2019年高二下学期第一次月考数学(理)试卷

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高二数学(理)月考试题

高二下学期数学第一次月考试卷（理）(总分：150分时间：120分钟)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（） A ．P M = B ．P M ∈ C ．φ=P M D ．P M ⊇2、等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．63、“3x >”是“24x >”的（）.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、在△ABC 中，a ＝，b ＝B ＝45°，则A 等于（）.A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ．60°或120°5、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ 6、不等式1213≥--xx 的解集是 ( ) A ．{x|243≤≤x } B ．{x|243<≤x } C ．{x|x ＞2或43≤x } D ．{x|x ＜2} 7、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（）Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，，Ｂ．(241)，，Ｃ．(2141)-，，Ｄ．(5133)-，，8、“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9、已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43 CD 10、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)11、某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个。

惠来县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

惠来县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1．函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（）A ．2B ．3C ．7D ．92．过抛物线C ：x 2=2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段|AF|=（）A ．1B ．2C ．3D ．43．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π4．直径为6的球的表面积和体积分别是（）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ5．若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（）A ．B ．12C ．12- D ．2-6．有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（） A ．3，6，9，12，15，18 B ．4，8，12，16，20，24 C ．2，7，12，17，22，27 D ．6，10，14，18，22，267． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（）A ．1B ．2C ．-1D ．-28．已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（）A ．﹣1＜a ＜2B ．﹣3＜a ＜6C ．a ＜﹣3或a ＞6D ．a ＜﹣1或a ＞29．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（） A．B．C ．D．10．下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________④{}0∅⊆,正确的有（）个A.个B.个C.个D.个11．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（）A ．B ．C ．D ．12．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要二、填空题13．在中，角、、所对应的边分别为、、，若，则_________14．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为．15．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB的距离是．16．设函数()xf x e =，()lng x x m =+．有下列四个命题：①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <； ②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2ln 2m e <-；③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22em <-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <．其中所有正确结论的序号为 .【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.17．（文科）与直线10x +-=垂直的直线的倾斜角为___________．18．在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是___________．三、解答题19．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）e x．（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；（3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．20．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=，求直线l的方程．21．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点．（Ⅰ）证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；（Ⅱ）证明：B1F∥平面A1BE；（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体A1﹣B1BE的体积．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ．（1）求证：BDCE ；（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长23．已知函数()()xf x x k e =-（k R ∈）．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）求()f x 在[]1,2x ∈上的最小值．（3）设()()'()g x f x f x =+，若对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦及[]0,1x ∀∈有()g x λ≥恒成立，求实数λ的取值范围．24．化简：（1）．（2）+．25．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围．26．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．惠来县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，∴sin+acos=﹣=﹣2，∴a=，∴f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）．再根据f（）=2sin（+）=﹣2，可得+=2kπ+，k∈Z，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，则ω的可能值为7，故选：C．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．2．【答案】A【解析】解：∵x2=2y，∴y′=x，∴抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B（1，），∵x2=2y的焦点F（0，），准线方程为y=﹣，∴直线l的方程为y=，∴|AF|=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键．3．【答案】C【解析】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．4．【答案】D【解析】考点：球的表面积和体积． 5．【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程2043x ax x +=++，解得3,1,x x x a =-=-=-，其对应的根分别为3,1,2x x x =-=-=，所以2a =-，故选D.考点：不等式与方程的关系. 6．【答案】C【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验，采用系统抽样的间隔为30÷6=5，只有选项C 中编号间隔为5，故选：C ．7．【答案】B 【解析】考点：向量共线定理．8．【答案】C【解析】解：由于f （x ）=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1，有f ′（x ）=3x 2+2ax+（a+6）．若f （x ）有极大值和极小值，则△=4a 2﹣12（a+6）＞0，从而有a ＞6或a ＜﹣3，故选：C ．【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．9．【答案】 A【解析】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c ＞b ，再平方，4c 2＞b 2，在椭圆中，a 2=b 2+c 2＜5c 2，∴；由，得b+2c ＜2a ，再平方，b 2+4c 2+4bc ＜4a 2， ∴3c 2+4bc ＜3a 2， ∴4bc ＜3b 2，∴4c ＜3b ，∴16c 2＜9b 2， ∴16c 2＜9a 2﹣9c 2， ∴9a 2＞25c 2，∴，∴．综上所述，．故选A ．10．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：{}{},,a b b a ⊆和{}0∅⊆是正确的，故选C. 考点：集合间的关系. 11．【答案】B【解析】解：将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数．故选B ．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与图象的伸缩变换，注意先平移后伸缩时，初相不变化，考查计算能力．12．【答案】B 【解析】试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.二、填空题13．【答案】【解析】因为，所以，所以，所以答案：14．【答案】（x ﹣1）2+（y+1）2=5 ．【解析】解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ， ∵点A （2，1）关于直线x+y=0的对称点A ′仍在这个圆上， ∴圆心（a ，b ）在直线x+y=0上， ∴a+b=0，①且（2﹣a ）2+（1﹣b ）2=r 2；②又直线x ﹣y+1=0截圆所得的弦长为，且圆心（a ，b ）到直线x ﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r 2﹣d 2=，即r 2﹣（）2=③；由方程①②③组成方程组，解得；∴所求圆的方程为（x ﹣1）2+（y+1）2=5．故答案为：（x ﹣1）2+（y+1）2=5．15．【答案】．【解析】解：根据点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），可得A 、B 的直角坐标分别是（3，）、（﹣，），故AB 的斜率为﹣，故直线AB 的方程为 y ﹣=﹣（x ﹣3），即x+3y ﹣12=0，所以O 点到直线AB 的距离是=，故答案为：．【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．16．【答案】①②④ 【解析】17．【答案】3π 【解析】3π. 考点：直线方程与倾斜角．18．【答案】[]1,1- 【解析】考点：向量运算．【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）e x=0，所以x2+mx+m=0．因为函数f（x）没有零点，所以△=m2﹣4m＜0，所以0＜m＜4．（2）f'（x）=（2x+m）e x+（x2+mx+m）e x=（x+2）（x+m）e x，令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m，当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣m）﹣m （﹣m，﹣2）﹣2 （﹣2，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗me﹣m↘（4﹣m）e﹣2↗当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣m．当m=2时，f'（x）=（x+2）2e x≥0，f（x）在R上为增函数，所以f（x）无极大值．当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣m）﹣m （﹣m，+∞）f'（x）+0 ﹣0 +f（x）↗（4﹣m）e﹣2↘me﹣m↗当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣2，所以（3）当m=0时，f（x）=x2e x，令ϕ（x）=e x﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e x﹣1，当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．所以φ（x）≥φ（0）=0，e x﹣1﹣x≥0，所以e x≥1+x，因此x2e x≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．20．【答案】【解析】解：（1）由题意，=（2x+3）（2x﹣3）+3y2=3，可化为4x2+3y2=12，即：；∴点P的轨迹方程为；（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得：（4+3k2）x2+6kx﹣9=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|AB|=•|x1﹣x2|==，∴k=±，∴直线l的方程y=±x+1．【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．21．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，∴B1C1⊥平面ABB1A1；∵A1B⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥A1B．又∵A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，∴A1B⊥平面ADC1B1，∵A1B⊂平面A1BE，∴平面ADC1B1⊥平面A1BE；（Ⅱ）证明：连接EF ，EF ∥，且EF=，设AB 1∩A 1B=O ，则B 1O ∥C 1D ，且，∴EF ∥B 1O ，且EF=B 1O ， ∴四边形B 1OEF 为平行四边形． ∴B 1F ∥OE ．又∵B 1F ⊄平面A 1BE ，OE ⊂平面A 1BE ， ∴B 1F ∥平面A 1BE ，（Ⅲ）解：====．22．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．∴DE DC BC BA =BC AB=，则24BC AB DE =⋅=，∴2BC =． ∴在Rt ABC ∆中，12BC AB =，∴30BAC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴在Rt ABD ∆中，30ABD ∠=︒，所以122AD AB ==．23．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(1,)k -+∞，单调递减区间为(,1)k -∞-，1()(1)k f x f k e -=-=-极小值，无极大值；（2）2k ≤时()(1)(1)f x f k e ==-最小值，23k <<时1()(1)k f x f k e -=-=-最小值，3k ≥时，2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；（3）2e λ≤-.【解析】（2）当11k -≤，即2k ≤时，()f x 在[]1,2上递增，∴()(1)(1)f x f k e ==-最小值；当12k -≥，即3k ≥时，()f x 在[]1,2上递减，∴2()(2)(2)f x f k e ==-最小值；当112k <-<，即23k <<时，()f x 在[]1,1k -上递减，在[]1,2k -上递增， ∴1()(1)k f x f k e -=-=-最小值．（3）()(221)xg x x k e =-+，∴'()(223)xg x x k e =-+，由'()0g x =，得32x k =-，当32x k <-时，'()0g x <；当32x k >-时，'()0g x >，∴()g x 在3(,)2k -∞-上递减，在3(,)2k -+∞递增，故323()()22k g x g k e -=-=-最小值，又∵35,22k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]30,12k -∈，∴当[]0,1x ∈时，323()()22k g x g k e -=-=-最小值，∴()g x λ≥对[]0,1x ∀∈恒成立等价于32()2k g x e λ-=-≥最小值；又32()2k g x e λ-=-≥最小值对35,22k ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立．∴32min (2)k ek --≥，故2e λ≤-．1考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.24．【答案】【解析】解（1）原式=======﹣1．（2）∵tan（﹣α）=﹣tanα，sin（﹣α）=cosα，cos（α﹣π）=cos（π﹣α）=﹣sinα，tan（π+α）=tanα，∴原式=+=+==﹣=﹣1．【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力．25．【答案】【解析】解：（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，…∴椭圆方程为：．…（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0…则，于是…又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．∴…由m≠0得：又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）…设原点O到直线的距离为d，则∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）…【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，弦长公式以及三角形的面积的表式，考查转化思想以及计算能力．26．【答案】【解析】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，=，，所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，因为以AB为直径的圆经过原点O，所以∠AOB=90°，即，所以，解得k=﹣，即所求直线l的方程为y=﹣．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），则由（1）得，，所以线段AB的中垂线方程为，令y=0，得==，又由（1）知k＜，且k≠0，得或，所以，所以=，所以△POQ面积的取值范围为（2，+∞）．【点评】本题考查直线l的方程的求法和求△POQ面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。

贵州省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

一、单选题1．设集合，集合N 为函数的定义域，则（）{}|12M x x =-≤≤()lg 1y x =-M N ⋂=A ． B ． C ． D ． ()12，[]12，[)12，(]12，【答案】D【分析】根据对数的真数为正数化简集合，进而由集合的交运算即可求解. (1,)N =+∞【详解】由，所以， 101x x ->⇒>(1,)N =+∞又，所以， {}|12M x x =-≤≤(]1,2M N = 故选:D2．若，则（） 43z i =-zz =A ．1 B ．-1C ．D ．4355i +4355i -【答案】C【分析】根据共轭复数与模长的求解计算即可.【详解】因为,故. 43z i =-4355z i z==+故选：C.3．已知椭圆中，长轴长为10 ）22221(0)x y a b a b +=>>A ．B ．10C ．D ．【答案】A【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.【详解】，所以；又因为 210a = 5a =c e a ==得c =2c =故选：A.4．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（） l αβA ．若，，则 //l α//l β//αβB ．若，，则 αβ⊥l α⊥l β⊥C ．若，，则 αβ⊥//l αl β⊥D ．若，，则 //l αl β⊥αβ⊥【答案】D【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A ；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B ；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C ；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D ；【详解】对于选项A ：若，，则或与相交，故选项A 不正确； //l α//l β//αβαβ对于选项B ：若，，则或，故选项B 不正确；αβ⊥l α⊥//l βl β⊂对于选项C ：若，，则或或与相交，故选项C 不正确；αβ⊥//l α//l βl β⊂l β对于选项D ：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，设，则，所以//l αl γm γα= //m l ，再由面面垂直的判定定理可得，故选项D 正确；m β⊥αβ⊥故选：D5．已知{}是等差数列，且，则=（） n a 466,4a a ==10a A ．2 B ．0C ．D ．2-4-【答案】B【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，由，即，解得. {}n a 1a d 4664a a =⎧⎨=⎩113654a d a d +=⎧⎨+=⎩191a d =⎧⎨=-⎩所以，所以. 1(1)9(1)10n a a n d n n =+-=--=-+1010100a =-+=故选：B6．已知点P （x ,y ）是曲线上的一动点，则点P （x ,y ）到直线的距离的最小值为2y x =240x y --=（） ABCD ．35【答案】C【分析】当曲线在点P 处的切线与已知直线平行时点P 到该直线的距离最小，结合导数的几何意义和点到直线的距离公式计算即可求解.【详解】当曲线在点P 处的切线与直线平行时，点P 到该直线的距离最小，240x y --=，2y x '=由直线的斜率，则， 240x y --=2k =22x =得，有，所以， 1x =21y x ==(1,1)P ∴到直线距离. (1,1)P 240x y --=d ==故选：C.7．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（）A ．B ．C ．D ．22sin 1xy x =+321x xy x -=+22cos 1x xy x =+3231x xy x -+=+【答案】D【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC ；利用导数和零点的存在性定理研究函数的单调性，结合图形即可判断D. 【详解】A ：设，由得， ()22sin 1x f x x =+π3π2<<sin 30>则，结合图形，不符合题意，故A 错误； ()2sin 33010f =>B ：设，则，结合图形，不符合题意，故B 错误；()321x xg x x -=+()10g =C ：设，当时，，，22cos ()1x x h x x =+π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos [0,1]x ∈212x x +≥所以，即， 222cos 20111x x xx x ≤≤≤++0()1h x ≤≤当且仅当时等号成立，结合图形，不符合题意，故C 错误；1x =D ：设，则， 323()1x xu x x -+=+(0)x >422263()(1)x x u x x --+'=+(0)x >设，则，42()63v x x x =--+(0)x >3()4120v x x x '=--<所以函数在上单调递减，且， ()v x (0,)+∞(0)30,(1)40v v =>=-<故存在，使得，0(0,1)x ∈0()0v x =所以当时，即，当时，即，0(0,)x x ∈()0v x >()0u x '>0(,)x x ∈+∞()0v x <()0u x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，结合图形，符合题意，故D 正确. ()u x 0(0,)x 0(,)x +∞故选：D.8．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足，则的最大值为222sin 2sin 3sin C A B =-tan B （） ABCD ．54【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理表示，结合基本不等式求得的取值范围，从而求得cos B cos B 的取值范围，即得.tan B 【详解】依题意，222sin 2sin 3sin C A B =-由余弦定理得，， 22223c a b =-2222133b ac =-所以 222222222222114143333cos 2226a c a c a ca cb ac B ac ac ac ac+-+++-+====⋅，当且仅当时等号成立， 1263≥=2a c =即为锐角，，， B 2cos 13B ≤<22419cos 1,19cos 4B B ≤<<≤，222222sin 1cos 15tan 10,cos cos cos 4B B B B B B -⎛⎤===-∈ ⎥⎝⎦所以. tan B 故选：B.二、多选题9．下列说法正确的是（） A ．直线在y 轴上的截距为2 24y x +=B ．直线必过定点（2,0） ()20R ax y a a --=∈C ．直线的倾斜角为10x +=2π3D ．过点且垂直于直线的直线方程为 ()2,3-230x y -+=210x y ++=【答案】BD【分析】根据直线的截距式方程即可判断A ，根据直线恒过定点的求法即可判断B ，根据直线斜率的定义即可判断C ，根据垂直直线斜率之积为-1，结合直线的点斜式方程即可判断D. 【详解】A ：直线在轴上的截距为，所以A 不正确； 24y x +=y 2-B ：由，得，20ax y a --=(2)0x a y --=令，解得：，所以该直线恒过定点，故B 正确；200x y -=⎧⎨=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C ：设直线的倾斜角为，，斜率为 10x +=α(]0,απ∈由，故C 错误；tan α=56πα=D ：由直线，得该直线的斜率为，230x y -+=12所以过点且垂直于直线的直线斜率为， (2,3)-230x y -+=2故其方程为，即，故D 正确. 32(2)y x -=-+210x y ++=故选：BD.10．斜率为1的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于两点则下24y x =()()1122,,,A x y B x y 列结论正确的有（） A ．B ．抛物线的准线方程为 (1,0)F 1y =-C ．D ．3OA OB ⋅=-10AB =【答案】AC【分析】由抛物线的性质判断AB ；联立直线l 和抛物线方程，利用韦达定理，以及数量积公式、抛物线的定义判断CD.【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，所以A 正确，B 不正确.24y x =(1,0)F =1x -由，消去得：，所以， 214y x y x=-⎧⎨=⎩y 2610x x -+=126x x +=121=x x 所以，所以C 正确； 121212121212(1)(1)2()13OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=- 所以，所以D 不正确. 12||28AB x x =++=故选：AC11．已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且函数()()cos (0,2f x x πωϕωϕ=+><π2是奇函数，则下列判断正确的是（）π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．函数f （x ）的最小正周期为B ．函数f （x ）的图像关于点（，0）对称 ππ6C ．函数f （x ）在上单调递增D ．函数f （x ）的图像关于直线对称 3ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π12=-x 【答案】ABD【分析】利用函数图像相邻两条对称轴之间的距离为和函数是偶函数，求出π2π()3f x -，从而可判断选项A 正确；再利用余弦函数的图像与性质，可以判断出选项()cos(2π)6=+f x x BCD 的正误.【详解】因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则，π2π22T =πT ∴=又，2π,0T ωω=>2ω∴=又函数是偶函数，因为， π()3f x -ππ2π()cos(2())cos(2)333f x x x ϕϕ-=-+=-+所以，即， 2πππ(Z)32k k ϕ-+=+∈7ππ(Z)6k k ϕ=+∈又，，则.π2ϕ<π6ϕ∴=()cos(2π)6=+f x x 函数最小正周期，故选项A 正确； πT =函数图像对称点的横坐标为：，即， ππ2π(Z)62x k k +=+∈ππ(Z)62k x k =+∈令时，，故选项B 正确； 0k =π6x =又由：，得到 ππ2π22π(Z)6k x k k -+≤+≤∈7ππππ(Z)1212k x k k -+≤≤-+∈所以函数的单调增区间为：， ()cos(2π)6=+f x x 7πππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦令时，得到一个增区间为： 1k =-5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选项C 错误；函数图像的对称所在直线方程为；， πππ2π,(Z)6122k x k x k +==-+∈令时，，故选项D 正确. 1k =-7π12=-x 故选：ABD12．将全体正整数按照以下排列的规律排成一个三角形数阵，下列结论正确的是（）A ．第8行最右边的数为38B ．第10行从右向左第个5数为51C ．第10行所有数的和为505D ．第64行从左向右第7个数为2023 【答案】BCD【分析】根据三角数阵可知第行共有个数，且第行的最后一个数字是：，即为n n n 123n ++++ .结合等差数列前n 项求和公式计算，依次判断选项即可. (1)2n n +【详解】由三角形数阵可知， ①第行共有个数；n n ②第行的最后一个数字是：，即为. n 123n ++++ (1)2n n +A ：因为，故A 错误； 1234567836+++++++=B ：因为，1234567891055+++++++++=所以第行中的个数字依次为.故B 正确； 101046,47,48,49,50,51,52,53,54,55C ：由，故C 正确；()5545104655464748495051525354555052S S ⨯+-=+++++++++==D ：由，知第行最后的一个数为；()6316312346320162⨯++++++== 632016所以第行中的数字从左到右依次为642017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024，，第7个数为2023，故D 正确. L 故选：BCD.三、填空题13．已知函数的最小正周期为，则___________. ()()sin 0f x x ωω=>πω=【答案】2【分析】利用正弦型函数的周期公式可求得的值.ω【详解】因为函数的最小正周期为，则. ()()sin 0f x x ωω=>π2π2πω==故答案为：.214．已知直线和圆相交于、两点，则弦长:210l x y --=22:210C x y y +--=A B AB =__________．【详解】由圆方可知其圆心坐标为，半径∴C (0,1)r =d. AB ===点睛：本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式.15．已知双曲线，若过右焦点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个22221(0,0)x y a b a b-=>>30 交点，则此双曲线离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程的斜率需小于直线的斜率，得，结合b y x a =b <.b =【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， by x a=±要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， by x a=即，即，由tan 30b a ︒<=b <b =，整理得，所以 <2234c a <c e a =<因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是， 1e >故答案为：． 16．已知三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径若平面平面S ABC -.SCA ⊥SCB ，，，三棱锥的体积为9，则球O 的表面积为______． SA AC =SB BC =S ABC -【答案】36π【详解】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9，可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ，可得，解得r=3. 112932r r r ⨯⨯⨯⨯=球O 的表面积为： .2436r ππ=点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.四、解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足，. 13a =123n n S a ++=（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若等差数列{b n }的前n 项和为T n ，且，，求数列的前n 项和Q n ．11T a =33T a =11{}n n b b +【答案】（1）（2）3nn a =9(21)nn +【分析】（1）根据数列的通项与的关系，化简求得，得到数列是首项为n a n S 13()n n a a n N ++=∈{}n a 3、公比为3的等比数列，即求解通项公式；（2）由（1）可得，得到，利用裂项法，3(21)n b n =-()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭即可求解．【详解】（1）当时，得， 1n =29a =由，得，123n n S a ++=123(2)n n S a n -+=≥两式相减得，又，∴，112()n n n n S S a a -+-=-1n n n S S a --=13(2)n n a a n +=≥又，∴，显然， 213a a =13()n n a a n N ++=∈10,3n n na a a +≠=即数列是首项为3、公比为3的等比数列，∴；{}n a 1333n nn a -=⨯=（2）设数列的公差为，则有，{}n b d 13b =由得，解得，∴，33T a =13327b d +=6d =3(1)63(21)n b n n =+-⨯=-又， ()()11111192n 12n 1182n 12n 1n n b b +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴==． n 111111Q 1183352n 12n 1⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111182n 1⎛⎫- ⎪+⎝⎭()n 92n 1+【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等.18．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足.222sin sin sin sin sin A B C B C --=(1)求角A ；(2)若，求△ABC 周长的取值范围. 6a =【答案】(1) 2π3A =(2)(12,6+【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，由余弦定理即可求解，222a b c bc --=（2）根据正弦定理得，由内角和关系以及和差角公式可得b B=1sin 2c B B ⎫=-⎪⎪⎭，进而由三角函数的性质即可求解.【详解】（1）由正弦定理可得：，222a b c bc --=，， 2221cos 22c b a A bc +-∴==-()0,πA ∈ 2π3A ∴=（2）因为，，所以，故πA B C ++=2π3A =π3B C +=ππ(0)33C BB =-<<由正弦定理得： 62πsin sin sin sin3a bc A B C====所以，b B=π1sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以周长 ABCA 1π6sin 623a b cB B B B ⎫⎛⎫=++=++-=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为，则π03B <<ππ2π<333B <+πsin 13B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭故π12663B ⎛⎫<++≤+ ⎪⎝⎭求周长的取值范围为.ABC A (12,6+19．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.3 10.0 10.29.99.810.0 10.1 10.29.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．x y 21s 22s（1）求，，，；x y 21s 22s（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设221210,10.3,0.036,0.04x y s s ====备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断. 【详解】（1）， 9.810.31010.29.99.81010.110.29.71010x +++++++++==， 10.110.410.11010.110.310.610.510.410.510.310y +++++++++==， 22222222210.20.300.20.10.200.10.20.30.03610s +++++++++==. 222222222220.20.10.20.30.200.30.20.10.20.0410s +++++++++==（2）依题意，， 0.320.15y x -==⨯===，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. y x -≥20．设函数，其中.22()3ln 1f x a x ax x =+-+0a >（1）讨论的单调性；()f x （2）若的图象与轴没有公共点，求a 的取值范围.()y f x =x 【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭1a e >【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据及（1）的单调性性可得，从而可求a 的取值范围.()10f >()min 0f x >【详解】（1）函数的定义域为，()0,∞+又， ()23(1)()ax ax f x x+-'=因为，故，0,0a x >>230ax +>当时，；当时，； 10x a<<()0f x '<1x a >()0f x '>所以的减区间为，增区间为. ()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭（2）因为且的图与轴没有公共点，()2110f a a =++>()y f x =x 所以的图象在轴的上方，()y f x =x 由（1）中函数的单调性可得， ()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭故即. 33ln 0a +>1a e>【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化. 21．如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正切值.M ABC -【答案】(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）证得平面，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；DM ⊥BMC （2）当在的中点位置时体积最大，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即M A AB 可求出结果.【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.CMD ⊥ABCD CD 因为，平面，BC CD ⊥BC ⊂ABCD 所以平面，平面，BC ⊥CMD DM ⊂CMD 故,因为是上异于，的点，且为直径， BC DM ⊥M A CDC D DC 所以，又，平面，DM CM ⊥BC CM C =I ,BC CM ⊂BMC 所以平面，而平面，DM ⊥BMC DM ⊂AMD故平面平面；AMD ⊥BMC （2）以D 为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间DA x DC y 直角坐标系.D xyz -当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为的中点.CD 由题设得，()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,1,1D A B C M()()()2,1,1,0,2,0,2,0,0AM AB DA =-==设是平面MAB 的法向量，则(),,n x y z = 即，可取， 00n AM n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y z y -++=⎧⎨=⎩()1,0,2n = 又是平面的一个法向量，因此 DAMCD， cos ,n DA n DA n DA ⋅=== []0π,,n DA ∈ 得， sin ,n DA = tan ,2n DA = 所以面与面所成二面角的正切值是.MAB MCD 222．已知椭圆的左，右焦点分别为、，离心率为，直线l 经过点2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 122F 且与椭圆C 交于不同两点A ，B ，当A 是椭圆C 上顶点时，l 与圆相切.223x y +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求的取值范围.11F A F B ⋅ 【答案】(1) 2211612x y +=(2)[]12.7-【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可；22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩（2）当直线的斜率不存在时，易得；当直线的斜率存在时，设直线方程为l 117F A F B ⋅= l ，，，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示可得(2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y ，令得，结合不等式的性质计算即可求解. 11F A F B ⋅= 22283634k k -+2343t k =+≥11577F A F B t ⋅=- 【详解】（1）当A 为椭圆的上顶点时，直线l 与圆相切，则圆心到直线l ，a =有，得，1122bc a =bc =则，解得22212bc c e a c a b⎧=⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩4,a b ==所以椭圆的标准方程是； C 2211612x y +=（2）由（1）知，则椭圆的左焦点，当直线的斜率不存在时，2c =1(2,0)F -l 易求得，，则；(2,3)A (2,3)B -11443(3)7F A F B ⋅=⨯+⨯-= 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，. l (2)y k x =-11(,)A x y 22(,)B x y 由，消得，， ()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y 2222(34)1616480k x k x k +-+-=， 21221634k x x k ∴+=+2122164834k x x k-=+ 21112121212(2)(2)(2)(2)(2)(2)F A F B x x y y x x k x x ⋅=+++=+++--2221212(1)2(1)()4(1)k x x k x x k =++-+++， 2222222221648162836(1)2(1)4(1)343434k k k k k k k k k --=+⨯+-⨯++=+++令，则， 2343t k =+≥2112283675757734k t F A F B k t t--⋅===-+ ，，， 3t ≥ 1103t <≤571277t -≤-<综上可知，的取值范围是. 11F A F B ⋅ []12,7-。

