集合和二元关系复习讲解

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二元关系的性质及二元关系的应用(可编辑)

二元关系的性质及二元关系的应用(可编辑)

二元关系的性质及二元关系的应用引言在日常生活中,关系一词是大家在生活学习和工作中经常遇到和处理的概念,我们都熟知关系一词的含义,例如兄弟关系、上下级关系、位置关系等.在数学中关系可抽象为表达集合中元素之间的关系,如“4大于2”,“在点,之间”.在离散数学中关系是刻画元素之间相互联系的一个重要的概念,广泛应用于计算机科学技术如计算机程序的输入、输出关系,数据库的数据特性关系,其中关系数据库就是以关系及其运算作为理论基础的.近世代数利用等价关系将代数系统进行分类,进而加以研究.关系也是点集拓扑中一个重要概念,通过关系分类来研究集合元素之间的某种联系.熟练掌握关系的定义和性质,也是学好近世代数和点集拓扑的基础.最基本的关系就是二元关系,就是集合中两个元素之间的某种相关性.例如有三个人和四项工作.已知可以从事,可以从事,可以从事,那么人和工作之间的对应关系可以记作: 这是人的集合到工作的集合之间的二元关系.一基础知识定义1 设,为集合,用中元素为第一元素,中元素为第二元素,构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做和的笛卡尔积,记作,符号化表示为.定义2 如果一个集合满足以下条件之一:⑴集合非空,且它的元素都是有序对;⑵集合是空集,则称这个集合是一个二元关系,通常记作大写的英文字母,二元关系也可简称为关系.对于二元关系,如果有序对,可记为,否则记为.例如, ,则为二元关系,不是二元关系,只是一集合,除非将和定义为有序对.二元关系中特别重要的是从到的关系与上的关系.定义3为集合,的任何子集所定义的二元关系叫做从到的二元关系,特别当时则叫做上的二元关系.集合上的二元关系的数目依赖于中的元素数,当含有个元素时即,则,的子集有个,每一个子集代表一个上的关系,所以上有个不同的关系.定义4 对任意的集合都有三种特殊的关系:①空集是任何集合的子集当然也是的子集,也是上的关系,称为空关系.②称为上的全域关系.③为上的恒等关系.给定集合,定义几种常用的关系:定义5 是实数集的任意非空子集,则称上的二元关系为上的小于等于关系.定义6 为非0整数集,则称上的二元关系为上的整除关系.定义7 设是整数集的任意非空子集,是任意正整数,则称上的二元关系为上的模同余关系.定义8 设是由一些集合构成的集合族,则称上的二元关系为上的包含关系.例:设,求上的包含关系.解:由于, 在日常生活、生产活动和科学研究中,人们常用点表示事物,用点与点之间是否有连线表示事物之间是否有某种关系,这样构成的图形就是图论中的图.定义9 一个无向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是无序集的有穷多重子集,称为边集,其元素称为无向边,简称为边.定义10 一个有向图是一个有序的二元组,其中⑴是一个非空有穷集,称为顶点集,其元素称为顶点或结点.⑵是笛卡尔积的有穷多重子集,称为边集, 其元素称为有向边,简称边.通常用图形来表示有向图和无向图:用小圆圈或实心点表示顶点,用顶点之间的连线表示无向图,用带箭头的连线表示有向边.定义11设为一个有向图,,若从到存在通路,则称可达,记作.规定总是可达自身的,即.若且,则称与是相互可达的,记作.规定.与定义9和定义10有关的还有下面一些概念和规定.⑴无向图和有向图统称为图,但有时也常把无向图简称为图.通常用表示无向图,表示有向图,有时也用泛指图有向的或无向的.用,分别表示的顶点集和边集, ,分别是的顶点数和边数.有向图也有类似的符号.⑵设为无向图, ,称为的端点,与关联.若,则称与的关联次数为1;若,则称与的关联次数为2,并称为环.如果顶点不与边关联,则称与的关联次数为0.若两个顶点与之间有一条边连接,则称这两个顶点相邻.若两条边至少有一个公共端点,则称这两条边相邻.⑶设为有向图, ,称为的端点, 为的始点, 为的终点,并称与关联.若,则称为中的环.若两个顶点之间有一条有向边,则称这两个顶点相邻.若两个边中一条边的终点是另一条边的始点,则称这两条边相邻二关系的三种表示方法表示关系的方法有三种:集合表达式,关系矩阵和关系图.2.1 集合表达式由于关系是一种特殊的集合,当然可以用集合表达式表示.例如:设,则用集合表达式表示上的关系.⑴.⑵.解: ⑴⑵2.2 关系矩阵和关系图关系矩阵可以用来表示有穷集到的关系与上的关系,关系图只能表示有穷集上的关系.当关系中的元素较多时,利用关系矩阵和关系图可以形象直观的表示关系.设给定两个有限集合,,对应于从到的二元关系有一个关系矩阵,其中如果是有限集合上的二元关系或和含有相同数量的有限个元素,则其关系矩阵是方阵.而同时对应的关系图就是在平面上用个点分别表示中的元素,另外再在平面上画出个点分别表示中的元素,如果集合和中有相同的元素则用同一点表示.当时,则从点至画一条有向边,其箭头指向,否则就没有边联结.例从到的关系, 通常将和中的元素设定为升序顺序,则对应的关系矩阵为:对应的关系图为:特别地,当为上的二元关系时,如果,则对应于的关系矩阵是阶方阵,方阵中的元素应有: ……………… (★)其关系图表示可以在平面上仅画个点,有向边的规定不变.例如,则的关系矩阵是对应的关系图为实际上,除了二元关系可用图表示之外,图中还蕴含许多丰富的二元关系.从图论中图的定义简单分析,图有点、线和点边关系构成.根据图中“边”就可以获得图中点间的“邻接关系”、“可达关系”及点边之间的“关联关系”.在图中,这些关系都是在(★)式所规定的方法基础上来表示成矩阵. 下面就来看一下这几种关系在离散数学中的定义.邻接矩阵的定义:设有向图,,令为顶点邻接到顶点边的条数,称为的邻接矩阵,记作,或简记为.例如下图2.2.1, 写出其邻接矩阵有向图的邻接矩阵为: ;性质1 简单有向图的邻接矩阵是一个0,1的矩阵:对角线元素为0,但不一定对称.性质2 矩阵的各行和是相应顶点的出度,各个列和是相应顶点的入度。

