中学几何研究

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中学几何专题研究报告范文

中学几何专题研究报告范文一、引言几何是数学的一个重要分支，它研究空间和图形的形状、大小、位置关系以及变化规律。

在中学数学教学中，几何是一个重要的专题，并且占据着很大的比重。

本报告旨在对中学几何专题进行研究，探讨其中的重要概念、性质和解题方法。

二、基本概念和性质1. 点、线、面的概念几何中的基本单位是点、线和面。

点是没有大小、形状和位置的，线是由无数个点组成的，面是由无数个线组成的。

点、线、面是几何中最基本的概念，是其他几何概念的基础。

2. 直线和曲线的性质直线是最简单的曲线，没有弯曲和拐点。

曲线则是有弯曲和拐点的，可以分为封闭曲线和非封闭曲线。

直线和曲线是几何中常见的图形，它们有着各自的性质和特点。

3. 角的概念和性质角是由两条射线共同确定的，包含一个公共端点的图形。

角可以分为锐角、直角、钝角和平角。

在几何中，角的概念和性质是解题的关键。

三、解题方法1. 利用图形的对称性对称性在几何中是一个非常重要的概念。

当遇到有对称性的图形时，可以利用对称性来解题。

例如，当一个图形具有对称轴时，可以通过观察对称部分的性质来得到答案。

2. 利用相似三角形的性质相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

在解决一些几何问题时，可以利用相似三角形的性质，通过已知条件得到未知量。

3. 利用三角形的面积关系三角形的面积关系是几何中的一个重要性质。

例如，两个三角形的底边相等，高相等时，它们的面积也相等。

在解决一些三角形面积相关的问题时，可以利用面积关系来简化问题。

四、结论中学几何专题是中学数学教学中的重要内容，通过对基本概念和性质的研究，我们可以更好地理解几何的本质。

同时，通过掌握解题方法，我们可以更加灵活地运用几何知识解决实际问题。

在今后的学习中，我们应该注重理论与实践相结合，不断提高几何解题的能力。

通过不断学习和研究，我们可以更好地掌握几何专题，提高数学水平。

初中数学“几何概念”教学方式之研究

研究初中数学“几何概念”教学方式之研究袁兴冰摘要：几何作为初中数学的重要组成部分，是初中二年级的学生需要面对的全新课程，学好几何关乎到初中数学的整体成绩。

然而几何是一种抽象的平面图形的知识合集，需要学生通过发散思维、空间想象、借助辅助线等来解题，这对于刚接触的初中生而言学习起来有一定的难度，空间思维一时不好建立起来。

对此，为帮助学生学好几何，注重几何概念的教学方式应运而生，这对于帮助学生学好几何具有重要的意义。

关键词：初中数学；几何概念；教学方式几何知识是初中数学的重点和难点，也是教师们颇感棘手的教学课程。

初二学生学好几何知识，打好良好基础，这对于今后更高难度的几何知识的学习非常重要。

概念是所学几何公式和定理的源头，进而推导出来的，因此学好几何知识要把掌握好几何概念作为突破口。

教师们要多方研究探索几何概念的教学方式，正确运用帮助学生理解和领会几何概念，掌握正确的学习的方法、打好基础，培养学生的学习兴趣，坚定学习好几何的信心，不断提高教学水平和效率。

一、准确利用生活中的实物理解几何概念一切知识特别是几何这门专门研究点、面、线、图形的形状、位置的学科都是在生活中观察发现总结出来的。

几何概念与日常生活息息相关，有着千丝万缕的关系。

可以说只要在生活中注意观察，就能发现几何知识上所涉及到大多数概念。

比如，在讲解平行四边形时，就可以在讲解过平行四边形的定义（在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）后，画出图形，讲清楚四边形的特性，教师们可以引导同学们结合生活实际，列举与生活密切相关的平行四边形。