2019年华二高二第一学期月考数学试卷

华二附中高二月考数学卷2019.12一. 填空题1. 已知一个关于x 、y 的线性方程组的增广矩阵为112012⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -的值为 2. 已知直线l 的倾斜角为α，若4cos 5α=-，则直线l 的斜率为 3. 椭圆22:431C x y +=的长轴长为4. 已知非零向量a r 、b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为5. 经过原点(0,0)O 和点(1,1)P 且圆心在直线2310x y ++=上的圆的方程为6. 已知点1(2,3)P ，2(4,5)P -，则过点(1,2)A -且与点1P 、2P 距离相等的直线方程为7. 若方程0x y m +-=表示一条直线，则m 的取值范围是8. 已知过焦点且倾斜角为arctan2的直线l 与椭圆22:14x C y +=相交于A 、B 两点，则弦长||AB 的值为9. 已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，斜率为32的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点且满足||||4AF BF +=，则直线l 的方程为10. 已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是11. 已知圆22:4C x y +=，斜率为k 的直线l 过点(0,1)F 与x 轴交于点E ，与圆C 交于点M 、N ，若EM pFM =uuu r uuu r ，EN qFN =uuu r uuu r ，则p q +的取值集合为12. 已知以(0,1)A 为圆心的圆与椭圆2221x y a+=（1a >）至多有3个公共点，则实数a 的取值范围为二. 选择题13. 点(3,4)A -关于直线20x y +-=的对称点是：（）A. (3,4)-B. (2,1)-C. (2,5)-D. (5,2)-14. 设点A 、B 、C 不共线，则“AB uu u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>uu u r uuu r uu u r ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于A 、B 两点，若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（） A. 2212x y += B. 22132x y += C. 22143x y += D. 22154x y += 16. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =（）A. B. 4C. D. 6三. 解答题17. 已知直线:38240l x y --=.（1）写出直线的截距式方程；（2）若直线21:0l x a y --=与直线l 平行，求a 的值.18. 已知圆22:(2)1C x y ++=，(,)P x y 为圆上任一点.（1）求21y x --的最大值；（2）求2x y -的最小值.19. 已知三条直线1:20l x y a -+=（0a >），2:4210l x y -++=，和3:10l x y +-=，且1l 与2l（1）求a 的值及1l 和3l 夹角. （2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：① P 是第一象限的点；② P 点到1l 的距离是P 点到2l 的距离的12；③ P 点到1l 的距离与P 点到3l；若能，求P 点坐标，若不能，说明理由.20. 如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4y kx =-（0k >）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于点P .（1）若PA AB =uu r uu u r ，求k 的值；（2）求证：AFP BFO ∠=∠；（3）求△ABF 面积的最大值.21. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的右焦点为F ，长轴长为4，O 为坐标原点，A 为椭圆Γ上一点，M 为线段OA 上的动点，过M 的直线与椭圆Γ交于P 、Q 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若PM MQ =uuu r uuu r ，证明：直线OA 的斜率与直线PQ 的斜率之积为定值；（3）若2PM MQ =uuu r uuu r ，求四边形OPAQ 面积的最大值.参考答案一. 填空题1. 2-2. 34- 3. 4. 3π 5. 22(4)(3)25x y -++= 6. 350x y +-=或1x =- 7. [0,1]8. 2017 9. 31123y x =+10.11. 8{}3 12.二. 选择题13. C 14. C 15. B16. C三. 解答题17.（1）183x y -=；（2）3-.18.（1；（2）2-19.（1）3a =，arctan3π-；（2）137(,)918P .20.（1）k =（2）证明略：（3.21.（1）2214x y +=；（2）14-；（3）32.。

吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析

吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣52．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为05．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或19．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x）dx= ．14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）= ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．吉林省吉林市舒兰一中2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=3x﹣4 B．y=﹣3x+2 C．y=﹣4x+3 D．y=4x﹣5【考点】导数的几何意义．【分析】首先判断该点是否在曲线上，①若在曲线上，对该点处求导就是切线斜率，利用点斜式求出切线方程；②若不在曲线上，想法求出切点坐标或斜率．【解答】解：∵点（1，﹣1）在曲线上，y′=3x2﹣6x，=﹣3，即切线斜率为﹣3．∴y′|x=1∴利用点斜式，切线方程为y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故选B．2．下列求导结果正确的是（）A．（1﹣x2）′=1﹣2x B．（cos30°）′=﹣sin30°C．[ln（2x）]′=D．（）′=【考点】导数的运算．【分析】按照基本初等函数的求导法则，求出A、B、C、D选项中正确的结果即可．【解答】解：对于A，（1﹣x2）′=﹣2x，∴A式错误；对于B，（cos30°）′=0，∴B式错误；对于C，[ln（2x）]′=×（2x）′=，∴C式错误；对于D， ===，∴D式正确．故选：D．3．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等．在以上三段论的推理中（）A．推理形式错误B．结论错误C．小前提错误 D．大前提错误【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据演绎推理的方法进行判断，首先根据判断大前提的正确与否，若正确则一步一步往下推，若错误，则无需往下推；【解答】解：∵菱形四条边相等，对角线垂直，但对角线不一定相等，∴对于菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等这段推理，首先大前提错误，故选D．4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．5．由曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．2 D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由，可得或∴曲线y2=x与直线所围成的封闭图形的面积为：（﹣x+）dx=（﹣x2+x）=．故选B．6．一质点运动时速度与时间的关系为v（t）=t2﹣t+2，质点作直线运动，则此物体在时间[1，2]内的位移为（）A．B．C．D．【考点】定积分的简单应用．【分析】对速度求定积分求出的是物体的运动位移；利用微积分基本定理求出定积分值即位移．【解答】解：s=（t2﹣t+2）dt===．故选A7．设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．8．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．【考点】点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x﹣2的最小距离．【解答】解：过点P作y=x﹣2的平行直线，且与曲线y=x2﹣lnx相切，设P（x0，x2﹣lnx）则有k=y′|x=x0=2x﹣．∴2x0﹣=1，∴x=1或x=﹣（舍去）．∴P（1，1），∴d==．故选B．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；函数的图象．【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果．【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0；当x=﹣2时，f′（x）=0；当x＜﹣2时，f′（x）＜0．∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x=﹣2时，xf′（x）=0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．故选A．11．若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f（x）在下列区间单调递增的是（）A．（﹣2，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】本题先根据导函数在区间（1，2）上有零点，得到b的取值范围，再利用b的取值范围，求出函数的单调增区间，结合b的取值范围，选择符合题意的选项．【解答】解：∵函数∴∵函数的导函数在区间（1，2）上有零点∴当时，b=x2，x∈（1，2）∴b∈（1，4）令f'（x）＞0 得到即f（x）的单调增区间为（﹣∞，），（）∵b∈（1，4）∴（﹣∞，﹣2）适合题意故选D12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】导数的运算．【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，即x ＜﹣2016，故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分）13．（x+cos2x ）dx= 0 ．【考点】定积分．【分析】方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=sin π=0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，由定积分的性质， xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2sin π=0．【解答】解：方法一：由（x+cos2x ）dx=（x 2+sin2x ）=（）2+sin2（）﹣[（﹣）2+sin2（﹣）]=sin π=0，（x+cos2x ）dx=0，故答案为：0；方法二：（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx ，由y=x 为奇函数，y=cos2x 为偶函数，∴由定积分的性质，xdx=0， cos2xdx=2cos2x=2（sin2x ）=2sin π=0，∴（x+cos2x ）dx=xdx+cos2xdx=0，14．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．15．已知函数f（x）=﹣+4x﹣3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是0＜t＜1或2＜t＜3 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先由函数求f′（x）=﹣x+4﹣，再由“函数在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=﹣x+4﹣=0在区间[t，t+1]上有解”从而有在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．【解答】解：∵函数∴f′（x）=﹣x+4﹣∵函数在[t，t+1]上不单调，∴f′（x）=﹣x+4﹣=0在[t，t+1]上有解∴在[t，t+1]上有解∴g（x）=x2﹣4x+3=0在[t，t+1]上有解∴g（t）g（t+1）≤0或∴0＜t＜1或2＜t＜3．故答案为：0＜t＜1或2＜t＜3．16．已知函数y=f（x）的导函数为f′（x）且f（x）=x2f′（）+sin x，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x2f′（）+sin x，∴f′（x）=2xf'（）+cosx令x=，则f′（）=2×f'（）+cos则f′（）=，故答案为：三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．（1）求a、b、c的值；（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，可得4a+3b+4=0．②由①、②解得a=2，b=﹣4．由于l上的切点的横坐标为x=1，∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．∴c=5．（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，∴f′（x）=3x2+4x﹣4．令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．在x=处取得极小值f=．又f（﹣3）=8，f（1）=4．∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．18．已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数f′（x），易判断x＞1时f′（x）的符号，从而可知f（x）的单调性，根据单调性可得函数的最值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则只需证明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为F（x）的最大值小于0，利用导数可求得F（x）的最大值．【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．19．已知函数f（x）=xlnx（e为无理数，e≈2.718）（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；（2）设实数，求函数f（x）在[a，2a]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（e），f′（e）的值，从而求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，f（e）=e又f'（e）=2，∴函数y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y=2（x﹣e）+e，即y=2x﹣e﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，，时，F'（x）＜0，f（x）单调递减；当时，F'（x）＞0，f（x）单调递增．当，…..20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．21．已知函数f（x）=ax2+x﹣xlnx，（1）若a=0，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；（2）由已知，求得f（x）=x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x恒成立转化为恒成立．构造函数，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=x﹣xlnx，函数定义域为（0，+∞）．f'（x）=﹣lnx，由﹣lnx=0，得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函数．x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x2+x﹣xlnx，由f（x）≥bx2+2x，得（1﹣b）x﹣1≥lnx，又∵x＞0，∴恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令，可得，∴g（x）在（0，1]上递减，在[1，+∞）上递增．=g（1）=0∴g（x）min即b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，x＞﹣1且x≠0，证明：g（x）＜1．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用函数的导数和最值之间的关系，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函数的单调性，证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xe x．当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．∴f（x）的最大值为f（0）=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜1等价于设f（x）＞x．设h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=﹣xe x﹣1．当x∈（﹣1，0）时，0＜﹣x＜1，＜e x＜1，则0＜﹣xe x＜1，从而当x∈（﹣1，0）时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]单调递减．当﹣1＜x＜0时，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＜1．综上，总有g（x）＜1．。

