抛物线的焦点与准线
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抛物线的焦点与准线(高中知识有关)
九上P54、活动2(新书)
一、 高中知识:文科选修(1-1)P53-55;理科选修(1-1)P56-59
抛物线的几个定义:把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线L 叫做抛物线的准线.
公式:抛物线c bx ax y ++=2
的焦点为)414,2(2a b ac a b +--,准线为a
b a
c y 41
42--= 二、 试题:
1、(2010黄冈市,25,15分)已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠顶点为C (1,1)且过原点O .过抛物线上一点P (x ,y )向直线5
4
y =
作垂线,垂足为M ,连FM (如图).
(1)求字母a ,b ,c 的值; (2)在直线x =1上有一点3
(1,
)4
F ,求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标,并证明此时△PFM 为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P ,是否总存在一点N (1,t ),使PM =PN 恒成立,若存在请求出t 值,若不存在请说明理由.
2、2012年山东潍坊市
24.(本题满分11分)如图,已知抛物线与坐标轴分别交于
A (-2,0)、
B (2,0)、
C (0,-1)三点,过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点.分别过点C ,
D (0,-2)作平行于x 轴的直线21l l 、. (1)求抛物线对应二次函数的解析式; (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切;
(3)求线段MN 的长(用k 表示),并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长.
3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷
24、如图所示,过点F (0,1)的直线y=kx+b 与抛物线
y =
14
y 2交于M (x 1,y 1)和N (x 2,y 2)两点(其中x 1<0,x 2>0). (1)求b 的值. (2)求x 1?x 2的值.
(3)分别过M ,N 作直线l :y=﹣1的垂线,垂足分别是 M 1和
N 1.判断△M 1FN 1的形状,并证明你的结论. (4)对于过点F 的任意直线MN ,是否存在一条定直线 m ,使m 与以MN 为直径的圆相切.如果有,请求出这条直线m 的解析式;如果没有,请说明理由.
第22题图
4、2010年南通市中考试题(五中月考)
28.(本小题满分14分)(2010年南通市)
已知抛物线y =ax 2
+bx +c 经过A (-4,3)、B (2,0)两点,当x =3和x =-3时,这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C (0,-2)的直线l 与 x 轴平行,O 为坐标原点.
(1)求直线AB 和这条抛物线的解析式;
(2)以A 为圆心,AO 为半径的圆记为⊙A ,判断直线l
与⊙A 的位置关系,并说明理由;
(3)设直线AB 上的点D 的横坐标为-1,P (m ,n )是
抛物线y =ax 2
+bx +c 上的动点,当△PDO 的周长最小时,求四边形CODP 的面积. 5、(2011-2012福州市九上期末考试题)
22.(14分)已知抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 经过点A
(-2,0)、B (0,1)两点,且对称轴是y 轴,经过点
C (0,2)的直线l 与x 轴平行,O 为坐标原点,P 、Q 为
抛物线c bx ax y ++=2
(0≠a
)上的两动点。
(1)求抛物线的解析式;
(2)以点P 为圆心,PO 为半径的圆记为⊙P ,
判断直线l 与⊙P 的位置关系,并证明你的结论; (3)设线段9=PQ ,G 是PQ 的中点,求点G 到直
线l 距离的最小值。
6、(2012四川资阳9分)抛物线21y=x +x+m 4
的顶点在直线y=x+3上,过点F (-2,2)的直线交该抛物线于点M 、N
两点(点M 在点N 的左边),MA ⊥x 轴于点A ,NB ⊥x 轴于点B .
(1)(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m 的代数式表示),再求m 的值; (2)(3分)设点N 的横坐标为a ,试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标,并说明NF =NB ;
(3)(3分)若射线NM 交x 轴于点P ,且PA ×PB =
100
9
,求点M 的坐标. 抛物线的焦点与准线(高中知识有关)答案
1、(2010黄冈市,25,15分)【分析】.(1)抛物线的顶点为C (1,1),可设解析
式为y =a (x -1)2+1,又因抛物线过原点,可得a =-1,所以y =-(x -1)2
+1,化简得y
=-x 2
+2x ,即可求字母a ,b ,c 的值;(2)由FM =FP ,PM 与直线5
4
y =
垂直,可得5334
y -=-,∴1
4y =,代入y =-x 2+2x ,解得1x =±∴点
P 坐标为(1+14
)或(1,14),所以分两种情况,通过计算可得△PFM 为正三角形;(3)由PM =PN 可得5
4
y
-,
(第28题)
整理得,23920216t yt y -+
-=,解得134t =,2324t y =-(舍去),故存在点N (1,3
4
),使PM =PN 恒成立.
【答案】.(1)a =-1,b =2,c =0
(2)∵FM =FP ,PM 与直线54y =
垂直,∴533444y -=-,∴14
y =, 把14
y =
代入y =-x 2
+2x ,解得31x =P 坐标为
(3114)或(31,1
4
),
当点P 坐标为(311
4
)时,MP =MF =PF =1,∴△PFM
为正三角形, 当点P 坐标为(31,1
4
)时,MP =MF =PF =1,∴△PFM 为正三角形,
∴当点P 坐标为(31+
14)或(31,1
4
)时,△PFM 为正三角形; (3)存在,∵PM =PN ,∴ 54
y -()()22
1x y t -+-,
两边同时平方得,2255162
y y -+=()()22
1x y t -+-
∵y =-x 2
+2x ,∴23920216
t yt y -+-=,
解得134t =,2324t y =-(舍去),故存在点N (1,3
4
),使PM =PN 恒成立.
【涉及知识点】二次函数,等腰三角形,等边三角形 【点评】本题是一道综合性较强的题目,第(1)问较简单,考查大多数学生的能力水平,第(2)问、(3)问较难,解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程,从而求出点的坐标,在第(3)问中要注意解关于t 的字母系数方程,本题有一定的区分度.
【推荐指数】★★★★★
2、2012年山东潍坊市24.(本题满分ll 分)
解:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2
+bx +c ,
由⎩⎨⎧+-==-++=c b a c
c b a 2401240 解得⎩⎨⎧=-==41
1
0a c b 所以14
12
-=
x y .……3分 (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),因为点M 、N 在抛物线上,
所以,141,1412
22211-=-=
x y x y ,所以x 22=4(y 2+1); 又ON 2=x 22+y 22=4(y 2+1)+y 22=(y 2+2)2
,所以ON =22y +,又因为y 2≥-l ,