第八章、图与网络
运筹学 填空题 及基础知识
8．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡= Y﹡b。
9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。
10．若X﹡和Y﹡分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX﹡=Y*b。
6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
14.(单纯形法解基的形成来源共有三 种
15.在大M法中，M表示充分大正数。
七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
第四章 线性规划的对偶理论
一、填空题
1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的线性规划问题与之对应，反之亦然。
5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。运筹学研究和解决问题的效果具有连续性。
6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。
7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。
8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。
9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。
第五章 线性规划的灵敏度分析
一、填空题
1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。
运筹学思考练习题答案
运筹学思考练习题答案第⼀章 L.P 及单纯形法练习题答案⼀、判断下列说法是否正确1. 线性规划模型中增加⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将缩⼩，减少⼀个约束条件，可⾏域的范围⼀般将扩⼤。
(?)2. 线性规划问题的每⼀个基解对应可⾏域的⼀个顶点。
(?)3. 如线性规划问题存在某个最优解，则该最优解⼀定对应可⾏域边界上的⼀个点。
(?)4. 单纯形法计算中，如不按最⼩⽐值原则选取换出变量，则在下⼀个基可⾏解中⾄少有⼀个基变量的值为负。
(?)5. ⼀旦⼀个⼈⼯变量在迭代中变为⾮基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，⽽不影响计算结果。
(?)6. 若1X 、2X 分别是某⼀线性规划问题的最优解，则1212X X X λλ=+也是该线性规划问题的最优解，其中1λ、2λ为正的实数。
(?)7. 线性规划⽤两阶段法求解时，第⼀阶段的⽬标函数通常写为ai iMinZ x =∑(x ai 为⼈⼯变量)，但也可写为i ai iMinZ k x =∑，只要所有k i 均为⼤于零的常数。
(?)8. 对⼀个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题，其可⾏域的顶点恰好为m n C 个。
(?)9. 线性规划问题的可⾏解如为最优解，则该可⾏解⼀定是基可⾏解。
(?)10. 若线性规划问题具有可⾏解，且其可⾏域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
(?)⼆、求得L.P 问题121231425j MaxZ 2x 3x x 2x x 84x x 164x x 12x 0;j 1,2,,5=+++=??+=??+=?≥=的解如下： X ⑴=(0,3,2,16,0)T ;X ⑵=(4,3,-2,0,0)T ;X ⑶=(3.5,2,0.5,2,4)T ;X ⑷=(8,0,0,-16,12)T ; =(4.5,2,-0.5,-2,4)T ; X ⑹=(3,2,1,4,4)T ;X ⑺=(4,2,0,0,4)T 。
要求：分别指出其中的基解、可⾏解、基可⾏解、⾮基可⾏解。
《运筹学》第8章_图与网络分析
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
最大流最小割
计算结果： — — 为最短路，路长为49。
即：在第一年、第三年初各购买一台新设备为最优决策。这时5年的总费用为49。
例13已知某地区的交通网络如图8-37所示，其中点代表居民小区，边代表公路， 为小区间公路距离，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民就诊时所走的路程最近？
=｛59,…19+30,…12+20,…｝=28,
给 标号（28），（ ， ）加粗线。
5) min｛( ), , , ,( ), , , ｝
=｛40,…41, 40,… 43, …｝=40,对应两个边：
给 标号（40），（ ， ）加粗线,（ ， ）加粗线。
6）min｛ , ,( ), , ｝= min｛59,53,49,50,55｝=49
边（ ， ）表示第i年购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1年底）。
边（ ， ）上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年初所需支付的购买费、维修的全部费用（可由表8-2计算得到）。例如：（ ， ）边上的28是第一年初的购买费11加上三年的维修费5，6，8，减去3年役龄机器的残值2；（ ， ）边上的20是第二年初购买费12减去机器残值3与使用二年维修费5，6之和，见下图：
Min｛（ ）, , ｝=min｛6,9,8｝=6
给 标号（6）：表明从第二个圈出来最近的一站是 ，总长度是6。
给（ ， ）划成粗线。
划第三个圈。
表明：圈内的点已完成考察。
4）现已走出第三个圈，向 奔。有四条路可走，最优路线在何方？即：
Min｛ ,（ ）, , ｝=min｛9,8,10,13｝=8
给 标号（8）：表明从第三个圈出来后最近的一站是 ，总长度是8。
第8章远程管理与网络拓扑图绘制.doc
第8章远程管理与网络拓扑图绘制作为一个网络管理员，管理工具（如远程控制工具、网络拓扑设计的工具）是必不可少的，掌握这些工具的使用方法，可以使你的网络管理工作获得事半功倍的效果。