安徽省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知数列的前4项为：l ，，，，则数列的通项公式可能为{}n a 12-1314-{}n a A ． B ．1n a n=1n a n=-C ．D ．(1)nn a n -=1(1)n n a n--=【答案】D【分析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式【详解】正负相间用表示，∴．1(1)n --1(1)n n a n--=故选D ．【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律． 2．若为数列的前项和，且，则（）n S {}n a n 1n nS n =+51a =A ．B ．C ．D ．305665130【答案】D【分析】根据公式直接求出，进一步求出答案. 1n n n a S S -=-5a 【详解】∵ 5545454151416530=-=-=-=++a S S ∴. 5130a =故选：D.【点睛】本题考查数列前项和与通项公式的关系，属于基础题. n 3．已知数列满足，，则（）{}n a 13a =()111n n a a n n +=++n a =A ．B ．C ．D ．14n +14n -12n +12n-【答案】B【分析】由，利用累加法得出. 1111n n a a n n +-=-+n a 【详解】由题意可得，()111111n n a a n n n n +-==-++所以，，…，， 21112a a -=-321123a a -=-1111n n a a n n--=--上式累加可得()()()121321--=-+-++- n n n a a a a a a a a，111111112231=-+-++-=-- n n n 又，所以.13a =14=-n a n故选：B .4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则 n n a 3456719a a a a a a a ++++--=A ． B ． C ． D ．466992138【答案】B【详解】由题意得数列成等差数列，公差为-3，所以9111998(3)20735;2S a a =+⨯⨯⨯-=∴= 选B.3456719a a a a a a a ++++--=131269.a d +=5．已知在数列中，且，设为的前项和，若，则{}n a *11(n n a a n N -=+∈2)n ≥n S {}n a n 972S =9a =（） A ． B ． C ． D ．8121636【答案】B【分析】由题意得到数列是以公差为的等差数列，根据，求得的值，{}n a 1()9195992S a a a =+=5a 然后利用，即可求解．954a a d =+【详解】因为在数列中，且，{}n a *11(n n a a n N -=+∈2)n ≥可得且，所以数列是以为公差的等差数列，*11(n n a a n N --=∈2)n ≥{}n a 1d =又因为为的前项和，且， n S {}n a n 972S =所以，解得， ()919599722S a a a =+==58a =又由，所以． 9544a a d -==95412a a =+=故选：B ．6．已知数列的前项和为，，且，，则当取得最大值时，{}n a n n S 212n n n a a a +++=113a =211a =n Sn =A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由题意，可得数列为等差数列，求得数列的通项公式为，进而得到当{}n a {}n a 152n a n =-时，，当时，，即可得到答案. 17,n n N +≤≤∈0n a >8,n n N +≥∈0n a <【详解】由题意，数列满足，即， {}n a 212n n n a a a +++=211n n n n a a a a +++-=-所以数列为等差数列，{}n a 设等差数列的公差为，则，{}n a d 222d a a =-=-所以数列的通项公式为， {}n a 2(1)13(1)(2)152n a a n d n n =+-=+-⨯-=-令，即，解得， 0n a ≥1520n -≥152n ≤所以当时，，当时，， 17,n n N +≤≤∈0n a >8,n n N +≥∈0n a <所以数列中前项的和最大，故选C.{}n a 77S 【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式的应用，以及前n 项和的最值问题，其中解答中根据等差数列的中项公式，得出数列为等差数列，得出等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．根据全球摩天大楼的统计，至2019年，安徽省合肥市的摩天大楼已经有95座在中国城市中排名第10位，全球排名第15位，目前合肥恒大中心建设中的最高楼，外形设计成了“竹节”的形态，既体现了力量超凡，又象征着向上生长的强烈意志，更预示了未来的繁荣和兴旺.它与传承千年的“微文化”相得益彰，建成后将跻身世界十大摩天大楼之列，若大楼由9节“竹节”组成，最上部分的4节高228米，最下部分3节高204米，且每一节高度变化均匀（即每节高度自上而下成等差数列），则该摩天大楼的总高度为（） A ．518米 B ．558米C ．588米D ．668米【答案】B【分析】根据题意，构造等差数列，求出数列的基本量，即可用公式求得其前项和. 9【详解】设大楼自上而下每一节高度构成等差数列， {}n a 设数列的首项为，公差为， 1a d 由题可知，496228,204S S S =-=，； 146228a d +=1321204a d +=联立方程组解得.154,2a d ==故可得. 91936549362558S a d =+=⨯+⨯=故选：B.【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量的计算，属基础题；本题的难点是要根据题意提取信息.8．设是等比数列，且，，则（） {}n a 1231a a a ++=234+2a a a +=678a a a ++=A ．12 B ．24 C ．30 D ．32【答案】D【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.q ()5678123a a a q a a a ++=++【详解】设等比数列的公比为，则， {}n a q ()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==因此，.()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．二、多选题9．数列的前项和为，且满足，，则下列说法正确的有（）{}n a n n S 11a =121n n n a n a n a +⎧⎪=⎨⎪⎩，是奇数，是偶数A ． B ．是周期数列 C ．D ．42a ={}n a 20222a =1820S =【答案】BC【分析】根据题意，分别求得，得到数列构成以为周期的周期数列，12345,,,,,a a a a a {}n a 11,2,,12逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列满足 {}n a 11211n n n a n a a n a +⎧⎪==⎨⎪⎩，为奇数，，，为偶数当时，； 1n =2122a a ==当时，； 2n =32112a a ==当时，；3n =4321a a ==当时，； 4n =5411a a ==当时，； 5n =6522a a ==当时，；， 6n =76112a a == 归纳可得数列构成以为周期的周期数列，所以A 不正确，B 正确；{}n a 11,2,,12又由，所以C 正确； 20225054222a a a ⨯+===因为，所以，所以D 错误．12341912122a a a a +++=+++=189412212S =⨯++=故选：BC ．10．已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（） {}n a n n S 110a =-13n n a a +=+A ．是递增数列B ．是数列中的项{}n a 10{}n a C ．数列中的最小项为 D ．数列是等差数列{}n S 4S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】ACD【分析】利用数列的单调性可判断A 选项；求出数列的通项公式，解方程，可判断B{}n a 10n a =选项；解不等式，可判断C 选项；求出数列的通项公式，利用等差数列的定义可判断0n a ≤n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D 选项.【详解】由已知，，所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 110a =-13n n a a +-={}n a 10-3所以，.()1031313n a n n =-+-=-对于A 选项，因为，所以，是递增数列，A 对； 13n n a a +-={}n a 对于B 选项，令，可得，B 错； 31310n a n =-=233n *=∉N 对于C 选项，令可得，所以，数列中的最小项为，C 对； 3130n a n =-≤133n ≤{}n S 4S 对于D 选项，，则， ()()2110313323222n n n a a n n n nS +-+--===3232n S n n -=所以，，()1312332331222n n n S Sn n n ++---=-=+故数列为等差数列，D 对.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：ACD.11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）{}n aA ．数列是等比数列 2{}n a B ．若则4123,27,a a ==89a =±C ．若则数列是递增数列 123,a a a <<{}n a D ．若数列的前n 和则r =-1 {}n a 13,n n S r -=+【答案】AC【解析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D.【详解】设等比数列公比为{}n a ,(0)q q ≠则，即数列是等比数列；即A 正确； 222112(n n n na a q a a ++==2{}n a 因为等比数列中同号，而所以，即B 错误；{}n a 4812,,a a a 40,a >80a >若则或，即数列是递增数列，C 正确； 123,a a a <<1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩1001a q <⎧⎨<<⎩{}n a 若数列的前n 和则{}n a 13,n n S r -=+111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-=所以，即D 错误32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-故选：AC【点睛】等比数列的判定方法 (1)定义法：若为非零常数)，则是等比数列； 1(n na q q a +={}n a (2)等比中项法：在数列中，且，则数列是等比数列；{}n a 0n a ≠212n n a a a a ++={}n a (3)通项公式法：若数列通项公式可写成均是不为0的常数)，则是等比数列；(,nn a cq c q ={}n a (4)前项和公式法：若数列的前项和为非零常数)，则是等比数n {}n a n (0,1,nn S kq k q q k =-≠≠{}n a 列.12．已知有一段路共有米，有一人从第二天起每天走的路程减半，天恰好走完了这段路则下1865.列说法正确的是（）A ．第一天走的路程比后四天走的路程多米B ．第二天走了米648C ．第三天走了全程的D ．后三天共走了米18144【答案】AB【分析】设此人第天走米，根据已知条件，结合等比数列的前项和公式，推出，即可依次n n a n n a 求解判断各项正误．【详解】设此人第天走米， n n a 则数列是首项为，公比为的等比数列， {}n a 1a 12q =因为，5186S =所以，解得，155112186112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-196a = ，11962n n a -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭对于A ，因为第一天走的路程为米， 96所以后四天走的路程为， 1869690-=因为，96906-=所以此人第一天走的路程比后四天走的路程多米，所以 A 正确； 6对于B ，由于，所以B 正确； 2196482a =⨯=对于C ，由于，，所以C 不正确； 3196244a =⨯=2411868>对于D ，由于，， 12144a a +=18614442-=所以后三天一共走了米，所以D 不正确． 42故选：AB ．三、填空题13．数列的前项和为，，则通项公式______．{}n a n n S 21nn S =+n a =【答案】 13122n n n -=⎧⎨≥⎩，，【分析】利用公式进行求解.1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，，【详解】由题知，当时，，1n =111213a S ==+=当时， ①2n ≥1121n n S --=+又 ②21nn S =+由②减去①有：，12n n a -=当不满足上式，所以. 1n =13122n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，，故答案为：. 13122n n n -=⎧⎨≥⎩，，14．《九章算术》卷七“盈不足”有这样一段话：“今有良马与弩马发长安至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里．日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．”意思是：今有良马与弩马从长安出发到齐国，齐国与长安相距3000里，良马第一日走193里，以后逐日增加13里，弩马第一日走97里，以后逐日减少0.5里．则8天后两马之间的距离为___________里．【答案】1146【分析】由题意，良马与驽马日行里数分别构成等差数列，由等差数列通项公式可得.【详解】良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数则构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，则两马同时出发后第8日，良马日行里数里)， 871938131908 (2⨯⨯+⨯=而驽马日行里数(里)， ()879780.57622⨯⨯+⨯-=所以良马较驽马日行里数多1908-762=1146里．故答案为：1146.【点睛】本题考查等差数列的应用，涉及等差数列的通项公式，属于基础题，理解题意是解题的关键.15．设等比数列的公比为，其前项和为，若，，则{}n a q n n S 2232S a =+4432S a =+q =__________．【答案】或1-32【分析】根据已知条件，由首项和公比列方程组求解．【详解】等比数列的公比为，若，，则， {}n a q 2232S a =+4432S a =+1q ≠则有，①，()11132a q a q +=+② 4311(1)32,1a q a q q-=+-②-①，化简可得：，解得或 2230q q --=1q =-32q =故答案为：或1-3216．已知数列的前项积为，，，，，则___． {}n a n n T 0n a ≠212n n n a a a ++=213a =59a =5T =【答案】1【分析】由已知得数列为等比数列，利用通项即可求得首项和公比，从而求得. {}n a 5T 【详解】由已知可得数列为等比数列，设等比数列公比为q,212n n n a a a ++={}n a 即9=，解得q=3,则，352,a a q =313q 119a =前项积 5123451010511111151319T a a q a q a q a q a q =⨯⨯⨯⨯==⨯=故答案为1【点睛】本题考查等比数列通项的应用，考查学生计算能力，属于基础题.四、解答题17．给出一个三角数阵：第一行 1第二行 23第三行4567第四行 89101112131415若等差数列的前项和为，，比数阵第八行所有数的个数多．{}()*N n a n ∈n n S 23a =12S 16(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)； 21n a n =-(2). 21n n T n =+【分析】（1）由等比数列通项公式求数阵第八行的数的的个数，设的的公差为，由条件列方{}n a d程求，由此可得数列的通项公式；d {}n a （2）利用裂项相消法求数列的前项和．11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【详解】（1）由数阵可知各行数的个数构成一个首项为，公比为的等比数列， 12所以数阵第行所有数的个数为． 872128=因为比数阵第行所有数的个数多， 12S 816所以，即． 1212816S -=12144S =设的的公差为， {}n a d 则，1211266144S a d =+=，解得，， 213a a d =+=2d =11a =所以 ()1121n a a n d n =+-=-；（2）因为，()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+所以． 11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭L 18．已知等差数列{an }的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为50. (1)求数列{an }的项数； (2)求a 21+a 22+…+a 30的值. 【答案】(1)50 (2)30【分析】（1）推导出（a 1+an ）+（a 2+an ﹣1）+（a 3+an ﹣2）+…+（a 10+an ﹣9）＝60，由等差数列性质知，a 1+an ＝a 2+an ﹣1＝a 3+an ﹣2＝…＝a 10+an ﹣9，从而10（a 1+an ）＝60，由此能求出数列{an }的项数.（2）推导出，由此能求出，从而能求出结果.112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩()212223302130102a a a a a a ++++=+ 【详解】（1）据题意，得a 1+a 2+a 3+…+a 10＝10，an +an ﹣1+an ﹣2+…+an ﹣9＝50， ∴（a 1+an ）+（a 2+an ﹣1）+（a 3+an ﹣2）+…+（a 10+an ﹣9）＝60，又据等差数列性质知，a 1+an ＝a 2+an ﹣1＝a 3+an ﹣2＝…＝a 10+an ﹣9， ∴10（a 1+an ）＝60，∴a 1+an ＝6，又，()11502n n a a +=∴n ＝50，即数列{an }的项数为50.（2）据（1）求解知，， 1501610910102a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩即， 112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩∴， 11120110a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴5（2a 1+49d ）30. ()212223302130102a a a a a a ++++=+= 11152492010⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭19．已知等比数列{an }中，an > 0，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{an }的通项公式；(2)设bn ＝log 2an ，求数列{bn }的前n 项和Sn .【答案】（1）an ＝．（2）Sn ＝．52n -()92n n -【分析】（1）利用等比数列通项公式、等比中项得到a 3a 5＝4，a 3+a 5＝5，从而a 3，a 5是方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，且a 3＞a 5，由此能求出数列{an }的通项公式．（2）推导出bn ＝log 2an 5﹣n ，由此能求出数列{bn }的前n 项和．52log 2n -==【详解】解：（1）∵在等比数列{an }中，，公比q ∈（0，1）， ()*0n a n N∈＞且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25，a 3与a 5的等比中项为2，∴(a 3+a 5)2＝25，， 2233552a a a a ++=23544a a a ==∴a 3a 5＝4，a 3+a 5＝5，即a 3，a 5是方程x 2﹣5x +4＝0的两个根，且a 3＞a 5，解方程x 2﹣5x +4＝0，得a 3＝4，a 5＝1，,,, 25314a q a ==12q =31216a a q ==∴数列{an }的通项公式an ＝16×＝． 11()2n -52n -（2）∵bn ＝log 2an 5﹣n ，52log 2n -==∴数列{bn }的前n 项和：Sn ＝5n ﹣（1+2+3+…+n ）＝5n ． ()()1922n n n n +--=20．年月日，小刘从各个渠道融资万元，在某大学投资一个咖啡店，年月日正20199125202011式开业，已知开业第一年运营成本为万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本6增加万元，若每年的销售额为万元，用数列表示前年的纯收入注：前年的纯收入231{}n a n .(n =前年的总收入前年的总支出投资额n -n -)(1)试求年平均利润最大时的年份年份取正整数，并求出最大值；()(2)若前年的收入达到最大值时，小刘计划用前年纯收入的对咖啡店进行重新装修，请问：小n n 13刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修？并求小刘计划装修的费用．【答案】(1)年，万元；202516(2)年，万元.203348【分析】（1）每年的运营成本构成一个等差数列，每年的销售额是一个常数列，根据题意，列出等式年平均利润为，之后应用基本不等式，结合求得结果； 2256n a n n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭*N n ∈（2）由（1）知，利用二次函数的性质以及的条件，得到当时，22625n a n n =-+-*N n ∈13n =na 取得最大值，进而得到结果.144【详解】（1）由条件可知，每年的运营成本构成首项为，公差为的等差数列，62， ()2131622526252n n n a n n n n ⎡⎤-∴=-+⨯-=-+-⎢⎥⎣⎦()*N n ∈则年平均利润为， 2256n a n n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由，当且仅当，即时取等号． 2510n n +≥25n n=5n =此时，取最大值． n a n 16到年，年平均利润最大，最大值为万元；∴202516（2）由Ⅰ可得， ()()()22*262513144N n a n n n n =-+-=--+∈当时，取得最大值．13n =n a 144万元144348(÷=).故小刘最早从年对咖啡店进行重新装修，计划装修费用为万元．20334821．Sn 为等比数列{an }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q ＞0.（1）求an 及Sn ；（2）是否存在常数λ，使得数列{Sn ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明现由.【答案】（1）an ＝3n －1，Sn ＝；（2）存在，. 312n -12【分析】（1）根据等比数列的通项公式前n 项和公式，通过解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求出通项公式和前n 项和；（2）运用假设法，结合等比数列的通项公式和等比数列的性质和定义进行求解即可.【详解】（1）由题意可得，解得a 1＝1，q ＝3， ()31131911310a q a q a q q q ⎧=⎪-⎪=⎨-⎪⎪>⎩所以an ＝3n －1，Sn ＝＝. 1313n--312n -（2）假设存在常数λ，使得数列{Sn ＋λ}是等比数列，因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn ＋＝×3n ，则＝3， 12121211212n n S S +++故存在常数λ＝，使得数列是等比数列. 1212n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了等比数列通项公式和前n 项和公式的应用，考查了等比数列的定义和性质的应用，考查了数学运算能力.22．已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设.{}n a n n A n B n n n b A B =+（1）若，求数列的通项公式；21n a n =-{}n b （2）若，求数列的前项和； 212n n n a -={}n b n n S （3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列.{}n b {}n a 【答案】（1）；（2），当时，；2n n n b A B n =+=11,s =29,4s =372s =4n ≥19323842n n n n S +=+-（3）证明见解析【分析】（1）利用数列的通项公式判断其增减性，从而确定，的表达式，进而求出数列{}n a n A n B 的通项公式；{}n b（2）由计算，时，数列单调递减，所以当时，212n nn a -=11322n n n n a a ++--=2n ≥4n ≥32142n n n b -=+，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；（3）设数列的公差为，则，讨论，三种情{}n b d 111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=0,d >0d <0d =况，分别证明数列为等差数列即可.{}n a 【详解】（1）由得是递增数列，21n a n =-{}n a 所以，21,n n A a n ==-11n B a ==所以.2n n n b A B n =+=（2）由得， 212n n n a -=111212132222n n n n n n n n a a ++++---=-=当，，即；1n =10n n a a +->12a a <当，，即.2n ≥10n n a a +-<2341a a a a >>>又， 11,2a =23,4a =315,8a a =>41716a a =<所以，当时，， 11,b =25,4b =354b =4n ≥32142n n n b -=+所以， 11,=S 29,4=S 372S =当时，令， 4n ≥13213(1)42422n n n n n k n b kn b b ---++=+=+-则，即. 2,k =3b =13213212342422n n n n n n n b --++=+=+-所以 344517391111132123(3)24222222-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n S n n . 373923(3)2422n n n +=+-+-19323842n n n +=+-综上所述，，当时，. 11,=S 29,4=S 372S =4n ≥19323842n n n n S +=+-（3）设数列的公差为，{}n b d 则，111n n n n n n b b A A B B d +++-=-+-=由题意，11,n n n n A A B B ++≥≤①，对任意都成立，0,d >1n n A A +>*n ∈N 即，所以是递增数列.11++=>=n n n n A a A a {}n a所以，,n n A a =1n B a =所以，111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-所以数列是公差为的等差数列；{}n a d ②当时，对任意都成立，0d <1n n B B +<*n ∈N 进面，11n n n n B a B a ++=<=所以是递减数列.，{}n a 1,n A a =n n B a =所以111n n n n n n d A A B B a a +++=-+-=-所以数列是公差为的等差数列；{}n a d ③当时，，0d =110n n n n A A B B ++-+-=因为与中至少有一个为0，1n n A A +-1n n B B +-所以二者都为0，进而可得数列为常数列，{}n a 综上所述，数列为等差数列.{}n a 【点睛】本题考查数列的通项公式、前n 项和公式、利用等差数列的定义证明等差数列、利用分组求和和错位相减进行数列求和；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握等差数列的定义和数列求和的方法是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.。

