2018届广州市高三年级调研测试(理科数学)答案

．
12k 6k 2 8
所以
B
3k
2
, 4
3k 2
设平面 PCE 的法向量为 n (x1, y1, z1) ，
则
n
CP
0,
即
2
y1
2 z1
0,
n CE 0, 3x1 y1 z1 0.
z P
令
y1
1
，则
y1
z1
1, 1.
，则法向量
n
0,1,1
．……………10
分
E
设平面 CDE 的法向量为 m (x2 , y2 , z2 ) ，
解法 2：因为 a b c 2R ，且 a 2 ， A ，
sin A sin B sin C
3
所以 b 4 3 sin B ， c 4 3 sin C ．…………………………………………………………………8 分
3
3
所以
a
b
c
2
4
3 3
sin
B
sin
C
2
4
3 3
sin
B
sin
2 3
B
z1
3, 2.
所以
n
3,1, 2 ．……………………………………………………………10 分
设平面 CDE 的法向量为 m x2, y 2 , z2 ，
则
m
DE
0,
即
z2
m CE 0,
0, 3x 2 y2 z2
0.
令
x2
1,
则
y2
z2
3, 0.
所以
m
1,
3, 0 ．…………11 分
综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装 2 台光照控制仪．…………………………12 分
20．解：（1）因为椭圆 C 的离心率为 1 ，所以 c 1 ，即 a 2c ．……………………………………1 分
2
a2
又 a2
b2 +c2
，得 b2 =3c2 ，即 b2
3 a2 ，所以椭圆 C 4
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B B A A D D B A C C
二．填空题 13．10
14．4
15．4
16．11
三、解答题
17．（1）解法 1：由已知，得 a cos B bcos A 2c cos A． 由正弦定理，得 sin Acos B sin Bcos A 2sin C cos A ，…………………………………………1 分
PC 3,1， 2 ， CE 3,1，1 ， DE 0,0，1．
…………………………9 分
设平面 PCE 的法向量为 n = x1, y1, z1，
A
B
M
C
x
Dy
则
n
PC
0,
即
3x1 y1 2z1 0,
n CE 0, 3x1 y1 z1 0.
令y1
1,
则
x1
即 sin( A B) 2sin C cos A．…………………………………………………………………………2 分
因为 sin(A B) sin( C) sin C ，…………………………………………………………………3 分
所以 sin C 2sin C cos A ．………………………………………………………………………………4 分
（2）解法 1：由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A，
得 bc 4 b2 c2 ，………………………………………………………………………………………7 分
即 (b c)2 3bc 4 ．……………………………………………………………………………………8 分
因为
bc
b
所以 AC AB ，故△ ABC 为等边三角形．
设 BC 的中点为 M ，连接 AM ，则 AM BC ．
z
以 A 为原点， AM ， AD ， AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直
P
角坐标系 A xyz （如图）．
E
则 P0,0，2， C 3,1，0 ， E0,2，1 ， D0,2，0，
y kx 2,
由
x
2
3
y2 4
得
1,
3k 2 4
x2 12kx 0 ．…………………………………………………………4 分
设 A xA, yA ，
B xB,
yB
，Fra Baidu bibliotek有
xA
0
， xB
12k 3k 2 4
，…………………………………………5
分
所以
yB
6k 2 8 3k 2 4
①安装 1 台光照控制仪可获得周总利润 3000 元．………………………………………………………7 分 ②安装 2 台光照控制仪的情形：
当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y=3000-1000=2000 元，
当 30<X≤70 时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 Y=2×3000=6000 元，
设二面角 P CE D 的大小为 ，由于 为钝角，
所以 cos cos n, m
nm
23
6．
n m 2 22 4
所以二面角 P CE D 的余弦值为 6 ．…………………………………………………………12 分 4
解法 2：因为直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 45 ，且 PA 平面 ABCD ，
当 50≤X≤70 时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y=2×3000-1×1000=5000 元，
当 30<X≤70 时，3 台光照控制仪都运行，周总利润 Y=3×3000=9000 元，
故 Y 的分布列为
Y
1000 5000 9000
P
0．2 0．7 0．1
所以 EY 10000.2 50000.7 90000.1 4600 元． ………………………………………11 分
2ac
2bc
即 b2 c2 a2 bc ．……………………………………………………………………………………3 分
所以 cos A b2 c2 a2 1 ．…………………………………………………………………………5 分
2bc
2
因为 0 A ， 所以 A ．…………………………………………………………………………6 分 3
所以 PCA 45 ，所以 AC PA 2 ．………………………………………………………………7 分
