信息论基础第一章绪论

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信息论基础1~8

信息论基础1~81 绪论与概览2 熵相对熵与互信息2.1 熵H(X)=−∑x∈X p(x)logp(x)H(X)=−∑x∈Xp(x)log⁡p(x)2.2 联合熵H(X,Y)=−∑x∈X∑y∈Y p(x,y)logp(x,y)H(X,Y)=−∑x∈X∑y∈Yp(x,y)log⁡p(x,y)H(Y|X)=∑x∈X p(x)H(Y|X=x)H(Y|X)=∑x∈Xp(x)H(Y|X=x)定理2.2.1(链式法则): H(X,Y)=H(X)+H(Y|X)H(X,Y)=H(X)+H(Y|X) 2.3 相对熵与互信息相对熵(relative entropy): D(p||q)=∑x∈X p(x)logp(x)q(x)=Eplogp(x)q(x)D(p||q)=∑x∈Xp(x)lo g⁡p(x)q(x)=Eplog⁡p(x)q(x)互信息(mutual information): I(X;Y)=∑x∈X∑y∈Y p(x,y)logp(x,y)p(x)p(y)=D(p(x,y)||p(x)p(y))I(X;Y) =∑x∈X∑y∈Yp(x,y)log⁡p(x,y)p(x)p(y)=D(p(x,y)||p(x)p(y))2.4 熵与互信息的关系I(X;Y)=H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)I(X;Y)=H(X)−H(X|Y)=H(Y)−H(Y|X)互信息I(X;Y)是在给定Y知识的条件下X的不确定度的缩减量I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)I(X;Y)=H(X)+H(Y)−H(X,Y)2.5 熵,相对熵与互信息的链式法则定理 2.5.1(熵的链式法则): H(X1,X2,...,X n)=∑ni=1H(Xi|X i−1,...,X1)H(X1,X2,...,Xn)=∑i=1nH(Xi| Xi−1, (X1)定理 2.5.2(互信息的链式法则): I(X1,X2,...,X n;Y)=∑ni=1I(Xi;Y|X i−1,...,X1)I(X1,X2,...,Xn;Y)=∑i=1nI(Xi ;Y|Xi−1, (X1)条件相对熵: D(p(y|x)||q(y|x))=∑x p(x)∑yp(y|x)logp(y|x)q(y|x)=Ep(x,y)logp(Y|X)q( Y|X)D(p(y|x)||q(y|x))=∑xp(x)∑yp(y|x)log⁡p(y|x)q(y|x)=Ep(x,y)log⁡p (Y|X)q(Y|X)定理 2.5.3(相对熵的链式法则): D(p(x,y)||q(x,y))=D(p(x)||q(x))+D(p(y|x)||q(y|x))D(p(x,y)||q(x,y))=D( p(x)||q(x))+D(p(y|x)||q(y|x))2.6 Jensen不等式及其结果定理2.6.2(Jensen不等式): 若给定凸函数f和一个随机变量X,则Ef(X)≥f(EX)Ef(X)≥f(EX)定理2.6.3(信息不等式): D(p||q)≥0D(p||q)≥0推论(互信息的非负性): I(X;Y)≥0I(X;Y)≥0定理2.6.4: H(X)≤log|X|H(X)≤log⁡|X|定理2.6.5(条件作用使熵减小): H(X|Y)≤H(X)H(X|Y)≤H(X)从直观上讲,此定理说明知道另一随机变量Y的信息只会降低X的不确定度. 注意这仅对平均意义成立. 