浙江省台州市书生中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学试题

台州市书生中学 2018学年第二学期第一次月考高二数学试卷命题人：骆兆文（满分：150分考试时间：150 分钟） 2019.3 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 直线y=x+1的倾斜角是（）A.B.C.D.2. 抛物线y=x 2的准线方程是（）A.y=-B.y=-C.y=D.y=3. 若直线3x+y+a=0过圆x 2+y 2+2x-4y=0的圆心，则a 的值为（）A.-1B.1C.3D.-34. 已知直线m 、n 与平面α、β，下列命题正确的是（）A. m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB. m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nC. α∩β=m ，n⊥β且α⊥β，则n⊥αD. m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n 5. 已知直线()()()12:120,:1430l mx m y l m x m y +++=+++-=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件直线l 的斜率为（）7. 已知三次函数在x ∈（-∞，+∞）是增函数，则m 的取值范围是（） A. m ＜2或m ＞4B. -4＜m ＜-2C. 2＜m ＜4D. 以上皆不正确8. 如图，正四棱锥P-ABCD ．记异面直线PA 与CD 所成角为α，直线PA 与面ABCD 所成角为β，二面角P-BC-A 的平面角为γ，则（）A.β＜α＜γB.γ＜α＜βC.β＜γ＜αD.α＜β＜γ诚信考试谨慎作答书生阶段性考试第 - 2 - 页共 4 页9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与函数)0y x =≥的图像交于点P ，若函数y =在点P 处的切线过双曲线左焦点F (-1,0)，则双曲线的离心率为（）D.3210. 已知函数f （x ）的导函数为f '‘（x ），且f '‘x ）＜f （x ）对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是（）A. f （ln2）＞2f （0），f （2）＞e 2f （0）B.f （ln2）＜2f （0），f （2）＜e 2f （0）C. f （ln2）＜2f （0），f （2）＞e 2f （0）D. f （ln2）＞2f （0），f （2）＜e 2f （0）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）11. 双曲线22154x y -=的离心率为______，渐近线方程为______． 12. 已知函数()2ln f x x x =-，则()f x 在x=1处的切线方程为_________；单调递增区间是_______．的面积为______，△F 1PF 2内切圆半径为______．14. 某几何体的三视图如图（单位：cm ），则该几何体的体积为______cm 3，表面积为______cm 3．15. 已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足NF =，则∠NMF =______．16. 若函数()ln f x x x mx =--在区间[1，e 2]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围是______．诚信考试谨慎作答书生阶段性考试第2 页共 4 页三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 已知函数()32f x x ax bx c =+++，当1x =-时，()f x 的极大值为7；当3x =时，()f x 有极小值。

高二数学下学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高二全册数学试题

某某市奉贤区奉城中学2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x2．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx0≤B．∃x0∈R，sinx0＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{a n}的通项公式9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 110．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i 11．=（）A．B．C． i D．﹣i12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．20．在数列{a n}中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？某某市奉贤区奉城中学2014-2015学年高二（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每个小题5分，共12个小题）1．设命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为（）A．∀x＞0，2x＜log2x B．∃x＞0，2x≤log2xC．∃x＞0，2x＜log2x D．∃x＞0，2x≥log2x考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞0，2x＞log2x，则¬p为∃x＞0，2x≤log2x．故选：B．点评：本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．2．已知命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是（）A．∃x0∈R，sinx0≤B．∃x0∈R，sinx0＜C．∀x∈R，sinx≤D．∀x∈R，sinx＜考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题p：∃x0∈R，sinx0≥，则￢p是∀x∈R，sinx＜．故选：D．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．在△ABC中，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可．解答：解：在△ABC中中，若A=B，则a=b，由正弦定理得sinA=sinB，即充分性成立，若sinA=sinB，则由正弦定理得a=b，即A=B，即必要性成立，故，“A=B”是“sinA=sinB”的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合正弦定理是解决本题的关键．4．如果命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，那么（）A．命题p、q都是真命题B．命题p、q都是假命题C．命题p、q至少有一个是真命题D．命题p、q只有一个真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系即可判断出p，q的真假情况．解答：解：由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p，q一真一假；即p，q中只有一个真命题；∴D正确．故选D．点评：考查“∨”“∧”两个符号的含义，以及p∧q，p∨q真假和p，q真假的关系．5．设命题p和命题q，“p∨q”的否定是真命题，则必有（）A． p真q真B． p假q假C． p真q假D． p假q真考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由于“p∨q”的否定是真命题，可得p∨q是假命题，即可判断出p与q的真假．解答：解：∵“p∨q”的否定是真命题，∴p∨q是假命题，因此p与q都是假命题．故选：B．点评：本题考查了复合命题的真假判断方法，属于基础题．6．下列说法中正确的是（）A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程考点：合情推理的含义与作用．专题：阅读型．分析：合情推理的结论不一定正确可判定选项A，合情推理包含归纳推理与类比推理可判定选项B，归纳推理是从特殊到一般的推理过程可判定选项C，类比推理是从特殊到特殊的推理过程可判定选项D．解答：解：合情推理的结论不一定正确，有待证明，而演绎推理的结论是一定正确的，故选项A不正确；合情推理包含归纳推理与类比推理，故选项B不正确；所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故选项C不正确；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理过程．故选项D正确．故选D．点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．7．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在（）A．大前提B．小前提C．推理过程D．没有出错考点：演绎推理的基本方法．专题：阅读型．分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．解答：解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方大于0是不正确的，故选A．点评：本题考查演绎推理的基本方法，考查实数的性质，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识，判断这种说法是否正确即可，是一个基础题．8．下列几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三1班55人，2班54人，3班52人，由此得高三所有班级的人数超过50人B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2C．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°D．在数列{a n}中，a1=1，a n=（a n﹣1+）（n≥2），由此归纳数列{a n}的通项公式考点：演绎推理的意义．专题：探究型．分析：分别根据归纳推理，类比推理以及演绎推理的定义进行判断．解答：解：A．由高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人，属于归纳推理．B．由圆的周长C=πd推测球的表面积S=πd2，属于类比推理．C．直线平行的性质得到结论为演绎推理．D．根据条件推出数列的通项公式为归纳推理．故选C．点评：本题主要考查归纳推理，类比推理和演绎推理的判断，要求熟练掌握它们的区别和联系．9．已知i是虚数单位，则复数z=的虚部是（）A． 0 B． i C．﹣i D． 1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：复数z====i的虚部是1．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．10．已知z+5﹣6i=3+4i，则复数z为（）A．﹣4+20i B．﹣2+10i C．﹣8+20i D．﹣2+20i考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，求出复数z即可．解答：解：∵z+5﹣6i=3+4i，∴z=3+4i﹣5+6i=﹣2+10i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．11．=（）A．B．C． i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．分析：化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．解答：解：故选A．点评：本题考查的知识点复数的运算，（乘法和除法），比较简单．12．i是虚数单位，复数=（）A． 2﹣i B． 2+i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数=故选A点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意分母实数化，考查计算能力，常考题型．二、填空题（每个小题5分，共4个小题）13．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0 ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．14．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是自然数n是3的倍数．考点：演绎推理的基本方法．专题：规律型．分析：三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“自然数n是9的倍数”叫小前提．另外一个是结论．解答：解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：“自然数n是3的倍数”．故答案为：自然数n是3的倍数．点评：三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理．它包含两个性质判断构成的前提，和一个性质判断构成的结论．一个正确的三段论有仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项．15．已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数模长的定义直接进行计算即可．解答：解：∵复数z=2﹣i，∴|z|===．故答案为：．点评：本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．16．若复数z=（m2﹣1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于 1 ．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：由复数z的是不等于0，虚部不等于0列式计算m的值．解答：解：复数z=（m2﹣1）+（m+1）i当z是纯虚数时，必有：m2﹣1=0且m+1≠0解得，m=1．故答案为1．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，复数为纯虚数，当且仅当实部等于0而虚部不等于0，是基础题．三、解答题（共计6个小题，其中17小题10分，其他小题各12分）17．计算：（1+2i）÷（3﹣4i）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数除法的运算法则进行化简即可．解答：解：（1+2i）÷（3﹣4i）====+i．点评：本题主要考查复数的基本运算，根据复数除法的运算法则是解决本题的关键．18．写出命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题，否命题，逆否命题．考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：把原命题的题设和结论互换，得到原命题的逆命题；同时否定原命题的题设和结论，得到原命题的否命题；否定原命题的题设作结论，否定原命题的结论作题设，得到原命题的逆否命题．解答：解：命题“若a＜b，则ac2＜bc2”的逆命题：若ac2＜bc2，则a＜b；否命题：若a≥b，则ac2≥bc2；逆否命题：若ac2≥bc2，则a≥b．点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要注意四种命题的变换方法．19．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180°．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题的定义以及特称命题与全称命题的定义，对题目中的语句进行判断即可．解答：解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题；对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是命题；对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题；对于（4），有的三角形内角和不等于180°，是命题，是特称命题．点评：本题考查了命题的概念以及特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．20．在数列{a n}中，a1=1，，试猜想这个数列的通项公式．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：根据已知的递推关系，可以构造出我们熟悉的等差数列．再用等差数列的性质进行求解．解答：解：根据，得2a n+1+a n+1a n=2a n，两边同时除以a n+1a n，得到，所以数列是公差为1的等差数列，且，所以，所以．点评：构造数列是对已知数列的递推关系式变形后发现规律，创造一个等差或等比数列，借此求原数列的通项公式，是考查的重要内容．21．实数m取什么值时，复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）当复数的虚部等于零，复数为实数，由此求得m的值．（2）当复数的虚部不等于零，复数为虚数，由此求得m的值．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，即，由此求得m的值．解答：解：（1）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部等于零，即m2﹣3m=0，求得m=0，或 m=3，即m=0，或 m=3时，复数为实数．（2）当复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i的虚部不等于零，即m2﹣3m≠0，求得m≠0，且m≠3，即m≠0，且m≠3时，复数为虚数．（3）当复数的实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数，由，求得 m=2，即当 m=2时，复数为纯虚数．点评：本题主要考查复数的基本概念，属于基础题．22．m取何实数时，复数．（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：（1）由虚部等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（2）由虚部不等于0且实部分母不等于0列式求解m的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m的值．word解答：解：（1）当，即，即m=5时，z的虚部等于0，实部有意义，∴m=5时，z是实数．（2）当，即时，z的虚部不等于0，实部有意义，∴当m≠5且m≠﹣3时，z是虚数．（3）当，即时，z为纯虚数，∴当m=3或m=﹣2时，z是纯虚数．点评：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是实数、虚数、纯虚数的条件，关键是注意实部的分母不等于0，此题是基础的计算题．11 / 11。

太仓市高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

太仓市高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1．经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -=2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．若不等式1≤a ﹣b ≤2，2≤a+b ≤4，则4a ﹣2b 的取值范围是（） A ．[5，10] B ．（5，10）C ．[3，12]D ．（3，12）4．如图，已知平面=，．是直线上的两点，是平面内的两点，且，，，．是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．5．甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________乙校：则x ，y A 、12,7 B 、 10,7 C 、 10，8 D 、 11,96．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%的污染物，则需要（）小时.A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.7．已知命题p ；对任意x ∈R ，2x 2﹣2x+1≤0；命题q ：存在x ∈R ，sinx+cosx=，则下列判断：①p 且q是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④¬p 是真命题，其中正确的是（）A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④8．已知函数f （x ）=若关于x 的方程f （x ）=k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）9．双曲线4x 2+ty 2﹣4t=0的虚轴长等于（）A ．B ．﹣2tC ．D ．410．下列正方体或四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是（）11．设a ，b 为正实数，11a b+≤，23()4()a b ab -=，则log a b =（）A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力.12．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（）A ．＜，乙比甲成绩稳定B ．＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定D ．＞，乙比甲成绩稳定二、填空题13．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．14．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为．15．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n }为“斐波那契数列”．若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2016项的值是． 16．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为__________17．给出下列四个命题：①函数f （x ）=1﹣2sin 2的最小正周期为2π； ②“x 2﹣4x ﹣5=0”的一个必要不充分条件是“x=5”；③命题p ：∃x ∈R ，tanx=1；命题q ：∀x ∈R ，x 2﹣x+1＞0，则命题“p ∧（￢q ）”是假命题； ④函数f （x ）=x 3﹣3x 2+1在点（1，f （1））处的切线方程为3x+y ﹣2=0．其中正确命题的序号是．18．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．三、解答题19．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．20．已知等差数列{a n }中，a 1=1，且a 2+2，a 3，a 4﹣2成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =，求数列{b n }的前n 项和S n ．21．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 、D 为同一平面上的四个点，且满足2AB =，1BC CD DA ===，设BAD θ∠=，ABD ∆的面积为S ，BCD ∆的面积为T ．（1）当3πθ=时，求T 的值；（2）当S T =时，求cos θ的值；22．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式；,整理得下表:,求这50天的日利润单位:元的平均数；②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间[400,550]内的概率.23．已知函数f（x）=2|x﹣2|+ax（x∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）当f（x）有最小值时，求a的取值范围；（3）若函数h（x）=f（sinx）﹣2存在零点，求a的取值范围．24．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．25．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．26．已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．太仓市高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】考点：直线的方程.2．【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=0满足条件n＜i，s=2，n=1满足条件n＜i，s=5，n=2满足条件n＜i，s=10，n=3满足条件n＜i，s=19，n=4满足条件n＜i，s=36，n=5所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．3．【答案】A【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b）即解得：x=3，y=1即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b）∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，∴3≤3（a﹣b）≤6∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10故选A【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键．4．【答案】A【解析】【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】由题知：是直角三角形，又，所以。

江西省上饶市广丰一中2018-2019高二下半年月考数学(理)试卷

上饶市民校考试联盟2018-2019学年下学期阶段测试（三）高二数学（理科）试卷命题人：饶州中学黄森林审题人：广丰一中刘小伟考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷共22题，共150分，共4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2. 答题时请按要求用笔。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知复数2()z a i i a i =+--在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的最小正整数值为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()sin cos f x x x x =⋅+，则()f π'=（）A ．πB ．π-C ．1-D ．13．函数ln xy x=在(),()m f m 处的切线平行于x 轴，则实数m =（）A ．1eB ．1C ．eD ．104．函数20ln ,1()23,1m x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰且[]()10f f e =，则实数m =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．25．“z 是纯虚数”是“2(1)i z +⋅为实数”的（）A ．充分非必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知()f x 的导函数为()f x '且满足()2(2)ln(1)f x xf x '=+-，则(2)f 的值为（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-7．()f x 与()g x 是定义在R 上的可导函数，若()f x ，()g x 满足()()f x g x ''=，（()f x '为()f x 的导函数，()g x '为()g x 的导函数），则()f x 与()g x 满足（） A ．()()f x g x =B ．()()f x g x =C ．()()f x g x -为常函数D ．()()f x g x +为常函数8．若ln 2ln3ln5,,235a b c ===，则（） A ．a b c >>B ． a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>9．322()3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，则b a -=（） A ．2B ．7C ．2或7D ．2-或7-10．“函数()x f x e x m =-+存在零点”的一个必要非充分条件为（）A ．1m ≤-B ．2m ≤C ．2m ≤-D ．21m -≤≤-11．已知R 上的可导函数()f x 如图所示，则不等式2(23)()0x x f x '--⋅<（()f x '为()f x 的导函数）的解集为（）A ．()(),21,-∞-+∞B ．()1,3C ．()()(),11,02,-∞--+∞D ．()()(),11,03,-∞--+∞12．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的(),0x ∈-∞均有()()f x f x ''>-，（()f x '为()f x 的导函数）若非零实数12,x x 且1221()()()()f x f x f x f x ->---，则（） A ．12x x <B ．12x x >C ．2212x x <D ．2212x x >二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数20192i z i =-，则z = 。

