第5课时—最简二次根式与分母有理化
数学最简二次根式教案(精选7篇)
数学最简二次根式教案（精选7篇）最简二次根式篇一教学建议1.教材分析本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法。
本小节内容比较少（求学生了解的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要来联接。
(1)知识结构(2)重难点分析①本节的重点Ⅰ.概念Ⅰ.利用二次根式的性质把二次根式化简为。
重点分析本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算。
二次根式化简的最终目标就是；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为的基础上进行的。
因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，教师在教学中应给于极度重视，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步。
②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧。
难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用。
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分。
所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题。
熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
③重难点的解决办法是对于这一概念，并不要求学生能否背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断。
因此建议在教学过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时教学中应充分对概念理解后应用具体的实例归纳总结出把一个二次根式化为的方法，在观察对比中引导学生总结具体解决问题的方法技巧。
中考数学总复习第5课 二次根式
的值为
()
A．－15
B．15
C．－125
D.125
解析：由二次根式的定义，得 2x－5≥0 且 5－2x≥0，∴x
≥5且 2
x≤52，∴x＝52，∴y＝－3，∴2xy＝2×52×(－3)＝－
15.
答案：A
【预测演练 1－3】 化简：( 3－x)2－ x2－10x＋25.
解析：∵3－x≥0，∴x≤3，原式＝3－x－|x－5|＝3－x－ (5－x)＝3－x－5＋x＝－2.
解析：(1)4 1－ 8＝4× 2－2 2＝2 2－2 2＝0.
2
2
(2)原式＝( 2＋1)( 2－1)× 2＝(2－1)× 2＝ 2.
(3)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(4)原式＝( 10－3)2013·( 10＋3)2013·( 10＋3)
∴a＝m 2＋2n 2，b＝2m n . 这样，小明找到了把部分 a＋b 2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决问题： (1)当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b 3＝(m＋n 3)2，用含 m，n 的
式子分别表示 a，b 得，a＝________，b＝________； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空： ______＋______ 3＝(______＋______ 3)2； (3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2 且 a，b，m，n 均为正整数，求 a 的值．
解析：x－3≥0, ∴x≥3.
答案：x ≥3
【预测演练 1－1】
等式 2k－1＝ k－3
数 k 的取值范围是
2k－1成立，则实 k－3
()
2020年春数学中考一轮复习5.重庆数学 第5讲数的开方与二次根式
＝0”时，每个部分
3.二次根式运算时，一定要先化简，再运算.步骤是先乘方开方，再乘除， 最后加减；有括号的由内到外、由小到大进行计算. 4.重要技巧：y＝ x－a+ a－x＋1. 解：∵x－a≥0，a－x≥0(保证二次根式有意义，才能运算)， ∴x≥a，且x≤a，即x＝a， ∴y＝1.
03 考场 ·笑傲全国题
10.(2019·梧州)计算：3 8=____2_.
11.(2019·内江)若|1001-a|+ a−1002=a，则a-10012＝__1_0_0_2__. 1
12.(2019·重庆模拟)已知y= x−3+ 3−x-2，则xy的值为__9___.
13.(2019·扬州)计算：( 5-2)2018( 5+2)2019的结果是____5_+_2__.
第一单元 数与式
第5讲 数的开方与二次根式
01 考点 ·梳理知识点
考标点击
1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会表示数的平方根、算术平 方根、立方根. 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会 用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根. 3.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 4.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数) 加、减、乘、除运算法则，会用它数的开方
样题1 (2019·重庆A)估计(2 3+6 2)× 13的值应在( C )
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
［解析］先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算.