具体来说, H(X|Y=y)H(X|Y=y) 可能比H(X)H(X)大或者小,或者两者相等.定理 2.6.6(熵的独立界): H(X1,X2,…,X n)≤∑ni=1H(Xi)H(X1,X2,…,Xn)≤∑i=1nH(Xi)2.7 对数和不等式及其应用定理 2.7.1(对数和不等式): ∑ni=1ailogaibi≥(∑ni=1ai)log∑ni=1ai∑ni=1bi∑i=1nailog⁡aibi≥(∑i =1nai)log⁡∑i=1nai∑i=1nbi定理2.7.2(相对熵的凸性): D(p||q)D(p||q) 关于对(p,q)是凸的定理2.7.3(熵的凹性): H(p)是关于p的凹函数2.8 数据处理不等式2.9 充分统计量这节很有意思,利用统计量代替原有抽样,并且不损失信息.2.10 费诺不等式定理2.10.1(费诺不等式): 对任何满足X→Y→X^,X→Y→X^, 设Pe=Pr{X≠X^},Pe=Pr{X≠X^}, 有H(Pe)+Pe log|X|≥H(X|X^)≥H(X|Y)H(Pe)+Pelog⁡|X|≥H(X|X^)≥H(X|Y)上述不等式可以减弱为1+Pe log|X|≥H(X|Y)1+Pelog⁡|X|≥H(X|Y)或Pe≥H(X|Y)−1log|X|Pe≥H(X|Y)−1log⁡|X|引理 2.10.1: 如果X和X’独立同分布,具有熵H(X),则Pr(X=X′)≥2−H(X)Pr(X=X′)≥2−H(X)3 渐进均分性4 随机过程的熵率4.1 马尔科夫链4.2 熵率4.3 例子:加权图上随机游动的熵率4.4 热力学第二定律4.5 马尔科夫链的函数H(Yn|Y n−1,…,Y1,X1)≤H(Y)≤H(Y n|Y n−1,…,Y1)H(Yn|Yn−1,…,Y1,X1)≤H(Y)≤H(Yn|Yn−1,…,Y1)5 数据压缩5.1 有关编码的几个例子5.2 Kraft不等式定理5.2.1(Kraft不等式): 对于D元字母表上的即时码,码字长度l1,l2,…,l m l1,l2,…,lm必定满足不等式∑iD−li≤1∑iD−li≤15.3 最优码l∗i=−log Dpili∗=−logD⁡pi5.4 最优码长的界5.5 唯一可译码的Kraft不等式5.6 赫夫曼码5.7 有关赫夫曼码的评论5.8 赫夫曼码的最优性5.9 Shannon-Fano-Elias编码5.10 香农码的竞争最优性5.11由均匀硬币投掷生成离散分布6 博弈与数据压缩6.1 赛马6.2 博弈与边信息6.3 相依的赛马及其熵率6.4 英文的熵6.5 数据压缩与博弈6.6 英语的熵的博弈估计7 信道容量离散信道: C=maxp(x)I(X;Y)C=maxp(x)I(X;Y)7.1 信道容量的几个例子7.2 对称信道如果信道转移矩阵p(y|x)p(y|x) 的任何两行相互置换,任何两列也相互置换,那么称该信道是对称的.7.3 信道容量的性质7.4 信道编码定理预览7.5 定义7.6 联合典型序列7.7 信道编码定理7.8 零误差码7.9 费诺不等式与编码定理的逆定理7.10 信道编码定理的逆定理中的等式7.11 汉明码7.12 反馈容量7.13 信源信道分离定理8 微分熵8.1 定义h(X)=−∫Sf(x)logf(x)dxh(X)=−∫Sf(x)log⁡f(x)dx均匀分布 h(X)=logah(X)=log⁡a正态分布h(X)=1/2log2πeδ2h(X)=1/2log⁡2πeδ2 8.2 连续随机变量的AEP8.3 微分熵与离散熵的关系8.4 联合微分熵与条件微分熵8.5 相对熵与互信息8.6 微分熵, 相对熵以及互信息的性质。