家中安装的伸缩晾衣架、消防员专用的消防云梯、方便使用的折叠椅等。

这样通过准确利用生活中的实物帮助学生理解平行四边形的概念，学生就能很好地理解和掌握。

同时，向学生讲解清楚几何知识源于生活，但又高于生活，能对生活中的实物进行升华和拔高，将具体事务抽象化后能帮助我们去推理更高级的知识点。

几何概念和生活概念的不同就在于此，我们能从生活中发现规律，对这些有直观认识，但是几何概念是思维的抽象化、不再具体。

几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例

几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例胡坚波收稿日期：2020-09-23作者简介：胡坚波（1981—），男，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.摘要：解题教学是必不可少的一种课堂教学形式，教师解题研究的能力直接影响到学生对问题理解的深度.教师只有掌握了解题研究的一般方法，才能在课堂中引导学生抓住问题的本质，从而优化解法，并进一步带领学生发现问题、提出问题、解决问题，进而得到一般性的结论，最终提高学生的解题能力、培养学生的数学学科核心素养.文章以2020年中考浙江杭州卷第14题的研究为例，谈谈几何解题研究的一般方法．关键词：中考试题；解题研究；一般方法中考试题的命制往往有其意义，一道看似不起眼的试题，其中很可能蕴含着丰富的内容.如果继续探究下去，或许就能发现试题背后隐藏的深意，从而体现解题的育人价值.本文以2020年中考浙江杭州卷第14题为例，谈谈应该怎样进行几何解题的研究.题目（2020年浙江·杭州卷）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC.若sin ∠BAC =13，则tan ∠BOC 的值为.COAB图1作为填空题的第4道题，试题本身不难，主要考查了三角函数的相关知识.不妨设BC =1，则AC =3.解得AB =22，OB =2.则tan ∠BOC作为填空题，此题的求解到这里就结束了，但是作为解题研究，现在才刚刚开始.一、获得研究对象研究图形要抓住图形的本质，为了更容易抓住本质，几何研究要做减法，即去掉非关键因素.此题中，可以隐去圆，那么题目条件等价于“如图2，∠ABM =90°，点C 在射线BM 上，O 是AB 的中点”.观察图形的结构，不难发现，若点C 的位置确定了，则整个图形的形状就随之确定，即∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的度数也随之确定.原试题就是在确定的条件下进行的定量研究，而研究图形变化过程中的规律性也是几何研究的常见问题.在图2中，当点C 的位置变化时，∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的大小也随之改变.当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，容易发现∠BOC 和∠BAC 的度数变大，∠OCB 的度数变小，但无法很快确定∠ACO 的变化情况.接下来，我们进一步探究∠ACO 的变化情况.CO ABM 图2··56二、借助技术获得初步猜想几何问题的研究一般要经历画图、测量、计算、猜想、证明的过程.几何画板软件为我们画图、测量、计算提供了很好的辅助.利用几何画板软件对复杂的问题进行初步研究、获得猜想，是常见的研究起点.利用几何画板软件，发现当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，∠ACO 的度数先变大后变小，且∠ACO 取到的最大值约为19.47°（如图3）.进一步计算，发现此时sin ∠ACO ≈0.33.∠OCA =19.47°∠CAO =35.58°sin∠OCA =0.33M ABCO图3猜想：如图3，当∠ABM =90°，点O 是AB 的中点时，射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，此时sin ∠ACO ＝13.三、从“数”的角度验证猜想通过利用几何画板软件进行探究，发现点C 的位置决定了∠ACO 的大小，而点C 的位置可以用BC 的长度来刻画，所以继续探究的思路是用BC 的长度表示sin ∠ACO.为了研究方便，不妨设AB =2，BC =x ，根据勾股定理，得OC 2=1+x 2，AC 2=4+x 2.因为S △ACO =12AC ·OC ·sin ∠ACO =12AO ·BC ，所以sin ∠ACO =x x 4+5x 2+4=14因为x 2＋4x 2≥4，所以当x 2=4x 2，即x =2时，x 2＋4x 2的最小值为4.所以得到sin ∠ACO ≤13，即当BC =2时，sin ∠ACO 取最大值13，猜想得证.四、从“形”的角度验证猜想前面我们从“数”的角度验证了猜想，接下来我们从“形”的角度来思考.抓住变化过程中不变的关系是研究几何问题的常用方法.进一步观察图形，我们发现当点C 的位置发生改变时，∠ACO 所对的边AO 的长度始终没有发生变化.即角度在变，角度所对的边不变.这让我们联想到了圆中同弦所对的角.构造过A ，C ，O 三点的⊙D.如图4，若⊙D 与射线BM 相交，设另一个交点为点E.在线段CE 上任意取一点F （除点C ，E 外），连接AF ，OF ，根据圆内角大于同弧所对的圆周角，可得∠AFO ＞∠ACO.故可知此时∠ACO 的度数并没有取得最大值.图4图5如图5，若⊙D 与射线BM 相切于点C ，在射线BM 上任意取一点G （除点C 外），连接AG ，OG ，根据圆外角小于同弧所对的圆周角，可得∠AGO ＜∠ACO.故此时∠ACO 取到最大值，于是得到第一个有价值的结论.结论1：∠ACO 取到最大值的充要条件是过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切.接下来，求此时∠ACO 的正弦值及BC 的长.可以沿用前面的解题思路，分别求出线段AO ，OC ，AC ，BC 的长度，再利用△ACO 的面积求解.解法1：如图6，连接DC ，AD ，作DH ⊥AO.H O ABCDM图6不妨设AO =BO =1，则AH =OH =12，BH =32.因为⊙D 与射线BM 相切于点C ，所以DC ⊥BC.因为∠B =90°.··57所以四边形BCDH为矩形.所以AD=DC=BH=32.在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH=2.所以BC=DH=2.由勾股定理，得OC=3，AC=6.由S△ACO=12AC·OC·sin∠ACO=12AO·BC，代入解得sin∠ACO=13.显然，求解过程还是有些复杂，不妨进一步思考，此图形还有什么特殊性可以应用？从圆的视角看，⊙D与射线BM相切，∠ACO为圆周角，解法豁然开朗.解法2：利用圆周角定理，可以转化到圆心角进行求解，可得∠ADH=∠ACO.所以sin∠ACO=sin∠ADH=AHAD=13.利用圆幂定理，可得BC2=BO·BA.解得BC=2.解法2抓住了问题的本质，解法也更优化、更简洁.“数”和“形”两种思考方法都能验证猜想，可见这也是我们解决几何问题的一般思路.对比两种思路，从“数”的角度思考，往往需要设未知变量，再利用勾股定理、相似、面积关系、三角函数等，列出未知变量与所求量之间的关系，然后用代数的方法求解；从“形”的角度思考，往往需要根据图形的结构，抓住图形中不变的关系，构建出几何模型，再根据图形性质求解.用“数”的方法容易想到，但计算较复杂；用“形”的方法比较直观，计算也相对简单，但是要弄清楚几何模型结构有一定的难度，需要的知识综合度高，也需要一定的逻辑推理.数形结合的思想方法在教学中有其育人价值，在解题教学中我们应让学生经历基本的活动经验，这样才能培养学生必需的基本数学思想.五、追本溯源其实，本问题在数学史中已经存在，称为“米勒问题”.德国数学家米勒于1471年提出“塑像问题”：有一个高a米的塑像立在一个高b米的底座上，一个人朝它走去（人的高度忽略不计），问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大（即视角最大）？根据题意画出图形，如图7，AO为雕像，BO为底座，点C表示人，求∠ACO最大时，BC的长.ABO图7这与我们研究的问题非常相似，只是点O的位置不再是中点，这为我们进一步研究问题提供了思路，即可以改变图形的条件，使之更具一般性，进而获得一般性的结论，这是我们进一步研究几何问题的方向.六、改变条件进一步探究1.改变点O的位置受“米勒问题”的启发，我们可以改变点O的位置，使之一般化，为了研究的连贯性，不妨设AB=2，AO=n（0＜n＜2），这样点O在线段AB上就具有一般性了，本质上与“米勒问题”是等价的.因为结论1与点O在线段AB上的位置无关，所以结论1仍成立.如图8，当⊙D与射线BM相切于点C时，∠ACO取得最大值.此时，易得AH=n2，DC=BH=2－n2.所以AD=DC= 2－n2，sin∠ACO=sin∠ADH=AH AD=n4-n.根据圆幂定理，得BC=BO·BA=4-2n.显然当n=1，即点O是AB的中点时，sin∠ACO的最大值为13，此时BC=2.但是这只是其中的一种特殊情况，于是得到第二个有价值的结论.HOA BCDM图8··58结论2：如图8，设∠ABM =90°，AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则在射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时sin∠ACO =n 4-n，BC =4-2n.2.改变∠ABM 的大小此题条件里动点C 所在的射线BM 与AB 垂直，显然条件中的位置比较特殊.若从这个角度改变条件，当射线BM 与AB 不垂直，即∠ABM ≠90°时，相当于“米勒问题”中的雕像及底座与地面不垂直时，那么结论2是否仍成立？因为∠ABM ≠90°，所以四边形DCBH 不再是矩形，即DC ≠BH.求半径的解法相应会有所改变，猜想sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数有关.因为结论1与∠ABM 的大小无关，所以结论1仍然成立.∠ACO 取到最大值时，过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切，故圆幂定理仍然适用，所以BC =BO ·BA =4-2n.所以可得第三个有意义的结论.结论3：设∠ABM =α（0°＜α＜180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数无关.接下来，求sin ∠ACO.因为∠ABM 有锐角和钝角两种情况，所以要分两种情形分类进行研究.情形1：如图9，当0°＜α＜90°时，⊙D 与射线BM相切于点C.根据前面的猜想sin ∠ACO 会与α有关，为了将α用上，所以考虑作垂线构造直角三角形.作DH ⊥AO 于点H ，BE ⊥AB 交DC 的延长线于点E ，作DF ⊥BE 于点F.M O AB CD EF GH图9易证∠CBE =∠EDF =90°-α，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()90°－α=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()90°－α=4-2n ·tan ()90°－α，AD =DC =DE -CE =4-n 2sin α-4-2n ·tan ()90°－αsin∠ACO =sin∠ADH =AH AD =n sin α4-n -24-2n cos α.情形2：如图10，当90°＜α＜180°时，⊙D 与射线BM 相切于点C.同样作DH ⊥AO 于点H ，作BE ⊥AB 交DC 于点E ，作DF ⊥BE 交BE 的延长线于点F.H A B CDOEF M图10易证∠CBE =∠EDF =α-90°，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()α－90°=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()α-90°=4-2n ·tan ()α-90°，AD =DC =DE +CE =4-n 2sin α＋4-2n ·tan()α-90°sin∠ACO =sin∠ADH =AH AD 发现两种情形最后结果的表达式是一致的，而把α=90°代入，得sin∠ACO =n 4-n.与之前的计算结果一致，可见角度在变，结果的表达式不变，得到了变化过程中不变关系的本质，于是得到了问题的一般性结论.结论4：设∠ABM =α（0°<α<180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =3.当射线BM 改为直线BM 时，相当于“米勒问题”中人可以站到雕像的背面进行观察.如图11，当点C 在直线BM 上移动时，由前面的研究可知，当点C 在射线BM 1和BM 2上时，分别有一个点C 1和点C 2，使得∠AC 1O 和∠AC 2O 在各自的射线上取到最大值，那么∠AC 1O 和∠AC 2O 哪个更大一些呢？显然，当BM ⊥AB 时，BC 1=··59BC 2，由对称性可知∠AC 1O =∠AC 2O.当BM 与AB 不垂直时，不妨设∠ABC 1=α（0°<α<90°），则∠ABC 2=180°-α.根据结论4，可以得到sin ∠AC 1O =sin ∠AC 2O =因为0<cos α<1，所以sin ∠AC 1O ＞sin ∠AC 2O.所以∠AC 1O ＞∠AC 2O.得到结论5.M 2OAB MC 1C 2M 1图11结论5：如图11，当点C 在直线BM 上时，设AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），如果直线BM 与线段AB 所成的较小的夹角为∠ABM 1（0°＜∠ABM 1≤90°），则点C 一定在射线BM 1上，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =七、解后思考回顾整个研究过程，通过图形的变化将一个确定的图形变为不确定的图形，从而获得研究对象.而对于变化中规律的研究，入手比较难，这时信息技术为化解难点提供了帮助.借助几何画板软件，不仅能方便地展示图形变化的过程，而且可以通过教师有意识地控制帮助学生观察影响变化的要素及其关系，从而获得初步的猜想.接着，从“数”和“形”两个角度验证了该猜想，进一步体会到几何问题在“数”和“形”上的统一，体会到数形结合思想在解题中的重要作用.在引出“米勒问题”后，通过进一步改变条件——点的位置变化、角度的大小变化、射线变为直线等，发现了在条件变化过程中不变的结论.通过这样的解题教学研究可以让学生进一步体会到研究几何问题的一般方法——从简单到复杂，从特殊到一般.整个研究过程，具备学习素材的真实性，问题的开放性，学习过程的探索性，学习手段的操作性，探索过程的动态化、可视化，学习体验的形象化、可表达，学习结果的创造性.这些都有利于在今后的学习中，提高学生发现问题和解决问题的能力，进而实现几何解题教学的育人价值.参考文献：［1］王红权.“高考真题分析”习题课的教学实践与思考［J ］.中小学数学（高中版），2015（4）：20-23.［2］章建跃.研究三角形的数学思维方式［J ］.数学通报，2019，58（4）：1-10.··60。

