定积分的元素法
定积分的元素法,平面图形的面积
•P(r, )
令
a
v
r .
r0
v
,
••
OM
x
特别地，当 r0 0 时，等速螺线的极坐标方程为 r a .
注：附录Ⅱ中常用的曲线的极坐标方程。
18
3．极坐标与直角坐标的关系
x r cos y r sin
r2 x2 y2
tan y
x
y
r
•
O
x
x, y
x
r ( )
d
O
21
例4 计算阿基米德螺线
r a (a 0)
上相应于 从0 变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积。
解：积分变量为 , 积分区间为
0,2 , 在此区间上任取小区间
2a
, d , 面积元素为
O
x
dA 1 (a )2 d
2
2
所以曲边扇形的面积为：
d
O
r ( )
x
圆扇形面积公式为 A 1 R2 2
A
1 (
2
)2
d
20
极 点 在 图 形 外 （ 曲 边 环扇 形 ）
面 积 元 素: 面积:
dA
1 2
出 (
)2 d
1 2
入
(
)2 d
A
1 2
0
0
3
9
例２ 计算抛物线 y2 2x与直线 y x 4 所围成的
图形的面积。
y
解（1） 解方程组
定积分元素法的思想及其应用
定积分元素法的思想及其应用
积分元素法（Integration Element Method，IEM）是一种
数值计算方法，它可以用来解决复杂的微分方程，广泛应用于计算力学、流体力学、固体力学、电磁学、热传导等领域。
积分元素法的基本思想是将求解的区域划分为若干小的元素，分别求解不同元素的边界条件，最终求解整个区域的解。
这种方法的优点在于，使用积分元素法可以更加准确地求解复杂微分方程，而且可以更好地求解复杂的边界条件。
积分元素法的应用非常广泛，在计算力学中，常用来模拟结构的变形、挠曲和裂纹扩展等现象。
在流体力学中，常用来模拟流体运动、温度分布和压力分布。
在固体力学中，常用来模拟固体力学中的应变、变形、挠曲和裂纹扩展等现象。
此外，还可以用来模拟电磁场的传播、热传导的扩散、质量传输的运动等现象。
另外，积分元素法也可以用来解决复杂的几何问题，比如求解多边形、圆形和曲线等几何形体的表面积、体积等物理量。
此外，还可以用来计算多边形、圆形和曲线等几何形体的曲率、曲率半径等物理量。
总之，积分元素法是一种非常有用的数值计算方法，可以用来解决复杂的微分方程，也可以用来解决复杂的几何问题。
它的应用涉及到计算力学、流体力学、固体力学、电磁学、热
传导等领域，广泛应用于工程设计、科学研究和工业生产等领域。
§6.1定积分的元素法§6.2几何应用(面积、体积)(2015)
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
《高等数学》
返回
下页
结束
例4. 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A
2
0
1 (a )2 d
2
02
y
ox
R x
《高等数学》
返回
下页
结束
微分的几何意义与切线段的长度
dy f (x)dx
y y f (x)
y
ds dy dx
o
x
x
切线段的长度
x dx
此直角三角形称为： 微分三角形
ds (d x)2 (d y)2 1 f 2 (x)dx （弧微分公式）
曲线 y f (x) C[a,b], s b 1 f 2 (x)dx.
4 3 a2
3
对应 从 0 变
2 a
o
x
d
例5. 计算心形线
所围图形的面积 .
解:
1 (1 cos )2 d
2
2
2
1 (3cos
)2
d
2
3
5.