信息论基础

第1章绪论
信息论的发展历史
• • • • • 1924年，Nyquist提出信息传输理论； 1928年，Hartly提出信息量关系； 1932年，Morse发明电报编码； 1946年，柯切尼柯夫提出信号检测理论； 1948年，Shannon提出信息论，“通信中的数学理论
第1章绪论
1.3 信息论发展简史与信息科学
第1章绪论
信息论 -基础理论与应用
肇庆学院数学与统计学院
第1章绪论
课程计划
1、计划学时54，全部为讲课学时
2、每周结束交一次作业。
3、总成绩由两部分组成，平时成绩占30％，考试成绩占70％ 4、计划讲授教材的一至七章(除第四章)
第1章绪论
课程考核标准
总成绩=平时考核+期末考试 • 平时考核：占总成绩的30% 100分=考勤50分+作业50分期末考试：占总成绩的70%
什么是信息论？
• 信息论是运用概率论与数理统计的方法研究
信息、信息熵、通信系统、数据传输、密码
学、数据压缩等问题的应用数学学科。
• 光学信息论、量子信息论、生物信息论、生物信息学等重要分支。
第1章绪论
什么是信息科学？
• 信息科学是研究信息运动规律和应用方法的
科学，是由信息论、控制论、计算机理论、
第1章绪论
例题（1）--解答
• 而在天平上称一次能判断出三钟情况：重、轻和相等。这三种情况是等概率的
1 p (c ) 3
• 所以，天平测一次能获得的信息量(即消除的不确定性)为
I 2 I (c) log3 1.585bit
I2 log 3
• 则至少必须称的次数为 I1 log 24 2.9次

信息论基础理论与应用第三版(傅祖芸) 第1章绪论

国内外已有不下百余种流行的说法，它们都是从不同的侧面和不同的层次来揭示信息的本质的。
1928年，哈特莱(R．V．L Hartley) 在《信息传输》一文中提出：发信者所发出的信
息，就是他在通信符号表中选择符号的具体方式，主张用所选择的自由度来度量信息。局限性： ➢ 只考虑选择符号的方式，不涉及到信息的价值和具体内容。 ➢ 没有考虑各种可能选择方法的统计特性。
信源编码器的主要指标
是它的编码效率。一般来说，效率越高，编译码器的代价也将越大。
信源译码器
把信道译码器的输出变换成信宿所需的消息形式，
相当于信源编码器的逆过程。
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信道编码器与译码器
信道编码主要作用是提高信息传送的可靠性。
信道编码器的作用在信源编码器输出的代码组上有目的地增加一些监督码元,使之具有检错或纠错的能力。
an p(an )
样本空间概率测度
先验概率p(xi)：
选择符号xi作为消息的概率。 11
例：气象预报
甲 X 晴阴大雨小雨
p(x)
1/ 2,1/
4,
1/ 8,
1/8
乙
Y p(y)
晴阴 1/4,1/4,
大雨小雨
1/4, 1/4
“甲地晴”比“乙地晴”的不确定性小。
某一事物状态出现的概率越小，其不确定性越大。某一事物状态出现的概率接近于1,即预料中肯定会出现的事件，那它的不确定性就接近于零。
信道编码的主要方法增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信源编码相反。
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信息的表达层次
狭义而言，通信中对信息的表达分三个层次：信号、消息、信息。信号：信息的物理表达，是一个物理量，是一个载荷信息的实体，可测量、可描述、可传输、可存储、可显示。消息 (或符号) ：信息的数学表达，承载了信息，它是具体物理信号的数学抽象。如语言、文字、语音、图像等。信息：更高层次的哲学抽象，是信号与消息的承载的对象，描述事物运动状态或存在方式的不确定性。

信息论基础第1章

I (x 1x 2x 3 ) = f éêëP (x 1x 2x 3 )ùúû = f éêëP (x 1 )P (x 2 )P (x 3 )ùúû = f éêëP (x 1 )ùúû + f éêëP (x 2 )ùúû + f éêëP (x 3 )ùúû +

定义消息中所含信息量与消息出现概率的关系为消息所含的信息量或出现的不确定性。当底数a=2时，信息量的单位为“比特”。 I (x i ) 通常代表两种含义：
论和维纳的微弱信号检测理论发展起来的但它迅速渗透到通信自动控制电子学光学与光电子学计算机科学材料科学等工程技术学科以及管理学心理学语言学等人文学科对这些学科的发展起着指导作用而这些学科的发展又丰富了信息科学将人类社会推向信息时代
信息论基础
第1章绪论
通信与信息工程学院雷维嘉
课程介绍