掌握中学数学几何学的七个关键知识点

掌握中学数学几何学的七个关键知识点数学几何学是中学数学中的重要分支，它研究的是空间中的形状、结构以及它们之间的关系。

掌握中学数学几何学的七个关键知识点，对于深入理解数学几何学的基本概念和问题解决方法至关重要。

在本文中，我们将介绍这七个关键知识点，并提供相应的例子和解释。

知识点一：平面几何基础在数学几何学中，平面是指无限延伸的二维空间。

了解平面的基本性质，如平面的定义、平面上的点、直线、线段等概念，是学好数学几何学的重要基础。

例如，在解决平面几何问题时，我们可以利用定义和性质来证明结论，例如两点确定一条直线等。

知识点二：几何图形的性质几何图形是指由点、直线等几何元素组成的几何形状。

了解不同几何图形的定义、性质和特点，能够帮助我们在解决几何问题时进行分类和分析。

例如，在分类讨论三角形时，我们可以根据边长和角度的关系将三角形分类为等腰三角形、等边三角形等，从而更好地理解和解决问题。

知识点三：三角形的性质和定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

了解三角形的性质以及定理，能够帮助我们研究三角形的各种特性和关系。

例如，掌握三角形的角度和边长关系定理，我们可以更好地解决有关三角形的角度、边长和面积等问题。

知识点四：圆的性质和定理圆是一个具有特殊性质的几何图形，它由一条封闭的曲线和圆心组成。

了解圆的性质和定理，能够帮助我们理解和解决有关圆的问题。

例如，在解决圆的相交问题时，我们可以利用圆的性质来确定相交部分的特点和关系，从而得出准确的结论。

知识点五：平行和垂直平行和垂直是几何学中常见的重要关系。

了解平行和垂直的定义和性质，能够帮助我们判断和证明线段、直线和平面之间的关系。

例如，在证明两条直线平行时，我们可以利用平行线的定义和必要条件来进行推理和论证，从而得出结论。

知识点六：相似和全等相似和全等是几何学中用于描述和比较图形的重要概念。

了解相似和全等的定义和判定条件，能够帮助我们判断和证明图形之间的关系。

中小学课题申报：“几何模型”提升学生的空间想象能力的探究

课题申报范例精选【导语】课题要坚持正确的政治方向，充分体现中央有关精神和要求，具有鲜明的问题导向和创新价值。

应用对策类选题要有现实性、针对性和前瞻性；基础理论类选题要立足学术前沿，具有原创性和开拓性；跨学科类选题要体现学科交叉渗透的属性和特点。

选题文字表述科学、严谨、规范。

以下是课题优秀成果，是各类教师进行课题申报、开展课题研究、撰写研究报告的参考模板和范例。

“几何模型”提升学生的空间想象能力的探究课题名称：“几何模型”提升学生的空间想象能力的探究关键词：培养，空间想象能力，几何模型申报级别：全国教育信息技术研究课题课题类别：青年课题学科分类：数学研究类型：数学预期研究成果：立项号：课题设计论证1．课题研究背景（为什么研究这个课题）在高三总复习的教学中学生在解决几何体的外接球的习题中，总是感到无法想象出几何体的形状及相对关系，更谈不上正确地解出该类问题。

然而，在近几年的高考中这类问题变着不同的形式和方法出现，在知识交汇处设置问题，俨然成为高考的热点问题。

针对这一矛盾，我在教学过程中也不断思考，对于该内容应如何教学？既要达到效果又要减轻学生的学习负担，更能从中培养学生的空间想象能力？因此提出本课题的研究是有必要的。