学习目的与内容领会远程管理的原理、网络拓扑设计的内容与要求；了解相关技术和软件的使用；掌握pcAnywhere的使用方法、网络拓扑设计图的内容与要求；学习完毕，能够绘制网络拓扑结构图、能够运用远程管理解决实际问题。
学习要求与方法远程控制的原理及pcAnywhere的使用、拓扑结构图的内容与要求、V isio的使用是本章的重点；在本章学习过程中，建议你经常上网查询相关资料；本章学习完毕，建议你根据本章的学习内容多做实验。
8.1 远程控制作为网络管理员，如果你的服务器托管在ISP机房，对服务器配置时，你需要到ISP机房去。
如果你使用远程控制软件来完成上述工作，就不必每次都到ISP机房去了。
8.1.1 远程控制的原理运行着远程控制软件的PC机，通过TCP/IP协议去控制运行着远程控制服务的主机。
PC机将键盘和鼠标的指令传送给远程被控端主机，同时通过TCP/IP协议将被控端计算机的屏幕传回来，显示在主控端PC机屏幕上。
8.1.2 pcAnywhere的使用在各种远程控制软件中，pcAnywhere是一款易于使用且很受欢迎的远程控制软件。
1. 服务器端（被控端）的配置（1）在服务器上运行pcAnywhere，在“pcAnywhere Manager”窗口的菜单栏上点击“Host”按钮，会看见下面的窗口中有4个图标，如图8-1。
图8-1 pcAnywhere Manager窗口Add Host：添加并配置主机，使其变成被控制端，以随时接受主控端发出的控制指令；DIRECT：直接用并口/串口连接，意思是指直接通过电缆相连，但现在较少采用；MODEM：指的是拨号访问，可以通过电话线调制解调器与远程计算机连接；NETWORK，CABLE，DSL：指的是通过网络访问和连接。
运筹学 第八章 图论 - 全
(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
2017/7/13 11
图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点 与某一个点vi相关联的边的数目称为 点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。 右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次 为奇数的点称作奇点，次为偶数的
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图与网络的基本知识
有向图 无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
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图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为 连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每 一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
2017/7/13
边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰 有n-1条边为止。
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树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到 别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？ 试给出一个开门的方案。
三
七
Байду номын сангаас
三 八 一 四 二 五
七 八 九 六
无向图
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有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图 如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的
804运筹学考研大纲
考试时间为180分钟，满分150分。试题的类型含：计算题和建模题，或上述题型的综合。
四、参考书目
胡运权，运筹学教程（1998年版或2003年第二版），清华大学出版社
胡运权，运筹学习题集（第三版），清华大学出版社，2002年
一、考试要求
要求考生系统掌握运筹学的基本概念、主要理论和方法，各类模型的结构特点、实际含义及一般问题的建模技巧。
二、考试内容
第一章、第二章 线性规划及单纯形法、线性规划的对偶理论与灵敏度分析
1、基本内容：线性规划问题的数学模型；图解法；基本概念和基本定理；单纯形法原理与计算步骤；解的情况判别；线性规划问题的建模与应用。线性规划问题的原问题与对偶问题的对应关系，对偶问题的性质；影子价格；了解对偶单纯形法；价值系数cj和资源可用量bi变化时的灵敏度分析。
2、重点内容：M/M/l等待制排队系统的分析和优化
第十三章 决策分析
1、基本内容：决策分析的基本概念、基本类型；风险型决策问题的期望值和决策树方法；不确定型决策方法；熟悉效用函数方法和层次分析方法基本思想。
2、重点内容：决策问题益损系数矩阵的形成和决策问题的建立；风险型决策问题的期望值和决策树方法（包括多个决策点的决策树方法）；不确定型决策方法；效用函数方法基本思想。
第七章 动态规划
1、基本内容：动态规划的基本概念；动态规划数学模型的特点及构建；离散确定型动态规划模型的求解；几个典型的动态规划问题建模和求解；一般数学规划模型的动态规划解法。
2、重点内容：最段路问题、资源分配问题、背包问题、复合系统可靠性问题等典型动态规划问题的建模和求解。
第八章 图与网络分析
1、基本内容：PERT网络图的要素与构建；PERT网络图时间参数的计算；网络的关键路线；最低成本日程（工期~成本优化）问题。
管理运筹学判断题背诵讲义