离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.5-4.7

离散数学第4章 集合与关系-二元关系 -4.5-4.7
即:A/R = { [a]R | a∈A } 实例:令A={1, 2, …, 8},A关于模 3 同余等价关系为
R=x,yx,yI∧x≡y mod 3
则R的所有等价类分别为:
[1]R= 1,4,7 [2]R= 2,5,8 [3]R= 3,6 于是,A关于R 的商集为: A/R = { {1, 4,7}, {2, 5, 8}, {3, 6} } A关于恒等关系和全域关系的商集为:
第4章 二元关系
模k同余关系
设x和y是两个整数,k是一个正整数,若x,y用k除的 余数相等,就称x和y模k同余,也称x和y模k等价。 记为 x ≡ y mod k
设x(y)用k除的商为t1 ( t2 ),余数为a1 ( a2 ),数学上将 x(y)表示成为:
x= k×t1+a1, t1I,a1I且0≤a1<k。 y= k×t2+a2, t2I,a2I且0≤a2<k。 若x,y用k除的余数相等,x-y= k×(t1-t2),t1-t2I。 即x-y可以被k整除。 所以,x和y模k同余还可以描述为:x-y可以被k整除。 可以证明: x和y模k同余关系是等价关系。
第4章 二元关系
(3) 假设[a]R∩[b]R≠, 则存在z∈[a]R∩[b]R, 从而有 z∈[a]R∧z∈[b]R, 即<a,z>∈R∧<b,z>∈R 成立. 根据R 的对称性和传递性必有<a,b>∈R, 与a b矛盾.
(4) 先证
[x] A. 任取y∈
xA R
[x]
xA R
,则
y∈
[x]
xA R
第4章 二元关系
等价类
定义4.5.2 设R是非空集合A上的等价关系,aA,集合 x xA∧aRx 即x xA∧< a,x > R

第二章 二元关系(集合论讲义)

第二章 二元关系(集合论讲义)