2. 研究的目的、意义、价值：马克思主义哲学说：事物是客观的，其运动都是遵循其自身的客观规律存在的。

对于我们的教学来说也是一样的。

新课程理念下的数学教学目的之一是培养学生的思维品质，提高学生的思维能力，使学生在学习数学基础知识的同时，不断发现数学的思维过程，学会思维方法，学会独立探索，并有所发现，有所创新，从而更好地掌握和应用知识。

在能力方面，空间想象能力是作为高中阶段学生应用具备的基本能力。

数学的空间想象能力一般是从“识图”开始的，如何通过模型让学生真正地识图，进而能够灵活的解决问题？在这样的思考和背景下，本课题的研究是有意义的。

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。

中学数学解析几何的基础知识

中学数学解析几何的基础知识解析几何是高中数学中的一门重要学科，它是代数和几何的结合，通过运用坐标系和代数方法来研究几何问题。

本文将介绍中学数学解析几何的基础知识，包括直线、圆、抛物线和椭圆等几何图形的解析表示方法以及相关性质。

一、直线的解析表示方法在直角坐标系中，直线可以通过一元一次方程来表示。

对于方程y=kx+b，其中k为斜率，b为截距，斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。

通过斜率和截距的确定，可以唯一确定一条直线。

二、圆的解析表示方法圆是一个平面上到定点距离相等的点的集合。

在直角坐标系中，圆可以通过二元二次方程来表示。

对于方程(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径，可以唯一确定一个圆。

三、抛物线的解析表示方法抛物线是一个平面上到定点距离与定直线的距离相等的点的集合。

在直角坐标系中，抛物线可以通过一元二次方程来表示。

对于方程y=ax²+bx+c，其中a≠0，可以确定一个抛物线。

其中，系数a决定了抛物线的开口方向，系数b决定了抛物线在x轴方向上的平移，系数c决定了抛物线在y轴方向上的平移。

四、椭圆的解析表示方法椭圆是一个平面上到两个定点的距离之和为常数的点的集合。

在直角坐标系中，椭圆可以通过二元二次方程来表示。

对于方程[(x-a)²/b²]+[(y-c)²/d²]=1，其中(a,c)为椭圆的中心坐标，b、d分别为椭圆在x 轴和y轴方向上的半长轴，可以唯一确定一个椭圆。

椭圆的形状由半长轴决定，半长轴越大，椭圆越扁。

综上所述，直线、圆、抛物线和椭圆都可以通过解析几何的方法进行描述和研究。

对于每一种几何图形，我们可以通过确定相应的方程参数来唯一确定它们。

解析几何的基础知识对于理解和解决各种几何问题具有重要意义，为进一步学习数学打下了坚实的基础。

以上就是中学数学解析几何的基础知识，通过了解直线、圆、抛物线和椭圆的解析表示方法，我们可以更好地理解几何图形的性质和特点，为数学学习的深入发展奠定基础。

中学数学研究

2020/1/14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（二）内容概要
《中学数学研究》主要分《中学代数研究》和《中学几何研究》两部分。
1. 《中学代数研究》的内容概要数与数系：自然数理论；有理数域及性质；实数集及性质；复数集及性质；式、代数式与不等式：式的概念及其性质；代数式及其性质；初等超越式及其性质；不等式的概念及其性质；不等式的同解变形；不等式（组）的解法；不等式的证明；中学数学中不等式的教学研究。
度量几何：线段和圆弧的长度；球的体积和表面积；三角学；定量化的几何；分形几何概观。
平面几何及其证明：命题与证明；平面几何证明的几种方法（面积法与面积坐标，向量法与复数法）；几何轨迹与尺规作图。
2020/1/14
立体几何研究与解题；
立体图形、截面图形、投影图形的画法；直线、平面的平行、垂直关系的对偶性；求解立体几何问题的向量法与综合法；空间向量的数量积和向量积；立体几何的教学。
平面解析几何研究与解题：坐标系和坐标变换；曲线、方程、函数；曲线的生成与类型的判别；射影几何解析几何与平面；平面解析几何的教学；二次曲线的实际应用。
球面几何学初步和几何定理的机器证明：球面几何的有关概念；球面三角；球面坐标；球面几何与双曲几何；吴文俊几何定理证明的机械化方法；张景中消点算法。
2020/1/14
二. 中学数学研究的教学要求《中学数学研究》主要分《中学代数研究》和《中学几何研究》两部分。
(一) 中学代数研究的教学要求数与数系：了解：数系历史发展的过程。
掌握：数系的扩充过程。
式、代数式与不等式：掌握：学生学会用符号语言表示数学思想；掌握：不等式证明的基本方法。
算法：掌握：算法的基本知识

几何教学在中学数学教学中现状及对策论文

几何教学在中学数学教学中的现状及对策一、几何教学在中学数学教学中的现状（一）三个时期中学开设几何课程的时段。

1992年以前，初一数学课仅安排代数，从初二开始才安排几何课，初二、初三直到高中，代数与几何同时开设，齐头并进。

1992年国家教委正式颁布实施九年义务教育教学大纲以后，几何课的开设时间提前了，从初一下学期开始安排几何，直到高中，代数与几何同时开设，齐头并进。

几何课的课时比例略低于代数：在整个初中数学课程中约占45%。

2001年教育部制定的新的《数学课程标准》中，对于几何内容的安排体现了三个特点：一是几何课的开设时间提前了。

二是几何课的课时压缩了。

三是几何课以“空间与图形”的名目出现，一开始就兼有平面和立体的内容，而且重实践，轻体系。

（二）滑坡的现实。

几何是整个中学数学教学内容的重要部分。

几何课在整个初中课程中是难点，是瓶颈。

初中数学教学中普遍存在的现象是，从初一下学期开设几何课开始，数学成绩就明显出现分化。

数学成绩好的学生必定几何成绩好，而相当大一部分学生几何成绩开始下滑。

中学生几何学习困难主要反映在以下几个方面：(1)几何证明中严格的逻辑要求使学生普遍认为几何太抽象、太难学。

(2)语言表述关。

过分专业而严密的叙述要求使不少初学几何的学生无法逾越语言表述的障碍。

本来会表达的意思都被几何语言搞糊涂了。

(3)害怕几何证明题。

对证明无从下手，不知道要做什么事，不知道做到哪一步就算证出来了。

(4)基本的逻辑常识欠缺。

对逆命题、反证法等理解不了。

二、原因分析（一）现行教材体系的原因现行中学数学教材中的几何素材以其严谨、抽象、枯燥的呈现方式相对单一。

几何内容的过分抽象，过分强调演绎推理，几何教材的过分“数学化”，使学生缺少将所学知识与现实生活紧密联系的机会，使学生的空间观念、空间想象能力的形成和培养受到相当大的限制。

特别是教材中造成更多的人害怕几何，厌恶几何，甚至远离几何，对几何乃至整个数学丧失信心和继续学习的兴趣。

中学数学研究(几何部分)习题库

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。

已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。

证明（同一法）：设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。

∵A D ∥BC∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B =90°作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′,则 FE ′=21AB=AF=BF∴∠2=∠A E ′F , ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥A D ∥BC连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥A D ∥BC ∴E ′F 与 E F 共线 ∵FE ′=21AB=21(AD+BC), FE =21(AD+BC)∴E ′F = E F ∴E ′与 E 重合。