4
《高等数学》
返回
与圆
(
3
,
(利用对称性)
)
23
d
o
2x
下页
结束
二、体积
１．平行截面面积为已知函数的立体体积
§6 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法（微元法） §6.2 几何应用 §6.3 物理应用
定积分元素法课件
02
确定被积函数
03
建立积分方程
根据物理或工程问题的数学模型 ，确定被积函数，即需要求解的 未知函数。
根据定积分的定义和性质，将问 题转化为数学模型中的积分方程 。
离散化方程的推导
离散化方法
将连续的积分元素离散化为有限个离散点，常用的离散化方法有矩形法、三角形法等。
离散化方程推导
根据离散化方法和定积分的性质，推导离散化方程，即将积分方程转化为有限元方程。
二维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决二维问题时，通过 将二维平面离散化为网格，将复杂的二 维积分运算转化为一系列的一维积分运 算，降低了求解难度。
VS
详细描述
二维问题涉及平面上的形状、面积、体积 等的求解。定积分元素法将二维平面离散 化为网格，每个网格点上的积分值相等。 通过求解每个网格点的积分值，再求和得 到整体解。这种方法简化了二维积分运算 ，提高了计算精度和效率。
三维问题的求解
总结词
定积分元素法在解决三维问题时，通过将三 维空间离散化为体素，将复杂的三维积分运 算转化为一系列的二维积分运算，降低了求 解难度。
详细描述
三维问题涉及空间中的形状、体积等的求解 。定积分元素法将三维空间离散化为体素， 每个体素上的积分值相等。通过求解每个体 素的积分值，再求和得到整体解。这种方法 简化了三维积分运算，提高了计算精度和效 率。
步骤 1. 将问题分解为若干个元素或单元；
定积分元素法的应用场景
物理问题
定积分元素法广泛应用于物理问题的求解 ，如静力学、动力学、热力学等领域。
工程问题
在土木工程、机械工程、航空航天等领域 ，定积分元素法也被广泛应用。
数值分析
在数值分析中，定积分元素法是数值求解 微分方程的重要方法之一。
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
定积分元素法课件
元素法的应用范围
01 02 03
适用于被积函数为连续函数的定积 分计算。
适用于被积函数为分段函数的定积 分计算。
适用于被积函数为周期函数的定积 分计算。
03
元素法的具体应用
求解定积分的具体方法
01
矩形法
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，用
矩形近似代替该小区间上的曲线，求出矩形面积之和，即得定积分的近
计算方法则是通过数值计算方法（如梯形法、辛普森法等）来求解近似值。 • 两者都可以得到较为精确的结果，但数值计算方法需要更多的计算量。
元素法与物理方法的比较研究
元素法是通过数学模型和数值计 算方法来得到近似解，而物理方 法则是通过实验测量数据来得到 近似解。
在求解积分问题时，物理方法通 常是通过实验测量数据来得到近 似解。
元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积 函数，从而将积分转化为求和。
微积分提供了一般的理论框架，而元素法是一种具体的计算方法，两者相辅相成。
元素法与数值计算方法的比较研究
• 数值计算方法是一种通过数值计算求解数学问题的方法，包括数值积分、数值微分、数值求解方程等。 • 元素法与数值计算方法在求解积分问题时，都采用了近似代替的方法。 • 元素法在求解积分问题时，将积分区间划分为若干个小区间，用近似函数代替被积函数，从而将积分转化为求和。而数值
近似方法的选取
根据具体问题的特点，选择合适的近 似方法（矩形法、梯形法或辛普森法 ），以保证近似值的精度和计算效率 。
求解定积分的实例分析
计算定积分$\int_{0}^{1}e^{x}dx$
通过矩形法、梯形法和辛普森法分别计算该定积分的近似值，并比较其精度和计算效率 。
定积分元素法的步骤
定积分元素法的步骤
定积分元素法的基本步骤如下：
1.确定元素：首先需要确定积分区间[a,b]，并将其划分为n个小区间，小区间的长度记为
Δx。
2.近似代替：在每个小区间上任取一点ξi（i=1,2,...,n），以f(ξi)Δx近似代替该小区间上
曲边梯形的面积。
3.求和计算：将n个近似小矩形面积加起来，即求得原曲边梯形的面积S的近似值。
即
S=∑f(ξi)Δx。
4.取极限：当Δx趋向于0时，求极限，即可得定积分的值。
即lim(Δx→0)∑f(ξi)Δx=
∫baf(x)dx。
以上就是定积分元素法的基本步骤，需要注意的是，在选取元素时，应尽可能使近似值与精确值之间的差距变小，这需要选取适当的ξi和合适的Δx。
同时，在求和计算时，应注意计算的准确性，避免计算错误导致的结果偏差。
6.1 元素法
利用元素法解决: 利用元素法解决 定积分在几何上的应用 定积分在物理上的应用
第一节 定积分的元素法
第六章 六
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二 、如何应用定积分解决问题 ?
