定积分的元素法讲解学习
定积分的元素法
平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长，功，
水压力等．
5
A
y=ƒ(x)
D H
B
o a
E
F x x+Δx
b x
求曲边梯形 AabB 的面积 A 的方法为:
(1) 在[a , b]上任取一个小区间[x , x + dx],并求出总量 A 的
微分dA = ƒ(x)dx ; (面积元素(微元))
(2) 以微分表达式 ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
在区间 [a, b]的任一个子区间[x, x+Δx] 上， 部分量ΔU≈f (x)Δx．
4
二
定积分的元素法
设 U 是可用定积分表达的量，则计算量 U 的步骤为： • 选择函数 f(x)，并确定自变量 x 的变化区间[a, b]; • 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这个小 区间的部分量ΔU的近似值 f(x)dx。称f(x)dx为量U的 元素，记为dU= f(x)dx． • 计算 U=a f ( x )dx 应用方向：
A dA f ( x )dx
a a
3
bU具有以下特点： 量U与函数 f(x)及x的变化区间 [a, b]有 关．
若 f(x)≡常数，则 U= f(x)(b－a)．
量U对区间具有可加性。即：把[a,b]分成若干部
分区间， 则 U相应地被分成了许多部分量之和．
第六章 定积分的应用
基本要求
1 掌握用定积分来求一些几何量和物理量的方法(元素法) 2 会建立一些简单的几何量与物理量的积分表达式 (如面积，体积，弧长、功、水压力等)
1
§6.1 定积分的元素法
定积分的元素法平面图形的面积PPT课件
1
第六章 定积分的应用
第一节 定积分的元素法 第二节 平面图形的面积 第三节 体积 第四节 平面曲线的弧长 第五节 功 水压力和引力 第六节 平均值
2
第一节 定积分的元素法
求由 x a, x b, y 0 和 y f ( x) 所围成的曲边梯形的
x 1( y)
y dy
x 2( y)
y
A
d c
2
(
y
)
1
(
y
)dy
c
x穿出 x穿入
Y型
x
8
例１计算由 y2 x , y x2
解 解方程组
y2 x
y
x2
所围成的图形的面积。
y
(1,1) 1
得抛物线的两个交点 (0,0)和 (1,1)
取x为积分变量，积分区间为 0,1,
P(r, ) y
x
以极点O为圆心，以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
x2 y2 a2
以点(a,0) 为圆心，以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos r 2a cos r 2 2a r cos x 2 y 2 2ax
20
二. 极坐标情形
之间，一般没有一一对应的关系。
但若规定r 0,0 2 ，除极点O外，平面上的点与极坐标
之间就一一对应了。
在通常情况下,我们规定: r 0 ，而极角可以取任意实数。
17
2．极坐标方程
曲线上点的极坐标 r 与 之间的关系可以用式 r r 表示， 称 r r 为曲线的极坐标方程。
大学高等数学6-1定积分的元素法精品PPT课件
2
2
2
例 3 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
x a cos3 t
解
星形线的参数方程为
y
a
sin3
t
(0 t 2)
根据对称性 s 4s1
y
4 2 x2 y2dt 0
4 2 3a sin t cos tdt 0
a
3
四、旋转体的体积和表面积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为 x ，
y
y f (x)
A
b
a
f
(
x)dx
y f1( x)
o a xx b x 曲边梯形的面积
A
b[ a
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x 和 y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法” 思想.