证毕。

习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。

知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。

解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ，则BF 是△DAC 的中位线。

∴BF 21AC∴∠FBC=∠ACB又∠ACB=∠ABC ，AB=AC∴∠FBC=∠ABC ，BF=21AB=BE∴△EBC ≌△FBC （SAS ）∴CE=CF=21CD=21×10=5cm即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。

已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。

D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。

求证：D E －DF 为常量。

21证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。

中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

2x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义A1.1 几何定义如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FGFNEP交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线.若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线.由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点H BG M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法.图 11.2 代数定义已知圆锥曲线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ，则称点 P( x , y ) 和直线0 0l : A x +C y + y (D x ) + (E y) +y 是圆锥曲线 Γ 的一对极点和极线.0 0 0 0x + x事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此)0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程.特别地：(1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y= 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1；0 0(2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1；0 0(3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x + x) . 0 0§2.极点与极线的基本结论定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 Γ 上时，则极线 l 是曲线 Γ 在 P 点处的切线；(2)当 P 在 Γ 外时，则极线 l 是曲线 Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当 P 在 Γ 内时，则极线 l 是曲线 Γ 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy ' + 2D + 2Ey ' = 0 ，解得 y ' = -，于是曲线 Γ 在 P 点处的切线斜率Cy + EAx + D Ax + D为 k =- ，故切线 l 的方程为 y - y =-0 0 0 0( x - x ) ，化简得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ，又点 P 在曲线 Γ 上，故有 00 0Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 Γ 在 P 点Mx + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0)Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，处的切线为 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .0 0 0 0(2)设过点 P 所作的两条切线的切点分别为M ( x , y ), N ( x , y ) ，则由 (1)知，在点1 12 2M , N 处的切线方程分别为 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0=F1 1 1 1Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又点2222P 在切线上，所以有Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 10 111Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ，0 20 222P观察这两个式子，可发现点M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直线1122 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上，N图 2又两点确定一条直线，故切点弦 MN 所在的直线方程为Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .(3)设曲线 Γ 过 P( x , y ) 的弦的两端点分别为 S ( x , y ), T ( x , y ) ，则由(1)知，曲线在1122这两点处的切线方程分别为 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和1111Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，2 2 2 2 设两切线的交点为 Q(m , n ) ，则有T.1111Q(m,n)2222观察两式可发现S ( x , y ), T ( x , y ) 在直线1122Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上，S图 3又两点确定一条直线，所以直线 ST 的方程为 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ，又直线 ST 过点 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而点0 0 0 0 0 0Q(m , n ) 在直线 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 上.0 0 0 0所以两切线的交点的轨迹方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 .0 0 0 0定理 2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P ，则这些极线相应的极点共线于点 P 相应的极线，反之亦然.PB点 P 的极线点 P 的极线PA图 4(1)即极点与极线具有对偶性.如图 4(1)(2)所示.图 4(2).) 22 a 2 b 2 c2y 2 y证明：由于 F ( ,0) , A( 1 , y ) ， B( 2 , y ) ，故 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 12 2 22 y y 2 - p 2 OC = y p ( , , ( )kOC = +py p py§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现 3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线如果圆锥曲线是椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1 ，当 P( x , y ) 为其焦点 F (c , 0 时，极线 0 0x x y y a 2 x 2 y 20 + 0 = 1 变为 x = ，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线 - a b 2 c a b 2= 1 ，当x x y y a 2P( x , y ) 为其焦点 F (c,0) 时，极线 0 - 0 = 1变为 x = ，恰是双曲线的准线；如果0 0 p圆锥曲线是抛物线 y 2 = 2 px ，当 P( x , y ) 为其焦点 F ( ,0) 时，极线 y y = p ( x + x) 变0 0 0 0 p为 x =- ，恰是抛物线的准线.23.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例 1】过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y , y ，求证： y y = - p 2 . 1 2 1 2三点对应的极线方程分别是p y 21 2Apy 2 y 2x =-， y y = p ( 1 + x) 和 y y = p ( 2 + x) ，12CO FBx由于 A, F , B 三点共线，根据定理 2 可知，对应的 p三条极线共点，将 x = -代入后面两式得2 图 51p 21 p2 y y 2 - p 2y y = y 2 - ， y y = y 2 - ，两式相除得 1 = 1⇒ y y = - p 2 . 12 1 222作为课本一习题，2001 年全国高考试卷 19 题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线 y 2 = 2 px 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于两点 A, B ，点 C在抛物线的准线上，且 BC 平行于 x 轴，证明直线 AC 必过原点.简证：如图 5，设 Ax y )Bx, y)1 122p，则 C (- , y 22 ，从而 k O A = y 1 = x 12 py ，1 -22=-点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例 2】(1)已知抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k ，问 k 为何值时，直线 l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线 x 2 -是线段 AB 的中点？