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 一个整体量 ; 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小 常代变 近似和 取极限” 大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 大化小 表示为
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
b
定积分定义
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量 的 微分表达式 近似值
dU = f (x) dx
第二步 利用“
U = ∫a f (x) dx
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法 元素法 微元分析法) 微元分析法 元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
定积分的元素法
课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课 时 计 划 ( 教 案 ) 一、()()=n y f x 型的微分方程 解法: 积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-, …… 例1 求微分方程y '''=e 2x cos x 的通解.。
例2 求微分方程x x y cos sin -=''满足初始条件1)0(,2)0(='=y y 的特解。
二、),(y x f y '=''型的微分方程 解法: 设y '=p 则方程化为 p '=f (x , p ). 设p '=f (x , p )的通解为p =(x ,C 1), 则 ),(1C x dx dy ϕ=. 原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ. 例3 求微分方程 (1x 2)y ''=2xy 满足初始条件 y |x =0=1, y '|x =0=3的特解. 例4设由一质量分布均匀，柔软的细绳，其两端固定，求它在自身重力作用下的曲线方程．三、),(y y f y '=''型的微分方程 解法: 设y '=p ,有dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''. 原方程化为 ),(p y f dydp p =. 设方程),(p y f dy dp p =的通解为y '=p =(y , C 1), 则原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ. 例5 求微分yy ''y '2=0的通解。
四、习题讲解329P Ex2（5）（6），4五、课堂小结、布置作业课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )课时计划 ( 教案 )。
高等数学第六章定积分的应用
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx
，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
第二节 平面图形的面积
一、直角坐标系情形
y y f (x)
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线 y
2
x
3 2
上相应于
x
从a
到b
的一段
3
弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
2
3
3
1 xdx [(1 b)2 (1 a)2 ].
a
3
x
例 2 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n) . 0
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx ，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(
第六章 定积分的应用(教学笔记)
2 .选择积分变量并定区间：选取 x 为积分变量，则 0 ≤ 3 .给出面积元素在 0 ≤ x ≤ 2 上， 在 2 ≤ x ≤ 8 上， 4 .列定积分表达式
4
−4
事实上, 也可以选择 x 为积分变量, 积 分 区 间 为 [0， 如图, 当小区间 8] . 面积微元为 [ x, x + dx] 取 在 [0， 2] 中 时 ,
dA = [ 2 x − (− 2 x )]dx , 而当小区间取
在 [2， 8] 中 时 , 面 积 微 元 为
4
y
y = 2x
(8,4)
dA = [ 2 x − ( x − 4)]dx , 因此, 积分区间
须分成 [0， 即所给图形由 2] 和 [2， 8] 两部分,
o
x=4 -y
y = − 2x
x
直线 x = 2 分成两部分, 分别计算两部分的面积再相加, 得所求面积, 即
A = ∫ [ 2 x − (− 2 x )]dx + ∫ [ 2 x − ( x − 4)]dx
解：
a 0 x = a cos t , (0 ≤ t ≤ 2π ) ， S = 4 ∫ ydx = 4∫π b sin td (a cos t ) = π ab 0 2 y = b sin t ,
或S = 4
∫
b
0
xdy = 4 ∫ 2 a cos td (b sin t ) = π ab
n
i
的极限
方才是精确值 A 。关键是确定 ∆ Ai ≈ f (ξ i ) ∆ x i ( ∆ Ai − f (ξ i ) ∆ xi = o ( ∆ xi ) )
定积分第五节定积分的应用
=p
b2 a2
[a
2
x
-
1 3
x3 ]a-
a
=
4 p ab
3
2
.
例8由y x3 x 2 y 0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的 体积
解：
绕x轴旋转所得旋转体 的体积为
绕y轴旋转所得旋转体 的体积为
Vx02y2dx02x6dx
2
Vy22808x2dy3208y3dy
3233y5864 1x7 2 128 5 05 7 0 7
给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现
在来计算这曲线弧的长度. 弧长元素(弧微分) :
y
yf(x)
ds
ds(x d)2(d y)2 1y2dx
因此所求弧长 s b 1y2 dx o a xxdxb x a
曲线
y f(x)(a x b)的
弧长：
解：
例12
sab1y2d x
计算曲线y ln x上相应于
曲线弧的长为 s 2 ( ) 2 ( ) d
da22sa2da12d
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
sab1y2d x
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
曲线
( )(
)的弧长：
例15 求阿基米德螺线 a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长.
解
立体的体积为
平行截面面积为已知 的立体的体积
A(x)dx.
A(x)
VabA(x)d x
截面面积为A(x)的立体体积V ： a b A ( x ) d
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.
高数第六章第一节元素法
U i ≈ f ( ξ i ) x i
可以用定积分来表示。 则 U 可以用定积分来表示。
二 、如何应用定积分解决问题 ?
