第八章--图与网络

1、有向图与无向图：如果顶点之间的连线皆 是无方向的（称为边，边的集合记为E），此时图 G称为无向图，记为G=（V，E）；
如果顶点之间的连线有方向，即有向边（或称 为弧，弧的集合记为A） ，此时图G称为有向图， 记为 D =（V，A）。用m(D)=│E│（ │A│）表示 图D 中边（弧）的数量；用n(D)=│V│表示图D中 顶点的数量。
定理：已知图G*=G+E1，无奇点，则L(E1)=∑ l(e)最小的充分必要条 件为： （1）每条边最多重复一次； （2）对图G中每个初等圈来讲，重复边的长度和不超过圈长的一 半。
奇偶点图上作业法。
v3
2
v6
4
v9
5
3
3
6
4
v2
v5
v8
5
4
4
v1
9
v4
4
v7
v3
2
v6
4
v9
5
3
3
6
4
v2
v5
v8
CCCC
C
C
C
C
5、1857年，英国数学家哈密尔顿发明了一个 游戏，他用一个实心正12面体象征地球，正12面 体的20个顶点分别表示世界上的20个城市，要求
寻找一条路径：由某个城市出发每城市仅去一次， 最终回到出发点。
二、图与网络的基本概念
一个图是由点集V={vi}和V中元素（顶点）之 间的连线所组成。
bij
ij
0
(vi,vj ) E 其它
10
D 40 N
DN FG
G
D 0 1 0 1 N 1 0 1 0
20
F 0 1 0 1 G 1 0 1 0
DN FG
30
D 0 40 0 10
F N 40
0
30
0
F 0 30 0 20
G 10
0
20
0
三、基本理论
定理1 任何图中，顶点次的总和等于边数的2倍。
B A
G 端点
H
边
C D
G=（V，E）
N
F 端点 M
V={A，B，C，D，N，F，G，H，M}
E={[A,A],[A,B],[A,C],…,[H,M]}
m(G)=12；n(G)=9
G 始点
弧
M N
D=（V，A）
终点 F
V={M，N，F，G}
A={[M,G],[G,F],[M,N],[N,F]}
2、如果一条边的两端点相同，此边称为环， 两点之间多于一条边的，称为多重边。
B A
G
D 如图中d(A ) =2（用于无向图）。
出次：以点vi为始点的边数，用d+(vi )表示 。 入次：以点vi为终点的边数，用d-(vi )表示。
d+(vi ) +d-(vi )= d(vi )（用于有向图）。 G d+(D ) =1 d-(D ) =1 d(D) =2
D
N F
偶点：d(v) = 偶数； 奇点：d(v)=奇数 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
第八章 图与网络分析
教学目的：让学生了解图论的基本知识，掌握用网络 表示所研究问题、对象的基本属性及其解决方法。 教学内容：基本概念、树、最短路、最大流、最小费 用最大流等。 教学难点：建立网络图的技巧和各种方法产生的思路。 学时安排：8~10学时。
第一节 图与网络的基本知识
北京 郑州 武汉
天津 济南 徐州 南京
v5
v4
v6
v7
v3
v1
v2
7、连通图：图G=（V,E）中任意两点间至少有一 条链。 子图： G′=（V′,E′），其中 V′V ，E′ E。
B
G
H
G
D N
FM
N
F
支撑（生成）子图：对于子图G′=（V′，E′），当 V′=V时，且与图G=（V，E）的连通性相同的子 图称为支撑子图，或生成子图。
B
G
d(G)=2; d(D)=2;
d(N)=2;d(F)=2;
D N F
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。 次为奇数的点为奇点，次为偶数的点为偶点。 奇点的集合可记为V1，偶点的集合记为V2。
d(v) d(v) d(v) 2m
vV1
vV2
vV
B
G
D
N
F
四、欧拉回路与道路
定义：连通图G中，若存在一条道路，经过每 边一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。若 存在一条回路，经过每边一次且仅一次，则称 这条回路为欧拉回路。 具有欧拉回路的图称为欧拉图（Ｅ图）。
青岛 上海
一、图论形成的历史回顾
1、18世纪哥尼斯堡城中普雷•格尔河中有两个小岛C、 D，它们之间与两岸A、B共有七座桥相连。
A
C
D
B
当地人热衷于这样的游戏：一个人怎样才能一次连续 走过七桥且每桥只走一次，再回到出发点。