安徽省高二下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

淮北高二下第一次月考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2|1?1,|20?A x x B x x x =-<<=--<,则()RA B =A. (]1,0-B. [)1,2-C. [)1,2D. (]1,2【答案】C 【解析】【分析】求出与,B 中不等式的解集确定出,B ，求出A 的补集，找出补集与,B 的公共部分，能求出结果．【详解】{}{}{}2|11,|20|12,A x x B x x x x x =-<<=--<=-<<{}|1,1,RA x x x 或=≤-≥则(){}|12,RA B x x ⋂=≤<故选C.【点睛】本题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键． 2. 命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（） A. ,ln x R x x ∀∈≤ B. ,ln x R x x ∀∈< C. 000,ln x R x x ∃∈≤ D. 000,ln x R x x ∃∈>【答案】C 【解析】【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为“000,ln x R x x ∃∈≤”，故选C.3. 复数z 满足()12i z i +=+，则z 的虚部为（） A.32B.12C. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】【详解】依题意()()()()12i 1i 12i 13i 1i 1i 1i 2z -----===++-，故虚部为32-. 4. 如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（）A. 2B. 1C. 2-D. 3-【答案】B 【解析】【详解】解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选B5. 已知平面向量,a b 满足||3a =，23b =，且a b +与a 垂直，则a 与b 的夹角为（） A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】D 【解析】【详解】a b+与a垂直，()0,9,9a b a a a b a b a ∴+⋅=∴⋅=-⋅=⋅=-，3cos ,323a b a b a b ⋅-∴===⨯，a ∴与b的夹角为56π，故选D. 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【详解】执行程序框图，输入20,1s i == ，第一次循环20,2s i ==；第二次循环10,3s i ==；第三次循环10,43s i ==；第四次循环51,56s i =<=，退出循环，输出5i = ，故选A. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 双曲线221124x y -=的焦点到渐近线的距离为（）A.2B.3 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【详解】由双曲线方程221124x y -=，可得323,2,1244b a b c a ====+= ，所以渐近线方程为33y x = ，焦点坐标为()4,0 4332113=+ ，故选C.8. 若直线()2200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则14a b+的最小值是（） A. 16 B. 9C. 12D. 8【答案】B 【解析】【详解】直线220(0,0)ax by a b -+=>>平分圆222410x y x y ++-+=，所以直线220(0,0)ax by a b -+=>>经过圆心(-1,2). 即2220a b --+=，即1a b +=.()14144414529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭. 当且仅当4b a a b =，即12b 33a ==，时14a b+取得最小值9. 故选B.9. 函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.10. 若()21f x ax x a =+++在()2,-+∞上是单调递增函数，则a 的取值范围是( )A. 1(,]4-∞ B. 1(0,]4C. 1[0,]4D. 1[,)4+∞【答案】C 【解析】【分析】先考虑a是否为零，然后再分一次函数和二次函数分别考虑.【详解】当0a =时，则()1f x x =+，显然在()2,-+∞上递增；当0a ≠时，则()21f x ax x a =+++是二次函数，因为()f x 在()2,-+∞上递增，则对称轴122x a=-≤-且0a >，解得：10,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；综上：a 的取值范围是1[0,]4，故选C.【点睛】本题考查根据单调区间求解参数范围问题，难度一般.对于形如()2f x ax bx c =++的函数，一定要明确：并不一定是二次函数，可能会出现0a =的情况，所以要分类讨论.11. 椭圆22195x y +=的焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆面积为π，,A B 两点的坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，则12y y -的值为（） A. 6 B.32C.92D. 3【答案】D 【解析】【详解】2ABF ∆的内切圆面积为π1r ∴=，由题意得：3a =，b =2c =()2221114622ABF S AB BF AF a ∆=⨯++⨯=⨯=又2121262ABF S c y y ∆=⨯⨯-=123y y ∴-=故选D点睛：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆的性质，考查了学生的计算能力，本题的关键是求出2ABF ∆的面积，易知2ABF ∆的内切圆的半径长1r =，从而借助三角形的面积，利用等面积法求解即可，属于中档题．12. 直线y m =分别与曲线()21y x =+，与()ln 1y x x =++交于点,A B ，则||AB 的最小值为( )B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】【详解】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与()ln 1y x x =++交于点,A B ，设()()12,,,A x m B x m .有：()()12221,?ln 1x m x x m +=++=，所以()221ln 111,22x x mx ++=-=- 所以()()2222122ln 1ln 12122x x x x AB x x x +++--=-=--=.令()()()1ln 12,1,1,11xf x x x x f x x x -=+-->-=-=++' 当()1,0x ∈-时，()0f x '>,()f x 单调递增；当()0,x ∞∈+时，()0f x '<,() f x 单调递减； ()()()02,12f x f x f AB ≤=-=≥.即AB 的最小值为1. 故选B.点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =+，则n a =______．【答案】14(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【解析】【详解】试题分析：当n=1时，111314a S ==+=；当n>1时，()()111313123nn n n n n a S S ---=-=+-+=⋅．所以14(1)23(2)n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩．考点：数列通项公式的求法．点评：我们要熟练掌握求数列通项公式的方法．公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式1-1,=1=-,2n n n s n a s s n ⎧⎨≥⎩．此题的第一问求数列的通项公式就是用公式1-1,=1=-,2n n n s n a s s n ⎧⎨≥⎩，用此公式要注意讨论=12n n ≥和的情况．14. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 3sin A B =，c =且5cos 6C =，则a =__________．【答案】3 【解析】【详解】sin 3sin ,A B =所以根据正弦定理可得3,a b =222221055cos ,266a b c b C ab b +--∴===1,3b a ∴==，故答案为3. 15. 椭圆()222210x y a b a b+=>>的四个顶点为,,,A B C D ，若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是__________．【答案】12【解析】【详解】由题意,不妨设点()(),0,0,A a B b ,则直线AB 的方程为：1x ya b+= 即0bx ay ab +-=.∵菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点 ∴原点到直线AB 的距离为22ab c a b=+∴()22222a b c a b =+∴()()2222222aac c a c -=-∴422430a a c c -+= ∴42310e e -+= ∴2352e ±= ∵0<e<1∴512e =51-. 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 16. 设函数()ln ,m f x x m R x =+∈，若任意两个不等正数,a b ，都有()()1f b f a b a-<-恒成立，则m 的取值范围：__________．【答案】14m ≥ 【解析】【详解】任意两个不等正数,a b ，都有()()1f b f a b a -<-恒成立，即为()()0f b b f a a b a⎡⎤⎡⎤---⎣⎦⎣⎦<-恒成立，则()y f x x =-在()0,+∞上为减函数. 则有()21110my f x x x=-='--≤'在()0,+∞上恒成立，即2m x x ≥-在()0,+∞上恒成立，令()2211(x ),024g x x x x =-=--+>，()1124max g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以14m ≥. 故答案为14m ≥. 三、解答题（第17题10分，其余5题每题12分）17. 在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin a B =. （1）求A 的大小；（2）若3,4a b c =+=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3A π=（2）12ABC S ∆=【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理得到sin sin sin A B B =，即sin A =；（2）由余弦定理得到229b c bc +-=，又因为4b c +=，可解出未知量73bc =，进而求得面积．解析：（1）∵2sin a B =，∴sin a B b =，由正弦定理得sin sin sin A B B =，即sin A =∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3A π=.（2）∵2222cos ,3,3a b c bc A a A π=+-==，∴229b c bc +-= 又4b c +=，∴()239b c bc +-=，73bc =，∴117sin 223ABC S bc A ∆==⨯=. 18. 已知数列{}n a 满足112a =，且122n n n a a a +=+.（1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)见解析(2) 4n n + 【解析】【详解】试题分析：⑴由122n n n a a a +=+得到1212n n n a a a ++=，进而得到11112n n a a +-=； ⑵求出n a ，推出n b ，利用裂项法求解数列的和即可；解析：（1）∵122n n n a a a +=+，∴1212n n n a a a ++=，∴11112n n a a +-=， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. （2）由（1）知()11113122n n n a a +=+-⨯=，所以23n a n =+，∴()()41143434n b n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++⎝⎭，1111114455634n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦114444n n n ⎛⎫=⨯-= ⎪++⎝⎭19. 已知函数()321613f x x ax x =++-.当2x =时，函数()f x 取得极值. （1）求实数a 的值；（2）方程()0f x m +=有3个不同的根，求实数m 的取值范围.【答案】(1)52a =-；(2)11732m -<<-. 【解析】【详解】试题分析：（1）由()f x 在2x =取极值，可得()'20f =，解方程可求出52a =-；（2）由（1）得()f x 的解析式，关于x 的方程()0f x m +=在[]1,2有两个不同的根，等价于函数()f x 的图象与直线y m =-有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数()f x 在区间[]1,2的范围，结合图象可得实数m 的取值范围.试题解析：（1）由()321613f x x ax x =++-，则()226f x x ax =++' 因在2x =时，()f x 取到极值所以()204460f a =⇒++=' 解得，52a =- （2）由（1）得()32156132f x x x x =-+-且13x ≤≤ 则()()()25623f x x x x x =-+=--'由()0f x '=，解得2x =或3x =；()0f x '>，解得3x >或2x <；()0f x '<，解得23x <<∴()f x 的递增区间为：(),2-∞和()3,+∞；()f x 递减区间为：()2,3又()1123f =，()732f = 故答案为11732m -<<-20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .122F F =，椭圆离心率e =. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过椭圆的右焦点2F ，交椭圆于,A B 两点，若1AF B △的面积为3，求直线l 的方程.【答案】(1) 2212x y += (2) 210x y --=或210x y +-= 【解析】【详解】试题分析：(1)由122F F =可得1c = ，由e =a =，利用222abc =+可得21b =，从而可得椭圆C 的方程；(2) 设直线l 的方程为1x my =+，代入2212x y +=化简得()222210m y my ++-=，根据韦达定理、弦长公式结合三角形面积公式可得223m =+，解得2m =±，从而可求出直线l 的方程.试题解析：(1)222222221,2,112c c a b c e a =⎧⎪⇒===⎨==⎪⎩， ∴椭圆方程为2212x y +=. (2)∵()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，代入2212x y +=化简得()222210m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，11212221222AF B S F F y y m m =-===++，=2m =±. 故直线l 的方程为210x y --=或210x y +-=.21. 如图所示，已知点(),3M a 是抛物线24y x =上一定点，直线AM 、BM 的斜率互为相反数，且与抛物线另交于,A B 两个不同的点.（1）求点M 到其准线的距离；（2）求证：直线AB 的斜率为定值.【答案】(1)134；(2)证明见解析. 【解析】【分析】（1）由点(),3M a 在抛物线24y x =上得2934,4a a ==，可得准线方程为1x =-，由此能求出点M 到其准线的距离；（2）设直线MA 的方程为934y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立29344y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得241290y y k k -+-=，由已知条件推导出443,3A B y y k k=-=--，根据斜率公式，化简可消去参数k ，从而证明直线AB 的斜率为定值.【详解】（1）解：∵(),3M a 是抛物线24y x =上一定点 ∴234a =，94a =∵抛物线24y x =的准线方程为1x =-∴点M 到其准线的距离为：134. （2）证明：由题知直线MA MB 、的斜率存在且不为0，设直线MA 的方程为：934y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立29344y k x y x ⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩ 241290y y k k ⇒-+-=43A y k +=，∴43A y k=- ∵直线AM BM 、的斜率互为相反数∴直线MA 的方程为：934y k x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，同理@可得：43B y k=-- ∴2244A B A B AB B A B A y y y y k y y x x --==-- 423A B y y ==-+ 22. 已知函数()ln(1)(1)1(R)f x x k x k =---+∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≤在定义域内恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：()2*ln 2ln 3ln 4ln 2,N 34514n n n n n n -+++⋯+<≥∈+. 【答案】（1）函数()f x 的递增区间为1(1,)k k +，函数()f x 的递减区间为1(1,)k ++∞；（2）1k ；（3）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导得1()1k kx f x x +-'=-，对k 进行分类讨论，即可得到函数的单调区间；（2）由（1）可得，0k ≤时，()f x 在(0)+∞，上是增函数，而(2)0f >，()0f x ≤不成立，故0k >，由（1）可得max 1()(1)f x f k=+，即可求出k 的取值范围；（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在(1)+∞，恒成立，即ln(1)2x x -<-，进而换元可得22ln 1n n <-，所以ln 112n n n -<+，即可得证. 试题解析：（1）定义域为()1,+∞，()1111k kx f x k x x +-=-='-- 若0k ≤，()101f x k x =-≥-'，()f x 在()1,+∞上单调递增若0k >，()11k k x k f x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=-，所以，当()0f x '>时，111x k <<+，当()0f x '<时，11x k>+ 综上：若0k ≤，()f x 在()1,+∞上单调递增；若0k >，()f x 在11,1k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递减（2）由（1）知，0k ≤时，()210f k =->不可能成立；若0k >，()0f x ≤恒成立()max 110f x f k ⎛⎫⇔=+≤⎪⎝⎭，11ln 0f k k ⎛⎫+=-≤ ⎪⎝⎭，得1k ≥ 综上，1k ≥.（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在()1,+∞上恒成立，即()ln 12x x -<-令()2*1N ,1x n n n -=∈>，得22ln 1n n <-，即ln 112n n n -<+ ln2ln3ln4ln 3451n n +++++ ()1123122224n n n --<++++=，得证. 点睛：（1）导数综合题中对于含有字母参数的问题，一般用到分类讨论的方法，解题时要注意分类要不重不漏；（2）对于恒成立的问题，直接转化为求函数的最值即可；（3）对于导数中，数列不等式的证明，解题时常常用到前面的结论，需要根据题目的特点构造合适的不等式，然后转化成数列的问题解决，解题时往往用到数列的求和.。

湖南师大附中高二第一次月考理科数学试卷

湖南师大附中高二第一学期第一次阶段性检测数学（理科）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=2221x xA ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021ln x x B ，则()=B C A R I （）A. φB. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-21,1C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D. (]1,1-2. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若12=x ，则1=x ”的否命题为：“若12=x ，则1≠x ” B. “1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C. “2=a ”是函数“()x x f 4log =在区间()+∞,0上为增函数”的充分不必要条件D. 命题“若y x ≠，则y x sin sin ≠”的逆命题为真命题 3. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11<+nn a a ，若2053=+a a ，6453=a a ，则=4S （） A. 63或120B. 256C. 120D. 634. 若0>x 且1≠x ，则函数10log lg x x y +=的值域为（） A. RB. [)+∞,2C. (]2,-∞-D. (]2,-∞-U [)+∞,25. 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=011x x xA ，{}a x x B <-=1，则“1=a ”是“A ∩B ≠0”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（）A. 3B. 4C. 232-D.297. 4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，则2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差的最大值是（） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 8. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，且11=a ，12016201820162018=-S S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1的前2018项和为（）A. 20171B. 20182017C.10092017D.201940369. 已知1-=+y x ，且x 、y 都是负数，则xyxy 1+有（） A. 最小值2B. 最大值2C. 最小值417D. 最大值417-10. 已知函数()x x a x f cos sin +=（a 为常数，R x ∈）的图象关于直线6π=x 对称，则函数()x a x x g cos sin +=的图象（） A. 关于直线3π=x 对称B. 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,32π对称 C. 关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称D. 关于直线6π=x 对称11. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为()10,,2,1Λ=i a i ，且1021a a a <<<Λ，若M a i 548=，则=i （） A. 4B. 5C. 6D. 712. 已知函数()()1sin 2++=ϕωx x f ⎪⎭⎫⎝⎛≤>2,1πϕω，其图象与直线1-=y 相邻两个交点的距离为π，若()1>x f 对于任意的⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,12ππx 恒成立，则ϕ的取值范围是（） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,12ππB. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππC. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ D. ⎥⎦⎤⎝⎛2,6ππ二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13. 已知向量()2,1=，()3,4=，且()t +⊥，则实数=t ；14. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美，按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y4sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为；15. 若直线()0,002>>=-+b a by ax 始终平分圆22222=--+y x y x 的周长，则ba 121+的最小值为； 16. 已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--022*******y x y x y x ，在这两个实数x 、y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知()21cos 2sin 232-+=x x x f ，R x ∈ （Ⅰ）求函数()x f 的单调递增区间，并求满足函数()x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数的实数m 的最大值；（Ⅱ）若()310=x f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,60ππx ，求02sin x 的值.18. （本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，AD AB ⊥，1=AB ，7=AC ，ABC ∆的面积23=∆ABC S ，574=DC . （Ⅰ）求BC 的长；（Ⅱ）求ACD ∠的大小.19. （本小题满分12分）在公比为q 的等比数列{}n a 中，已知161=a ，且1a ，22+a ，3a 成等差数列. （Ⅰ）求q ，n a ；（Ⅱ）若1<q ，求满足()101212321>-+-+--n n a a a a Λ的最小的正整数n 的值.20. （本小题满分12分）如图，几何体11DC A ABC -由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，4=AB ，231=AA ，11=D A ，⊥1AA 平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱1AA 上一点，且//EM 平面D BC 1.（Ⅰ）若N 在棱BC 上，且NC BN 2=，证明：//EN 平面D BC 1；（Ⅱ）过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置（说明做法及理由），并求线段OE 的长.21. （本小题满分12分）水培植需要一种植物专用营养液，已知每投放a （40≤<a 且R a ∈）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()x af y =，其中()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=5252033x x x x xx f ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.（Ⅰ）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可持续几天？（Ⅱ）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放b 个单位的营养液，要使接下来的2个单位的营养液天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值.22. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛n S n n ,在直线21121+=x y 上. 正项数列{}n b 满足221++=n n n b b b ()*∈N n ，且273=b ，前3项和为39.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列(){}na n a 25⋅-的前n 项和nT ；（Ⅲ）设数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-212n n b b 的前n 项和为n M ，求证：对任意*∈N n ，都有2<n M .。

人教版高二下数学第一次月考试卷(理科)

高二下学期理科数学第一次月考试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点)2,1(y x ∆+∆+，则x y ∆∆为（） A.21+∆+∆x x B.21-∆-∆x x C.2+∆x D.xx ∆-∆+12 2．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（） A. 2 B .－2 C. 3 D.－33．dx x ⎰--1121等于（）A.4πB.2π C.π D. π2 4．关于函数的极值，下列说法正确的是（）A.导数为0的点一定是函数的极值点；B.函数的极小值一定小于它的极大值；C.)(x f 在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值；D.若)(x f 在),(b a 内有极值，那么)(x f 在),(b a 内不是单调函数.5．函数x x x f -=33)(的极大值、极小值分别是（）A 1，－1B 132，612-C 1，－17D 29，29- 6．函数x x y 2cos 2=的导数为（）A.x x x x y 2sin 2cos 22'-=B.xx x x y 2sin 22cos 22'-= C.x x x x y 2sin 22cos 2'-= D.xx x x y 2sin 22cos 22'+= 7．设曲线2ax y =在点),1(a 处的切线与直线平行062=--y x ，则=a （） A. B. C. D.8．设P 是正弦曲线x y sin =上一点，以P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（）A.]4,4[ππ-B.]4,0[πC.),43[ππD.]4,0[π ),43[ππ 9．以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度21040t v -=，则此物体达到最高时的高度为（）A.m 320B.m 340C.m 380D.m 3160 10．函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（）A ．)2,(-∞B ．)3,0(C ．)4,1(D ．),2(+∞11．由曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积为（）A.316B.38C.34D.3212下列函数中，在),0(+∞内为增函数是（） A.x x f sin )(= B.x xe x f =)( C.x x x f -=3)( D.x x x f -=ln )(二.填空题（每题5分，共20分）13. 若曲线4x y =的一条切线与直线480x y +-=垂直，则的方程是_ ____． 14．函数m x x x f +-=2362)((m 为常数）在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-，上的最小值为15. 220(3)10,x k d x k +==⎰则_______________, 8-=⎰_____________.16.若函数k x x x f --=3)(3在R 上只有一个零点，则常数k 的取值范围是 . 三、解答题（共70分）17．计算下列函数的定积分：（1）dx xx x ⎰-20sin cos 2cos π; (2) ⎰-+242x dx 18. 已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：（1）割线AB 的斜率AB k ；（2）点A 处的切线的方程；（3) 过点A 的切线斜率AT k .19. 计算由直线4-=x y ，曲线x y 2=以及x 轴所围成图形的面积。