元素法的一般步骤： 元素法的一般步骤：
1）选取一个变量（如 x 或 y）为积分变量，确定 ）选取一个变量（ ）为积分变量， 它的变化区间[a , b]；
ξi
下页
返回
结束
3) 近似和 i )xi
i=1 i=1
n
n
4) 取极限 令 取极限.
则曲边梯形面积
A = lim ∑Ai
λ→0 i=1
n
n
y
= lim ∑ f (ξi )xi
λ→0 i=1
o a x1
xi1 xi
ξi
机动
目录
上页
下页
返回
结束
说明: 说明
(1)既然， n个小区间可以任意地分 ，给它等分，其宽度用 dx 既然， 给它等分， 统一表示。 统一表示。每个小区间 [ x i 1 , x i ]可统一表示为 [x, x + dx ]. 面
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
x = b 所围成。 所围成。 b A = ∫a f ( x)dx
o a
b x
面积表示为定积分的步骤如下 : 1) 大化小 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 大化小.
a = x0 < x1 < x2 <L< xn1 < xn = b 用直线 x = xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
( 2 )既然，每个小区间上的 既然， 现在统一取 ξ i = x.
1.元素法、面积
（2）利用曲边扇形面积公式：A 1[()]2 d. 2 作业：P284:T2(2),T3,T4,T8(1), T9
8
围成一曲边扇形，求其面积．
d
其中() 连续 面积元素 dA 1[()]2 d
2
()
d
面积 A 1[()]2 d. 2
o
x
例3 求阿基米德螺线 a (a > 0)上相应于 从0到 2 的一段与极轴围成图形的面积
解
30
y2 2x y x4
选 y 为积分变量 y [2, 4]
dA ( y 4 y2 )dy
2
A
4
(y
4
y2 )dy
2
2
y2 2
4y
y3 4
6
2
=18
选 x 为积分变量
dA1 2 2xdx
dA2 ( 2x x 4)dx
2
8
A 0 2 2xdx 2( 2x x 4)dx
a
2
2
sin
0
1 2
a
2
(1 cos 2)d
0
a2
1 a2 2
1 2
a
2
sin
2
0
3 a2 . 2
求下列图形面积：
1.螺线 a 的第一与第二圈之间及极轴所围图形
2. 由 3cos 及 1cos 所确定图形.
30
A 1 4(a)2 d 1 2 (a)2 d 20
y2 2x
6-1元素法
i 1
n
Oa
y
.x . x . .x . . . x.
1 i 1 i
n 1
b
x
si f ( i )xi
作和
则
sn f ( i )xi
i 1 n n
A
Oa
f ( i )
f ( x) B
si
x i 1 x i i
b
x
s sn f ( i )xi
i 1
(3)求极限
记 max{xi }, 则当 0 时, 1 i n
n
s lim f ( i )xi 0
i 1
所以曲边梯形 AabB 的面积: s lim f ( i )xi
0
n
说明：关键是第二步
y
i 1
s f ( x )dx f ( x )dx 称为面积元素 记做：ds f ( x )dx
f ( x)
B
A
Oa
x
s
x dx
b
x
这种分析方法成为元素法 (或微元分析法)
二、什么问题可以用定积分解决
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某函数 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 表示为
第一节、定积分的元素法
一、元素法 二、什么问题可以用定积分解决 三、如何应用定积分解决问题
一、元素法
计算曲边梯形面积的具体步骤： (1)分割
用任意一组分点 b, a x0 < x1 < x 2 < xn1< x n
定积分的元素法-平面图形的面积省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
但若要求r 0,0 2 ，除极点O外，平面上旳点与极坐标
之间就一一相应了。
在一般情况下,我们要求: r 0 ，而极角能够取任意实数。
16
2．极坐标方程
曲线上点旳极坐标 r 与 之间旳关系能够用式 r r 表达， 称 r r 为曲线旳极坐标方程。
以极点O为圆心，以 a为半径旳旳圆旳极坐标方程: r a.
解方程组：rr
1 3
cos cos
3 , 2 3 •
3
得交点 3 , ， 3 , .
2 32 3
O
A1 2
x
A
2
3 0
1 2
(1
cos
)2 d
2
1
2
3
2
(3cos )2 d
2
3 2
2 sin
1 sin 2
4
3 0
9 2
1 sin 2
2
2
5 .