例 1 把一个带 q 电量的点电荷放在 r 轴上坐
标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电
荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷
放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场
高等数学上6.1定积分的元素法
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b
积分的四个步骤如下： 积分的四个步骤如下： （1）分割 上任取一小区间[x 在[a, b]上任取一小区间 , x+dx] 上任取一小区间 积 元
∆
用 ∆A表示任一小区间[ x , x + ∆x ]上的窄曲 面 边梯形的面积
（2）近似代替
∆A ≈ f ( x )dx = dA
（ ）
dA
y
素
y = f (x)
A = ∫a f ( x)dx
b
o a x x + dx x b
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元素法应用方向： 元素法应用方向： 应用方向
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 水压力；引力等． 功；水压力；引力等．
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
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第一节
第六章 六
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
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一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 , b]上的某分布 f (x) 有关的 是与区间[a 上的某分布 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
定积分元素法的步骤
定积分元素法的步骤
定积分元素法的基本步骤如下：
1.确定元素：首先需要确定积分区间[a,b]，并将其划分为n个小区间，小区间的长度记为
Δx。
2.近似代替：在每个小区间上任取一点ξi（i=1,2,...,n），以f(ξi)Δx近似代替该小区间上
曲边梯形的面积。
3.求和计算：将n个近似小矩形面积加起来，即求得原曲边梯形的面积S的近似值。
即
S=∑f(ξi)Δx。
4.取极限：当Δx趋向于0时，求极限，即可得定积分的值。
即lim(Δx→0)∑f(ξi)Δx=
∫baf(x)dx。
以上就是定积分元素法的基本步骤，需要注意的是，在选取元素时，应尽可能使近似值与精确值之间的差距变小，这需要选取适当的ξi和合适的Δx。
同时，在求和计算时，应注意计算的准确性，避免计算错误导致的结果偏差。
定积分的元素法解析
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间 [a , b] 分成n个长度分别为 x i 的小区间，
那么相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形， 第 i 个小窄曲边梯形的面积为
Ai , 则A Ai .
i 1
n
（2）计算Ai 的近似值
Ai f ( i )xi
（3） 求和，得A的近似值
对于区间
如果把区间
a , b 具有可加性，就是说， a , b 分成许多部分区间，则U相
应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之
和.
（3）部分量U i 的近似值可表示为 f ( i )x i ；
U 就可以考虑用定积分来表达这个量
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元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间 [a, b]；
dU ，即 dU f ( x)dx；
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3）以所求量 U 的元素 f ( x )dx 为被积表达式，在
区间 [a , b] 上作定积分，得
即为所求量 U 的积分表达式.
U f ( x)dx.
a
b
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；
功；水压力；引力和平均值等．
2）设想把区间 [a , b] 分成n个小区间，取其中任
一小区间并记为 [ x , x dx ]，求出相应于这小区 间的部分量 U 的近似值.如果 U 能近似地表示 为 [a , b]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积, 就把 f ( x )dx 称为量 U 的元素且记作
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S6-1定积分的元素法
n
S f ( i )xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a x1 x2
xi i xi1
x xn1 b
.
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
oa
x x i i i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
n
S =
记
lim
i 1
f
(
i
.). x
i
.
b
f ( x) dx
a
一、什么问题可以用微元分析法（定积分）解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的 一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
S f ( i )xi i 1
分法越细，越接近精确值
4 取极限
x b
令分法无限变细
.. .
曲边梯形的面积的回顾
f (i) y
S
oa
x x i பைடு நூலகம் i 1 .