管理运筹学判断题背诵讲义第一章 线性规划与单纯形表a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的； b) 线性规划模型中增加一个约束条件,可行域的范围般将缩小,减少一个约束条件,可行域的范围一般将扩大；c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点； d)如线性规划问题存在可行域，则可行域定包含坐标的原点；e)对取值无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-其中'j x ≥0,''j x ≥0,在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现'j x >0，''j x >0；f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与j σ>0对应的变量都可以被选作换人变量；g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负；h) 单纯形法计算中,选取最大正检验数k σ对应的变量k x 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从 单纯形表中删除,而不影响计算结果；j)线性规划问题的任-可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；k)若X 1,X 2分别是某一线性规划问题的最优解则X=1λX 1 +2λX 2也是该线性规划问题的最优解，其中1λ，2λ可以为任意正的实数；1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为 minz=ai ix ∑(ai x 为人工变量)，但也可写为minz=i ai ik x ,只要所有k i ,均为大于零的常数； m)对一个有n 个变量、m 个约束的标准型的线性规划问题,其可行域的顶点恰好为m n c 个；n) 单纯形法的迭代计算过 程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解；o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解定是基可行解；p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值,则该顶点处的目标函数值达到最优；r) 将线性规划约束条件的“≤”号及“≥”号变换成“一”号,将使问题的最优目标函数值得到改善；s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值:t)一个企业利用3种资源生产4种产品建立线性规划模型求解得到的最优解中最多只含有3种产品的组合；u)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解； v)一个线性规划问题求解时的选代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
运筹学综合练习题
《运筹学》综合练习题第一章 线性规划及单纯形法1、教材43页——44页题2、教材44页题3、教材45页题4、教材46页题5、教材46页题6、补充：判断下述说法是否正确LP 问题的可行域是凸集。
LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。
LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。
若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解.求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ,其中∶≥"'j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现0"'j j x x .当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可断言原LP 模型一定有最优解。
7、补充：建立模型（1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。
为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。
根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。
考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。
按规划要求，每口井只能属于一个计量站。
假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。
（2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。
从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元/万立方米。
运筹学习题答案(1)
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
8.1__图与网络分析基本概念
• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为 则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边 称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
9
3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点 的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
14
4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .
《图与网络》课件
学习图与网络的意义
学习图和网络的基础概念和算法有助于提高编程能 力和数据处理能力，同时也对多种应用领域产生启 发作用。
2 算法
最短路径算法，网络流量算法，欧拉路径算法等。
五、图与网络的区别与联系
图与网络的区别
• 节点的关系 • 数据表示方式
图与网络的联系
• 共同的算法和应用场景 • 都能够通过节点与边的关系来描述对象间的关系
六、结语
