行程综合问题

行程问题综合

知识解析：

一、比例解行程

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,

；；来表示，大体可分为以下两种情况：

v v t t s s

乙乙乙

甲甲甲，

1.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就

等于他们的速度之比。

2.当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之

比等于他们速度的反比。

二、接送问题

校车问题——行走过程描述

队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。

常见接送问题类型

根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：

（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）

（2）车速不变-班速不变-班数多个

（3）车速不变-班速变-班数2个

（4）车速变-班速不变-班数2个

标准解法：

画图＋列3个式子

1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；

2、班车走的总路程；

3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

三、发车间隔

间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。

在班车里——即柳卡问题

不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

在班车外——联立3个基本公式好使

（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔

（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔

（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔

综上总结发车问题可以总结为如下技巧

（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡

四、猎狗追兔问题

猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。

解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。

通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看似无关的题目，实质思想是相通的！

问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”求解。

单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。

例如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比，

相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑3步(兔步)，猎狗跑2步(狗步)

进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步)

关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步，反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。

例题精讲：

一、比例解行程

【例 1】甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车才

从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的5

6

。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，

则甲车开出千米，乙车才出发。

【巩固】甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，

当甲车驶过A、B距离的1

3

多50千米时,与乙车相遇.A、B两地相距______千米。

到达B地，乙又走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米？

【例 3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？

【例 4】如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有 80 米，D离B有 60 米，求这个圆的周长.

【例 5】甲、乙两列火车的速度比是5∶4。乙车先从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站发车开往B站。如果两列火车相遇的地方离A，B两站距离的比是3∶4，那么A，B两站之间的距离为多少千米？

【例 6】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【例 7】甲、乙两人分别从A B 、两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是3：2，相遇后，甲

的速度提高20%，乙的速度提高1

3，这样当甲到达B 地时，乙离A 地还有41千米，那么A B 、两

地相遇__________千米。

【巩固】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相

遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米．那么 A 、B 两地相距多少千米？

【例 8】一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，那么可以比原定时间提前1时到达；如果以原速

行驶100千米后再将车速提高30％，那么也比原定时间提前1时到达。求甲、乙两地的距离。

【巩固】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了

9

1

，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高6

1

，于是提前1 小时 40 分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？