例 1.1 例 1.2
例 1.3 设 A 是非空集合, ρ ( A) 上的包含关系 ⊆ A 定义如下: ( B, C ) ∈⊆ A 当且仅当 B ⊆ C 。 例 1.4 设 A 是任意集合, A 上的恒等关系 I A 定义如下: I A = {( a, a ) : a ∈ A} 。 例 1.5 上的模 2 同余关系 M 2 定义如下: aM 2b 当且仅当 2 | (a − b) 。
(2) ( R1 ∪ R2 ) (3) ( R1 ∩ R2 ) (4) ( A × B ) (5) ∅
−1
−1
−1
= B× A
=∅
= R −1
−1 −1 = R1−1 − R2 −1 −1
(6) ( R )
−1
(7) ( R1 − R2 )
(8)若 R1 ⊆ R2 ,则 R1 ⊆ R2 复合运算
先看一个例子。兄妹关系为 R1 ,母子关系为 R2 , a 与 b 有兄妹关系, b 与 c 有母子关系, 即 aR1b , bR2 c ,则 a 与 c 有舅甥关系 R3 , R3 称为 R1 与 R2 的复合关系,记为 R3 = R1 R2 。
结点 ai 。如果 ai Ra j ,则画一条从结点 ai 到结点 a j 的带箭头的线段,称该线段为弧(有向 边) ;如果 ai Ra j ,则对应的弧称为自环。如此得到的图形称为 R 的关系图,记为 G ( R) 。 例 2.2 设 A = {1, 2,3, 4,5} , A 上的模 2 同余关系的关系图如图 2.1 所示。
第二章 二元关系
关系一词是大家所熟知的,它是指多个事物之间的一种特定意义的联系。在诸多的关系中, 最基本的是涉及两个对象的关系, 比方说父子关系, 师生关系, 同学关系等, 称为二元关系。 本章的目的是给出二元关系的性质和运算并重点介绍一些特殊类型的二元关系。

集合的笛卡尔积与二元关系

集合的笛卡尔积与二元关系

集合的笛卡尔积与二元关系一、集合的笛卡尔积1.定义:集合的笛卡尔积,又称集合的直积,是两个集合的所有有序对的集合。

如果集合A 和集合B是非空集,则集合A与集合B的笛卡尔积记为A×B,定义如下:A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}其中,(a,b)是有序对,a是第一个元素,b是第二个元素。

2.性质:笛卡尔积具有以下性质:•交换律:A×B=B×A•结合律:对于集合A、B、C,有(A×B)×C=A×(B×C)•分配律:对于集合A、B、C,有A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)•笛卡尔积的基数:对于非空集A和B,有|A×B|=|A||B|二、二元关系1.定义:二元关系是两个集合之间的关系。

如果集合A和集合B是非空集,则集合A与集合B上的二元关系是集合A×B的子集。

2.性质:二元关系具有以下性质:•反身性:对于集合A中的每个元素a,有(a,a)∈R•对称性:对于集合A中的每个元素a和b,如果有(a,b)∈R,则(b,a)∈R •传递性:对于集合A中的每个元素a、b和c,如果有(a,b)∈R和(b,c)∈R,则(a,c)∈R3.二元关系的表示:二元关系可以用多种方式表示,包括:•箭头图:使用箭头来表示二元关系中的元素。

箭头从第一个元素指向第二个元素,表示这两个元素之间存在关系。

•矩阵表示:使用矩阵来表示二元关系中的元素。

矩阵的每一行和每一列分别对应集合A和集合B的元素,矩阵中的元素表示这两个元素之间是否存在关系。

•函数表示:使用函数来表示二元关系中的元素。

函数从集合A映射到集合B,函数的输出值表示集合A中的元素与集合B中的元素之间的关系。

三、集合的笛卡尔积与二元关系1.笛卡尔积与二元关系的关系:笛卡尔积与二元关系之间存在着密切的关系。

二元关系是笛卡尔积的子集,笛卡尔积是二元关系的超集。

第二章 二元关系(集合论讲义)