y 2 2= 1 ，过点 P(1,1)能否作直线 l ，与双曲线交于 A, B 两点，且 Px + 0，故 ⎨， ⎩ 2ky + y = 2 x ⎪⎪ 0k 当 k ≠ 0 时， ⎨ ，直线 l 与抛物线有两个公共点 ⇔ P( x , y ) 在抛物线外2⎪ y = ⎩⎪⎪ 0 2故 ⎨ ，两式相减得 4 x - 2 y = 2 ，即 2 x - 0 = 1 ，而 2 x - = 1 ⎪(2 - x )2 - (2 - y 0 )2 = 1 2 2⎪⎩ 2. 解：(1)设点 P( x , -1), A( x , y ), B( x , y ) ，A, B, F 三点共线，故相应的三极线共点于 P( x , -1) ，代入极线方程得 ⎨ 1 0 x x = 2( y - 1) ⎩ 2 0解： (1)直线 l 的方程为 y - 1 = k ( x + 2) ，即 y = kx + 2k + 1 . 设直线 l 对应的极点为P( x , y ) ，则相应的极线应为 y y = 2( x + x ) x ，即 y = 0 0 0 0 2 y 0y ⎧1 x = +2 0 0⎪ 0 k ⇔ y 2 > 4 x ⇔ 0 0 4 1 1 1> 4( + 2) ，解得 -1 < k < 且 k ≠ 0 ；同理可求得当 k = -1 或 k = k 2 k 2 21或 k = 0 时直线与抛物线只有一个公共点；当 k < -1 或 k > 时直线与抛物线没有公共点.2(2)设 A( x , y ) ，则由 P 是线段 AB 的中点得 B(2 - x , 2 - y ) ，而 A, B 在双曲线上， 0⎧ y 2 x 2 - 0 = 1 2 y 2 y 0 0 00 是点 (2, 2) 对应的极线，但点 (2, 2) 在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景【例 3】(2006 年全国试卷 II21)已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且yBAF = λ F B(λ > 0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为 P .F(1)证明 FP ⋅ AB 为定值；(2)设 ∆ABP 的面积为 S ，写出 S = f (λ ) 的表达式，并求 S 的最小值.AOPx0 1 12 2图 6F , A, B 三点对应的极线方程分别为y = -1 ， x x = 2( y + y) ， x x = 2( y + y) ，由于1 1220 ⎧ x x = 2( y - 1) 1 2，两式相减得 ( x - x ) x = 2( y - y ) .1212又 FP = ( x , -2), AB = ( x - x , y - y ) ，故 FP ⋅ AB = x ( x - x ) - 2( y - y ) = 0 . 021212121 (2)设 AB 的方程为 y = kx + 1 ，与抛物线的极线方程 x x = 2( y + y) 对比可知直线 AB对应的极点为 P(2k , -1) ，把 y = kx + 1 代入 x 2 = 4 y 并由弦长公式得 AB = 4(1+ k 2) ，所以2y + - 21 k 设 AB : y -2 = k ( x - ) ，可化为 = x ，故直线 AB 对应的极点为2 = k k + ⎪⎪3 2⎪ k 2 - k + 4 + - 2 k 2 - + 2⎪ y = 22⎪⎩2 2 24 2 4 4FP ⋅ FA cos ∠AFP = = 24 4 = 4 4 = 1 2 4 . 1 FP ⋅ FA FPFP x 2 + ( x 2 - )24 41 1 x + xFP ⋅ FB 同理 cos ∠AFP = =S∆ABP = 1 2AB FP = 2(1+ k 2 ) 4(1+ k 2 ) .显然，当 k = 0 时， S 取最小值 4 .【例 4】(2005 江西卷 22)设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F ，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0上运动，过 P 作抛物线的两条切线 P A, PB ，且与抛物线分别相切于 A, B 两点.(1)求 ∆APB 的重心 G 的轨迹方程； yB与 (2)证明 ∠PFA = ∠PFB .解：(1)设点 P( x , y ), A( x , y ), B( x , y ) ，0 0 1 1 2 2y + y0 = x x 对比知直线 l : x - y - 2 = 0 对应的0 A FOP lx1极点为 ( , 2) ， P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应2图 71的极线 AB 必恒过点 ( , 2) .2k22 2 2k k k( , - 2 )，将直线 AB 的方程代入抛物线方程得 x 2 - kx + - 2 = 0 ，由此得 2 2 2x + x = k , y + y = k ( x + x - 1) + 4 = k 2 - k + 4 ， ∆APB 的重心 G 的轨迹方程为121212⎧k ⎪ x =1 ⎨，消去 k 即得 y = (4 x 2- x + 2) . k k 3 =3 3k k k(2)由(1)可设点 P( , - 2) ， A ( x , x 2 ), B( x , x 2 ) ，且 x + x = k , x x = - 2 ，所以1 12 2 1 2 1 2 1 1 1 FA = ( x , x 2 - ) ， FP = ( 1 2 , x x - ) ， FB = ( x , x 2 - ) .1 1 12 2 2 x + x 1 1 1 1 1 1 2 x + ( x x - )( x 2 - ) ( x x + )( x 2 + ) x x +1 1 21 12 1 1 FP ( x 2 + ) 1x x +1 2FP ⋅ FB FP14 .所以有 ∠PFA = ∠PFB .评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.A B2 a b 2 2ay )2 】(评析：该题实质上就是求椭圆 + 】( 点评析：显然该定直线为点 M ( , ) 对应的极线： + = 1 ..【例 5】(2002 澳大利亚国家数学竞赛)已知 ∆ABC 为锐角三角形，以 AB 为直径的⊙ K分别交 AC, BC 于 P , Q ，分别过 A 和 Q 作⊙ K 的两条切线交于点 R ，分别过 B 和 P 作⊙ K 的两条切线交于点 S ，证明点 C 在线段 RS 上.RR (-a,y 2)yCCPQSPS (a,y 1)QK下面将圆加强为椭圆，并给出证明.A图 8K B x证明：以 AB 为 x 轴，线段 AB 为 y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为 x 2 y 2 + a b 2= 1 ，- x y y并设点 S (a, y ), R(-a, y ) ，则 R 点对应的极线 AQ : + 2 = 1 ，代入椭圆方程解得点1 2a( y 2 - b 2 ) 2b 2 y yQ( , 2 ) ，直线 B Q: = - 2 ( x - a，同理我们可以得到直线 y 2 + b 2 y 2 + b 2 a 2 2y y - y 2 y yAP : y = 1 ( x + a) ，将直线 BQ 的方程与 AP 的方程联立解得 C ( 2 1 a, 1 2 ) ，可验a y + y y + y1 2 1 2y - y证其坐标满足直线 RS : y - y = 12 ( x - a) 的方程，所以三点共线. 1 评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1 ，而用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例 6】《中等数学》2006 年第 8 期 P 42)过椭圆 x 2 y 2+ = 1 内一点 M (3,2) 作直线 AB 25 9与椭圆交于点 A, B ，作直线 C D 与椭圆交于点 C, D ，过 A, B 分别作椭圆的切线交于点 P ，过 C, D 分别作椭圆的切线交于点 Q ，求 P , Q 连线所在的直线方程x 2 y 225 9= 1 内一点 M (3,2) 对应的极线方程，由定理 1立即可得答案为 3x 2 y+ = 1 .25 9【例 7 《中学数学》2006 年第 7 期新题征展 77)设椭圆方程为 x 2 1 1+ y 2 = 1 ， M ( , ) ，2 2 2过点 M 的动直线与椭圆相交于点 A, B ，点 A, B 处的切线相交于点 N ，求证点 N 的轨迹是一条定直线.1 1 x y2 2 4 2从例 6、例 7 可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐2 mk m 评析：由定理 1 知，该定理中定点 M (m ,0) ，直线l : x = 即为一对极点与极线，从4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【定理】【 2 】线段 PQ 是过椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0) 长轴上定点M (m ,0)( m ≠ 0, m ≠ ±a) 的弦，S , T 是长轴上的两个顶点，直线 SP , SQ 与直线 l : x = a 2 m交于 A( x , y ), B( x , y ) 两点，并且直线 PQ 的斜率 k 存在且不为零，则有A AB B2b 2 m 2b 2 - a 2b 2y + y =- , y y = . A B A B 2这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.a 2m另一方面来说，该定理是【例 1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极线的性质证明，文【3】则完全是定理 1 的一种特例.定理 1 和定理 2 反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3【4】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8【10】李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12【12】丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10【13】邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.111 、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。

江苏省苏州实验中学解析几何专题系列2

解析几何专题系列（三）------解几中的定点问题教学目标：通过讲解使学生清楚两类定点问题：（1）曲线过定点问题；（2）平面或某直线上存在定点满足恒等关系。

掌握解决两类定点问题的常用解法：转化为关于某个（或几个）变量的恒等式问题。

问题：（冲刺12套.模拟3.18）平面直角坐标系中，焦点在y 轴上的椭圆的短轴长为m 2，半焦距为m )0(>m（1）若椭圆的短轴长为2，半焦距为1，求椭圆的标准方程；（2）若存在一个中心在原点，分别以椭圆的短轴为实轴、长轴为虚轴的双曲线E ，已知双曲线E 与x 轴交于B A ,两点，在E 上任取一点),(00y x T )0(0≠y ，直线TB TA ,分别交y 轴于Q P ,两点，求证：以PQ 为直径的圆恒过两定点。