(2
3+6
2)×
1 3
＝2+6
23＝2+
36×
第5讲 二次根式(解析版)
第5讲 二次根式一、考点知识梳理【考点1 二次根式的概念和性质】 1．平方根、算术平方根若x 2＝a ，则x 叫a 的平方根．当a≥0时，a 是a 的算术平方根．正数b 的平方根记作± b.a 是一个非负数，只有非负数才有平方根． 2．立方根及性质若x 3＝a ，则x 叫a 的立方根．求一个数的立方根的运算叫开立方；任一实数a 的立方根记作3a ；3a 3＝a ，(3a)3＝a ，3－a ＝－3a ． 3．二次根式的概念(1)形如a(a≥0)的式子叫二次根式，而a 为二次根式的条件是a≥0； (2)满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式： ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式． 4．二次根式的性质 (1)ab ＝a·b(a≥0，b≥0)；a b ＝ab(a≥0，b ＞0)； (2)(a)2＝a(a≥0)； (3)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a （a≥0）－a （a ＜0）.【考点2 二次根式的运算】 二次根式的运算(1)二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并； (2)二次根式的乘法：a·b ＝ab(a≥0，b≥0)； (3)二次根式的除法：ba =ba(a≥0，b ＞0)； (4)二次根式的估值：二次根式的估算，一般采用“夹逼法”确定其值所在范围．具体地说，先对二次根式平方，找出与平方后所得的数相邻的两个能开得尽方的整数，对其进行开方，即可确定这个二次根式在哪两个整数之间；(5)在二次根式的运算中，实数的运算性质和法则同样适用．二次根式的混合运算顺序是：先算乘除，后算加减，有括号时，先算括号内的(或先去括号)． 二、考点分析【考点1 二次根式的概念和性质】 【解题技巧】1.判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a ≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．2.二次根式的基本性质：①≥0； a ≥0（双重非负性）．②a ＝ （a ≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a （a ≥0）（算术平方根的意义）【例1】（2019 甘肃中考）使得式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥4B ．x ＞4C ．x ≤4D ．x ＜4【答案】D ．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：使得式子有意义，则：4﹣x ＞0，解得：x ＜4，即x 的取值范围是：x ＜4． 故选：D ．【一领三通1-1】（2019•广西）若二次根式有意义，则x 的取值范围是 ．【答案】x ≥﹣4；【分析】根据被开数x +4≥0即可求解； 【解答】解：x +4≥0， ∴x ≥﹣4； 故答案为x ≥﹣4；【一领三通1-2】（2019•广州）代数式有意义时，x 应满足的条件是 ．【答案】x ＞8．【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x 的取值范围． 【解答】解：代数式有意义时，x ﹣8＞0， 解得：x ＞8．()2a ()2a故答案为：x＞8．【一领三通1-3】（2019 台湾中考）若＝2，＝3，则a+b之值为何？（）A．13B．17C．24D．40【答案】B．【分析】根据二次根式的定义求出a、b的值，代入求解即可．【解答】解：∵＝＝2，∴a＝11，∵＝＝3，∴b＝6，∴a+b＝11+6＝17．故选：B．【一领三通1-4】（2016河北中考）关于的叙述，错误的是（）A．是有理数B．面积为12的正方形边长是C．＝2D．在数轴上可以找到表示的点【答案】B．【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；C、＝2，原来的说法正确，不符合题意；D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．故选：A．【一领三通1-5】（2019 山东济南中考模拟）如图，表示7的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间()A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【答案】A.【分析】(1)根据平方根的定义和绝对值的性质分别填空即可；(2)主要考查数轴，根据数轴上的点利用平方法，估算7的大致范围，然后结合数轴上点的位置和大小即可得到7的位置．【解答】(1)7是一个正数，它的绝对值大于2；②它的绝对值小于3；③2.5的平方是6.25；故选A【考点2 二次根式的运算】【解题技巧】1.二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．【例2】（2019 江苏南京中考）计算﹣的结果是．【答案】0．【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣2＝0．故答案为0．【一领三通2-1】计算÷的结果是．【答案】3．【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：．故答案为：3【一领三通2-2】（2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、是最简二次根式，故D符合题意．故选：D．【一领三通2-3】（2019 天津中考）估计的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【答案】D．【分析】由于25＜33＜36，于是＜＜，从而有5＜＜6．【解答】解：∵25＜33＜36，∴＜＜，∴5＜＜6．故选：D．【一领三通2-4】（2019•青岛）计算：﹣（）0＝2+1．【答案】2+1．【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．【解答】解：﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1，故答案为：2+1．【一领三通2-5】（2019•广州中考模拟）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A B 2 C D【答案】C【分析】利割补法求阴影部分的面积.【解答】阴影部分的面积5，新正方形的边长为 5.故选：C三、【达标测试】（一）选择题1.