是通信与信息领域中一门重要的学科基础课程。它应用概率论、随机过程和现代数理统计方法，来研究信息提取、传输和处理的一般规律。
4
第1章绪论

信息论是关于通信的数学理论。它研究信息的产生、获取、度量、传输、存储和处理等功能。奠基人是香农(Claud Elwood Shannon)。
A Mathematical Theory of Communication(1948) Communication in the Presence of Noise(1949) Communication Theory of Secrecy System(1949)
1.2 信息传输系统
15
1.3 信息论的研究内容

基本信息论主要内容

三个基本概念

信源熵信道容量信息率失真函数无失真信源编码定理信道编码定理限失真信源编码定理

信息理论基础

5）可处理：人脑就是最佳的信息处理器。人脑的思维功能可以进行决策、设计、研究、写作、改进、发明、创造等多种信息处理活动。计算机也具有信息处理功能。
6）可传递：信息的传递是与物质和能量的传递同时进行的。语言、表情、动作、报刊、书籍、广播、电视、电话等是人类常用的信息传递方式。
7）可再生：信息经过处理后，可以其他形式再生。如自然信息经过人工处理后，可用语言或图形等方式再生成信息。输入计算机的各种数据文字等信息，可用显示、打印、绘图等方式再生成信息。
主体所感知或表述的事物存在的方式和运动状态。主体所感知的是外部世界向主体输入的信息，主体所表述的则是主体向外部世界输出的信息。
在本体论层次上，信息的存在不以主体的存在为前提，即使根本不存在主体，信息也仍然存在。在认识论层次上则不同，没有主体，就不能认识信息，也就没有认识论层次上的信息。
信息作为客观世界存在的第三要素，具有以下特征：
2．编码器
编码器是将信源发出的符号转化为适合信道传输的信号的设备，一般包括信源编码、信道编码和调制器等。编码器的模型如图1.2所示
图1.2编码器的模型
信源编码器：主要解决有效性问题，在一定的准则下对信源输出进行变换和处理，目的是提高信息传输的效率，即通过去除信源输出符号的冗余，使信源输出的每个符号携带更多的信息量，从而降低信息传递所需要的符号数量，即减低总体数据传输速率，提高传输效率。
信道编码器：由纠错编码器和调制器组成，目的在于充分利用信道的传输能力，并可靠的传输信息。
纠错编码器：对信源输出进行变换处理，通过增加冗余提高对信道干扰的抵抗力，从而信息传输的可靠性。由于信道中存在干扰，数据传递的过程中会出现错误，信道编码可以提供检测或者是纠正数据传输错误的能力，从而提高数据传输的可靠性。

信息论基础详细ppt课件

1928年，哈特莱(Hartley)首先提出了用对数度量信
息的概念。一个消息所含有的信息量用它的可能值
香农
的个数的对数来表示。
(香农)信息：信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述。可运用研究随机事件的数学工具——概率来测度不确定性大小。在信息论中，我们把消息用随机事件表示，而发出这些消息的信源则用随机变量来表示。
2.1 自信息和互信息
2.1.1 自信息
随机事件的自信息量 I (xi ) 是该事件发生概率 p(xi ) 的函数，并且应该满足以下公理化条件：
1. I (xi )是 p(xi )的严格递减函数。当 p(x1)p(x2) 时，I(x1)I(x2)，概率越小，事件发生的不确定性越大，事件发生后所包含的自信息量越大
事件 x i 的概率为p(xi ) ，则它的自信息定义为：
I(xi)d eflogp(xi)logp(1xi)
从图2.1种可以看到上述信息量的定义正是满足上述公理性条件的函数形式。I (xi ) 代表两种含义：当事件发生以前，等于事件发生的不确定性的大小；当事件发生以后，表示事件所含有或所能提供的信息量。
2．极限情况下当 p(xi )=0时，I(xi)；当 p(xi ) =1时，I (xi ) =0。
3．另外，从直观概念上讲，由两个相对独立的不同的消息所提供的信息量应等于它们分别提供的信息量之和。可以证明，满足以上公理化条件的函数形式是对数形式。
定义2.1 随机事件的自信息量定义为该事件发生概率的对数的负值。
我们把某个消息 x i 出现的不确定性的大小，定义为自信息，用这
个消息出现的概率的对数的负值来表示：I(xi)lop(g xi)
自信息同时表示这个消息所包含的信息量，也就是最大能够给予收信者的信息量。如果消息能够正确传送，收信者就能够获得这么大小的信息量。

