有向图D中的点数,记作P(G)或P(D),简记作
P,边数或者弧数,记作q(G)或者q(D),简记作q。
如果边[vi,vj]E,那么称vi,vj 是边的端点，或者vi,vj 是相
邻的。如果一个图G中，一条边的两个端点是相同的,那么 称为这条边是环，如图8.4中的边[v3,v3]是环。如果两个端 点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。
一、图与网络的基本知识
定义9 圈：起点和终点相同的链；
第八章
初等圈：圈中没有重复点和重复边者称为初等圈；
有向图中，圈中边方向相同时称为回路；
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，
则称此图为连通图。任何一个不连通图都可以分为若 干个连通子图，每一个称为原图的一个分图。
一、图与网络的基本知识
图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。通
常，我们把点与点之间不带箭头的线叫做边（无向边）， 带箭头的线叫做弧（有向边）。
一、图与网络的基本知识
第八章
如果一个图是由点和边所构成的，那么，称为为无向 图，记作 G =(V，E)，其中 V 表示图 G 的点集合，E表示图G 的边集合。连接点 vi,vjV 的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。 如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向 图，记作D =(V,A)，其中V 表示有向图D的点集合，A表示 有向图D的弧集合。一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj)。 两个点u，v属于V，如果边(u，v)属于E，则称u,v两点 相邻。u,v称为边(u,v)的端点。 两条边ei,ej属于E，如果它们有一个公共端点u，则称 ei,ej相邻。边ei,ej称为点u的关联边。
称矩阵A为网络G的权矩阵。
一、图与网络的基本知识
第八章
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方
便的．图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关联矩
阵、回路矩阵、割集矩阵等，这里只介绍其中两种常用 矩阵。 定义12 对于图G＝(V，E)，|V|=n，构造一个矩阵A ＝(aij)n╳n，其中
1 (vi , v j ) E aij 0 other
这个图必须是连通图。
v3 v4
v5 v6 图8-8
这个图必须是无圈的。
图8.8是一个不含圈的连通图，代表 了一个电话线网。
第二节
树
第八章
再比如，乒乓球单打比赛抽签后的对阵形式以及企业的 组织结构图等。
总经理 市场 总监
市 场 总
常务副 总经理
学 术 总 教 质 部
学术 总监 研 发 部 人 事 部
一、图与网络的基本知识
3、子图
第八章
定义7
图G＝(V，E)，若E’是E的子集，V’是V的子集，
且E’中的边仅与V’中的顶点相关联，则称G’＝(V’，E’)是 G的一个子图。特别地，若V’＝V，则G’称为G的生成子图
(支撑子图)。
4、网络 点或边带有某种数量指标的图称为网络(赋权图)。 网络分为有向网络和无向网络。
树
第八章
定理7充分性的证明，提供了一个寻找连通图生成树的方
法,叫做“破圈法”。就是从图中任取一个圈，去掉一条边。 再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得 到一个生成树。 例8.4:用破圈法求出图8-11的一个生成树。 V2 e7 e1 e4 e3 V1 V4 V5 e8 e5 e2 e6 V3 图8-11
第二节
树
第八章
一、树及其性质 在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常具有应用 价值的图，这就是树。树在自然科学和社会科学,特别是在计 算机科学领域中有广泛的应用。 例8.3：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。 v2 v1 六个城市的一个电话网就作成一个图。
v6
图8.10 显然，如果图K=( V, E’ )是图G=(V, E)的一个生成树，那么K 的边数是n(G)-1，G中不属于生成树K的边数是m(G)-n(G)+1。
第二节
证明: 必要性显然；
树
第八章
定理7 图G=(V,E)有生成树的充要条件是G是连通图。
充分性：设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义， G是一个树，从而G是自身的一个生成树。
一、图与网络的基本知识
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E） 其中V={v1,v2,v3,v4} E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3], [v3,v4],[v1,v4],[v2,v4], [v3,v3]} v1 v2
第八章
图8.4 v4 v3
一、图与网络的基本知识
第八章
图8.5是一个有向图D=（V，A） 其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} A={(v1,v2),(v1,v3),(v3,v2), (v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v5,v3),(v5,v4), (v5,v6),(v6,v7)}
一、图与网络的基本知识
中国邮路问题也可以转为如下问题：
第八章
在连通图G＝(V，E)中，求一个边集E1∈E，把G中属
于E1的边均变为二重边得到图G*＝G+E1，使其满足G* 无奇点，且L（E1）=∑l(e)最小。 定理5 己知图G*＝G+E1无奇点，则L（E1）=∑l(e)的 最小的充分必要条件为: (1)每条边最多重复一次； (2)对图G中每个初等圈来讲，重复边的长度和不超过 圈长的一半。