元素法
y=f (x)
1 大化小（分割） 2 常代变（近似）
Si f ( i )xi
3 近似和（求和）
n
S f ( i )xi i 1
表示为
定积分定义
二 、如何应用微元分析法（定积分）解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
微积分——定积分的元素法
微积分——定积分的元素法
定积分的元素法是微积分学习中一种比较重要的知识点，也是计算定积分的一种常用
的方法。
其基本的思想是，把原来一个定积分表示成一连串的元素积分，然后一个一个地
进行求和。
定积分的元素法求解定积分可以分为六步：
第一步：根据所得函数及计算要求，把整个定积分，划分成符合条件的元素积分；
第二步：根据所给定的元素积分的边界条件，把元素积分的函数表达式化成被积函数；
第三步：依据各元素量的微分的求解方法，对元素积分的被积函数进行积分；
第四步：根据定积分的求和原理，确定积分常数；
第五步：把全部元素积分从小到大进行求和；
第六步：把定积分所得结果翻译成便于解释的方式，使之成为可读的形式。
定积分的元素法不仅求得的结果准确，而且耗时少，计算方便，这使得定积分的元素
法广泛应用于实际及教学中。
但是，定积分的元素法在求解复杂定积分时，容易产生局限性，因此，要想得到比较准确的结果，必须优化元素积分。
另外，还要注意限定解析定积
分的形式，避免出现不确定性。
定积分的元素法-平面图形的面积省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
但若要求r 0,0 2 ，除极点O外，平面上旳点与极坐标
之间就一一相应了。
在一般情况下,我们要求: r 0 ，而极角能够取任意实数。
16
2．极坐标方程
曲线上点旳极坐标 r 与 之间旳关系能够用式 r r 表达， 称 r r 为曲线旳极坐标方程。
以极点O为圆心，以 a为半径旳旳圆旳极坐标方程: r a.
解方程组：rr
1 3
cos cos
3 , 2 3 •
3
得交点 3 , ， 3 , .
2 32 3
O
A1 2
x
A
2
3 0
1 2
(1
cos
)2 d
2
1
2
3
2
(3cos )2 d
2
3 2
2 sin
1 sin 2
4
3 0
9 2
1 sin 2
2
2
5 .
4
3
23
（1）拟定积分变量，和它旳变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
U dU f xdx
（3）写出 U 旳积分体现式，即：
b
U a f ( x)dx
6
第二节 平面图形旳面积
y
( x)
一、直角坐标情形
A
b
a
(
x)
(
x )dx
oa
(x)
x x dx b x
二、极坐标情形
A
1 2
(
)2
d
d
4ab
0sin 2
tdt
2
2
4ab 2 sin 2 tdt ab 0
当a b时，椭圆变为圆， A a2。
高等数学讲义第六章定积分的元素法及其应用
高等数学讲义Higher Mathematics Materials(第六章定积分的元素法及其应用 )第六章定积分的元素法及其应用一、平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积公式1 由连续曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的面积为：⎰⎰⎰-+-=ca d c bd dx x f dx x f dx x f A )()()( （1） 例1 求椭圆 22221,(0,0)x y a b a b +=>>的面积 解 由对称性，知 14A A =上半椭圆方程为22b y a x a=- dx x a a b dx x a a b A a a ⎰⎰-=-=⇒0222201 ＝.44,4)2arcsin 2(10222ab A A ab x a x a x a a b a ππ==⇒=-+ 例2 求由0,4,1,232===-+=y x x x x y 所围成的面积.解 4)1(2+--=x y 为开口向下，顶点为)4,1(的抛物线，故⎰⎰⎰+==433141dx y A ＝⎰⎰-+--+432312)23()23(dx x x dx x x ＝323 2 设)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，且 []b a x x f x g ,),()(∈≤，则由b x a x x g y x f y ====,),(),(，所围成的面积为：=A []()()ba f x g x dx -⎰ （2） 注：公式（2）对于)()(x g x f <有正有负的情形也成立.例3 求由1,,===-x e y e y x x 所围成的面积.解 由公式（2），得.21)(10-+=-=⎰-e e dx e e A x x 3 求由曲线)(),(y x y x ψϕ==及直线d y c y ==,所围成的面积为[]dy y y A dc ⎰-=)()(ψϕ （3） 例4 求由2,,1===y x y xy 所围的面积.