(信息论)第1章绪论

信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。信号是消息的载体，是表示消息的物理量。
1.2 通信系统模型
信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。通信系统实际上是信息的传输系统，如电话、导航等系统。虽然实际的通信系统形式和用途各不相同，但从信息传输的角度来看，在本质上有许多共同之处，它们均可概括如下图中所示的基本模型。信源
1.3 信息论的形成和发展
信息论是信息科学的主要理论基础之一，它是在长期通信工程实现和理论基础上发展起来的。 1948年Shannon在贝尔系统技术杂志上发表了两篇有关“通信的数学理论”的文章。在这两篇论文中，他用概率测度和数理统计的方法，系统地讨论了通信的基本问题，得出了几个重要的而带有普遍意义的结论，并由此奠定了现代信息论的基础。
概率信息：概率信息：概率信息是由美国数学家香农 (C.E.Shannon)提出来的，故称Shannon信息或狭义信狭义信息。他是从不确定性(随机性)和概率测度的角度给信息下定义的。Shannon从信息源具有随机性不定度出发，为信源推出一个与统计力学的熵相似的函数，称为信息熵。这个熵就是信源的信息选择不定度的测度，从而我们可以认为信息表征信源的不定度，但它不等同于不定度，而是为了消除一定的不定度必须获得与此不定度相等的信息量。
信息的通俗概念：信息的通俗概念：信息=消息，这是一种最普通的概念，是目前社会上最流行的概念。但是信息和消息并不是一回事，两者不能等同。不同的消息产生的信息量是不同的。信息的广义概念：认为信息是对物质存在和运动信息的广义概念：形式的一般描述。信息是事物的表征，但信息不是物质。信息存在于任何事物之中，有物质的地方就有信息，信息充满着整个物质世界。信息是一个十分抽象的概念。信息本身看不见、摸不着的，它必须依附于一定的物质形式，如图像、电波等。这种运载着信息的物质，称为信息的载体。一切物质都有可能成为信息的载体。

第1章绪论-信息论与编码(第3版)-曹雪虹-清华大学出版社

13
信息论对研究实际通信系统的作用
提供一个最为普遍的概念性框架，在该框架内可以构建实际信源和信道更详细的模型;
由该理论建立的关系可为给定系统构建编码器和译码器时进行折衷指明方向。
1.3 通信系统的模型
1.3 通信系统的模型
信源
产生消息的源，消息可以是文字，语言，图像。可以离散，可以连续。随机发生。
信息、消息、信号
信息：一个抽象的概念。消息：是信息的载体，相对具体的概念，如语言，文字，
数字，图像
信号：表示消息的物理量，电信号的幅度，频率，相位
等等
所以，消息是信息的数学载体、信号是信息的物理载体
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
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例
烽火台
信息：有/无敌情消息：s(x)=sgn(x) 信号：火光（亮，灭）
of communications”信息时代的里程碑 ✓ 50年代开始，IRE成立信息论组，出版信息论汇刊
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
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信息论发展简史
1948年，Shannon信息论奠基信息的度量
1952年，Fano证明了Fano不等式，给出了 Shannon信道编码逆定理的证明；1957年， Wolfowitz，1961 Fano，1968Gallager给出信道编码定理的简单证明并描述了码率、码长和错误概率的关系；1972年Arimoto和Blahut发明了信道划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
4
1.1 信息论的形成与发展
信息论的发展过程
✓ 1924年，H Nyquist，信息率与带宽联系 ✓ 1928年，RV Hartley, 引入非统计信息量 ✓ 1936年，EH Armstrong，带宽与抗干扰能力 ✓ 1939年，H Dudley, 发明声码器 ✓ 40年代初，N Wiener, “控制论” ✓ 1948年，Shannon, “信息论” “A mathematical theory

