小学奥数之排列组合问题

计 数 问 题

教学目标

1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；

3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨：

例题精讲：

一、 排 列 组 合 的 应 用

【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

【解析】 （1）775040P =（种）。

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6

6P =1440(种)．

（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.

（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所

以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×5

5P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊

情况再去全排列。

【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数 【解析】 个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n =，2m =，根据排列数公式，

一共可以组成255420P =⨯=(个)符合题意的三位数。

【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数 【解析】 可以分两类来看：

⑴ 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有

44432124P =⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；

⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P =种选择．由乘法原理，可

以组成33654

⨯⨯=(个)不同的五位数。

由加法原理，可以组成245478

+=(个)不同的五位数。

【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数

【解析】从高位到低位逐层分类：

⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之

外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可

有3

9987504

P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016

⨯=(个)．

⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数

字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即2

88756

P=⨯=，由乘法原理，有1556280

⨯⨯=(个)．

⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有

116742

⨯⨯⨯=(个)．

⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．

综上所述，比5687小的四位数有20162804252343

+++=(个)，故比5687小是第2344个四位数．

【例 3】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数

【解析】按位数来分类考虑：

⑴一位数只有1个3；

⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成2

2212

P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248

⨯=(个)不同的两位数；

⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成

3 33216

P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424

⨯=(个)不同的三位数；

⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有4

4432124

P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；

⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5

554321120

P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177

++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．

【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张

中选二张，有2

55420

P=⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060

⨯=(个)不同的偶数．

【例 4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次

【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；

2，2，2，3六种。

第一种中，可以组成多少个密码呢只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；

第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312

⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．

综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456

+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．

【例 5】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法

【解析】第一个位置在6个人中任选一个，有1

66

C=(种)选法，第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个，有

1 33

C=(种)选法．同理，第3，4，5，6个位置依次有2，2，1，1种选法．由乘法原理，不同的坐

法有111111 63221163221172

P P P P P P

⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)。

【例 6】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字