解 由公式（3），得.2ln 23)1(21-=-=⎰dy y y A 二 定积分的微元法2.极坐标下的面积公式1 先介绍定积分的元素法（微元法）讲定积分概念时，为了求某个不均匀分部的整体量A ，是分四步解决的，即分割（将整体化为局部，即化整为零）——近似代替(局部范围“以直代曲”，“以匀代不匀”，近似求出各部)——求和（积零为整）——取极限（由近似到精确），最后得到整体量.实际问题中，往往将其简化为两步，即第一步：无限细分区间[]b a ,，考虑任意份[]x x x ∆+,，或[]dx x x +,，“以不变代变”，“以匀代不匀”，写出量A 的局部量的近似值：dA dx x f x x f A ==∆≈∆)()(——称为A 的元素或微元.第二步：无限求和，即将dA 沿[]b a ,相加，得到定积分⎰⎰=ba ba dx x f dA )(，这就是整体量. 由以上两步完成的求和方法，称为微元法.例如 求由连续曲线[]b a x x f y ,,0)(∈≥=及直线x b x a x ,,==轴所围成曲边梯形的面积.解 由微元法，在[]b a ,上任取一点x 使这点具有小区间的意义，其长为dx ，做一高为)(x f ，“底边长”为dx 的小矩形，其面积为dA ，则dA dx x f dA ,)(=叫该图形在点x 的面积微元.将[]b a ,上的每一点的面积微元无限累加，及连续作和，便得到曲边梯形的面积⎰⎰==ba ba dx x f dA A .)( 用微元法同样可求变速直线运动所走路程为：ds dt t v ds S ba ba (,)(⎰⎰==叫路程微、元） 2极坐标系下的面积公式设有一条连续曲线，其坐标方程为：)(θr r =，求曲线)(θr r =及两个向径βθαθ==,所围成的面积A （曲边扇形）.解 用微元法.分割区间[]βα,，任取一份[]θθθd +,，在这一份上，以小圆弧代替小曲线弧，得到面积微元 θθθd r rd r dA )(21212=⋅= （扇形面积＝21半径⨯弧长），再将dA 在[]βα,上无限求和，得到θθθθβαβαd r d r A )(21)(2122⎰⎰== （4） 例5 求)0(,cos 2>=a a r θ围成圆的面积.解 0,cos 0,()22r ππθθ≥∴≥-≤≤，代公式（4），得 θθθθππππd a d r A 2222222cos 421)(21⎰⎰--== ＝.221422a a ππ=⋅⋅ 0<a 时，曲线所围面积相同.例6 求阿基米德螺线θa r =上相应于θ从0到π2一段弧于极轴所围成的图形的面积.解 πθ20≤≤，代公式（4），得3220322202202343221)(21πθθθθθπππa a d a d r A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡===⎰⎰ 三、体积1.旋转体的体积旋转体——连续曲线)(),(b x a x f y ≤≤=绕x 轴旋转一周所生成的体积.过[]b a ,上任一点x ，在小区间[]dx x x +,，的小曲边梯形绕x 轴旋转而成薄扁体积近 似于，以)(x f 为底半径，dx 为高的扁圆柱体的体积，即体积微元[]dx x f dv 2)(π=，将dv 在[]b a ,上累加，即得旋转体体积. []dx x f dv V b a b a 2)(⎰⎰==π （5）注：由连续曲线)(),(d y c y x ≤≤=ϕ绕y 轴旋转一周所产生得旋转体体积为=V []dy y d c 2)(⎰ϕπ （6） 例7 求由椭圆12222=+b y a x 绕x 轴旋转所成旋转体的体积（椭球）. 解 上半椭圆的方程为：a x a x a ab y ≤≤--=,22，代入公式（5），得.343)(232222222ab x x a a b dx x a a b V a a a a πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--⎰ 绕y 轴旋转椭球体积为：b a V 234π= 特例：当b a =时，球体体积为：334a V π=2.已知平行截面面积，求立体体积设空间某立体是由一曲面和垂直于x 轴的平面b x a x ==.所围成.假设过点x 垂直于x 轴的截面面积)(x A 在[]dx x x +,上薄片体积微元dx x A dv )(=，（如油炸土豆片），将dv 沿[]b a ,求和（薄片相加），得⎰=ba dx x A V )( （7）例8 求“圆柱楔形段”的体积.解 截面为三角形，其面积为：ααtan 21tan 21)(2y y y x A =⋅⋅= 底圆的方程是222R y x =+)(tan 21)(22x R x A -=∴α，代入公式（7），得所求体积.tan 32)(tan 21)(322ααR dx x R dx x A V R R R R =-==⎰⎰--三、平面曲线的弧长设弧的两端B A ,，取分点B M M M M M M M A n n i i ==--,,,,,,,11210依次连折线，如分点无限增加，且每小段弧1i i M M -，缩为一点时，折线长∑=-11i i i M M n 的极限为曲线弧AB 的弧长. 