例1：（08江苏）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．解：（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0 得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．例2：已知椭圆22142x y +=，A 、B 是其左右顶点，动点M 坐标为0),,4(>m m ，连接AM 交椭圆于点P ，连接BM 交椭圆于点Q ，（1）当直线PQ 垂直于x 轴时，求m 值；（2）在x 轴上是否存在异于A 、B 的定点T ，直线PQ 过定点T ，若存在求出T 点坐标并证明；若不存在请说明理由。

3D打印技术在高中立体几何教学中的应用研究

3D打印技术在高中立体几何教学中的应用研究1. 引言1.1 背景介绍立体几何是数学的一个分支，是研究空间中图形、线段、点等几何对象的相互关系的学科。

在高中阶段，立体几何是数学教学的一部分，其目的是帮助学生理解并掌握空间几何的基本概念和技巧。

传统的立体几何教学往往局限于板书和二维图形展示，难以真实呈现空间立体结构，学生对于抽象概念的理解也常常存在困难。

随着现代技术的发展，3D打印技术逐渐应用于教育领域。

通过使用3D打印技术，可以将虚拟的数学概念转化为实际的物体，为学生提供更直观、具体的学习体验。

在高中立体几何教学中，借助3D打印技术可以制作各种立体物体，让学生在触摸、拼接、观察中更好地理解和掌握几何概念，激发他们的学习兴趣和动力。

本研究旨在探讨3D打印技术在高中立体几何教学中的应用实践，分析其优势、挑战以及对教学带来的影响，以期为提升立体几何教学质量和效果提供理论支持和实践参考。

1.2 研究意义立体几何是中学数学中的一个重要分支，它旨在培养学生的几何思维和空间想象能力。

传统的立体几何教学方式往往抽象、理论化，缺乏直观性和实际操作性，导致学生难以理解和掌握相关概念。

在这样的背景下，引入3D打印技术可以为高中立体几何教学带来革命性的变革。

通过利用3D打印技术，可以将抽象的数学概念转化为具体的实物模型，让学生通过触摸和观察来理解数学原理，从而提高他们的学习兴趣和效果。

研究意义在于探讨3D打印技术在高中立体几何教学中的应用，旨在促进立体几何教学的革新和提高学生的学习效果。

通过本研究，可以深入分析3D打印技术在教学中的实际应用效果，总结其优势和挑战，为教育改革和创新提供有益参考。

通过研究，可以为未来的教育教学提供借鉴和启示，推动我国教育改革不断向前发展。

1.3 研究目的研究目的是为了探讨3D打印技术在高中立体几何教学中的应用情况，并分析其对学生学习成效和兴趣的影响。

通过研究，我们可以了解到3D打印技术如何帮助学生更直观地理解立体几何知识，激发他们的创造力和实践能力。

基于理论七、八年级学生几何思维水平的调查研究

基于理论七、八年级学生几何思维水平的调查研究一、内容综述几何思维是数学的基本思维方式之一，对于中学阶段的学生的逻辑推理和空间想象力培养具有重要意义。

随着教育改革的深入，几何教学也面临着新的要求和挑战。

为了更好地了解当前八年级学生几何思维水平的发展状况，为教育工作者提供有针对性的建议，本文将对相关研究进行综述。

几何思维是指在解决几何问题过程中所运用的思考方式和解决问题的方法。

它包括了空间想象、逻辑推理、模型思想等多个方面。

在中学阶段，培养学生的几何思维能力有助于提高他们的数学素养和后续学习能力。

许多学者对几何思维进行了深入的研究，并提出了不同的理论框架。

康奈尔大学的Fermat教授提出了一种基于问题解决的教学方法，强调将几何问题与实际生活相结合，以提高学生的应用能力和创新思维；另一位学者David Hillman则从心理学角度出发，探讨了几何思维与学生认知发展水平的关系，认为几何思维的发展与学生的年龄、性别等因素密切相关。

国内外关于几何思维的研究逐渐增多，涉及教学实践、学生学习心理、评价体系等多个方面。

学生在几何思维的发展过程中存在差异性，不同年龄段、性别、学段的学生在几何思维水平上存在不同程度的优势与不足。

教育工作者需要关注这些差异性，并采取相应的教学策略来促进学生几何思维的全面发展。

虽然现有研究取得了一定的成果，但仍存在一些不足之处：多数研究集中于理论探讨，缺乏实证分析；对于如何将理论应用于实践，提高学生几何思维水平的策略研究不够充分。

针对这些问题，本文将从实证研究的角度出发，通过问卷调查、访谈等方法，深入了解八年级学生的几何思维现状及需求。

本文通过对相关文献的综述，总结了当前中学数学教学中几何思维培养的重要性和研究现状。

已有研究仍存在不足之处和本文研究的创新点。

未来研究应注重理论与实践相结合，进一步深化对中学生几何思维发展规律的认识，为教育实践提供更为具体和可行的建议。

1. 背景介绍随着教育改革的深化，培养学生的几何思维能力已成为教育工作者共同关注的问题。

《初等几何研究》教学大纲

课程名称：初等几何解题研究课程编码：0702032110适用专业及层次：数学教育专科生课程总学时：72课程总学分：一、课程的性质、目的与任务1、本课程的性质：专业课。

2、课程目的与任务：通过本课程的学习使学生初中数学几何教学所需的初等几何的基础理论、基本知识和基本技能；了解中学数学的内容和知识结构。

并对初等几何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步的培训，为教好中学数学打下较好的基础。

二、教学内容、教学要求及教学重难点总论教学内容：了解初等几何研究的对象和目的，了解中学几何的逻辑结构。

应根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高的原则。

教学要求：着重于基本知识基本理论的讲授和学生对几何问题的观察、分析、综合、推究能力的培养，重点难点：了解中学几何的逻辑结构第一章几何题的证明教学内容：第一节．几何证明的概述1.几何证明的一般方法了解直观与推理，了解关于命题的证明；了解直接证法与间接证法；几种证题方法：综合法与分析法; 演绎法与归纳法.2.几何证明的特殊方法了解几何证明一些特殊方法：分解法、扩充法、特殊化法、类比法、面积法、转换法、变换法、代数法、三角法、解析法等第二节正度量关系1.证两线段相等关系掌握常用的证明线段相等的方法技巧2.证两角的相等关系证明两角相等的方法，了解证明两角相等的途径3.证线段合角的和差倍分关系和差倍分的证题方法及常用定理4.证线段与角的不等关系掌握证明不等量的常用定理5.证成比例线段的关系成比例线段证题方法及常用定理6.证定值问题了解两种处理定值问题的方法第三节证位置关系1.证两线段平行的关系掌握证明平行线的方法及常用定理2.证两直线的垂直关系掌握垂直线的证法及常用技巧3.证点的共线关系共线点的证法，了解梅涅劳定理4.证线的共点关系共点线的证法，了解锡瓦定理5.证点的共圆关系掌握共圆点的证题方法6.证圆的共点关系掌握共点圆的证题方法教学要求：讲授证题法与证题术，对初等几何的一些定理进行补充，使学生在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步的培训。