2021-2022学年四川省南充市高二年级下册学期第一次月考数学(理)试题【含答案】

2021-2022学年四川省南充市高二下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．抛物线的准线方程是（）22y x =A ．B ．C ．D ．12x =12y =12x =-12y =-【答案】C【分析】利用抛物线的准线方程为即可得出．22y px =2px =-【详解】由抛物线，可得准线方程，即．22y x =24x =-12x =-故选：C ．2．在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -4AB =12AD AA ==P 1CC AP 所成角的正切值为11C DA B C D ．14【答案】A【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与D DA x DC y 1DD zAP的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的11C D 正切值.【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，D DA x DC y 1DD z 则，()()()()112,0,0,0,4,1,0,4,2,0,0,2A P C D,()()112,4,1,0,4,0AP C D =-=-设异面直线与所成角为，AP 11C Dθ则1111cos AP C D AP C D θ⋅===⋅sin θ==，sin tan cos θθθ==异面直线与A.∴AP 11C D 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.3．双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为22197x y λλ+=--A．（±4，0）B ．（0）C．（0，±4）D ．（0，）【答案】B【详解】试题分析：∵双曲线（7＜λ＜9）22197x y λλ+=--∴9-λ＞0且7-λ＜0，方程化为22197x y λλ-=--由此可得：双曲线焦点在x轴，且c===∴双曲线的焦点坐标为(故选B【解析】双曲线的标准方程．4．如图，南北方向的公路，地在公路正东处，地在北偏东方向处，河流L A 2 km B A 60︒km 沿岸曲线上任意一点到公路和到地距离相等．现要在曲线上某处建一座码头，向，PQ L A PQ A 两地运货物，经测算，从到，修建公路的费用都为万元，那么，修建这两条公路的B M A B a /km总费用最低是（）A ．万元B ．万元C ．万元D ．万元(2a+1)a 5a 6a 【答案】C【分析】依题意知曲线是以A 为焦点、为准线的抛物线，利用抛物线的定义求的PQ L MA MB+最小值，即可求解.【详解】根据抛物线的定义知：欲求从到A ，修建公路的费用最低，即求的最小值，设点到直线的距离为，M B MA MB+M L d 且，即求的最小值，即为点到直线的距离．d MA=d MB+B L 因地在A地东偏北300方向处，B ∴到点A 的水平距离为3（km ），B ∴到直线距离为：3+2=5（km ），B l 那么修建这两条公路的总费用最低为：（万元）．5a 故选：C ．5．圆锥曲线的离心率，则实数的值为（）22189x y m +=+2e =m A ．B ．C ．D ．5-35-1911-【答案】B【分析】首先根据离心率判断曲线为双曲线，根据双曲线的离心率列方程，解方程求得的值.m 【详解】由于曲线的离心率为，所以曲线为双曲线.故，方程化为2e =80m +<22189x y m +=+，所以，解得.22198y x m -=--2e ===35m =-故选B.【点睛】本小题主要考查根据圆锥曲线的离心率求参数，考查椭圆、双曲线离心率的特征，属于基础题.6．已知椭圆与双曲线）22132x y -=A ．B ．2212025x y +=2212520x y +=C ．D ．221255x y +=221525x y +=【答案】B【分析】设椭圆的方程为，求出即得解.22221x y a b +=(0)a b >>,a b 【详解】由题得双曲线的焦点为，所以椭圆的焦点为，设椭圆的方程为，22221x y a b +=(0)a b >>所以.225,5,a b a b ⎧=+∴===所以椭圆的标准方程为.2212520x y +=故选：B7．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )(0,2)28y x =A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条【答案】C【详解】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，(0,2)故3条．8．已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于22x a 25y ABC ．D ．3243【答案】C【详解】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝＝．ca 329．已知直线与双曲线交于A ､B 两点，以AB 为直径的圆恰好()0y kx k =≠22221 (0,0y a b b x a -=>>）经过双曲线的右焦点F ，若的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（）ABF △A B C ．2D 【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，则可得四边形为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三1F 1AF BF 角形面积可得，即可求出离心率.222(2)(2)16a c a =-【详解】设双曲线的左焦点为，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接1F ，则四边形为矩形，11,AF BF 1AF BF则可得，，1||2AF AF a-=()222211||2AF AF F F c +==所以，()222211111||2||||2||AFAF AF AF AF AF F F AF AF -=-+=-又因为，1211||42ABF AF F S S AF AF a ==⋅=所以，得，222(2)(2)16a c a =-c =所以ce a =故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形的性质列出关于的齐次方程式，即可求出离心率.,a c 222(2)(2)16a c a =-10．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则221259x y +=M 1F N 1MF O 的值为ONA ．4B ．8C ．3D ．2【答案】A【详解】根据椭圆的定义得，28MF =由于中，是的中点，11MF F ∆,N O 112,MF F F 根据中位线定理得，故选A ．4ON =11．已知分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，12,F F ()222210,0x y a b a b -=>>P 使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）2F 1PF a A ．B ．C ．D ．⎛⎝⎫+∞⎪⎪⎭()+∞【答案】B【分析】根据已知条件可知点到过且平行于渐近线的直线的距离大于，由此可构造不等式求2F 1F a 得的范围，根据可求得结果.ba e =【详解】由双曲线方程可知：双曲线的一条渐近线为，焦点，，by xa =()1,0F c -()2,0F c 过点作该渐近线的平行线，则该直线方程为：，即；1F ()by x c a =+0bx ay bc -+=若双曲线右支上存在点，使得点到直线的距离为，则只需点到直线的P 2F 1PF a 2F 0bx ay bc -+=距离大于，d a即，，22bcd b a c ===>12b a ∴>双曲线离心率.∴e =>=⎫+∞⎪⎪⎭故选：B.12．设双曲线=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线2222x y a b -的离心率为A ．B ．5CD54【答案】D【详解】双曲线＝1的一条渐近线设为y ＝x ，由方程组消去y ，得2222x y ab -ba 2{1b y x a y x ==+x 2－x ＋1＝0，由题意知该方程有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以e ＝b a 2()b a ca二、填空题13．若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围为_______．22112x y k k +=-+x k 【答案】12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据题意，列出不等式，即可求解.120k k ->+>【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，22112x y k k +=-+x 可得，解得，120k k ->+>122k -<<-所以的取值范围为.k 12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭故答案为：.12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭14．双曲线的一条渐近线为，则_____221x y m -=20x y -=m =【答案】4【分析】利用双曲线渐近线方程即可.【详解】由题知，且双曲线的焦点在轴上，0m >x 所以，2,1a m b ==因为双曲线的一条渐近线为，221x y m -=1202b x y y x xa -=⇔==所以，24a m =⇒=故答案为：4.15．过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.24y x =l ,A B ||AB =【答案】8【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，求y 12x x +12||22p p AB x x =+++得答案.【详解】抛物线的焦点为，且斜率为1，则直线的方程为，()1,01y x =-代入抛物线方程得，设24y x =2610x x -+=()()1122,,,A x y B x y ，126x x ∴+=根据抛物线的定义可知.1212||62822p pAB x x x x p =+++=++=+=故答案为：8.16．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若22(0)y px p =>F l ,A B C ，且，则为_______．4BC BF=6AF =p 【答案】92【分析】分别过A 、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将A 、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p 值．【详解】设A ，B 在准线上的射影分别为A ′，B ′，则|BC |＝4|BB ′|，且'6AF AA ==由于|BC |＝4|BB ′|，故|AC |＝4|AA ′|＝24，从而即31CF AF =34CF AC =故，即p ＝，3'4p AA =92故答案为．92【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．三、解答题17．（1）求焦点在x 轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．2212x y -=【答案】椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．()122195x y +=()22212y x -=【分析】设出椭圆的标准方程，根据2a ，2c 所表示的几何意义求得a ，c 的值，再根据椭圆()1 ，求得b 2的值，进而可得到椭圆的标准方程；222a b c =+先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，将点代入双曲线()222221(,0)x y a b a b -=>方程，结合双曲线，解方程可得a ，b ，进而可得双曲线的方程．222c a b =+【详解】设椭圆标准方程为，则()122221(0)x y a b a b +=>>焦距为4，长轴长为6，，，，椭圆标准方程为；3a ∴=2c =25b ∴=∴22195x y +=双曲线双曲线的焦点为，()22212x y -=()设双曲线的方程为，22221(,0)x y a b a b -=>可得，223a b +=将点代入双曲线方程可得，，22221a b -=解得，，1a =b =即有所求双曲线的方程为：．2212y x -=【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.18．已知双曲线中，，虚轴长为.()222210,0x y a b a b -=>>:c a =4(1)求双曲线的标准方程；(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.()0,145 l A B O AOB △【答案】(1)2214x y -=(2)43【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可求得双曲线的标a b c 准方程；（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，求出点、的横坐标，即可求得的面积.l A B AOB △【详解】（1）解：由已知条件可得，解得2222=4=+c b c a b ⎧⎪⎨⎪⎩=1=2a b c ⎧⎪⎨⎪⎩因此，双曲线的标准方程为.2214x y -=（2）解：由题意可知，直线的方程为，设点、，l =+1y x ()11,A x y ()22,B x y 联立，可得，解得，，22=+14=4y x x y -⎧⎨⎩23250x x --=11x =-253x =因此，.1214123AOB S x x =⨯⨯-=△19．如图，四棱锥中，底面是正方形，，，且，E 为P ABCD -ABCD PB BC ⊥PD CD ⊥PA AB =中点.PD （1）求证：平面；PA ⊥ABCD （2）求二面角的正弦值.A BE C --【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）由，，即：，又因为，，即：PB BC ⊥BC AB ⊥BC PA ⊥PD CD ⊥CD AD ⊥，所以平面.CD AD ⊥PA ⊥ABCD （2）通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可求出二面角的正弦值.A BE C --【详解】解：（1）∵底面是正方形，ABCD ，又，，平面，.BC AB ∴⊥BC PB ⊥AB PB B ⋂=BC ∴⊥PAB BC PA ∴⊥同理可得，又，平面.CD PA ⊥BC CD C ⋂=PA ∴⊥ABCD （2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设底面正方形的边长为2，则，，，.()0,0,0A ()2,2,0C ()0,1,1E ()2,0,0B 设是平面的法向量，则(),,m x y z = ABE 0,0,m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 又，，令，则，()0,1,1AE = ()2,0,0AB = 1y =-1z =得.()0,1,1m =- 设是平面的法向量，则(),,n x y z = BCE 0,0,n CE n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 又，，令，()2,1,1CE =-- ()0,2,0BC = =1x -2z =是平面的一个法向量，()1,0,2n = BCE 则，cos ,m m m n n n ⋅==sin ,m n ∴= ∴二面角A BE C --【点睛】本题主要考查线面垂直及二面角的知识，属于中档题目.20．如图，斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A 、B 两点，直线PM 垂直平分弦AB ，且分别交AB 、x 轴于M 、P ，已知P (4，0).(1)求M 点的横坐标；(2) 求面积的最大值.PAB ∆【答案】（1）；（2）28【分析】（1）设，，，，，，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公1(A x 1)y 2(B x 2)y 0(M x 0)y 式，解方程可得所求坐标；（2）设直线即，与抛物线联立，运用韦达定理和弦长0:()2AB x m y y =-+0:2AB x my my =-+24y x =公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值．【详解】解：（1）设，，，，，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 0(M x 0)y 则，，，121200,22x x y y x y ++==2114y x =2224y x =，∴121212042y y k x x y y y -===-+而，004MP y k x =-由得，即；1MP k k =- 042x -=-02x =（2）设直线即，0:()2AB x m y y =-+0:2AB x my my =-+与抛物线联立得，24y x =204480y my my -+-=则，，124y y m +=12048y y my =-所以，12|||AB y y =-而到直线的距离为P AB d =所以01||2|22PAB S d AB my ∆==+又由于，012y m k==所以，222(24(PAB S m m ∆=+=+，则且，t =0t >222m t =-所以，234(3)124PAB S t t t t ∆=-=-令，3()124(0)g t t t t =->则，2()121212(1)(1)g t t t t '=-=-+当，，当时，，01t <<()0g t '>1t >()0g t '<故，()3()12418g t t t g =-= 即面积的最大值为8．PAB ∆【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝2AD ＝4，四边形EDCF 为矩形，DE ＝2，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF ∥平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；(3)若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF AP 的长．【答案】(1)证明见解析；；(3)6.【分析】（1）由DE ⊥CD ，及面面垂直的性质定理得线面垂直，取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立如图所求的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出平面的一个法向量，ABE 由法向量与的方向向量垂直，再由不在平面内可证线面平行；DF DF ABE （2）求出平面ABE 与平面BEF 的法向量，由法向量的夹角正弦值得二面角正弦值；（3）点P 在线段EF 上，由，用表示出点坐标，由与平面BEF 方向向量的夹角EP EF λ= λP AP，求出，从而可得线段长．λ【详解】(1)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ，又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD ＝CD ，∴ED ⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (2，0，0)，B (2，4，0)，C (﹣2，4，0)，E (0，0，2)，F (﹣2，4，2)，设平面ABE 的法向量＝(x ，y ，z )，m ∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(0，4，0)，BE AB 由，取z ＝1，得＝(1，0，1)，242040BE m x y z AB m y ⎧⋅=--+=⎨⋅==⎩ m 又＝(﹣2，4，2)，∴＝﹣2+0+2＝0，DF DF m ⋅ 则⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴DF ∥平面ABE ．DF m (2)解：设平面BEF 的法向量＝(a ，b ，c )，n ∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(﹣2，4，0)BE EF 由，取b ＝1，可得＝(2，1，4)，2420240BE n a b c EF n a b ⎧⋅=--+=⎨⋅=-+=⎩ n ∴cos ＜＞＝，,m n||||||m n m n ⋅== ∴sin ＜，,m n=即平面ABE 与平面BEF ．(3)解：∵平面BEF 的法向量＝(2，1，4)，n 点P 在线段EF 上，设P (m ，n ，t )，，则(m ，n ，t ﹣2)＝(﹣2λ，4λ，0)，EP EF λ= 解得P (﹣2λ，4λ，2)，∴＝(﹣2λ﹣2，4λ，2)，AP∵直线AP 与平面BEF∴||||||AP n AP n ⋅= 解得λ＝1，∴线段AP |．6=【点睛】本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角，直线与平面所成的角，从而求得空间线段长，解题关键是建立空间直角坐标系．考查了空间想象能力与运算求解能力．22．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为，点P 为椭圆22x a 22y b 1231,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点C (0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1＝2k 2，求直线l 斜率的值．【答案】（1）＋＝1；（2）.24x 23y 32【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P 在椭圆上求出椭圆的标准方程;31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx ＋1, 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2), 联立方程组消去y ,再将k 1＝2k 2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l 的斜率.【详解】(1)因为椭圆的离心率为，所以a ＝2c .12又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b .所以椭圆的标准方程为＋＝1.224x c 223y c 又因为点P 为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c ＝1.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭214c 2943c 所以椭圆的标准方程为＋＝1.24x 23y (2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx ＋1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程组消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.所以由根与系数关系可知x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－.2834k k +2834k +因为k 1＝，k 2＝，且k 1＝2k 2，所以＝.112y x +222y x -112y x +2222y x -即＝.　①()21212y x +()222242y x -又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以＝ (4－)，＝ (4－)．　②21y 3421x 22y 3422x 将②代入①可得：＝，即3x 1x 2＋10(x 1＋x 2)＋12＝0.1122x x -+()22422x x +-所以3＋10＋12＝0，即12k 2－20k ＋3＝0.2834k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭2834k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭解得k ＝或k ＝，又因为k >1，所以k ＝.163232【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.。

中江县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

中江县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1．设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（）A ．B ．C ．D ． 2．给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为负的是（） A ．①B ．②C ．③D ．④3．函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 4．已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．35．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）A ．四棱柱B ．四棱锥C ．三棱台D ．三棱柱6．设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（） A．（x ≠0） B．（x ≠0） C ．（x ≠0）D．（x ≠0）8．下列命题中的假命题是（）A ．∀x ∈R ，2x ﹣1＞0B ．∃x ∈R ，lgx ＜1C ．∀x ∈N +，（x ﹣1）2＞0D ．∃x ∈R ，tanx=2班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9．双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆M ：（x ﹣8）2+y 2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．C ．4D ．10．已知△ABC 是锐角三角形，则点P （cosC ﹣sinA ，sinA ﹣cosB ）在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．若函数f （x ）=ax 2+bx+1是定义在[﹣1﹣a ，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（） A ．5 B ．4C ．3D ．212．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π二、填空题13．若a ，b 是函数f （x ）=x 2﹣px+q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，且a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于．14．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 15．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是．16．设函数f （x ）=若f[f （a ）]，则a 的取值范围是．17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()ln R xf x x a a x=+-∈，若曲线122e e 1x x y +=+（e 为自然对数的底数）上存在点()00,x y 使得()()00f f y y =，则实数a 的取值范围为__________.18．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则k的取值范围是．三、解答题19．已知椭圆，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x2+y2=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．20．已知函数，且．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．21．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．22．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦距为2，且该椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点P（﹣2，0）分别作斜率为k1，k2的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k1k2的值．23．求函数f（x）=﹣4x+4在[0，3]上的最大值与最小值．24．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．25．已知函数f（x）的导函数f′（x）=x2+2ax+b（ab≠0），且f（0）=0．设曲线y=f（x）在原点处的切线l1的斜率为k1，过原点的另一条切线l2的斜率为k2．（1）若k1：k2=4：5，求函数f（x）的单调区间；（2）若k2=tk1时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）＜f（1﹣2t）成立，求实数a的取值范围．26．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．中江县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】A 【解析】考点：二元一次不等式所表示的平面区域. 2．【答案】B【解析】解：：①sin100°＞0，②cos （﹣100°）=cos100°＜0，③tan （﹣100°）=﹣tan100＞0，④∵sin＞0，cos π=﹣1，tan＜0，∴＞0，其中符号为负的是②，故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．3．【答案】B 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m 需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m 的取值范围是[]2,4.考点：二次函数图象与性质．4．【答案】C【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C5．【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，直角梯形的上下底分别为3和4，直角腰为1，棱柱的侧棱长为1，故选A.考点：三视图【方法点睛】本题考查了三视图的问题，属于基础题型，三视图主要还是来自简单几何体，所以需掌握三棱锥，四棱锥的三视图，尤其是四棱锥的放置方法，比如正常放置，底面就是底面，或是以其中一个侧面当底面的放置方法，还有棱柱，包含三棱柱，四棱柱，比如各种角度，以及以底面当底面，或是以侧面当底面的放置方法，还包含旋转体的三视图，以及一些组合体的三视图，只有先掌握这些，再做题时才能做到胸有成竹.6．【答案】B【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ），且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限，∴，∴θ为第二象限角，故选：B．【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．7．【答案】B【解析】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．8．【答案】C【解析】解：A．∀x∈R，2x﹣1=0正确；B．当0＜x＜10时，lgx＜1正确；C．当x=1，（x﹣1）2=0，因此不正确；D．存在x∈R，tanx=2成立，正确．综上可知：只有C错误．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数、正切函数的单调性，属于基础题．9．【答案】D【解析】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．10．【答案】B【解析】解：∵△ABC是锐角三角形，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴sinA﹣cosB＞0，同理可得sinA﹣cosC＞0，∴点P在第二象限．故选：B11．【答案】A【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，函数的最大值为：5．故选：A．【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．12．【答案】【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．依题意得（2r×2r＋12）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，2πr即（8＋π）r2＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0，即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0，∴r＝2，∴该几何体的体积为（4×4＋12）×5＝80＋10π.2π×2二、填空题13．【答案】9．【解析】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为：9．14．【答案】1 2考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题．15．【答案】（，+∞）．【解析】解：由题意，a＞1．故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，由f′（x）=0，得x=log a（log a e），x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．则x=log a（log a e）时，函数f（x）取到最小值，故有﹣log a（log a e）＞0，解得a＞．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．16．【答案】或a=1．【解析】解：当时，．∵，由，解得：，所以；当，f（a）=2（1﹣a），∵0≤2（1﹣a ）≤1，若，则，分析可得a=1．若，即，因为2[1﹣2（1﹣a ）]=4a ﹣2，由，得：．综上得：或a=1．故答案为：或a=1．【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为中档题．17．【答案】1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】结合函数的解析式：122e e 1x x y +=+可得：()()122221'1x x x e e y e +-=+，令y ′=0，解得：x =0，当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，则当x =0时，取最大值，最大值为e ， ∴y 0的取值范围（0，e ]，结合函数的解析式：()()R lnxf x x a a x=+-∈可得：()22ln 1'x x f x x -+=， x ∈（0，e ），()'0f x >，则f （x ）在（0，e ）单调递增，下面证明f （y 0）=y 0．假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．综上可得：f （y 0）=y 0．令函数()ln xf x x a x x =+-=．设()ln x g x x =，求导()21ln 'xg x x -=，当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0， g （x ）在（0，e ）单调递增，当x =e 时取最大值，最大值为()1g e e=，当x →0时，a →-∞，∴a的取值范围1,e ⎛⎤-∞⎥⎝⎦.点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．18．【答案】（﹣1，0）．【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5）△ABC的形状随着直线AC：y=kx+5斜率的变化而变化，将直线AC绕A点旋转，可得当C点与C1（2，5）重合或与C2（2，3）重合时，△ABC是直角三角形，当点C位于B、C1之间，或在C1C2的延长线上时，△ABC是钝角三角形，当点C位于C1、C2之间时，△ABC是锐角三角形，而点C在其它的位置不能构成三角形综上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得﹣1＜k＜0即k的取值范围是（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题给出二元一次不等式组，在表示的图形为锐角三角形的情况下，求参数k的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2），则，得y1=﹣，y2=，MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，椭圆的离心率为：==．（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必然存在，设过点A且与圆x2+y2=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kx﹣y+b=0，由于圆x2+y2=4内切于△APQ，所以r=2=，得k=±（b＞2），即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线PQ平行于x轴，∴y Q=y P=﹣2，不妨设点Q在y轴左侧，可得x Q=﹣x P=﹣2，则=，解得b=3，则a=6，∴椭圆方程为：．【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．20．【答案】【解析】【知识点】导数的综合运用利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）对求导，得，所以，解得，所以．（Ⅱ）由，得，因为，所以对于任意，都有．设，则．令，解得．当x变化时，与的变化情况如下表：所以当时，．因为对于任意，都有成立，所以．所以的最小值为．（Ⅲ）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”，即要证，所以只要证．由（Ⅱ），得，即（当且仅当时等号成立）．所以只要证明当时，即可．设，所以，令，解得．由，得，所以在上为增函数．所以，即．所以．故函数的图象在直线的下方．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）根据直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，得x+y﹣=0，直线l的直角坐标方程为x+y﹣=0，∵圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．∴（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．∴圆C的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．（Ⅱ）∵圆心C（﹣，﹣），半径为r，…（5分）圆心C到直线x+y﹣=0的距离为d==2，又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，∴r=3﹣2=1．【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意得，2c=2，=1；解得，a2=4，b2=1；故椭圆E的方程为+y2=1；（Ⅱ）由题意知，当k1=0时，M点的纵坐标为0，直线MN与y轴垂直，则点N的纵坐标为0，故k2=k1=0，这与k2≠k1矛盾．当k1≠0时，直线PM：y=k1（x+2）；由得，（+4）y2﹣=0；解得，y M=；∴M（，），同理N（，），由直线MN与y轴垂直，则=；∴（k2﹣k1）（4k2k1﹣1）=0，∴k2k1=．【点评】本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．23．【答案】【解析】解：∵，∴f′（x）=x2﹣4，由f′（x）=x2﹣4=0，得x=2，或x=﹣2，∵x∈[0，3]，∴x=2，极小值当x=0时，f（x）max=f（0）=4，当x=2时，．24．【答案】【解析】解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P （ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P （ξ=2）=++=；P （ξ=3）==；P （ξ=4）==．∴ξ的分布列为：1 2 3 4E ξ=0×+1×+2×+3×+4×=．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．25．【答案】【解析】解：（1）由已知，k 1=f'（0）=b ，设l 2与曲线y=f （x ）的切点为（x 0，y 0）（x 0≠0）则所以，即，则．又4k 2=5k 1，所以﹣3a 2+4b=5b ，即b=﹣3a 2因此f'（x ）=x 2+2ax ﹣3a 2=（x+3a ）（x ﹣a ）①当a ＞0时，f （x ）的增区间为（﹣∞，﹣3a ）和（a ，+∞），减区间为（﹣3a ，a ）． ②当a ＜0时，f （x ）的增区间为（﹣∞，a ）和（﹣3a ，+∞），减区间为（a ，﹣3a ）．…（2）由（1）若k 2=tk 1，则，∵ab ≠0，∴t ≠1，于是，所以，由f （x ）无极值可知，，即，所以由f（b）＜f（1﹣2t）知，b＜1﹣2t，即，就是3a2＜4（1﹣t）（1﹣2t），而，故，所以，又a≠0，因此．…【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性考查分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．26．【答案】【解析】解：（1）如图（2）它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，设长方体体积为V1，小三棱锥的体积为V2，则根据图中所给条件得：V1=6×4×4=96cm3，V2=••2•2•2=cm3，∴V=v1﹣v2=cm3（3）证明：如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；2016年4月26日。