（2019 云南中考）要使有意义，则x的取值范围为（）A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1【答案】B．【分析】要根式有意义，只要令x+1≥0即可【解答】解：要使根式有意义则令x+1≥0，得x≥﹣1故选：B．2.（2019 重庆中考）估计（2+6）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】C．【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．【解答】解：（2+6）×，＝2+6，＝2+，＝2+，∵4＜5，∴6＜2+＜7，故选：C．3.（2019•兰州）计算：﹣＝（）A．B．2C．3D．4【答案】A．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：﹣＝2﹣＝，故选：A．4.（2019 山东青岛中考模拟）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（）A．4x+2B．﹣4x﹣2C．﹣2D．2【答案】A．【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，∴|x﹣3|+|x+4|＝7，∴﹣4≤x≤3，∴2|x+4|﹣＝2（x+4）﹣|2x﹣6|＝2（x+4）﹣（6﹣2x）＝4x+2，故选：A．5.（2019 河北衡水中考模拟）化简﹣a的结果是（）A．﹣2a B．﹣2a C．0D．2a【答案】A．【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：﹣a＝﹣a﹣a2•＝﹣a+a＝0．故选：C．6.（2019 河北沧州中考模拟）若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则的值为（）A．B．+1C．﹣1D．1﹣【答案】C．【分析】根据互为相反数的两个数等于0得出（a+）2+|b﹣1|＝0，推出a+＝0，b﹣1＝0，求出a＝﹣，b＝1，代入求出即可．【解答】解：∵（a+）2与|b﹣1|互为相反数，∴（a+）2+|b﹣1|＝0，∴a+＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣，b＝1，∴＝＝＝﹣1，故选：C．7.（2019 山东青岛中考模拟）已知a为实数，则代数式的最小值为（）A．0B．3C．D．9【答案】B．【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．【解答】解：∵原式＝＝＝∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时代数式的值最小，为即3故选：B．8.（2019 辽宁盘锦中考模拟）方程，当y＝2时，m的取值范围是（）A．350B．C．O D．m≤2【答案】C．【分析】根据两个非负数的和为0，必须都为0，得出4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，求出xy的值，代入即可求出m的值．【解答】解：∵方程，∴4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，x＝2，m＝y﹣2，∵y＝2，∴m＝0，故选：C．（二）填空题1.（2019 天津中考）计算（+1）（﹣1）的结果等于．【答案】2．【分析】利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝3﹣1 ＝2． 故答案为2．2.（2019 上海中考）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ． 【答案】【分析】根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：∵正方形的面积是3， ∴它的边长是．故答案为：3.（2019•长春）计算：3﹣＝ ．【答案】2．【分析】直接合并同类二次根式即可求解． 【解答】解：原式＝2．故答案为：2．4.（2019 山东枣庄中考模拟）函数y ,自变量x 的取值范围是 . 【答案】x≥-12且x≠1【分析】二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0. 【解答】根据题意得⎩⎨⎧≠-≥+01012x x ∴x≥-12且x≠1.故答案是：x≥-12且x≠15. （2019 湖南长沙中考模拟）已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则b a += . 【答案】5.【分析】利用估算求二次根式的范围. 【解答】因为2<7<3, 所以a=2,b=3, ∴a+b=2+3=5. 故答案是：56.（2019 上海中考模拟）方程31x 2=-的根是 ． 【答案】x=5【分析】求根式中的被开方数中的未知数.乘法法则，乘法公式适合于二次根式. 【解答】两边平方，得2x -1=9. ∴2x=10 ∴x=5.经检验x=5是方程2x+1=3的根. 故答案是：x=57.（2019 上海中考模拟）化简：=-321 ．【答案】2+ 3 【分析】化简1a+b形式通常乘以a -b,利用平方差公式(a+b)(a -b)=a -b. 【解答】原式=12-3=1×(2+3)(2-3)( 2+3) =2+322-(3)2 = 2+ 3.故答案是：2+ 38. （2019 河北沧州中考模拟）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：（1）请用不同的方法化简；（2）化简：． 【答案】（1）﹣（2）．【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可． （2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．【解答】解：（1）．（2）原式＝＝． （三）解答题1.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222()a b a b -【分析】a 2=|a|=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a a a a 【解答】∵-1<a<0,0<b<1∴a -b<0.∴原式=|a|-|b|-|a -b|=-a -b+a -b=-2b.2.（2019 河北唐山中考模拟）先化简,再求值：222344322+-++÷+++a a a a a a a ，其中22-=a ． 【分析】结果的分母应不含根号.先化简，再代入求值，化简时把分子、分母进行因式分解.【解答】当a=2-2时，原式=a(a+3)(a+2)2·a+2a+3-2a+2=a -1a+2=2-2-22-2+2 =2-42=1-2 2. 