中学考试压轴题之几何探究型解题技巧

中考压轴题之几何探究型解题技巧一、旋转引辅助线法：方法技巧：旋转引辅助线法就是在图形具有等邻边特征时，可以把图形的某部分绕等邻边的公共端点，旋转到另一位置的一种引辅助线方法。

旋转法主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。

旋转法常用于等腰三角形、等边三角形、及正方形等具有相等边的图形中。

旋转时要注意确定旋转中心，旋转方向及旋转角度的大小。

经典真题：1、如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则有结论EF＝BE＋FD成立；（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD 上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；解：（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.解：2、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时=LQ；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．3、请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；图（1）（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.Q PF E DC B A 二、与中点有关的辅助线的添加方法方法技巧：①有中线，可延长；②作斜边中线，利用斜边中线性质证题；③有中点，造中位；④有底中点，连中线（造中垂）；⑤倍长中线法造全等三角形；⑥等边三角形三边中点连线造等边三角形。

中学数学教材教法：初等几何研究

中学数学教材教法：初等几何研究随着中国教育的持续发展，中学数学教材的教学工作正变得越来越重要。

中学生们需要在学习过程中对他们的学习内容产生牢固的知识框架和认知，这不仅是学习成绩的巨大催化剂，同时也是激发创新思维，提升认知能力的重要环节。

中学数学教材主要包括几何（geometry）、代数（algebra）、和分析（analysis）。

此外，学生们也会接触到一些集合理论（set theory）、数论（number theory）和概率统计（probability and statistics）等内容。

其中，几何是中学数学的主要内容。

几何包括空间几何和投影几何，分别以两种不同的方法来研究几何形状，以及它们之间的关系，包括投影、变换和条件。

课内的学习，数学教学的主要目标是确定并理解学生们将研究的物理定律和几何原理，以及相关任务的完成方法。

通过视觉化和具体复杂的教学活动，学生们将熟练掌握几何概念，并能够探究复杂几何图形的结构，使用数学知识来描述具体情况，并利用几何原理来分析复杂的图形。

教师可以满足针对不同层次学生的多样需求，制订不同的教学模式，从而以更有效的方式提高学生的学习效果。

以初中学生为例，可以帮助他们探究变换和投影几何新概念，比如平面图图形的变换；同时，教师也要帮助学生整合和理解这些概念，使他们能够把这些概念结合到实际情境中，并在日常生活、社会实践和科学研究中运用这些概念。

此外，数学教学还应用全面的教育设计理念来支持教学，以构建和强化学生们的学习经历。

为此，教师们要制订合理的评价体系，涵盖测试答案以及实践作业，以反映学生们学习情况和学业水平，帮助他们持续改进学习能力，培养具有创新意识的建设性思维方式。

因此，在教学中，初等几何的相关知识和技能是培养学生思维能力、激发创新思维和认知能力的重要内容，教师们应该采取多样化的教学模式，为学生提供一个完整的学习体验，以支持学生们在初等几何方面不断取得新的突破和进步。

中学几何专题研究报告范文

中学几何专题研究报告范文一、引言中学几何是数学学科中的重要组成部分，具有独特的理论和应用价值。

通过对几何学的学习，学生可以培养逻辑思维、分析问题的能力，并且理解几何在生活和实践中的应用。

本篇报告将深入研究几何学中的三维几何、相似多边形和刚体运动等专题，探索其基本概念、性质、定理以及应用。

二、三维几何三维几何是立体几何的一个重要分支，研究的对象为三维空间中的图形。

其中，立体图形的计算公式和性质是学习的重点。

通过研究三棱柱、四棱锥、正六面体等不同立体图形的特征，我们深入理解了它们的表面积、体积、顶点数和边数之间的关系。

同时，我们也探讨了平行截面对立体体积的影响，并运用数学工具进行求解。

三、相似多边形相似多边形在几何学中具有广泛应用，被广泛运用于建筑、地图绘制、计算机图像等领域。

我们通过与三角形和四边形相似多边形的特性相结合，学习了它们的比例性质、面积比与边长比的关系。

特别地，我们研究了黄金分割在相似多边形中的应用，发现了相似三角形中黄金比例的特殊性质，并运用黄金分割构造了一些美学上的优美图案。

四、刚体运动刚体运动是几何学中的重要内容，研究的是物体在空间中的平移、旋转和镜像等变换。

我们通过研究平移、旋转和镜像变换的基本概念，并运用坐标系和向量等数学工具对刚体运动进行分析。

我们发现平移变换可以保持图形的大小和形状不变，旋转变换可以保持图形的大小不变但形状可能改变，而镜像变换则可能改变图形的大小和形状。

五、结论通过对中学几何的深入研究，我们对三维几何、相似多边形和刚体运动等专题有了更加全面的理解。

我们学习了它们的基本概念、性质和定理，并且运用数学工具进行了求解和分析。

中学几何的学习不仅可以培养学生的逻辑思维能力，还能使他们理解几何在实际生活中的应用。

希望未来能进一步研究和发展几何学的相关知识，将其应用于更广泛的领域中。

初等几何研究第十四章几何题的证明

AP AQ AN AN AN
AN
AB AM AC 成等差数列 AP AN AQ
18. 在⊙O 上取一点 P，作弦 PA、PB、PC，作直线平行于切线
PQ，且与 PA、PB、PC 分别交于 H、K、L，
QP
求证：PA·PH=PB·PK=PC·PL. 证明： ∵ PQ∥HKL
HL K
A
B
C
∴ ∠QPH=∠PHK=∠PBA
P 点又在以 BC 为定点，分 BC 内外分点为 2:3 的内外分点为直
径的圆上.
这两圆是定圆，所以 P 是两圆的交点，即 P 为定点。所以 P 对
AB 的张角是定角.
21. ⊙O′内切⊙O 于点 A ，自⊙O 上任一点 P 作⊙O′的切线
N
M P
∴ △APC∽△ABN △BPC∽△BMA
A
C
B
第 19 题图
∴ AP:AB=AC:AN 即 AP· AN= AB·AC ①
BP:AB=BC:BM 即 BP·BM =AB·BC ②
①+② AP· AN+ BP·BM= AB·AC +AB·BC=AB²
20. 已知 P 为正方形 ABCD 内一点，且 PA：PB：PC=1：2：3, 求
证: ∠APB 为定值
证明（一）：将△ABP 绕 B 点逆时针旋转
90°到△BCE，可得
A
B
△APB≌△CEB
∴ PA=EC ∠PBE=90°
P
所以△PBE 是等腰直角三角形. E
∴ ∠BEP=45°
D
C
第 20 题图
∵ PA:PB:PC=1:2:3
设
PA=t PB=2t PC=3t

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