图与网络的未来
未来图和网络将在数据挖掘，机器学习，人工智能 等领域发挥越来越大的作用。
图与网络
图与网络是计算机科学中基础的数据结构，它们被广泛应用于算法，人工智 能，机器学习等领域。
一、什么是图
图的定义
图是由节点和边组成的数据结构，节点表示对象，边表示对象间的关系。
图的种类
有无向图、有向图、加权图、无向加权图和有向加权图等几种。
图的表示方法
邻接矩阵和邻接表是常用的表示方法。
二、图的应用
应用场景
社交网络，交通网络，电成树算法，网络流算法等。
三、什么是网络
1
网络的定义
网络是由节点和边（或链路）组成的连通结构。
2
网络的种类
计算机网络、社会网络、交通网络等不同的种类。
3
网络的表示方法
邻接矩阵、邻接表等方式。
四、网络的应用
1 应用场景
物流、城市规划、社会网络、通信网络等。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第8章 图与网络分析
（a）
（b）
（c）
图 8-9 图、子图、支撑子图
（4）图的同构 设 G1 与 G2 是两个同阶图，若顶点集合 V1 和 V2 以及边集 E1 和 E2 之间在保持关联性
质条件下的一一对应，则称图 G1 和图 G2 同构。 例如：图 8-10（a）和图 8-10（b）就为同构。
（a）
(b)
图 8-10 同构图
（10）定理 8.1 对于图 G=(V ,E) ，其中 V = n , E = m ,则有：
∑d (v) = 2m
（8-2）
v∈V
证明：每条边都有两个端点，在计算顶点的次时，每个端点都要计算对应边次，故共有
2m 次。
通俗地讲，就是线有两头，共有 2m 个线头的意思。
（11）定理 8.2 奇次顶的总数是偶数。
第八章 图与网络分析
8.1 图与网络的基本知识
8.1.1 图与网络的基本概念 8.1.1.1 图的定义 自然界和人类社会中，大量的事物以及事物之间的关系，常可以用图形来描述。例如： 图 8-4 所示的我国北京、上海等十个城市间的交通图反映了这十个城市间铁路
分布情况。这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表这两个城市之间有直通铁路。
图 8-7 一个无向图
G = (V, E) V= {v1, v2 ,v3 , v4} E={e1, e2 ,e3 , e4 ,e5 , e6 , e7}
其中
e1 = [v1 ,v2 ] , e2 = [v1 ,v2 ] , e3 = [v2 ,v3 ] , e4 = [v3 ,v4 ] ,
图 8-8 是一个有向图。该图可以表示为：
图 8-4 十个城市间铁路分布图
又如某单位储存五种化学药品，其中，某些药品是不能放在同一库房里的，为了反映这 种情况，可以用点 v1 、 v2 、 v3 、 v4 、 v5 分别代表这五种药品，若药品 vi 和药品 v j 是不能存 放在同一库房的，则在 vi 和 v j 之间连一条线，如图 8-5 所示。如果问题归结为寻求存放这种 化学药品的最少库房个数，则该问题就是染色问题。事实上，至少需要三个库房来存放这些 药品，即 v1 和 v5 、 v2 和 v4 、 v3 各存放在一个库房里。
运筹学图与网络分析
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
《运筹学》 第八章图与网络分析习题及 答案
《运筹学》第八章图与网络分析习题1.思考题(１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边；②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回 路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图， 支 撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。
⑨子图，部分图，真子图．(２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式 的涵义．(３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表 达式的涵义．(４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系．(６) 试述 求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法．(８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法．(９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。
2.判断下列说法是否正确(1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。
(2) 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
(3) 如果一个图G 从V 1到各点的最短路是唯一的，则连接V 1到各点的最短路，再去掉重复边，得到的图即为最小支撑树。
(4 )图G 的最小支撑树中从V 1到V n 的通路一定是图G 从V 1到V n 的最短路。
(5) {f ij =0}总是最大流问题的一个可行流。
(6 )无孤立点的图一定是连通图。
(7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。
(8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。
(9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图G 中的一个点V 1总可以看成是G 的一个子图。
《应用数学基础》(陈冲)教学课件 第八章 图 论
第八章 图 论
目录
ONTENTS
1 图的基本概念 2 图的矩阵表示 3 图的连通性
01 图的基本 概念
1.1 图的定义
在某计算机网络中，两台计算机之间通过网络线连接起来，如图 8-1 所示．顶点表示每台计 算机的位置，边表示网络连线．这类图在绘制时，可用圆圈（或实心点）来表示顶点，对图的 所有顶点标以名称：v1 ，v2 ，v3 ，v4 ；用直线或曲线来表示边，同时对图的所有边标以名称：e1 ， e2 ， e3 ， e4 ， e5 ，如图 8-2 所示．