第二章 二元关系(集合论讲义)
特别地,当 A = B 时, A 上的二元关系可以用方阵来表示。关系矩阵实际上是二元关系的 特征函数。 例 2.1 设 A = {2,3, 4} , B = {3, 4,5, 6, 7} ,定义从 A 到 B 的整除关系如下:对于 ∀a ∈ A ,
∀b ∈ B , aDb 当且仅当 a | b 。 ⎛0 1 0 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ M ( D ) = ⎜1 0 0 1 0 ⎟ ⎜0 1 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
下面定义另一些运算,通过这些运算可以由已知关系产生新的关系。 逆运算 首先通过关系的逆运算,由给定关系产生其逆关系。
定义 3.2 设 R 是从 A 到 B 的二元关系,如下定义从 B 到 A 的二元关系 R
−1
R −1 = {(b, a ) : (a, b) ∈ R} ,或 bR −1a 当且仅当 aRb ,
R1 ∪ R2 : a( R1 ∪ R2 )b 当且仅当 aR1b 或 aR2b ; R1 ∩ R2 : a( R1 ∩ R2 )b 当且仅当 aR1b 且 aR2b ; R1 − R2 : a ( R1 − R2 )b 当且仅当 aR1b 且 a R2 b ;
R1 : aR1b 当且仅当 a R1 b 。
5
注: M ( R1 R2 ) = M ( R1 ) ⋅ M ( R2 ) 。
例 3.2 设 A = { p, q, r , s} , B = {a, b} , C = {1, 2,3, 4} ,
R1 = {( p, a), ( p, b), (q, b), (r , a), ( s, a)} , R2 = {(a,1), (a, 2), (b, 4)}
3
1
2
3
5
4
图 2.1 结点集及结点之间的弧集构成的有向图很自然直观地表示了一个关系。 这两种关系的表示形式给研究关系的运算和性质提供了极大方便。

离散数学第四章-二元关系和函数

离散数学第四章-二元关系和函数
注意:(1) 若 A 是 m元集,B是 n 元集, 则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合,有关集合的运算都适合。
(3) 一般,A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解: (A) ,{a},{b}, A ,
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般:设 A {x1, x2, , xn}
1、定义:
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对, 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ,则记作 xRy ,
否则,记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地,当 A B 时,称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ,B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解:R5 既不是自反也不是反自反的,
反对称的,传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解:R6 是反自反的,既不是对称
又不是反对称,不是传递的。
28
例7:设 R1, R2 为 A上的对称关系, 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明:对任意 x, y

第七章 二元关系

第七章 二元关系
例1,已知A={a,b},B={0,1,2}, 求: A×B和B×A?
例2,设A={1,2},求P(A)×A?
5
如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素?
mn个 若<x,y>A×B,则有
x∈A和y∈B。 若<x,y>A×B,则有
xA或者y B。
6
笛卡儿积运算的性质
有限集合A上的关系R的幂序列是一个周期性变化的序列。 利用它的周期性可以将R的高次幂化为R的低次幂。
定理7.5 设R为A上的关系,m,n是自然数,则下面 的等式成立。
31
7.4 关系的性质
设R是A上的关系,R的性质主要有以下5种:
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
32
关系R的五种性质
R在A上是自反的 x(x ∈ A→<x,x> ∈ R)=1 R在A上是反自反的 x(x ∈ A→<x,x> R)=1
11
7.2 二元关系Relation
所谓二元关系就是在集合中两个元素之间的某种相 关性。
例如,甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛,如果任何两 个人之间都要赛一场,那么共要赛三场。假设三 场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙胜丙,这个 结果可以记作
{<乙,甲>,<甲,丙>,<乙,丙>},其中<x,y>表示x胜y。它 表示了集合{甲,乙,丙}中元素之间的一种胜负关 系。
26
关系的基本运算的主要性质
定理7.1 设F是任意的关系, 则有
定理7.2 设F,G,H是任意的关系, 则有 (3) (F◦G) ◦H=F◦ (G◦H) (4)
定理7.3 设R是A上的关系,则有 R◦IA=IA◦R=R

集合关系与二元不等式中求未知数取值范围问题

集合关系与二元不等式中求未知数取值范围问题

集合关系与二元不等式中求未知数取值范围问题本文是关于集合关系与二元不等式中求未知数取值范围问题的一个研究,它将介绍二元不等式的概念,以及如何利用集合关系和不等式来求未知数取值范围。