定理 光滑曲线是可求长的.1 直角坐标情形设曲线弧的直角坐标方程为)(),(b x a x f y ≤≤=其中)(x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，取曲线弧上任一小区间[]dx x x +,对应的弧，可用曲线在点 [,()]x f x 处切线上相应一段长近似代替，即222()()1ds dx dy y dx '≈+=+，在闭区间[]b a ,上作定积分，得所求弧长dx y S ba ⎰'+=21例9 计算曲线2332x y =上x 从a 到b 的一段弧长. 解 21x y ='，)1(112x d x dx y S b a ba ++='+=⎰⎰＝.)1()1(32)1(32232323⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+a b x ba 例10 求悬链线cx chc y ⋅=在[]b b ,-上的弧长. 解 由对称性，先计算[]b ,0的一段长，c x sh y =' dx c x sh S b⎰+=0212dx cx ch b ⎰=02 ＝02()2.b x x b cch d c sh c c c =⋅⎰ 2参数方程情形设曲线弧的参数方程是 βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ,)()( 其中)(),(t t ψϕ在[]βα,上具有连续导数，在相应[]βα,上任一区间[]dt t t +,的小弧段长度的近似值（弧微分）为dt t t dt t dt t dy dx ds )()())(())(()()(22222222ψϕψϕ'+'='+'=+=于是所求弧长 dt t t S ⎰'+'=βαψϕ)()(22例11 计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x 的一拱πθ20(≤≤)的长度.解 弧长元素θθθθθθθd a d a d a a ds 2sin2)cos 1(2sin )cos 1(2222=-=+-=所求弧长为 a a d a S 8)2cos 2(22sin22020=-==⎰ππθθθ 3极坐标情形设曲线弧由极坐标方程 βθαθ≤≤=),(r r 给出.由直角坐标与极坐标的关系，可 得βθαθθ≤≤⎩⎨⎧==,sin cos r y r x 22222222()()(cos sin )()(sin cos )()()().ds dx dy r r d r r d r r d θθθθθθθθθ'''=+=-++=+⋅这是以极角θ为参数的曲线弧的参数方程，从而所求弧长为:.)()(22θθθβαd r r S ⎰'+=复 习 题 A1 . （1）(3) 3.（2）（4）5.。
大学高等数学_10定积分的元素法分析以及在几何和物理上的应用
16
3
32 a 3 2 sin 6 u d u 32 0 2 3
5 a
5 3 1 a 6 4 2 2
机动
t t d t (令 u ) 2 2
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2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
o
y
x x2 ( y ) x x1 ( y )
因此所求弧长
2
2
y
(P168)
ds
y f ( x)
s
b b
a a
2 1 y dx
o a
xxdx b x
1 f 2 ( x) d x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx) 2 (d y ) 2
2 (t ) 2 (t ) d t
y
在第一象限所围
y2 x
2
(1,1)
Ad A 0
1
x x dx
o
y x2
x 1 x d x
x
1 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算抛物线 y 2 x 与直线 y x 4 所围图形
2
的面积 . 解: 由 得交点
y
(2 , 2) , (8 , 4)
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积
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例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
高等数学PPT课件：定积分的微元法(元素法)
2.极坐标下平面图形的面积
平面曲线 r r( ) (极坐标方程)
+ d
射线 , ( )
所围曲边扇形面积A.