福建省高二下学期第一次月考数学试题(Word版)

高二下学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）、、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数在处的导数为，则（）()f x 1x =6()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．2C ．D ．6232．如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确()y f x =()f x '()f x 的是（）A ．B ． ()()()213f f f ''>>'-()()()231f f f ''>>'-C ．D ．()()()312f f f >>''-'()()()321f f f >->'''3．已知某物体在平面上作变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之s t 间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（）()2ln 1s t t t =++-3t =A ．米/秒 B ．米/秒C ．米/秒 D ．米秒214()62ln2+212()4ln2+4．函数的图象大致为（）sin x xx xy e e --=+A ．B ．C ．D ．5．若对任意的，，且，都有，则m 的最小值是1x ()2,x m ∈+∞12x x <122121ln ln 2x x x x x x -<-（） A ．B ．C ．1D ．1ee 3e6．已函数及其导函数定义域均为，且，，则关于()f x ()f x 'R ()()0f x f x '->()01f =x的不等式的解集()e xf x >为（） A ． B ．C ．D ．{}0x x >{}0x x <{}1x x <{}1x x >7．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数()f x 0x ()00f x x =为“不动点”函数，则实数的取值范围是（） ()()e ln xf x x a x =-a A ． B ．C ．D ．(],0-∞1,e ⎛⎤-∞ ⎝⎦(],1-∞(],e -∞8．已知,则（） 1ln1.1,,11a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数的求导正确的是（）A ．B ．C ．D ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin cos x x '=()()'e 1e x x x x =+()1ln 22'=x x10．已知，下列说法正确的是（） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．若方程有两个不相等的实数()f x 1x =1y x =+()f x a =根，则 10a e<<C ．的极大值为D ．的极小值点为()f x 1e()f x e x =11．若函数在区间上存在最小值，则整数可以取（）()321233f x x x =+-()1,4a a -+a A ．-3B ．-2C ．-1D ．012．若存在实常数k 和b ，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x ()G x 和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已()F x kx b ≥+()G x kx b ≤+y kx b =+()F x ()G x 知函数，，（e 为自然对数的底数），则下列结2()()f x x x R =∈1()(0)g x x x=<()2ln h x e x =论正确的是（）．A ．函数在区间上单递减()()()m x f x g x =-,⎛-∞ ⎝B ．和之间存在“隔离直线”，且k 的最小值为 ()f x ()g x 4-C ．和之间存在“隔离直线”，且b 的取值范围是 ()f x ()g x [4,0]-D ．和之间存在“隔离直线”，且“隔离直线”不唯一()f x ()h x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数在点处的切线方程为____________． 1()ln f x x x=-(1,1)-14．函数，则________． ()2(1)21xf x f x x '=+-()0f '=15．不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围为________． 1e ln 0a x x a x --≥()1,x ∈+∞a 16．若函数在区间D 上有定义，且均可作为一个三角形的()g x ,,,(),(),()a b c D g a g b g c ∀∈三边长，则称在区间D 上为“M 函数”．已知函数在区间为()g x ()1ln x f x x k x -=-+1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦“M 函数”，则实数k 的取值范围为_________________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数，，且．求：()32f x x ax =-a ∈R ()11f '=(1)a 的值及曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)函数在区间上的最大值． ()f x []0,218. （12分）已知函数在及处取得极值．()32f x x ax bx c =+++13x =-1x =(1)求a ，b 的值；(2)若方程有三个不同的实根，求c 的取值范围． ()0f x =19．（12分）已知函数．()2211ln 2a f x x x x a +=-+(1)当时，求函数的单调增区间． 2a =()f x (2)讨论函数的单调性． ()f x20.（12分）2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计5a +(58)a ≤≤当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，x (1317)x ≤≤2(18)x -(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式； L x (2)求出的最大值． L ()Q a21．（12分）已知函数为的导数.()e cos 2,()x f x x f x '=+-()f x (1)当时，求的最小值；0x ≥()f x '(2)当时，恒成立，求的取值范围.π2x ≥-2e cos 20xx x x ax x +--≥a22．（12分）已知函数.2()e (e 2.718)=-= x f x ax (1)若在有两个零点，求实数的取值范围；()f x ()0,∞+a (2)设函数，证明：存在唯一的极大值点，且2()e [()1]x g x f x ax x =+--()g x 0x . 0321()e 4<<g x龙岩一中2024届高二下学期第一次月考数学试题参考答案题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BAABABBDBCBCBC DAB C13．14． 1 15． 16．23y x =-(],e -∞()2e 4,-+∞17．解:（1），解得：()32f x x ax =-Q ()'232f x x ax ∴=-()'1321f a ∴=-=1a =故，()32f x x x =-(1)0f =曲线在点处的斜率为，切线方程即 ...........5()y f x =()()1,1f 1k =(1)(1)y f k x -=-1y x =-分（2）由（1）可知：，令，解得()32f x x x =-()'232f x x x =-()'2320f x x x =-= 1220,3x x ==故当时，，所以单调递减；当时，，所以2[0,)3x ∈()'0f x <()f x 2[,2]3x ∈()'0f x >()f x 单调递增；区间内，当时取最大值，最大值为 ...........10分()f x []0,22x =(2)4f =18．解:（1）由题意得，函数在及处取得极值， ()232f x x ax b '=++()f x 13x =-1x =得，解得 .()11203331320af b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩11a b =-⎧⎨=-⎩此时，.()()()2321311x x x x f x --=+'-=当时，，函数在上单调递增； 13x <-()0f x ¢>()f x 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；113-<<x ()0f x '<()f x 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞所以，在处取得极大值，在处取得极小值，满足题意. ...........6分 ()f x 13x =-1x =（2）由（1）知，在处取得极大值，在处取得极小值．又有三()f x 13x =-1x =()0f x =个不同的实根，由图象知，解得，所以实数c 的取值范围是()150327110fc f c ⎧⎛⎫-=+>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-+<⎩5127c -<<5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭．...........12分19．解:（1）函数的定义域为，()2211ln 2a f x x x x a+=-+()0,∞+当时，，所以. 2a =()215ln 22f x x x x =-+()()221251252()22x x x x f x x x x x---+'=-+==故当时，，函数在上单调递增；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递减；1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增；()2,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()2,+∞所以函数的单调递增区间有和；...........4分()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭()2,+∞（2）由可得：()2211ln 2a f x x x x a+=-+. ()2221()11(1)()ax x a a ax a x a f x x a x ax ax--+-++'=-+==①当时，，在上单调递增；...........6分 a<0()0f x ¢>()f x ()0,∞+②当时，时，时，在上单调递增；01a <<()0,x a ∈()0f x ¢>()f x ()0,a 时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时，，在上单调递增；............8分 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭③当时，，且仅在时，，所以函数在上单调递增1a =()0f x '≥1x =()0f x '=()f x ()0,∞+；...........9分④当时，时，时，在上单调递增；1a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭时，时，在上单调递减； 1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭时，，在上单调递增；............11分(),x a ∈+∞()0f x ¢>()f x (),a +∞综上所述，当时，函数在上单调递增；a<0()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；01a <<()f x ()0,a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭当时，函数在上单调递增；1a =()f x ()0,∞+当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；...........12分1a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(),a +∞1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭20．解（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5x (1317)x ≤≤元，且每件产品需向税务部门上交元，(5)a +(58)a ≤≤所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：L x 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈．...........5分（2）∵，∴， 2(10)(18),[13,17]L x a x x =---∈(3823)(18)L a x x =+--'令，解得：或，而，则，...........7分 0L '=3823a x +=18x =58a ≤≤38216183a+≤≤①当，即时，当时，，单调递38216173a +≤<5 6.5a ≤<38213,3a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L >'A A A A L 增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值382,173a x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0L '<L 3823a x +=L 34(8)27a -；...........9分 ②当，即时，当时，，单调递增， 38217183a+≤≤ 6.58a ≤≤()13,17x ∈0L >'A A A A L ∴当时，取最大值，...........11分17x =L 7a -综上， ...........12分 ()()348,5 6.5277,6.58a a Q a a a ⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩21．（1）由题意，，令，则， ()e sin x f x x '=-()e sin x g x x =-()e cos x g x x '=-当时，，，所以，从而在上单调递增， 0x ≥e 1x ≥cos 1≤x ()0g x '≥()g x [0,)+∞则的最小值为，故的最小值1；...........4分()g x (0)1g =()f x '（2）由已知得当时，恒成立，令，π2x ≥-()e cos 20xx x ax +--≥()e cos 2x h x x ax =+--，...........5分()e sin x h x x a '=--①当时，若时，由（1）可知，∴为增函数， 1a ≤0x ≥()10h x a '≥-≥()h x ∴恒成立，∴恒成立，即恒成立，()()00h x h ≥=()0x h x ⋅≥()e cos 20x x x ax +--≥若，令则，令，则π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()e sin x m x x a =--()e cos x m x x '=-()e cos xn x x =-，()e sin x n x x '=+令，则，∵在在内大于零恒成立，()e sin x p x x =+()e cos x p x x '=+()p x 'π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭∴函数在区间为单调递增，又∵，，，()p x π,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭π2πe 102p -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭()01p =∴上存在唯一的使得，∴当时，，此时()p x 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00p x =0π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0n x '<为减函数，()n x 当时，，此时为增函数，又∵，，()0,0x x ∈()0h x '>()n x π2πe 02n -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()00n =∴存在，使得，∴当时，，为增函数，10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10n x =1π,2x x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0m x '>()m x 当时，，为减函数，又∵，，()1,0x x ∈()0m x '<()m x π2πe 102m a -⎛⎫-=+-> ⎪⎝⎭()010m a =-≥∴时，，则为增函数，∴，∴π,02x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭()0h x '>()h x ()()00h x h ≤=()e cos 20x x x ax +--≥恒成立，..........9分②当时，在上恒成立，则在上为增函数， 1a >()e cos 0x m x x '=-≥[0,)+∞()m x [0,)+∞∵，， ()010m a =-<ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+≥∴存在唯一的使，()20,x ∈+∞()20h x '=∴当时，，从而在上单调递减，∴，20x x ≤<()0h x '<()h x [)20,x ()()00h x h <=∴，与矛盾，...........11分()e cos 20xx x ax +--<2e cos 20x x x x ax x +--≥综上所述，实数的取值范围为. ...........12分 a (,1]-∞22．(1)解：令，，则，2()0xf x e ax =-=()0,x ∈+∞2e xa x=23．因为在有两个零点，所以函数与的图象有两个不同的交点，()f x ()0,∞+y a =2ex y x=令，则， ()22e (),0,h x x x =∈+∞()()23e 2e (),0,xx x h x x x x -'==∈+∞当时，；当时，． (0,2)x ∈()0h x '<(2,)x ∈+∞()0h x '>所以在单调递减，在单调递增，所以，()h x (0,2)(2,)+∞()()2mine 24h x h ==又当时，，当时，，所以；...........4分0x +→()h x →+∞x →+∞()h x →+∞2e4a >(2) 证明：，故，()e (e 1)x x g x =x --()e (2e 2)x xg x =x '--令，， ()2e 2x m x =x --()2e 1x m x ='-当时，，当时，， 1ln2x <()0m x '<1ln 2x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x 1(,ln )2-∞1(ln +)2∞，又，，，(0)0m =1ln 211(ln )2e ln 2ln 21022m =--=-<22(2)2e (2)20e 2m ==----->由零点存在性定理及的单调性知，方程在上有唯一根，...........6分()h x ()0m x =1(2,ln )2-设为且，从而有两个零点和，0x 002e 20xx =--()m x 0x 0当或时，，当时，，0x x <0x >()0g x '>00x x <<()0g x '<所以在单调递增，在上单调递减，在单调递增， ()g x 0(,)x -∞0(0)x ，(0+)∞，从而存在唯一的极大值点，由，得， ...........8分 ()g x 0x 002e 20x x =--002e 2xx +=，2000000000222111()e (e 1)(1)()(2)=224444x x x x x x g x x x x x ++-++∴=--=--=-+≤（）当且仅当，即时，取等号，002x x -=+01x =-若，则，与题意矛盾，01x =-0102e 22e 10x x =----≠故，所以取等不成立，所以得证，...........10分 01x ≠-01()4g x <又，在单调递增，012ln2x -<< ()g x 0,x -∞（）所以得证，...........11分 2242032()(2)e e (2)1e e e g x g ----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦所以............12分 0321()e 4g x <<。

广东省潮州市高级中学2019-2020学年高二数学理月考试卷含解析

广东省潮州市高级中学2019-2020学年高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点F（c，0）为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点P为双曲线左支上一点，线段PF与圆x2+y2=相切于点Q，且=，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用中位线定理，可得OQ∥PF′，|OQ|=|PF′|，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，即可得到．【解答】解：设左焦点为F′，由于O为F′F的中点，Q为线段PF的中点，则由中位线定理可得OQ∥PF′，|OQ|=|PF′|，由线段PF与圆x2+y2=相切于点Q，则|OQ|=，|PF′|=b，由双曲线的定义可得，|PF|﹣|PF′|=2a，即有|PF|=2a+b，由OQ⊥PF，勾股定理可得+（a+）2=c2，即b=2a，c2=5a2，∴e==．故选：C．2. 若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）A．18 B．6 C．2D．2参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．【解答】解：∵a+b=2，∴3a+3b故选B【点评】本题考查基本不等式求最值和指数的运算，属基本题．3. 已知函数的图象与直线相切于点，则bc 的最大值为（）A．16 B．8 C．4 D．2参考答案：A4. 下列函数中与为同一函数的是（）A、B、C、D、参考答案：C略5. 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）满足：（1）焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）；（2）离心率为，且求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有（）①双曲线C上任意一点P都满足||PF1|﹣|PF2||=6；②双曲线C的虚轴长为4；③双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；④双曲线C的渐进线方程为4x±3y=0．A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线性质求解．【解答】解：对于①，∵||PF1|﹣|PF2||=2a=6∴a=3又∵焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0）∴c=5∴离心率e=，故①符合条件；对于②，双曲线C的虚轴长为4，∴b=2，a==，∴离心率e=，故②不符合条件；对于③，双曲线C的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合，∴a=，e==，故③不符合条件；对于④，∵近线方程为4x±3y=0∴=，又∵c=5，c2=a2+b2，∴a=3∴离心率e=，故④符合条件．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线方程的性质的合理运用．6. 若函数在定义域R内可导，，且，，，，则的大小关系是( )A． B． C． D．参考答案：D7. 椭圆与双曲线有相同的焦点且离心率为，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．参考答案：A8. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是的等比中项，，则等于（）A．18 B．24 C．60 D．90参考答案：C9. 直线ax+2y+6=0与直线x+（a-1）y+（a2-1）=0平行，则a等于（▲）A．-1或2 B．2 C．-1D.参考答案：C略10. 下列命题中错误的是（）A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C．如果平面，，，那么D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．参考答案：﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由得，即A（1，2），代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣4=﹣3．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．故答案为：﹣312. 某程序框图如图所示，则输出的结果是_______．参考答案：13. 设，则等于 ()A．1.6 B．3.2 C．6.4D．12.8参考答案：C14. 设，若非是非的必要而不充分条件，则实数的取值范围为____________．参考答案：试题分析：由题意得，命题，解得，命题，即，解得，又因为非是非的必要而不充分条件，即是充分不必要条件，所以，解得，所以实数的取值范围为．考点：充要不必要条件的应用．【方法点晴】本题主要考查了充分不必要条件的判定及应用，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解、集合的运算，充分不必要条件和必要不充分条件的转换等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中正确求解不等式和充分条件之间的转化是解答的关键，属于中档试题．15. 若(1－2i)(x＋i)＝４－３ｉ(i是虚数单位），则实数ｘ为参考答案：2略16. 已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）= ．参考答案：﹣6【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（a）=a4+ab+1=8，从而a4+ab=7，由此能求出f（﹣a）．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，f（a）=8，∴f（a）=a4+ab+1=8，∴a4+ab=7，∴f（﹣a）=﹣a4﹣ab+1=﹣7+1=﹣6故答案为：﹣6．17. 已知函数的图像与轴没有公共点，则m的取值范围是__________(用区间表示）。