（三）图的矩阵表示
第八章
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方
便的．图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关联矩
阵、回路矩阵、割集矩阵。
定义11 网络(赋权图)G＝(V，E)，其边(vi，vj)有权 wij,构造矩阵A＝(aij)n╳n，其中
(vi , v j ) E wij aij 0 other
一、图与网络的基本知识
（二）连通图
第八章
定义8 链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点 边序列;如: v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ，e3 ,v3 ,…,vn-1, en , vn ;
v0 ，vn分别为链的起点和终点；
初等链：链中没有重复点和重复边者称为初等链； 有向图中，链上的边方向相同时称为道路；
一、图与网络的基本知识
2、顶点的次 定义5
第八章
以点v为端点的边的个数称为点v的次（度），记
作d(v),如图8—4中d(v1)=3， d(v2)=4,d(v3)=4,d(v4)=3。
次为零的点称为弧立点，次为1的点称为悬挂点。悬挂点 的边称为悬挂边。次为奇数的点称为奇点，次为偶数的点称 为偶点。 端点的度 d(v)：点 v 作为边端点的个数； 奇点：d(v)=奇数； 偶点：d(v)=偶数； 悬挂点：d(v)=1；悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0；空图：E = ，无边图
一、图与网络的基本知识
2．中国邮路问题
第八章
这个问题是我国管梅谷同志在1962年首先提出的。因 此国际上通称为中国邮路问题。用图论的语言描述：给定 一个连接图G，每边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至 少一次，且满足总权最小。
由定理3知，如果G没有奇点，则是一个欧拉图，显然 按欧拉回路走就是满足要求的过每边至少一次且总权最小 的回路。 如果G中有奇点，要求连续走过每边至少一次，必然 有些边不止一次走过，这相当于在图G中对某些边增加一 些重复边，使所得到的新图G*没有奇点且满足总路程最短。
一、图与网络的基本知识
第八章
定理8.1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理8.2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
vV1
d (v) d (v) d (v) 2m
vV2 vV
定义6
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的
出次，用d+(vi)表示，以vi为终点的边数称为点vi的入次， 用d-(vi)表示。vi点的出次与入次之和就是该点的次。容 易证明有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的 出次之和。
太原 石家庄 北京 天津 塘沽
济南
青岛
郑州
重庆 武汉 图8.1 南京
徐州
连云港 上海
一、图与Hale Waihona Puke Baidu络的基本知识
第八章
例2:有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1…v6表示 这六支球队。它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已 知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5队，如此等等。这 个胜负情况，可以用图8.3所示的有向图反映出来。
第八章 图与网络分析
一、图与网络的基本知识
二、树 三、最短路问题
四、最大流问题
引
言
第八章
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛
地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运
输，经济管理，电子计算机等各项领域。对于科学研 究，市场和社会生活中的许多问题，可以同图论的理 论和方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设， 输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局
称矩阵A为图G的邻接矩阵。
一、图与网络的基本知识
（四）欧拉回路和中国邮路问题 1．欧拉回路与道路
第八章
定义13 连通图G中，若存在一条道路，经过每边一 次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若存在一条回路， 经过每边一次且仅一次，则称这条回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图(E图)。哥尼斯堡七桥 问题就是要在图中寻找一条欧拉回路。 定理3 无向连通固G是欧拉图，当且仅当G中无奇点。 定理4 连通有向图G是欧拉图，当且仅当它每个顶点 的出次等于入次。
v2 v4
v1
v6
v3
v5
图8.2
一、图与网络的基本知识
第八章
从以上的几个例子可以看出，我们用点和点之间
的线所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定
对象之间的特定关系。一般来说，通常用点表示研究 对象，用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关 系。由于在一般情况下，图中的相对位置如何，点与 点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，