光在非线性介质中的传播行为

在非線性介質中的光傳播行為

文／石明豐

一、簡介

1834年時，一位蘇格蘭科學家John S. Russell[1]沿著一條窄而淺的運河旁騎馬，他發現了如下景象，當一艘小船突然停下後，原本在船艏前方被推動的水因慣性的關係繼續向前進，奇特的是，在這單一“突起的水”的前方和後方，運河的水面是非常平靜而沒有任何波動，他好奇地騎馬跟隨這單一“突起的水”走了好幾哩後，發現這“突起的水”的形狀、大小仍不見有任何改變，Russell 於是在他的筆記本記下了他觀察到這樣一個“孤立升起”(solitary elevation)的水波現象。50年後，兩位荷蘭科學家Korteweg 和de Vries 發現要觀察上述“孤立升起”的水波現象，這升起水面的振幅必須非常的大，如果這升起水面的振幅不夠大時，就只能引起一般的水波，而且在傳播不久後就會消散。他們了解到，這表示著大的振幅和小的振幅會使水波有不同的行為，也可以說水--這個傳播水波的介質--對水波振幅的反應是非線性的。

現在回到我們的主題--光在非線性材料中傳播的行為，雖然我們在大學時學電磁學及電磁波的時候，教科書總會在例題或習題中假設，電磁波傳播的介質是線性的，意即不管電磁波的振輻大小，

折射率(介電係數和介磁係數的函數)總是不會改變，這樣在解題時，線性的微分方程式是比較容易解的，然而介電係數代表的是電場(E)和極化強度(P)之間的比例關係，如同彈簧的虎克定律一樣，當外力大到某一個程度時，彈簧的形變量和外力就不再是成正比，相同地，當電場強度大到某一個程度時，極化強度和電場就不再是正比關係，如此介電係數在電磁波的電場振幅較大時，和電場振幅較小時的值必然不同，這就表示這個傳播電磁波的介質對電磁波振幅的反應是非線性的，換句話說，折射率將會是電磁波振幅的一個函數。在光學上，我們也可以說，折射率不是一個定值而是一個光強度的函數。但如此一來，要解一個電磁波或光波在介質中的行為就變得複雜的多了，而且在不同材料中，折射率和電場關係也不儘相同，所以我們無法找到一個電磁波或光波在非線性材料中傳播的通解，甚至在很多的情況下，找不到解析解。

和折射率受到光強影響而改變的物理現象有許多種，如相位共軛光 (如圖一)，當Signal 和Pump 1入射到非線性材料時，因為干涉的原因而產生週期性的亮暗條紋，並因此在非線性材料中產生週期性的折射率的變化，這週期性折射率變化就如同光柵一般，另一道光Pump 2入射後受到這個光柵的影響會以如圖1中PC光的方向繞射出去，相同的Signal 和Pump 2所產生的光柵也會使Pump 1以PC的方向繞射出去，這道以PC方向繞射出去的光其相位和Signal光在空間中的相位會

圖二：光的繞射，自聚焦，和光孤子等現象，其光強度分布和相位波前的關係示意圖。

圖一：相位共軛光的形成示意圖。

互為共軛複數，故我們稱PC 為Signal 的相位共軛光(Phase Conjugation)。此外，二光混合的作用原理也類似，Signal 和 Pump 1 因干涉所產生的光柵使得Pump 1繞射到Signal 的路徑而加強Signal 的強度，(反過來亦可能發生，端視所產生的光柵和Signal 與 Pump 1所生干涉條紋之間的位置關係)。

二、自聚焦效應、空間光孤子和光調變不穩定性

因筆者主要的研究方向是非線性介質中光傳播的行為，所以以下我會在這方面作較多的介紹。如前所述，要詳細了解光波在非線性材料中的傳播行為的微分方程式是一個非線性方程式，並不容易去解，目前有許多專門的方法(如Inverse Scattering Method)[6]是設計來解決這樣的問題，但在這裏我們只從原理上定性地來看這樣的現象，並且只須知道兩個原則：(一)海更斯原理告訴我們，波的傳播是垂直於波前的；(二)光波前進的速度是反比於折射率的；就可以討論光波在非線性介質中傳播的行為。