高二数学下学期第一次月考试卷

--平坝县红湖学校第二学期第一次月考试高二数学卷（120分钟完卷，总分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、设全集U={a,b,c,d,}，集合M ={a,c,d }，N ={b, d }，则（ U M ）∩N = （A ） { b } （B ） { d } （C ） { a, c } （D ） {b, d }2、已知向量的夹角大小为（A ）0° （B ）45° （C ）90° （D ）180° 3、若直线不平行于平面，则下列结论成立的是（）（A ）内所有的直线都与直线异面；（B ）内不存在与直线平行的直线；（C ）直线与平面有公共点. （D ）内所有的直线都与直线相交；4、已知（A ）（B ）－（C ）（D ）－5、不等式的解集为（A ）{x | ≤x ≤2} （B ）{x | ≤x <2} （C ）{x | x >2或x ≤} （D ）{x | x <2}6、双曲线－的离心率为（A ）（B ）2 （C ）（D ）7、若{}为等比数列，S n 为前n 项的和，S 3=3,则公比q 为（）（A ）1或（B ）-1 或（C ）（D ）或8、若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（A ）（B ）（C ）（D ）(2,1),(1,2),a b a b ==-则与a ααa αa a ααa 4(,0),cos ,tan 25x x x π∈-==则34344343312x x --0≤13131329x 216144y =25445n a 3a 21-2121-2121-)(x f 2x y =y x =)(x f 2x =)(x f 2log x =)(x f 12log x =)(x f 1()2x=9、长方体中，底面为正方形，，则异面直线与所成角的余弦值为（A ）（B ）（C ）（D ）10、下列命题中，为真命题的是（A ）若，则（B ）若，则（C ）若，则（D ）若，则11、若直线被圆所截得的弦长为,则实数a 的值为（A ）–1或（B ）1或3 （C ）–2或6 （D ）0或412、设为两条直线，为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是( )（A ）若与所成的角相等，则（B ）若，则（C ）若则（D ）.若则二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成；14、已知满足,则15、函数在上是减函数，则实数a 的取值范围是____________。

2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理[1]

2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题理本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2,}M zi =，i 为虚数单位，{3,4}N =，{4}MN =，则复数z ＝（A ）2i - （B ）2i （C ）4i - （D ）4i （2）已知函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+,则()()11f f +'的值等于（A ）1 （B ）52 （C ）3 （D ）0 （3）已知函数52()ln 33f x x x =-，则0(1)(1)limx f f x x∆→-+∆=∆ （A ）1 （B ）1- （C ）43- （D ）53-（4）某班数学课代表给全班同学出了一道证明题.甲说：“丙会证明.”乙说：“我不会证明.”丙说：“丁会证明.”丁说：“我不会证明.”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（A ）甲（B ）乙（C ）丙（D ）丁（5）已知,x y R ∈， i 为虚数单位，若()123xi y i +=--，则x yi +=（A ）10 （B ）3 （C ）5 （D ）2 （6）函数()()3e xf x x =-的单调递增区间是（A ）()0,3 （B ）()1,4 （C ）()2,+∞ （D ）(),2-∞（7）函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（A ）6 （B ）5 （C ）1 （D ）0（8）以正弦曲线sin y x =上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（A ）30,,424πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ （B ）[)0,π （C ）3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭（9）在复平面内，若2(1)(4)6z m i m i i =+-+-所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是（A ）(0,3) （B ）(,2)-∞- （C ）(2,0)- （D ）(3,4)（10）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，错误．．的是（11）若函数()2(0)xf x a x a=>+在[)1,+∞上的最大值为33，则a ＝（A ）31- （B ）34 （C ）43（D ）31+ （12）已知()f x 是定义在区间(0)+∞，上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()2()x f x f x '<恒成立，则（A ）4(1)(2)f f < （B ）4(1)(2)f f > （C ）(1)4(2)f f < （D ）(1)4(2)f f '<第II 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分. （13）若函数321()(1)3f x x f x x '=-⋅+，则(1)f '=__________．（14）由曲线xy e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于__________．（15）观察下列各式： 1a b +=， 223a b +=， 334a b +=， 447a b +=， 5511a b +=，…，则1010a b +=（16）若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知复数()()227656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，（1）z 是实数；（2）z 是纯虚数；（3）当106za =-时，求z 的共轭复数.（18）（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足)(1,111++∈+==N n a a a a nnn (1)分别求234,,a a a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明.（19）（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-的最大值与最小值．（20）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln xx.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)若y ＝xf (x )＋1x的图象总在直线y ＝a 的上方，求实数a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t （百万元），可增加的销售额为25t t -+（百万元）03t ≤≤（）. （1）若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大？（注：收益=销售额-投入费用）（2）现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预算，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为32133x x x -++（百万元），请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大.（22）（本小题满分12分）已知函数()ln m f x x x=+（其中m R ∈），()161x g x e x +=-+（其中e 为自然对数的底数）.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2450x y -+=垂直，求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥成立，求实数m 的取值范围.xx 第二学期第一次考试高二年级理科数学试题参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CCBBACADDDAB（1）【答案】C 【解析】由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，故z ＝4i ＝4i i 2＝－4i.（2）【答案】C 【解析】由导数的几何意义得()()1151,112.222k f f ===⨯+=' 所以()()11f f +'=15+=322，故选C. （3）【答案】B（4）【答案】B 【解析】如果甲会证明，乙与丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意；排除选项A ；如果丙会证明，甲乙丁都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项C ；如果丁会证明，丙乙都说了真话，与四人中只有一人说了真话相矛盾，不合题意，排除选项D ，故选B. （5）【答案】A 【解析】()123xi y i +=-- 21{3y x -=⇒=- 3{1x y =-⇒=，则10x yi +=. （6）【答案】C 【解析】()()()e 3e e2xxxf x x x '=+-=-，令()()e 20x f x x '=->，解得2x >，所以函数()f x 的单调增区间为()2,+∞．故选C ．（7）【答案】A 【解析】()()322()23,6661f x x x a f x x x x x '=-+∴=-=-，令()0,f x '=可得0,1x =，容易判断极大值为()06f a ==.故选A. （8）【答案】D 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则][3tan cos 1tan 10,,44k x ππαααπ⎡⎫==∴-≤≤∴∈⋃⎪⎢⎣⎭，故选D.（9）【答案】D 【解析】整理得22(4)(6)z m m m m i =-+--对应的点位于第二象限，则224060m m m m ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩，解得34m <<. （10）【答案】D 【解析】经检验，A ：若曲线为原函数图象，先减后增，则其导函数先负后正，正确；B ：若一直上升的函数为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；C:若下方的图象为原函数图象，单调递增，则其导函数始终为正，正确；D ：若下方的函数为原函数，则其导函数为正，可知原函数应单调递增，矛盾；若上方的函数图象为原函数图象，则由导函数可知原函数应先减后增，矛盾.故选D. （11）【答案】A②当1a ≤，即1a ≤时， ()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()()max 111f x f a ==+．令1313a =+，解得31a =-，符合题意．综上31a =-．（12）【答案】B 【解析】设函数2()()f x g x x=(0)x >，则243()2()()2()()0x f x xf x xf x f x g x x x''--'==<，所以函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以(1)(2)g g >，即22(1)(2)12f f >，所以4(1)(2)f f >，故选B. 二、填空题（13）【答案】23【解析】∵f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2+x ，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x +1， ∴f ′(1)＝1－2f ′(1)+1，∴f′(1)＝23. （14）【答案】e －12 【解析】由已知面积S ＝10⎰(e x＋x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 210|＝e ＋12－1＝e －12.（15）123（16）【答案】12【解析】设直线y kx b =+与曲线ln 1y x =+和ln(2)y x =+的切点分别为()11,x kx b +，()22,x kx b +.由导数的几何意义可得12112k x x ==+，得122x x =+，再由切点也在各自的曲线上，可得1122ln 1,(),ln 2kx b x kx b x +=++=+⎧⎨⎩联立上述式子解得12k =. 三、解答题（17）解：（1）Z 是实数， 2560a a --=，得61a a ==-或（2）Z 是纯虚数， 2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a = （3）当106za =-时， ()()1110a a i -++=，得()()221110a a -++=，得2a =± 当2a =时， 412z i =--,得412Z i =-+；当2a =-时， 248z i =+,得248Z i =-(18) 解： (1）3111,2112121223112=+=+==+=a a a a a a ，41113131334=+=+=a a a (2）猜想)(1+∈=N n na n ①当n =1时命题显然成立②假设)(+∈=N k k n 命题成立，即ka k 1= 当11111111+=+=+=+=+k a a ，ak n kk k k k 时 1+=∴k n 时命题成立综合①②，当+∈N n 时命题成立（19）解：(1) 2()32f x x ax b '=++，由题意2()03(1)0f f ⎧'-=⎪⎨⎪'=⎩即44033320ab a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩ 解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，经检验符合题意，321()22f x x x x ∴=--(2)由(1)知2()3()(1)3f x x x '∴=+-，令()0f x '=，得122,13x x =-=，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －2⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1,2) 2f ′(x )＋0 －0 ＋f (x ) －6极大值2227极小值－322由上表知f max (x )＝f (2)＝2，f min (x )＝f (－2)＝－6. （20）解：(I) 21ln ()xf x x-'=当0x e << 时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数． (2)依题意得，不等式1ln a x x<+对于0x >恒成立．令1()ln g x x x =+，则22111()x g x x x x-'=-=. 当(1,)x ∈+∞时，21()0x g x x -'=>，则()g x 是(1,)+∞上的增函数；当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 是(0,1)上的减函数．所以()g x 的最小值是(1)1g =，从而a 的取值范围是(,1)-∞．（21）解：（1）设投入广告费t （百万元）后由此增加的收益为()f t （百万元），则()2254f t t t t t t =-+-=-+ ()224t =--+， 03t ≤≤.所以当2t =时， ()max 4f t =，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大.（2）设用于技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的费用为()3x -（百万元），则由此两项所增加的收益为()()23213[33g x x x x x =-+++-- ()3153]3433x x x +--=-++.()2'4g x x =-+，令()2'40g x x =-+=，得2x =或2x =-（舍去）.当02x <<时， ()'0g x >，即()g x 在[)0,2上单调递增；当23x <<时， ()'0g x <，即()g x 在(]2,3上单调递减， ∴当2x =时， ()()max 2523g x g ==. 故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为253百万元. （22）（2）由()161x g x ex +=-+， ()1'6x g x e +=-，当[]2,3x ∈时， ()'0g x >， ()g x 单调递增，故()g x 有最小值()3211g e =-，因为对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在[]22,3x ∈使得()()312120f x g x e -+-≥，即()()31212f x e g x +-≥成立，所以对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()3311211f x e e +-≥-，即()11f x ≥，也即11ln 1m x x +>成立，从而对任意11,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有111ln m x x x ≥-成立，构造函数()ln x x x x ϕ=- 1,22x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()'ln x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，得1x =，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'0x ϕ>， ()x ϕ单调递增；当()1,2x ∈时， ()'0x ϕ<， ()x ϕ单调递减，∴()x ϕ的最大值为()11ϕ=，∴1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[)1,+∞.【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

2020年高二下学期理数第一次在线月考试卷

2020 年高二下学期理数第一次在线月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）已知直线 l1 过点 A(－1，－1)和 B(1,1)，直线 l2 的倾斜角是直线 l1 的倾斜角的 2 倍，则直线 l2 的斜率是（）A.1B . －1C.2D . 不存在2. （2 分） (2018 高二上·大庆期中) 命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，3. （2 分） (2018 高二上·武汉期中) 下列命题中错误的是（）A . 命题“若，则”的逆否命题是真命题B . 命题“”的否定是“C.若为真命题，则为真命题D.在中，“”是“”的充要条件4. （2 分）已知命题：则实数的取值范围为（）A.，命题：第 1 页共 11 页”若为假命题，B.C.D.或5. （2 分） (2015 高二下·铜陵期中) 抛物线 y=﹣的焦点坐标是（）A.B. C . （﹣2，0） D . （0，﹣2）6. （2 分） (2018 高二下·龙岩期中) 圆半径是 1，圆心的极坐标是，则这个圆的极坐标方程是（）A.B. C. D. 7. （2 分） (2016 高二上·天心期中) 与圆 x2+y2=1 及圆 x2+y2﹣8x+12=0 都外切的圆的圆心在（）A . 一个椭圆上 B . 双曲线的一支上 C . 一条抛物线上D . 一个圆上8. （2 分） (2016 高二下·南城期末) 以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆离心率为（）A . ﹣1第 2 页共 11 页B.C.D.9.（2 分）若长度为定值的线段 AB 的两端点分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则的重心、内心、外心、垂心的轨迹都不可能是（）A.点B . 线段C . 圆弧D . 抛物线的一部分10. （2 分） (2017·枣庄模拟) 若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积为（）A . 34πB.C. D . 114π11. （2 分） (2019 高三上·上海月考) 已知、是关于的方程的两个不同实数根，则经过两点、的直线与双曲线A.0第 3 页共 11 页的交点个数为（）B.1C.2D . 根据的值来确定12. （2 分） (2017 高二上·广东月考) 已知抛物线是直线与的一个交点，若，则的焦点为，准线为，是上一点，（）A. B. C. D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13.（1 分）(2018 高三上·江苏期中) 集合 14. （1 分）抛物线 y=2x2 的焦点坐标是________，则集合 A 中所有元素之积为________.15. （1 分） (2019 高二上·龙潭期中) 若点在双曲线横坐标相同，则点与双曲线的左焦点的距离为________上，它的横坐标与双曲线的右焦点的16. （1 分） (2018·凯里模拟) 过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于的左、右焦点分别为( 、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为 3，则双曲线的通径为________.三、解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （5 分） (2016 高二上·临川期中) 命题 p：函数 f（x）=R 上为单调递减函数，命题 q：∀ x∈[0，]，x2﹣a≤0 恒成立．第 4 页共 11 页（a＞0，且 a≠1）在（1）求命题 q 真时 a 的取值范围；（2）若命题 p∧q 为假，p∨q 为真，求 a 的取值范围．18. （15 分）据报道，某公司的 33 名职工的月工资（以元为单位）如下：职务董事长副董事长董事总经理经理人数 11215工资 5 5005 0003 500 3 000 2 500管理员职员3202 0001 500（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；（2）假设副董事长的工资从 5000 元提升到 20000 元，董事长的工资从 5500 元提升到 30000 元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？（精确到元）（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．19. （10 分） (2018 高二上·牡丹江期中) 经过点 M（2,1）作直线 l 交椭圆为 AB 的中点，求直线 l 的方程。

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第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求)1．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0 2.与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A.13，1，1 B.(－1，－3,2)C.－12，32，－1D.()2，－3，－223．函数f (x )＝x 2－ln 2x 的单调递减区间是( )A.0，22B.22，＋∞C.－∞，－22，0，22D.－22，0，0，224．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°5．已知点P 是曲线3335y xx上的任意一点，设点P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围为()A ．2[0,]3 B ．2[0,)[,)23C ．2(,]23D ．2[,]336.在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB→＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( )A.16B.56C.76D.－167．设函数在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数的图象可能是8．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有：OM -→＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为()A ．1B ．0C ．13 D. 39．已知棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是上底面A 1B 1C 1D 1的中心,则O 到平面ABC 1D 1的距离为( ) A ．12B ．24 C ．22 D ．3210.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f ，当0x时，有2'()()xf x f x x恒成立，则不等式()0xf x 的解集为（）A ．(－2,0)∪(2,+∞)B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D ． (－2,0)∪(0,2)11.若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A.3B.－3 C.－11 D.3或－1112．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，4]C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，)13．已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线过点P (2，4)的切线方程________14. 非零向量e 1，e 2不共线，使ke 1＋e 2与e 1＋ke 2共线的k 的值是________．15.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于________16.对于三次函数32()f x axbxcxd (0)a，给出定义：设'()f x 是()y f x 的导数，''()f x 是'()f x 的导数，若方程''()0f x 有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x 的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数32115()33212g x xxx，则1220192019gg20182019g。

三、解答题(共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分)如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点.(1)求证：直线BC ⊥平面PAC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋12x 2－ax ＋1 (a >1)．(1)求函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当a >1时，求函数y ＝f (x )的极值．19. (本小题满分12分)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. (1)求证：BE ∥平面PAD ；(2)若BE ⊥平面PCD ，求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值；20.已知函数)(x f 满足C x xf xx f 2332')(（其中32'f 为)(x f 在点32x处的导数，C 为常数）．（1）求32'f 的值；（2）设函数xe x xf xg ])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[x 上单调，求实数C 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°. (1)求二面角F-BE-D的余弦值；(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22. (本小题满分12分)已知函数()f x=e x(e x﹣a)﹣a2x．（1）讨论()f x的单调性；（2）若()0f x，求a的取值范围．理科数学试卷答案一、选择题1---6 ACADBD 7---12ACBDAB二、填空题13．4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 14．±１ 1523. 16.2018 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分). 【解】(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ?平面PAC ，AC ?平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1).故CB →＝(3，0,0)，CP →＝(0,1,1).设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则CB→·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1).因为AP →＝(0,0,1)，AB→＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则AP →·n 2＝0，AB→·n 2＝0，所以z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1,3，0).于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.18．解：(1)f (0)＝1，f ′(x )＝ax ＋1＋x －a ＝x （x －a ＋1）x ＋1，f ′(0)＝0，所以函数y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f ′（x )＝0，即x （x －a ＋1）x＋1＝0.解得x ＝0或x ＝a －1.当a >1时，f (x )，f ′(x )随x 变化的情况如下：x (－1，0)0(0，a －1)a －1(a －1，＋∞）f ′（x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗可知f (x )的单调减区间是(0，a －1)，增区间是(－1，0)和(a －1，＋∞)，极大值为f (0)＝1，极小值为f (a －1)＝a ln a －12a 2＋32.19. 【解】设AB ＝a ，PA ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E a ，a ，b2.(1)证明：BE →＝0，a ，b2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ?平面PAD ，所以BE ∥平面PAD .(2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ，即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b22＝0，则b ＝2a .PD →＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a222a ·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.20．【解析】（1）由C xxf xx f 2332')(，得132'23)('2x f xx f ．取32x，得13232'232332'2f f ，解之，得132'f ，（2）函数xxe C xx e x x f x g )())(()(23，有xxe C xxex x g )()12()2/（=（–x 2– 3 x+C –1）e x，当函数在区间]2,3[x上为单调递增时，等价于h（x ）= –x 2–3 x+C –在]2,3[x 上恒成立, 只要h （2），解得，当函数在区间]2,3[x 上为单调递减时，等价于h （x ）= –x 2–3 x+C –在]2,3[x 上恒成立, 即=0)1(49c ，解得–45，所以c 的取值范围是或–45．21．(1)解：因为DE ⊥平面ABCD ，所以∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°，所以ED BD＝ 3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝6.如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·BF→＝0，n ·EF →＝0，即－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →＝(3，－3，0)为平面BDE 的一个法向量，]所以cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA→|n ||CA →|＝626×32＝1313.故二面角F -BE -D 的余弦值为1313.(2)解：依题意，设M (t ，t ，0)(t ＞0)，则AM →＝(t －3，t ，0)，因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n＝0即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.[所以点M 的坐标为(2，2，0)，此时DM →＝23DB →，所以点M 是线段BD 上靠近点B 的三等分点．22.解：（1）函数()f x 的定义域为22(,),()2(2)()xxxxf x eaeaea ea ①若0a ，则2()xf x e ，在(,)单调递增②若0a ，则由()0f x 得ln xa当(,ln )xa 时，()0f x ；当(ln ,)x a 时，()0f x ；故()f x 在(,ln )a 单调递减，在(ln ,)a 单调递增③若0a ，则由()0f x 得ln()2a x当(,ln())2a x时，()0f x ；当(ln(),)2a x时，()0f x ；故()f x 在(,ln())2a 单调递减，在(ln(),)2a 单调递增（2）①若0a，则2()xf x e ，所以()0f x ②若0a ，则由（1）得，当ln xa 时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a ，从而当且仅当2ln 0a a，即1a时，()f x ③若0a，则由（1）得，当ln()2a x 时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a ，从而当且仅当23[ln()]042a a ，即342a e 时，()f x 综上，a 的取值范围是34[2,1]e。