曲 边
面积元素 dA 1[r( )]2d
2
扇 形
r r( )
d
A
1[r 2
(
)]2
d
.
O
x
16
定积分在几何学上的应用
例 8 求心形线r a(1 + cos )
A
1[r 2
A( x)
Oa
x•
b
x
x x + dx
采用元素法 体积元素 dV A( x)dx
立体体积 V b A( x)dx. a
25
定积分在几何学上的应用
V abA( x)dx
例5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,
并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所得
立体的体积.
解 底圆方程 x2 + y2 R2
圆柱
圆锥
圆台
18
定积分在几何学上的应用
(1) 连续曲线 y f ( x),
直线 x a, x b 及 x 轴所围曲边梯形
绕x 轴旋转一周，旋转体体积？
采用元素法
y
y f (x)
积分变量 x, x [a,b],
[x, x + dx][a,b],
O
a x x + dx b
x
以dx 为底，小曲边梯形绕 x 轴旋转成薄片
t
y
b
O
ax
作变量代换, x a cos t, dx a sintdt
当x 0时,t ;当x a时, t 0.
A
阐述定积分的元素法的思想和原理
阐述定积分的元素法的思想和原理
定积分的元素法是用定积分的等价形式，将一个积分分解为多个重
叠的小积分的和的形式，但是不要如中等分的形式一样分开，元素法
的本身是一种重叠分解，它实质上是求取某一复合积分的变形，针对
某些特殊函数，能够均匀分割并求取数值近似解，从而求出某一复杂
函数的积分值。
元素法遵循思想：
设某积分为I，用元素法求某积分I时，把它分成m个子区间，m越大，精度越高。
在每一个子区间上取一个求积分值的小积分，将子区间间
的连续重叠，而且分段重叠仅有一段，把积分I的连续重叠段的平均值记为I, 给出I的连续重叠长度。
如果函数f(x)在每个子区间上用抽样点
估算，则可将I写成抽样点的积分，从而将该积分整体化统一求取，有利于计算机程序的实施。
可以将I=f(x)dx变换为形如：
I=f1(x1)h1+f2(x2)h2+……+fn(xn)hn，
其中fi为子区间第i段上的抽样函数，x1、x2、…、xn为抽样点，h1、h2、…、hn为对应的抽样点的子区间宽度。
因此，用元素法求取积分I的过程就是：根据某个给定的误差限度取每一个子区间的宽度；根据适当的抽样函数，选取各个子区间的抽样点；求出子区间上的小积分；并将其求和即可得到积分I的近似值。
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定积分的元素法
教 学 内 容
一、问题的提出
回顾：曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围
成。
⎰=b a dx x f A )( 面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ∆的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ∆，则∑=∆=n
i i A A 1.
（2）计算i A ∆的近似值i i i x f A ∆≈∆)(ξ，i i x ∆∈ξ
（3） 求和，得A 的近似值.)(1i i n
i x f A ∆≈∑=ξ
（4） 求极限，得A 的精确值i i n i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ⎰=b a
dx x f )( 提示： 若用A ∆ 表示任一小区间],[x x x ∆+上的窄曲边梯形的面积，则
∑∆=A A ，并取dx x f A )(≈∆，于是∑≈dx x f A )(
a
b x y
o )
(x f y =
∑=dx x f A )(lim .)(⎰=b a dx x f
当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；
（2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；
（3）部分量i U ∆的近似值可表示为i i x f ∆)(ξ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a ；
2）设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U ∆的近似值.如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=；
3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得⎰=b
a dx x f U )(，即为所求量U 的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法．
a b x y
o )
(x f y =x dx
x +
应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）
思考题
微元法的实质是什么？
思考题解答
微元法的实质仍是“和式”的极限.。