第六章结构力学

四、 计算方法
1.几何法
研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式 的办法求出某截面的位移（材料力学用过，但对复 杂的杆系不适用）。
〈 2. 功能法
虚功原理
应变能(卡氏定理)
本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。
§6-2 变形体系的虚功原理
一、实功和虚功
结构力学
例 F1力在其引起的位移Δ11 上作的功为实
外力虚功
W FKK FR1c1 FR2c2 FR3c3 1• K FRc
变形虚功
Wi F Ndu Md Fs ds
s
s
s
由虚功原理有：W= Wi
ΔKP
等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的 外力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状 态的变形上做的内力虚功之和。
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
例：当A支座向上移动一
A'
个已知位移c1，求点B产生的 竖向位移⊿。
c1
A
a
C
B
△
b
在拟求线位移的方向加单位力
由平衡条件
F yA b a
A
F yA
1
C B
令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功，
得虚功方程
Δ1 c1 F yA 0
求得
Δ
c1
F
yA
c1
(
b) a
§6-1 概述
结构力学
三、 本章位移计算的假定
(1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
叠加原理适用（principle of superposition)
§6-1 概述
结构力学
§6-1 概述
结构力学
2. 位移的分类
P
A
A
Ay
A
位移
线位移 转角位移
Ax
A A点线位移
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
§6-1 概述
C'
CV C D
CDV
DV
D'
A
B
C'
C
D
D'
CD
A
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结构力学
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
广义力 ——与广义位移对应的就是广义力， 可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方 向相反的力或力偶，也可以是一组力系。
注意：广义位移与广义力的对应关系，能够 在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广 义位移对应的广义力。
§6-2 变形体系的虚功原理
三、变形体系虚功原理
结构力学
定义：设变形体在力系作用下处于平衡状 态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束 条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外 虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的 内虚功Wi ，即W=Wi 。
A
FC
B
D
F
E
a
a
a a /2 a /2
F
F
A
B
C
DE
FC
撤除与FC相应的约束, 将FC变成主动力，取与FC 正向一致的刚体位移作为虚 位移。
列出虚功方程：
A
δB δ C
δD δE
B
C
DE
FC δC F δB FδE 0
即
FC
δC
F
(
1 2
δC
)
F
(
3 4
δC
)
0
故
5 FC 4 F
注意: 虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡 方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。
W q(s)w(s)ds FPii FRKCK
i
K
微段ds的内虚功dWi：
dWi Md FQd FNd M ds FQ 0ds FNds
(M FQ 0 FN )ds
整根杆件的内虚功为：
Wi dWi (M FQ 0 FN )ds
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§6-2 变形体系的虚功原理
s EA
s EI
拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也是 不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩 三项因素都须要考虑进去。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 结构力学
例6-1 图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截
面惯性矩 I 均为常数，试求B点的竖向位移△BV，水
平位移△BU, 和位移△B 。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 结构力学
对于直杆，则可用dx代替ds。计算位移的公式为
l
ΔKP
0
F N FNP dx l
EA
0
FS
FSP
dx
l
GA
0
M M P dx EI
F N、F—S、—M 单位力状态下结构的轴力、剪力和矩
方程式。
FNP、F— SP、—M实P 际荷载引起结构的轴力、剪力和
q
B
解: (1) 作出荷载作用下的
x
C
弯矩图，写出各杆的弯矩方程。
a EI=常数
横梁BC
A
M
P
(x)
1 2
qx2
(0 x a)
a
0.5 B
竖柱CA
C
M
P
(x)
1 2
qa 2
(0 x a)
MP A ql 2
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 结构力学
结构力学
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
思考：变形与位移的差别？
变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。
两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一 定有形变。
Δ F N FNP dx
EA
桁架各杆均为等截面直杆则
Δ F N FNP l EA
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 结构力学
（3）组合结构
Δ1
M M P ds F N FNPl
EI
EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力的 影响不计，位移计算公式为
Δ F NFNP ds M M P ds
静定和超静定结构； 3. 材料性质：线性、非线性； 4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；
5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 结构力学
试确定指定广义位移对应的单位广义力
A
F=1
(a)
A
?
F=1 B
A F=1
(b)
AB ?
q(s)
FP 2
FP 3
结构力学
ds
q(s)ds
ds
FR1
FP1
FR 2
第一状态 （给定平衡力系）
C1 w(s) 2
3 C2
1
第二状态
（给定位移和变形）
M
M
d ds ds
γ0
d 0ds
d
FQ
FQ
FN
FN
ds
ds
ds
d ds 14
§6-2 变形体系的虚功原理
外力虚功：
结构力学
W q(s)w(s)ds FP11 FP22 FP33 FR1C1 FR2C2
对于任何可能的虚位移，作
用于刚体系的所有外力所做虚
功之和为零。
ΔP
-FP ΔP +FB ΔB=0
FAx FAy
FP ΔB
FB
§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
四、虚功原理的两种应用
虚位移一原个理力系平衡的充分必要条件是：对任 意协调位移，虚功方程成立。
令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立 的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实 际力系中的未知力。这就是虚位移原理。
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§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
条件：1）存在两种状态： 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。
2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。
3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性结构。 下面讨论W及Wi 的具体表达式。
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§6-2 变形体系的虚功原理
结构力学
小结：
1) 只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变 形是符合约束条件的微小连续变形。
2)上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静 定、杆系及非杆系结构），适用于弹性或非 弹性结构。
3)考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。
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§6-2 变形体系的虚功原理 回顾
（1）质点系的虚功原理
结构力学
具有理想约束的质点系，在某一位置
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 结构力学
F=1 A
(c)
A ?
A
B
F=1
F=1
(d)
AB
?
§6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 结构力学
F=1 A
F=1 C
(g)
B AB ?
F=1 F=1
(h)
C 左右 =？
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 结构力学
荷载作用引起的位移计算
处于平衡的必要和充分条件是：
FN1
FP1
对于任何可能的虚位移，作用于质