主要包括定义二元不等式,解决二元不等式,利用集合关系计算未知数取值范围,以及应用实例等内容。

【概述】集合关系与二元不等式中求未知数取值范围问题是数学中一个重要的内容。

二元不等式,位于集合和形式之间,就是多个集合中的两个元素之间的关系,通常可以表示为一个表达式,它用来描述一种情况:在两个变量之间存在一个大于、等于或小于的关系。

本文将介绍如何利用集合关系和二元不等式来解决未知数取值范围问题。

【二元不等式概述】首先,我们定义一个二元不等式,它是用来描述两个变量之间的关系,它可以分为大于等于(≥),小于等于(≤)和不等于(≠)三种不同的形式。

它可以表示为:a≥b,a≤b或a≠b。

【二元不等式的解法】解决二元不等式的方法,主要有两种,一种是利用数学知识来解决,另一种是利用图形化的方法来解决。

我们可以用平行线的方法来求解二元不等式,例如a+b=2,则可以把a,b两个变量分别画在坐标系的两个轴上,这样它们之间的关系就可以用平行线的方式来表示,最终得到的结果是,a和b在坐标轴上分别对应的点在线段上,两个点之间的距离即为a+b=2。

【利用集合计算未知数取值范围】当二元不等式以上式的形式a+b=2出现时,可以利用集合的性质来求解,只要给出数学集合A={a,b},那么就能够计算出a+b的值的范围,即小于等于2,大于等于0,它就是a和b的取值范围,可以确定a和b的最小值、最大值。

【应用实例】例如:已知a+b+c=6,要求求出a、b、c的取值范围。

首先将a、b和c放入数学集合A={a,b,c}中,可以得到:a+b+c≤6且a+b+c≥0,这就是a、b、c的取值范围,即a、b、c最小取值为0,最大取值为6。

【结论】本文介绍了如何利用集合关系和二元不等式来求解未知数取值范围的问题,并且用实例论证了它的可行性,可以看出,集合关系和二元不等式可以有效地解决未知数取值范围的问题。

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XDC
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67--12
C
S
2.5 序偶与笛卡尔乘积
|
定义 由两个元素x,y按照一定的次序组成的二元组
S
称为有序偶对,简称序偶,记作<x,y>,其中,称x为<x,y>
W
的第一元素,y为<x,y>的第二元素。
U
例1 平面上点的坐标<x,y>,x,y∈R;中国地处亚洲<中
S
国,亚洲>,<上,下>,<左,右>等都是序偶。<操作码,地
U
S
例2 a年b月c日d时e分f秒可用下述六重有序组来
T
描述:<a,b,c,d,e,f>。
性质 <a1,a2,a3,…,an>=<b1,b2,b3,…,bn>
当且仅当 ai=bi(i=1,2,3,…,n)。
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C
S
笛卡儿积
|
定义 A,B是两个集合,称集合
A×B={<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}
S
R是从A到B的一个二元关系, 称矩阵MR=(rij)n×m为关系
R的关系矩阵或邻接矩阵,其中:
W
U
1, rij 0,
ai ,bj R (i 1,2,3,...,n; j 1,2,3,...,m) ai ,bj R
S
显然,关系矩阵是布尔矩阵。
T
注意 在写关系矩阵时,首先应对集合A和B中的元
定义,知A×B共有2|A|╳|B|个不同的子集。因此,从A到B不
同的关系共有2|A|╳|B|个。
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C
S
3.1.3 关系的表示法
| 1.集合表示法
S
由于关系也是一种特殊的集合,所以集合的
W
几种基本的表示法也可以用到关系的表示中。
U
可用枚举法和叙述法来表示关系。
S

T
1) 设A={2},B={3},关系R={<2,3>}
称关系R是对称的,或称R具有对称性,即
W
R在A上是对称的 (x)(y)((x∈A)∧
U
(y∈A)∧(<x,y>∈R)→(<y,x>∈R))=1
S
2) 对任意的x,yA,如果<x,y>∈R且<y,x>∈R,那么x=y,
T
则称关系R是反对称的,或称R具有反对称性,即
U
文氏图可表示如下:
S
T
U
AB
XDC
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C
S
差集
|
定义
A,B是两个集合,则
S
A-B={x|xA∧xB}
W
仍是一个集合,称为集合A与B的差集,称“-”为
差运算(Subtraction Operation),A-B又
U
叫相对补集。用文氏图可表示如下:
S
U
T
AB
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C
S
例 (续2)
|
3) T={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,d>,<c,a>,<c,c>,
<d,c>}。
S
因为A中有元素b,使<b,b> T,所以T不是
W
自反的;因为A中有元素a,使<a,a>∈T,所
U
以T不是反自反的。
SLeabharlann T的关系图T的关系矩阵T
1 1 1 0
MT