關於這方面的研究大約起始於1960年代中期，其中最早開始的研究是R. Chiao[2]所建議的一道光束應該可以完全避免繞射，而在介質中形成

我們現在所稱的“空間光孤子”的現象(optical spatial soliton)。光束在自由空間傳播時，因為其波的特性，會自然的繞射(diffraction)，若由海更斯原理來解釋，我們可以知道，這道光束的波前一定是中間部分凸出，而造成光束的能量由中間部分向旁邊擴散開來。若要這道光束不產生繞射的話，光的波前必須作適當的處理，因此這項“光孤子”現象的想法(如圖二)能夠成立的前提是光傳 播介質對光強的反應必須是非線性的且光越強的地方折射率越大(稱為自聚焦self-focusing 材料，反之，光越強的地方折射率越小為自散焦self-defocusing 材料)；因為在光束中心光較強的部分可以導致較大的折射係數，折射率較大的部分光波前進的速度較慢，而改變了光波的波前，如果有“適當”的光強分佈，波前是可以被調變成一平面，因為海更斯原理，波的傳播是垂直於波前的，如此這光孤子的光束在傳播時，就可完全的消除繞射，但是當光強分佈和光束大小不適當時，這

圖三：光調變不穩定性圖案生成的示意圖。 光束就會繞射或自聚焦，而空間光孤子的形成其實就是依靠自聚焦和繞射的完全平衡，這種光孤子又稱為亮孤子(bright soliton)。另外還有一種稱為暗孤子(dark soliton)的現象，和剛才所敘述的亮孤子完全相反，其所存在的非線性材料必須為自散焦類型的，而其光強分布恰和亮孤子相反，中間暗，旁邊亮，其傳播行為比亮孤子更為複雜，我們在此就不多作介紹。

再回到亮孤子的介紹，在1965年時，Kelley 卻提出二維的亮孤子(像是一根針而不繞射的光束)是不穩定的[3]，因為在當時，唯一已知可以產生自聚焦現象的介質都是Kerr 介質，其折射係數的變化正比於光的強度，當自聚焦現象發生時，光的強度會因聚焦而增加，並進一步的提高折射係數，產生更強的自聚焦現象，然而繞射的平衡作用卻不能以同一速率來增加，而使得光束不斷的縮小，直到光束的強度過高把介質破壞為止，稱為“災難性自聚焦”(catastrophic self-focusing)，也因如此，在此問題解決之前，並沒有任何實驗可觀察到穩定的二維空間光孤子。附帶一提的是，在此之後，於1970年代，Hasegawa[4]等提出在光纖中的時間光孤子，並且由Mollenauer[5]等首先觀察到，時間光孤子在80年代遂成為光孤子的研究主流，許多有關時間光孤子的研究已經成熟並且已進入實用階段。

另一個和空間光孤子類似的光傳播行為就是

光調變不穩定性(modulation instability)[6]，它所須要的條件和亮孤子的條件一樣，就是介質必須是自聚焦類型的，不同的是，光孤子在入射到非線性光學材料之前，我們必須將其光束大小依其光的強度作一個調整，使得自聚焦和繞射之間可以完

全的平衡，而光調變不穩定性則不須要，光調變不穩定性可以從平面波開始。以下我們來看看，光調變不穩定性如何生成，如圖三，假設有一同調的平

面光(coherent plane wave)入射到非線性自聚焦材料，因任何的光無論如何都會帶有雜訊(這雜訊可能來自光源的自發輻射spontaneous emission ，光在空間行進時受到空氣中微粒的影響而造成，或者是光在介質中傳播時，受到介質中缺陷的影響)，那麼光在進入自聚焦材料時，就會產生有的地方較亮，有的地方較暗的情形，雖然這亮暗的差別非常非常的小，但在進入自聚焦材料後，仍然會造成亮的地方折射率稍微大一點點，暗的地方折射率小一點點，如同我們在電磁學或光學學到的，光在前進時，會往折射率高的地方靠過去(就像波導，光纖內的全反射一樣)，如此光在行進時，較亮的地方因其折射率高的緣故，

會吸引旁邊較暗