该定理之所以称为握手定理，因为它有非常直观而形象的解释：假定有若干个人握手，每握
一次手，需要 2 只手来完成．此时有人用自己的右手握自己的左手，也算一次握手．参加握手的 手的总数目（包含重复的）恰好等于握手次数的 2 倍．这里用到了图论模型解决实际问题：把每 个人看成一个顶点，某两人握一次手，则在相应顶点之间连上一条边；如果某人与自己握手，则
设 G (V ，E) 是有向图， v V ，称以 v 为终点的边数为 v 的入度，记为 d (v) ；称以 v 为起 点的边数为 v 的出度，记为 d (v) ．
若 d(v) 是奇数，就称 v 为奇点；若 d(v) 是偶数，就称 v 为偶点．度为 1 的点称为悬和是边数的 2 倍，这是图的一般性质．下面给出的定理是 Euler 在 1936 年提出 的，常称为握手定理，是图论中的基本定理．
定理 1（握手定理） 设 G (V ，E) 是图，G 中所有顶点度数之和 d (v) 等于 G 中边数 m 的 vV
两倍，即
d(v) 2m ．
vV
1.2 顶点的度
在图 8-3 中，由于 e3 (v2 ，v3 ) ，则点 v2 与点 v3 邻接，点 v2 与边 e3 关联，点 v3 与边 e3 关联； 由于边 e1 和边 e3 有共同的顶点 v2 ，则边 e1 和边 e3 邻接； v5 为孤立点．
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第二节
图的生成树的求法1：
等问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加以
解决。
一、图与网络的基本知识
第八章
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系， 常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
例1:图8.2是我国北京、上海、重庆等十四个城市之间 的铁路交通图，这里用点表示城市，用点与点之间的线表示 城市之间的铁路线。
称矩阵A为网络G的权矩阵。
一、图与网络的基本知识
第八章
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方
便的．图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关联矩
阵、回路矩阵、割集矩阵等，这里只介绍其中两种常用 矩阵。 定义12 对于图G＝(V，E)，|V|=n，构造一个矩阵A ＝(aij)n╳n，其中
1 (vi , v j ) E aij 0 other
（三）图的矩阵表示
第八章
用矩阵表示图对研究图的性质及应用常常是比较方
便的．图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关联矩
阵、回路矩阵、割集矩阵。
定义11 网络(赋权图)G＝(V，E)，其边(vi，vj)有权 wij,构造矩阵A＝(aij)n╳n，其中
(vi , v j ) E wij aij 0 other
第八章 图与网络分析
一、图与网络的基本知识
二、树 三、最短路问题
四、最大流问题
引
言
第八章
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛
地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运
输，经济管理，电子计算机等各项领域。对于科学研 究，市场和社会生活中的许多问题，可以同图论的理 论和方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设， 输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局
一、图与网络的基本知识
3、子图
第八章
定义7
图G＝(V，E)，若E’是E的子集，V’是V的子集，
且E’中的边仅与V’中的顶点相关联，则称G’＝(V’，E’)是 G的一个子图。特别地，若V’＝V，则G’称为G的生成子图
(支撑子图)。
4、网络 点或边带有某种数量指标的图称为网络(赋权图)。 网络分为有向网络和无向网络。
一、图与网络的基本知识
第八章
定义2 一个无环，无多重边的图称为简单图，含有 多重边的图称为多重图。如不特别说明，都是简单图。
定义3 每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为
完全图。有n个顶点的无向完全图记作Kn。 有向完全图则是指每一对顶点间有且仅有一条有向边 的简单图。 定义4 图G＝(V，E)的点集V可以分为两个非空子集 X，Y，即X∪Y＝V，X ∩Y＝ Ø ，使得E中每条边的两 个端点必有一个端点属于X，另一个端点属于Y．则称G 为二部图(偶图)，有时记作G＝(X，Y，E)。
一、图与网络的基本知识
例如.图8.4是一个无向图G=（V，E） 其中V={v1,v2,v3,v4} E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3], [v3,v4],[v1,v4],[v2,v4], [v3,v3]} v1 v2
第八章
图8.4 v4 v3
一、图与网络的基本知识
第八章
图8.5是一个有向图D=（V，A） 其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} A={(v1,v2),(v1,v3),(v3,v2), (v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v5,v3),(v5,v4), (v5,v6),(v6,v7)}
图论中的图是由点和点与点之间的线所组成的。通
常，我们把点与点之间不带箭头的线叫做边（无向边）， 带箭头的线叫做弧（有向边）。
一、图与网络的基本知识
第八章