S
1) R={<a,a>,<a,d>,<b,b>,<b,d>,<c,c>,<d,d>}。
W
因为A中每个元素x,都有<x,x>∈R,所以R是
自反的。 U
S
R的关系图
R的关系矩阵
T
1 0 0 1
MR


0 0
1 0
0 1
1

0
0 0 0 1
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补集
|
定义
U是全集,A是U的子集,则
S
A =U-A={x|xU并且xA}
W 仍是一个集合,称它为集合A的补集(A也可记为
U
A ' , ~ A , AC 等 ) , “  ̄ ” 称 为 补 运 算
(Complement Operation)。用文氏图可表示
S
如下:
T
U
A
XDC
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C
S
关于运算“差”和“补”的几个性质
|
1. A-A=Φ;
S
2. A-B=A-(A∩B);
3.(A-B)-C=A-(B∪C);
W 4. A∪(B-A)=A∪B;
U
5.A-B=A∩B 。
S
T
XDC
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C
S
对称差(环和)
|
定义:设A,B是两个集合,则
S
AB={x|((xA)∧(xB))∨((xB)∧(xA))}
AB AB
T
9.DeMorgan律:
AB AB
10.矛盾律: A∩ A =Φ;
11.排中律: A∪A =U;
XDC
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C
S
幂集
|
定义
A的所有子集组成的集合称为A的
S
幂集,记为(A)或2A。
W
(A)={x|一切xA}
U
这种以集合为元素构成的集合,常称为集合的集合 或集族(Family of Set)。
S
对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言
T
以及人工智能等方面都有十分重要的意义。
结论:显然,若集合A有n个元素,则集合A共
有2n个子集,即:|(A)|= 2n。
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S
容斥原理
|
定义所谓容斥,是指我们计算某类物的数目时,要排斥
S
那些不应包含在这个计数中的数目,但同时要包容那些
S
为集合A与B的笛卡儿积。特别,记A×A为A2。
W
U
S
B
d ×××× c ××××
D b ×××× a ××××
T
A A×B={<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}
1234
C
C×D={<x,y>|(x∈C)∧(y∈D)}
={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<1,d>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<2,d>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>,<3,d>,<4,a>,<4,b>,<4,c>,<4,d>}
XDC
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C
S
3.1.1 关系的定义
|
定义 A1,A2,…,An为n个非空集合,称
S
A1×A2×…×An的任意子集R为以A1×A2×…×An 为基的n元关系。
W
U
特别:当R=Φ时,则称R为空关系; 当R=A1×A2×…×An时,则称R为全关系。
素进行排序,不同的排序会得到不同的关系矩阵。当集
合以枚举法表示时,如果没有对集合的元素排序,则默
认枚举的次序为元素的排序。
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C
S
3.1.4 关系的性质(91-93)
| 自反性与反自反性
S
定义 R是集合A上的二元关系,
W
1) 对任意的x∈A,都满足<x,x>∈R,则称R是自反的,或
点,用“。”表示;
S
2) 如<ai,bj>R,则从ai到bj可用一有向边ai
bj相连。
T
<ai,bj>为对应图中的有向边。
3) 如<ai,ai>R,则从ai到ai用一带箭头的小圆环表示ai
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C
S
3.关系矩阵
|
设A={a1,a2,a3,...,an},B={b1,b2,b3,...,bm},

0 1
0 0
0 1
1

0
0 0 1 0
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S
结论
|
1) 任何不是自反的关系未必一定是反自反的关
S
系,反之亦然。即存在既不是自反的也不是
反自反的关系。
W 2) 表现在关系图上:关系R是自反的,当且仅当
U
其关系图中每个结点都有环;关系R是反自反
U
称R具有自反性,即
R在A上是自反的(x)((x∈A)→(<x,x>∈R))=1
S
T
2) 对任意的x∈A,都满足<x,x>R,则称R是反自反的,
或称R具有反自反性,即
R在A上是反自反的(x)((x∈A)→(<x,x> R))=1
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