因为 AB BC 2 ，所以 ABC 为等边三角形． 因为 PA 平面 ABCD，由（1）知 PA// OF ， 所以 OF 平面 ABCD． 因为 OB 平面 ABCD， OC 平面 ABCD ，所以 OF OB 且 OF OC ． 在菱形 ABCD中， OB OC ．
以点 O 为原点， OB ， OC ， OF 分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系 O xyz （如图）．
则 O(0, 0, 0), P(0, 1, 2),C(0,1, 0), D( 3, 0, 0), E( 3, 0,1) ，
则 CP (0, 2, 2),CE ( 3, 1,1), CD ( 3, 1, 0) ．……………………………………………9 分
因为 BD EF ，所以 EF 平面 PAC ．………………………………………………………………5 分
因为 FE 平面 PCE ，所以平面 PAC 平面 PCE ． ………………………………………………6 分
（2）解法 1：因为直线 PC 与平面 ABCD所成角为 45o ，
所以 PCA 45 ，所以 AC PA 2 ．………………………………………………………………7 分
i 1
5
(xi x)2 (3)2 (1)2 02 12 32 2 5，………………………………………………3 分
i 1
5
( yi y)2 (1)2 02 02 02 12 2 ．…………………………………………………4 分
i1
所以相关系数 r
n
( xi x)( yi y)
所以四边形 OFED 为平行四边形，所以 OD EF ，即 BD EF ．………………………………2 分
因为 PA 平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，所以 PA BD ．
因为 ABCD 是菱形，所以 BD AC ．
因为 PA AC A，所以 BD 平面 PAC ．…………………………………………………………4 分
则
m
CE
0,
即
3x2 y2 z2 0,
m CD 0, 3x2 y2 0.
A D
O
xB
C y
令
x2
1
，则
y2
z2
0.
3, 则法向量 m
1,
3, 0
．………………………………………………11 分
设二面角 P CE D 的大小为 ，由于 为钝角，
则 cos cos n, m
2
c
2
，………………………………………………………………………………………9
分
所以 (b c)2 3 (b c)2 4 ． 4
即 b c 4（当且仅当 b c 2 时等号成立）．……………………………………………………11 分
所以 a b c 6．
故△ ABC 周长 a b c 的最大值为 6 ．………………………………………………………………12 分
2018 届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分．
因为 sin C 0 ，所以 cos A 1 ．………………………………………………………………………5 分 2
因为 0 A ，所以 A ．…………………………………………………………………………6 分 3
解法 2：由已知根据余弦定理，得 a a2 c2 b2 2c b b2 c2 a2 ．……………………1 分
的方程为
y2 a2
x2 3 a2
1．
4
把点 1,
2
6 3
代人 C
中，解得
a2
4
．………………………………………………………………2
分
所以椭圆 C 的方程为 y2 x2 1 ．……………………………………………………………………3 分 43
（2）解法 1：设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 y kx+2 ，
………………………9
分
2
4 sin
B
6
．……………………………………………………………………10
分
因为 0 B 2 ，所以当 B 时， a b c 取得最大值 6 ．
3
3
故△ ABC 周长 a b c 的最大值为 6 ．………………………………………………………………12 分
18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点 O ，设 PC 中点为 F ，
P
连接 OF ， EF ．
因为 O ， F 分别为 AC ， PC 的中点， 所以 OF PA ，且 OF 1 PA ，
2 因为 DE PA ，且 DE 1 PA ，
2
E F
A D
O
B
C
所以 OF DE ，且 OF DE ．………………………………………………………………………1 分
i 1
6
n ( xi x)2
n
( yi y)2
2 5 2
i 1
i 1
9 0.95 ．………………5 分 10
因为 r 0.75 ，所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系． …………………………………………6 分
（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装 1 台，最多安装 3 台光照控制仪．
nm
3 6．
nm
22 4
所以二面角 P CE D 的余弦值为 6 ．…………………………………………………………12 分 4
19．解：（1）由已知数据可得 x 2 4 5 6 8 5, y 3 4 4 4 5 4 ．……………………1 分
5
5
5
因为 ( xi x)( yi y) (3) (1) 0 0 0 3 1 6，………………………………………2 分
故 Y 的分布列为
Y
2000 6000
P
0．2 0．8
所以 EY 20000.2 60000.8 5200 元． ………………………………………………………9 分
③安装 3 台光照控制仪的情形：
当 X >70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y=1×3000-2×1000=1000 元，