如果一个图是由点和边所构成的，那么，称为为无向 图，记作 G =(V，E)，其中 V 表示图 G 的点集合，E表示图G 的边集合。连接点 vi,vjV 的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。 如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向 图，记作D =(V,A)，其中V 表示有向图D的点集合，A表示 有向图D的弧集合。一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj)。 两个点u，v属于V，如果边(u，v)属于E，则称u,v两点 相邻。u,v称为边(u,v)的端点。 两条边ei,ej属于E，如果它们有一个公共端点u，则称 ei,ej相邻。边ei,ej称为点u的关联边。
A
B C D E
F G H
第二节
定义14
树
第八章
连通且不含圈的无向图称为树。
树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点。 树的性质可用以下定理表示： 定理6 图T=(V,E)，|V|=n,|E|=m,则下列关于树的说法是等 价的：
1 T是一个树。
2 T无圈，且m=n-1。 3 T连通，且m=n-1。 4 T无圈，但每加一新边即得惟一一个圈。 5 T连通，但任舍去一边就不连通了。 6 T中任意两点，有惟一链相连。 图8-9
第二节
树
第八章
一、树及其性质 在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常具有应用 价值的图，这就是树。树在自然科学和社会科学,特别是在计 算机科学领域中有广泛的应用。 例8.3：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。 v2 v1 六个城市的一个电话网就作成一个图。
v3
v1 v2
v5
v7
v6
v4
图8.5
一、图与网络的基本知识
常用的名词：
第八章
一个图G或有向图D中的点数,记作P(G)或P(D),简记作
P,边数或者弧数,记作q(G)或者q(D),简记作q。
如果边[vi,vj]E,那么称vi,vj 是边的端点，或者vi,vj 是相
邻的。如果一个图G中，一条边的两个端点是相同的,那么 称为这条边是环，如图8.4中的边[v3,v3]是环。如果两个端 点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边。
一、图与网络的基本知识
第八章
定理8.1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理8.2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
vV1
d (v) d (v) d (v) 2m
vV2 vV
定义6
有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的
出次，用d+(vi)表示，以vi为终点的边数称为点vi的入次， 用d-(vi)表示。vi点的出次与入次之和就是该点的次。容 易证明有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的 出次之和。
一、图与网络的基本知识
中国邮路问题也可以转为如下问题：
第八章
在连通图G＝(V，E)中，求一个边集E1∈E，把G中属
于E1的边均变为二重边得到图G*＝G+E1，使其满足G* 无奇点，且L（E1）=∑l(e)最小。 定理5 己知图G*＝G+E1无奇点，则L（E1）=∑l(e)的 最小的充分必要条件为: (1)每条边最多重复一次； (2)对图G中每个初等圈来讲，重复边的长度和不超过 圈长的一半。
树
第八章
定理7充分性的证明，提供了一个寻找连通图生成树的方
法,叫做“破圈法”。就是从图中任取一个圈，去掉一条边。 再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得 到一个生成树。 例8.4:用破圈法求出图8-11的一个生成树。 V2 e7 e1 e4 e3 V1 V4 V5 e8 e5 e2 e6 V3 图8-11
一、图与网络的基本知识
（二）连通图
第八章
定义8 链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点 边序列;如: v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ，e3 ,v3 ,…,vn-1, en , vn ;
v0 ，vn分别为链的起点和终点；
初等链：链中没有重复点和重复边者称为初等链； 有向图中，链上的边方向相同时称为道路；
v2 v4
v1
v6
v3
v5
图8.2
一、图与网络的基本知识
第八章
从以上的几个例子可以看出，我们用点和点之间
的线所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定
对象之间的特定关系。一般来说，通常用点表示研究 对象，用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关 系。由于在一般情况下，图中的相对位置如何，点与 点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，
第二节
树
第八章
二、图的生成（支撑）树 定义15 设图K=(V,E’)是图G=(V,E)的一生成（支撑）子 图,如果图K=(V,E’)是一个树,那么称K是G的一个生成树。 G中属于生成树的边称为树枝，不在生成树上的边称为弦。 例如,图8.10b 是图8.10a 的一个生成树。 v5 v3 v5 v3 v1 v6 v2 v2 a v4 b v4 v1
太原 石家庄 北京 天津 塘沽
济南
青岛
郑州
重庆 武汉 图8.1 南京
徐州
连云港 上海
一、图与网络的基本知识
第八章
例2:有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1…v6表示 这六支球队。它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已 知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5队，如此等等。这 个胜负情况，可以用图8.3所示的有向图反映出来。
这个图必须是连通图。
v3 v4
v5 v6 图8-8
这个图必须是无圈的。
图8.8是一个不含圈的连通图，代表 了一个电话线网。
第二节
树
第八章
再比如，乒乓球单打比赛抽签后的对阵形式以及企业的 组织结构图等。