集合和二元关系复习讲解

C
S
例 (续1)
|
2) S={<a,b>,<a,d>,<b,c>,<b,d>,<c,a>,<d,c>}。
S
因为A中每个元素x，都有<x,x> S，所以S
是反自反的。
W
U
S的关系图
S
T
S的关系矩阵
0 1 0 1
MS


0
1
0 0
1 0
1

0
0 0 1 0
XDC
温故而知新!
C
S
关于运算“差”和“补”的几个性质
|
1. Ａ－Ａ＝Φ；
S
2. Ａ－Ｂ＝Ａ－（Ａ∩Ｂ）；
3.（Ａ－Ｂ）－Ｃ＝Ａ－（Ｂ∪Ｃ）；
W 4． Ａ∪（Ｂ－Ａ）＝Ａ∪Ｂ；
U
5．Ａ－Ｂ＝Ａ∩B 。
S
T
XDC
温故而知新!
67--7
C
S
对称差(环和)
|
定义：设A，B是两个集合，则
S
AB={x|((xA)∧(xB))∨((xB)∧(xA))}
U
S
例2 a年b月c日d时e分f秒可用下述六重有序组来
T
描述：<a,b,c,d,e,f>。
性质 <a1,a2,a3,…,an>＝<b1,b2,b3,…，bn>
当且仅当 ai＝bi（i＝1,2,3,…,n）。
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67--14
C
S
笛卡儿积
|
定义 A,B是两个集合，称集合
A×B＝{<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}

T
n
nn
A1 A2 ... An | Ai | (1)21
| Ai Aj |
i 1
i1 j i
n nn
(1)31
| Ai Aj Ak | ... (1)n | A1 A2 ... An |
i1 j i k j
C
S
2019年9月9日星期一
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温故而知新!
S
W
U
S
T
XDC
温故而知新!
67--1
C
S
集合的表示法
|
集合是由它包含的元素完全确定的，
S
W 为了表示一个集合，通常有：列举法、隐
U
S
式法（描述法）、归纳法、文氏图等表示
T
方法。
XDC
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67--2
C
S
2.2 集合的运算
|
定义 设A、B是两个集合，则
点，用“。”表示；
S
2) 如<ai,bj>R,则从ai到bj可用一有向边ai
bj相连。
T
<ai,bj>为对应图中的有向边。
3) 如<ai,ai>R,则从ai到ai用一带箭头的小圆环表示ai
XDC
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67--19
C
S
3.关系矩阵
|
设A＝{a1,a2,a3,...,an}，B＝{b1,b2,b3,...,bm}，
S
R是从A到B的一个二元关系， 称矩阵MR＝(rij)n×m为关系
R的关系矩阵或邻接矩阵，其中：
W
U
1, rij 0,
ai ,bj R (i 1,2,3,...,n; j 1,2,3,...,m) ai ,bj R
S
显然，关系矩阵是布尔矩阵。
T
注意 在写关系矩阵时，首先应对集合A和B中的元
W
被错误地排斥了的数目，以此补偿，这种原理称为容斥
原理，又称为包含排斥原理。
U
S
定理设A和B是任意有限集合，有
T

|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|。
例 某软件公司的程序员都熟悉C++或VB，其中熟 悉C++的共47人，熟悉VB的共35人，C++和VB都熟 悉的共23人，问该公司共有多少程序员？