1736年，著名数学家欧拉把此问题简化为图，并 发表了论文：“依据几何位置的解题方法”。
序列{v1， v4，v5 }是从v1 至 vn 的一个最短路 则序列{v1， v4}是从v1 至 v4 的一个最短路
v2 6 v4
65
v1
7
2
10 v5 v3
（3）标记：
从vs出发，给从vs 到 vk 最短路长的点 vk 赋予固定标号— —P(permanent label)标号，并记下相应的最短路长（真实的 长度）；
例8—2 一个乡有9个自然村，其间道路及 各道路长度如下图所示，各边上的权表示距离， 问如何拉电缆线才能使用线总长度最短。
解：这是一个最小生成树问题。具体解法如下：
v1
4
v2
5
v3
5
3
2
v8
2
8 v9
3
6 7
6 4
8 v4
6
1
7
v5
v7
v6
最小树权值为W(T) =5+2+3+2+3+4+6+1=26。
一个邮递员如何选择一条道路，是他能从邮局出发，走遍他负责 送信的所有街道，最后回到邮局，并且所走的路程为最短。
给定一个连通图Ｇ，每边有非负权l(e)，要求一条回路过每边至 少一次，且满足总权最小。
中国邮路问题可用于邮政部门、扫雪车路线、洒水车路线、警车 巡逻路线、(计算机绘图)如何节约画笔的空走问题、(计算机制造 工业)如何将激光刻制用于集成电路加工的模具等。
C
能否从某一点
开始不重复地
一笔画出这个 A
图形，最终回
B
到原点?
D
2、1847年，物理学家基尔霍夫为解决有关线 性方程组而发展了“树”的理论。他将网络中的 电感、电容、电阻等抽象为点和线，得到一简单 的组合结构。这种结构便于运算，不必指明为何 种元素。
3、1857年，凯莱研究饱和烃链CnH2n+2的同分 异构体时，又一次引入树状结构，例如， C4H10 。
A
v3
v5
B
C
D
EF
H
v6
v1
M
NP
Q
v2
v4
（2）T连通，且m=（n-1）。 （3）T无圈，但每加一新边即得唯一一个圈。
A
B
C
D
EF
H
M
NP
Q
（4）T连通，但任舍去一边就不连通。 (5 ) T中任意两点，有唯一链相连。
A
B
C
D
EF
HD
A
B
C
EF
H
M
NP
QM
NP
Q
定理5：图G有支撑树的充要条件为G是连通图。
5
4
4
v1
9
v4
4
v7
第二节 树
主要内容： 1.树的概念与性质 2.最小生成树及其算法
一、树的概念与性质
1.树——连通且不含圈的无向图称为树。树中 次为1的点为树叶，次大于1的点称为分枝点。
A
B
C
D
EF
H
M
NP
Q
2.生成树——若图G的生成子图是一棵树，则 称该树为G的生成树（或支撑树）。简称为图 G的树。图中属于生成树的边叫树枝, 不在生成 树的边叫弦。
3、简单图：无多重边和环的图； 多重图：有多重边，无环的图。
B A
G
H
C D
N
M
F
4、链：点、边交替的序列（V1,e1, V2,e2, …,Vi,ei) ； 简单链： 边不重复， {A, C, D, B, G,D,N}; 初等链： 点、边不重复， {A, B, G, F, N}; 。
B A
G
H
C D
N
M
5、 圈：链上首、尾节点是同一节点时，称为圈； 简单圈：圈中没有重复的边；(A,B,G,B,D,C,A) 初等圈：既无重复点，也无重复边;(A,B,D,C,A)
B A
G
H
C D
N
M
F
路：链上边方向一致时，称为路； 回路：路上首、尾节点是同一节点时， 称为回路。
G
D N F
6、顶点的次：以点vi为端点的边数，记为d(vi )。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业 课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构， 图论，运筹学等等，是目前被认为求无负权网络最短 路问题的最好方法。
其采用的是贪心法的算法策略。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历 计算的节点很多，所以效率低。
1、算法思路
v3 树枝 v5
v3
v5
树枝
弦
v1
弦 弦 树枝
v6 v1
树枝
树枝
弦
v2
v4
v2
v6 v4
3.最小生成树——连通图G=( V，E )，每条边上 有非负权L( e )。一棵生成树所有树枝上权的总和 称为这棵生成树的权。具有最小权的生成树称为 最小生成树（最小支撑树），简称最小树。
v3 2