4
3
23
（1）拟定积分变量，和它旳变化区间[a,b]； （2）写出积分元素
U dU f xdx
（3）写出 U 旳积分体现式，即：
b
U a f ( x)dx
6
第二节 平面图形旳面积
y
( x)
一、直角坐标情形
A
b
a
(
x)
(
x )dx
oa
(x)
x x dx b x
二、极坐标情形
A
1 2
(
)2
d
d
4ab
0sin 2
tdt
2
2
4ab 2 sin 2 tdt ab 0
当a b时，椭圆变为圆， A a2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
F Fi
i1
n
m (Fi )x
Fx , F y , 则
Fx ( F i ) x , Fy ( F i ) y
i 1 n n i 1
F
i
因此Fx，Fy具有U的特征.
一、主要内容
(一) 问题的提出 1. 回顾 利用定积分可以求：
(1)曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线 y=f (x) ( f (x) 0 )，x轴
与两条直线 x =a, x =b所围成.
A f ( x )d x
a
b
(2) 作变速直线运动的质点 从 t a时刻
到 t b 时刻移动的路程：
如：若 f ( x ) 0, f ( x)在[a,b]上连续 y 则以[ a , x]为底边的 曲边梯形的面积：
A( x )
x
y f ( x)
a
f ( x )d x.
A(x) f ( x)d x
面积的元素
恰好是面积 A(x)的微分dA
A d A o(d x)
(1) A 与[ a , b ]有关；
(2) A关于[a , b]有可加性：A Ai
i 1
n
(3) 能求出A的部分量Ai的近似值：Ai f (i )xi
2. 用定积分表达的量U 应具备的特征： (1) U是与一个变量x 的变化区间[a, b]有关的量； (2) U 对于区间[a, b]具有可加性，即如果把区间 [a, b]分成许多部分区间，则 U 相应地分成许 多部分量：Ui ,
y a m
F
i
M m ( xi ) l F k i ri2
M m ( xi ) l k (i 1, 2 , L , n) 2 2 a i
ri
i
x l x
O
i
但 Fi的方向各不相同，所以 合力
即 F 在[ 0, l ]上不具有可加性.
因此，不能直接用定积分来表 达 F. 设合力F 沿水平方向和垂 直方向的两个分力分别为
[ x, x d x] [ a , b ] U f ( x )d x
若 U f ( x )d x o(d x)， 则
dU f ( x )d x
3°作定积分: U
b
U的元素
a f ( x)d x.
这个方法通常叫做元素法．
主要应用： 平面图形的面积、体积、平面曲线的弧 长、功、水压力、引力和平均值等等．
第六章 定积分的应用
本章基本要求
1. 会运用定积分的元素法解决一些简单的
几何应用题，包括掌握平面图形的面积、旋转
体与已知截面面积的立体的体积，以及平面曲
线弧长的求法.
2. 了解定积分在物理学中的应用，并会用 元素法解决功、液体压力及引力等物理问题.
第六章
第一节
定积分的元素法
一、主要内容
二 、典型例题
(3) 部分量Ui 的近似值可表示 为
U i1 U i
n
可考虑用定 积分表达U
U i f ( i ) x i
(二) 元素法
元素法的一般步骤： 1° 根据问题的具体情况，选取一个积分变量. 例如，取 x为积分变量，并确定它的变化区间[a, b]; 2° 将[a, b]分割为若干个子区间
s v(t )d t
a
b
问题 一个量U具有什么特征时，才能 考虑用定积分来计算? 回顾 面积 A 表示为定积分的步骤如下：
a x0 x1 L xn1 xn b
[ x i 1 , xi ] ( i 1 , 2 , L , n)
1o 分割[ a , b ]
2 计算Ai 的近似值
A d A f ( x )d x
利用元素法可将求面积 A 的四个步骤简化为两步：
1o [ x, x d x] [a,b]
d A f ( x )d x
2 A
o
a f ( x ) d x .
b
二、典型例题
例1 图示中的质量为M 长度为l 的细杆 对于 质点 m 的引力F是否符合U 的特征？ 解 第i小段细杆对质点m 的引力大小：
i [ xi 1, xi ],
A i f ( i )xi
3 求和，得A的近似值 A
f ( ) x .
i i i 1
n
4º 求极限，得A的精确值
A lim f ( i )x i
0 i 1
n
a f ( x)d x
b
由此可以看出：A有下列三个特征：