0 1
0 0
0 1
1

0
0 0 1 0
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Baidu Nhomakorabea
C
S
结论
|
1) 任何不是自反的关系未必一定是反自反的关
S
系，反之亦然。即存在既不是自反的也不是
反自反的关系。
W 2) 表现在关系图上：关系R是自反的，当且仅当
U
其关系图中每个结点都有环；关系R是反自反
T
址码>这条单地址指令也是序偶。
性质 XDC
（1）<x,y>≠<y,x>（当x≠y时) （2）<x,y>＝<u,v>当且仅当x＝u,y＝v。
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67--13
C
S
n重有序组
|
定义 由n个元素a1,a2,a3,…,an按照一定的次序
S
组成的n元组称为n重有序组，记作
W
<a1,a2,a3,…,an> 即：<a1,a2,a3,…,an>＝<<a1,a2,a3,…,an-1>,an>。
AB AB
T
9．DeMorgan律：
AB AB
10．矛盾律： A∩ A =Φ；
11．排中律： A∪A =U；
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C
S
幂集
|
定义
A的所有子集组成的集合称为A的
S
幂集，记为(A)或2A。
W
(A)＝{x|一切xA}
U
这种以集合为元素构成的集合，常称为集合的集合 或集族（Family of Set）。
U
称R具有自反性，即
R在A上是自反的(x)((x∈A)→(<x,x>∈R))=1
S
T
2) 对任意的x∈A,都满足<x,x>R，则称R是反自反的，
或称R具有反自反性，即
R在A上是反自反的(x)((x∈A)→(<x,x> R))=1
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67--21
C
S
例
|
设A={a,b,c,d}，
素进行排序，不同的排序会得到不同的关系矩阵。当集
合以枚举法表示时，如果没有对集合的元素排序，则默
认枚举的次序为元素的排序。
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67--20
C
S
3.1.4 关系的性质（91-93）
| 自反性与反自反性
S
定义 R是集合A上的二元关系，
W
1) 对任意的x∈A,都满足<x,x>∈R，则称R是自反的，或
S
1) R={<a,a>,<a,d>,<b,b>,<b,d>,<c,c>,<d,d>}。
W
因为A中每个元素x，都有<x,x>∈R，所以R是
自反的。 U
S
R的关系图
R的关系矩阵
T
1 0 0 1
MR


0 0
1 0
0 1
1

0
0 0 0 1
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|

Ａ∩（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ；
4．恒等律： Ａ∪Φ＝Ａ； Ａ∩Ｕ＝Ａ；
S
5．零 律： Ａ∪Ｕ＝Ｕ； Ａ∩Φ＝Φ；
6．分配律： Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）；
W

Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）。
7．吸收律： A∩（A∪B）＝A；
U

A∪（A∩B）=A；
S
8．否定律： A A
称关系R是对称的，或称R具有对称性，即
W
R在A上是对称的 (x)(y)((x∈A)∧
U
(y∈A)∧(<x,y>∈R)→(<y,x>∈R))=1
S
2) 对任意的x,yA，如果<x,y>∈R且<y,x>∈R，那么x=y，
T
则称关系R是反对称的，或称R具有反对称性，即
S
的，当且仅当其关系图中每个结点都无环。
T
3) 表现在关系矩阵上：关系R是自反的，当且仅
当其关系矩阵的主对角线上全为1；关系R是
反自反的当且仅当其关系矩阵的主对角线上
全为0。
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C
S
对称性与反对称性
|
设R是集合A上的二元关系，
S
1) 对任意的x,y∈A，如果<x,y>∈R，那么<y,x>∈R，则
S
T
由于A1×A2×…×An的任何子集都是一个n元 关系，按照子集的定义，A1×A2×…×An共有
2|A1×A2×…×An|
个不同的子集。因此，以A1×A2×…×An为基的不 同关系共有 2|A1×A2×…×An| 个。
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C
S
3.1.2 二元关系
定义
A，B为两个集合，A×B的任何一个子
定义，知A×B共有2|A|╳|B|个不同的子集。因此，从A到B不
同的关系共有2|A|╳|B|个。
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C
S
3.1.3 关系的表示法
| 1.集合表示法
S
由于关系也是一种特殊的集合，所以集合的
W
几种基本的表示法也可以用到关系的表示中。
U
可用枚举法和叙述法来表示关系。
S
例
T
1) 设A＝{2},B＝{3},关系R＝{<2,3>}
=(A-B)∪(B-A)
W 仍是一个集合，称它为Ａ与Ｂ的对称差集，称
U
“－”为对称差运算。用文氏图可表示如下：
S
U
T
AB
图中的阴影部分为AB。
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C
1. 等幂律： Ａ∪Ａ＝Ａ；Ａ∩Ａ＝Ａ；
S
2．交换律： Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａ； Ａ∩Ｂ＝Ｂ∩Ａ； 3．结合律： Ａ∪（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ；
S
为集合A与B的笛卡儿积。特别，记A×A为A2。
W
U
S
B
d ×××× c ××××
D b ×××× a ××××
T
A A×B＝{<x,y>|(x∈A)∧(y∈B)}
1234
C
C×D＝{<x,y>|(x∈C)∧(y∈D)}
＝{<1,a>,<1,b>,<1,c>,<1,d>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<2,d>,
C
S
补集
|
定义
U是全集，A是U的子集，则
S
A ＝U-A＝{x|xU并且xA}
W 仍是一个集合，称它为集合A的补集(A也可记为
U
Ａ ＇ ， ～ Ａ ， AC 等 ） ， “ ￣ ” 称 为 补 运 算
（Complement Operation）。用文氏图可表示
S
如下：
T
U
A
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S
AB＝{x|xA∨xB}
W
仍是一个集合，称为集合A与B的并集，称“∪”
为并运算（Union Operation）。
U
用文氏图表示如下：
S
U
T
AB
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C
S
交集
|
定义 设A，B是两个集合，则
S
AB＝{x|xA∧xB}
W
仍是一个集合，称为集合A与B的交集，称“∩”
为 交 运 算 （ Intersection Operation ） 。 用
S
对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言
T
以及人工智能等方面都有十分重要的意义。
结论:显然，若集合Ａ有ｎ个元素，则集合Ａ共
有2n个子集，即：|(A)|＝ 2n。
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C
S
容斥原理
|
定义所谓容斥，是指我们计算某类物的数目时，要排斥
S
那些不应包含在这个计数中的数目，但同时要包容那些
U
文氏图可表示如下：
S
T
U
AB
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C
S
差集
|
定义
A，B是两个集合，则
S
A-B＝{x|xA∧xB}
W
仍是一个集合，称为集合A与B的差集，称“-”为
差运算（Subtraction Operation)，Ａ-Ｂ又
U
叫相对补集。用文氏图可表示如下：
S
U
T
AB
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XDC
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C
S
2.5 序偶与笛卡尔乘积
|
定义 由两个元素x,y按照一定的次序组成的二元组
S
称为有序偶对，简称序偶,记作<x,y>,其中，称x为<x,y>
W
的第一元素，y为<x,y>的第二元素。
U
例1 平面上点的坐标<x,y>，x,y∈R；中国地处亚洲<中
S
国，亚洲>，<上,下>,<左，右>等都是序偶。<操作码,地
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C
S
|
推论设U为全集，A和B是任意有限集合，则
S
A B ＝|U|－(|A|＋|B|)＋|A∩B| 证明： A B = A B =|U-(A∪B)|
W ＝|U|－|A∪B|＝|U|－(|A|＋|B|)＋|A∩B|。
U
S
设A1,A2,…,An是任意有限集合，有:
2) 如定义集合N上的“小于等于”关系：
R＝{<x,y>|(x,yN)∧(x≤y)}。
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C
S
2.关系图法
|
设A＝{a1,a2,a3,...,an},B＝{b1,b2,b3,...,bm}，R是
S
从A到B的一个二元关系，则对应于关系R之关系图有如下
规定：
W
U
1) 设 a1,a2,a3,...,an 和 b1,b2,b3,...,bm 分别为图中的节
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C
S
例 (续2)
|
3) T={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,d>,<c,a>,<c,c>,
<d,c>}。
S
因为A中有元素b，使<b,b> T，所以T不是
W
自反的；因为A中有元素a，使<a,a>∈T，所
U
以T不是反自反的。
S
T的关系图
T的关系矩阵
T
1 1 1 0
MT

<3,a>,<3,b>,<3,c>,<3,d>,<4,a>,<4,b>,<4,c>,<4,d>}
XDC
温故而知新!
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C
S
3.1.1 关系的定义
|
定义 A1,A2,…,An为n个非空集合，称
S
A1×A2×…×An的任意子集R为以A1×A2×…×An 为基的n元关系。
W
U
特别：当R＝Φ时，则称R为空关系； 当R＝A1×A2×…×An时，则称R为全关系。
| 集R所定义的二元关系称为从A到B的二元关系，简称关系。
S 如R是从A到A的二元关系，则称R为A上的二元关系。
W
设有一序偶：
U
<x,y>∈R，
常把这一事实记为xRy，读作“x对y有关系R”。如
S
<x,y>R，
T
则记为xRy，读作“x对y没有关系R”。
由于任何A×B的子集都是一个二元关系，按照子集的