v5
v3 2
v5
G
B
G
D
D
N
F N
F
V1
V1
V2
V5 V2
V1
V2
V5
V3 图G=( V，E）
V4
wk.baidu.com
V3 G的子图
V4
V3
V4 G的支撑子图
8、完全图：任意两点间皆有边相连的无向简单图。
B
G
D
N
F
9、基础图：将有向图中弧去掉其方向所形成 的无向图，称为原有向图的基础图。 网络：给图的边或点赋予某些数量指标（我 们称之为“权”），这种赋权图又称为网络。
v2
v5
v6
v3
v1 v4
v2
v5 v6
v4
v3
v1
v4
v5
v2
v3
v1
v4
v5
v2
二、最小生成树的算法
（1）避圈法——每步从未选的边中选取e，使 它与已选边不构成圈，且e是未选边中的最小权 边，直到选够（n-1）条边为止。
（2）破圈法——每步从未破掉的圈中任选一个 圈，将该圈的边中权最大的一条边e去掉，直到 图中无圈为止。
w(p0) = min w(p)
6 v1
v2
v4 P={(v1 ,v2 , v4 , v5 ),(v1 , v3 , v5 )}
6
2
P0= (v1 ,v2 , v4 , v5 )
7
10 v5 w(p0)=14
v3
三、Dijkstra算法(1959年)
用于求解指定两点间的最短路，或从指定点到其余各 点的最短路。
v1
4
v2
5
5
3
2
v8
2
8 v9
3
6 7
6 4
1
7
v7
v6
v3 8
v4 6
v5
第三节 最短路问题
一、问题的提出
v3 5
v5
32
2
v1
v6
67
5
4
v2 1
v4
二、最短路的定义
设D =（V，A）为一个赋权有向图，图中各弧（vi ，vj） 有权lij≥0， vs、vt为图中任意两点，求一条路P0，它是从 vs 到 vt的所有路P中总权最小的路。
而未得到P标号的点，赋予试探性(临时性标号)标号—— T(tentative label)标号，表示从vs 到vk 点的最短路长的上界。
T(v2 )=3 v2 5
v1
3
11
P (v1 ) =0
2
v3
v4
T(v4 6
)=8
v6 T(v6 )=14
v5 3
2、算法的步骤
(1)给vs以P标号，P(vs)=0，其余各点均给T类标号， T(vi)=+∞
G G
10 20
D N
D 40
F
N
30 F
10、图的矩阵表示：邻接矩阵与权矩阵
（1）邻接矩阵：图G=(V，E)，│V│=n，构造一 个矩阵——邻接矩阵A=(aij)n×n，其中
1
aij
0
(vi , v j ) E 其它
（2）权矩阵：图G=(V，E)，│V│=n，边（vi， vj) 有权ωij，构造矩阵——权矩阵B=(bij)n×n，其中
v1
v4
v1
v4
v2
v3
v2
v3
该定理的证明给出了求生成树的方法：每步选出
一条边，使它与已经选出的边不形成圈，直至选
出（n-1）条边为止。
(1)支撑树的求法:破圈法 v33
v3
v5
v1
v1 v2
v6 v22
v4
v55 v6
v4
v3 v1
vv22
vv55
v6
v3
v1 vv44
v2
v5 v6
v4
v3 v1
(1) 当lij≥0时，若从vi 出发的弧中权值最小者是（vi ，vk） 那么，从vi至 vk的最短路长必然是lik。
6 v1
v2 6 5
7
v4
2
10 v5 v3
(2)若序列{v1， v2，…， vk， …， vn }是从v1 至 vn 的一个 最短路，则序列{v1 ， v2 ，…， vk}是从v1至 vk的一个 最短路程。即，全局最优，一定是局部最优的。
定理：无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中无 奇点。
推论１ 无向连通图Ｇ为欧拉图，当且仅当Ｇ 的边集可划分为若干个初等回路。 推论２ 无向连通图Ｇ有欧拉道路，当且仅当 Ｇ中恰有两个奇点。
定理：连通有向图Ｇ是欧拉图，当且仅当它每 个顶点的出次等于入次。
五、中国邮路问题(Chinese postman problem)
5
2
5
v1
81
3
v6 v1
1
2 v6
6
1
4
v2
v4
1
v2
v4
定理3 设图G（V，E）是一棵树，n(G)≥2，则G 中至少有两个悬挂点
v3
v3
A
v2
B
C
v1
v1
D
EF
H
M
NP
Q
定理4 图T=( V，E )，│V│=n，│E│=m，若T
是一棵树，则下列关于树的说法是等价的。
（1）T无圈，且m=（n-1）。