信息论基础

信息论研究的目的
研究这样一个概括性很强的通信系统，其目的就是要找到信息传输过程的共同规律高信息传输的可靠性、有效性、保密性、认证性，使达到信息传输系统最优化。可靠性：就是要使信源发出的消息经过信道传输以后，尽可能准确地、不失真地再现在接收端。有效性：就是经济效果好，即用尽可能短的时间和尽可能少的设备来传送一定数量的信息。
信息论研究的对象、目的和内容
信源消息
编码器信号
信道
译码器信号+干扰消息
信宿
噪声源
通信系统模型图
信息论研究的对象、目的和内容
信息论研究的对象:正是这种统一的通信系统模型,人们通过系统中消息的传输和处理来研究信息传输和处理的共同规律. 这个模型主要分成下列五个部分: 1、信息源（简称信源）顾名思义，信源是产生消息和消息序列的源。它可以是人，生物，机器或其他事物。它是事物各种运动状态或存在状态的集合。如前所述，“母亲的身体状况”，“各种气象状态”等客观存在是信源。人的大脑思维活动也是一种信源。信源的输出是消息，消息是具体的，但它不是信息本身。消息携带着信息，消息是信息的表达者。
信息论基础
刘昌红
第一章绪论
1、信息的概念 2、信息论研究的对象、目的和内容 3、信息论发展简史与信息科学
信息的概念
1、信息论的定义：信息论是人们在长期通信工程的实践中，由通信技术与概率论、随机过程和数理统计相结合而逐步发展起来的一门科学。 2、信息论的奠基人：是美国科学家香农 (C.E.Shannon)，他在1948年发表了著名的论文《通信的数学理论》，为信息论奠定了理论基础。 3、香农信息的定义：信息是事物运动状态或存在方式的不确定性的描述,这就是香农信息的定义。 4、信息、情报、知识、消息及信号间的区别与联系。

信息论基础__信息论

def
图2.1 自信息量
自信息量的单位与所用对数的底有关。（1）常取对数的底为2，信息量的单位为比特(bit，binary unit)。当
p( xi )=1/2时，I ( xi ) =1比特，即概率等于1/2的事件具有1比特的自信
息量。（2）若取自然对数（对数以e为底），自信息量的单位为奈特（nat， natural unit）。 1奈特= log 2 e 比特=1.443比特
2.1.1 自信息
随机事件的自信息量 I ( xi ) 是该事件发生概率 p( xi ) 的函数，并且应该满
足以下公理化条件：
1. I ( xi ) p( xi )的严格递减函数。当 p( x1 ) p( x2 ) 时，I ( x1 ) I ( x2 ) ，概率是越小，事件发生的不确定性越大，事件发生后所包含的自信息量越大
H ( X ) pi log pi H ( p1 , p2 ,, pq ) H (p)
i 1 q
熵函数 H (p)具有以下性质： 1.对称性：
H ( p1 , p2 ,, pq ) H ( p2 , p1 ,, pq )= = H ( pq , p1,, pq 1 )
对称性说明熵函数仅与信源的总体统计特性有关。
2. 确定性： H (1, 0) H (1, 0, 0) H (1, 0, 0, 0) H (1, 0, ,0) 0 在概率矢量中，只要有一个分量为1，其它分量必为0，它们对熵的贡献均为0，因此熵等于0。也就是说确定信源的不确定度为0。 3. 非负性： H (p) H ( p1 , p2 ,, pq ) 0 对确定信源，等号成立。信源熵是自信息的数学期望，自信息是非负值，所以信源熵必定是非负的。 4. 扩展性： lim H q 1 ( p1 , p2 ,, pq ， ) H q ( p1 , p2 , , pq ) 0 这个性质的含义是增加一个基本不会出现的小概率事件，信源的熵保持不变。 5. 连续性： lim H ( p1 , p2 ,, pq 1 ， pq ) H ( p1 , p2 , , pq ) 0 即信源概率空间中概率分量的微小波动，不会引起熵的变化。

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信息论基础理论与应用第三版(傅祖芸) 第1章 绪论

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