3. （2019 辽宁沈阳中考模拟）计算：cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121 【分析】先把三角函数，负指数、零指数、绝对值及分子分母中的根号等进行化简.a -p =1a p (a≠0,p 为正整数), 1a -b 化简为1a -b =a+b (a -b)(a+b)=a+b a -b. 【解答】原式=22×4-1+32+12-1=22-1+42+2+1=7 2.4.（2019 山东淄博中考模拟）（1）已知a +3与2a ﹣15是一个正数的平方根，求a 的值；（2）已知x ，y 为实数，且y ＝﹣+4，求的值．【分析】（1）直接利用平方根的定义分析得出答案；（2）利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：（1）根据平方根的性质得，a +3+2a ﹣15＝0，解得：a ＝4，a +3＝2a ﹣15，解得：a ＝18， 答：a 的值为4或18；（2）满足二次根式与有意义，则，解得：x ＝9，∴y ＝4，∴＝+＝5． 5.（2019 湖南长沙中考模拟）阅读材料：小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果a＝，b＝；（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝+；（3）化简：．【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；（2）取m＝2，n＝1，计算a和b的值，利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，∴a+b＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为：m2+3n2；2mn；（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，7+4＝（2+）2；故答案为：；（3）＝＝+1．6.（2019 河北衡水中考模拟）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）＝2a．7.（2019 河北石家庄中考模拟）已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案．【解答】解：∵m﹣2019≥0，∴m≥2019，∴2018﹣m≤0，∴原方程可化为：m﹣2018+＝m，∴＝2018，∴m﹣2019＝20182，∴m﹣20182＝2019．8.（2019 河北石家庄中考模拟）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：①4+2；②6+4（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．【解答】解：（1）4+2＝3+2+1＝（）2+2×+12＝（+1）2；6+4＝4+4+2＝22+2×2×+（）2＝（2+）2；（2）∵a+4＝（m+n）2，∴a+4＝m2+2mn+3n2，∴a＝m2+3n2，2mn＝4，∴mn＝2，∵m，n都是正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；即a的值是7或13．。
二次根式,分母有理化(可编辑修改word版)
上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案年级：八授课教师：丁晓玲授课时间：2013 年9 月日课题1:二次根式分母分子有理化课时 2 第 1 课时（本章总课时：11）课型新授学习目标1.理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化2.能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的元一次方程和一元一次不等式.3.在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。
一（涵盖教学目标的三个维度）教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学过程教师活动学生活动教学设计说明一、复习引入新课回顾如何将1分母有理化x二、典例讲解、巩固练习一、解答题(共15 道，每道8 分)1.已知a<0，化简—答案：解：原式==∵∴ 从而求得：又∵a<0, ∴a=-1.解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a 的值，代入求解易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算2.若，求答案：解：∴∵0<a<1∴∴从而解题思路：先算的平方，利用完全平方式出现,从而再开方求出结果易错点：完全平方公式，开方的时候判断符号试题难度：三颗星知识点：完全平方公式3.化简：（1）（2）答案：（1）原式= ===（2）原式=====解题思路：将根号下的式子化成完全平方的形式，再进行开方易错点：将根号下的式子化成完全平方的形式试题难度：四颗星知识点：实数的综合运算4.答案：解：原式===3-1 =2解题思路：把根号下的式子化成完全平方式的形式，然后进行开方得出结果易错点：完全平方式和算术平方根的双重非负性试题难度：三颗星知识点：完全平方公式5. 若a、b 为有理数，且满足等式，求a+b 的值答案：解：∵∴等式右边= 对照等式两端，可得：a3，b=1 ∴a+b=4解题思路：先把根号下的式子写成完全平方的形式，开方后对照系数求出a 和b 的值，从而求出a+b 的值易错点：完全平方公式试题难度：五颗星知识点：实数的综合运算6. 化简：(1) (2)答案：解：（1）原式=| |—==(2)原式==解题思路：求解时从前往后每步按照运算法则求解易错点：分母有理化，算术平方根的双重非负性，最简二次根式试题难度：二颗星知识点：实数的综合运算7.若，求的值答案：解：===|a|-|b|其中，∴原式==2解题思路：先化简，在求值易错点：分母有理化试题难度：三颗星知识点：实数的综合运算8.若，求的值答案：解：对等号左端分子有理化：=由得：已知:从而解出：∴a=5 代入原式得：解题思路：根据已知条件的特点，想到用分子有理化，进而解一个方程组得出 a 的值，从而代入要求解的式子里，用完全平方式得出结果易错点：分子有理化 试题难度：五颗星知识点：完全平方公式9.答案：=解题思路：化简求值，注意观察特点易错点：平方差公式 试题难度：二颗星知识点：平方差公式10. 已知，求 x2y2，答案：解：从而==解题思路：利用分母有理化和完全平方式求解易错点：分母有理化，完全平方公式试题难度：三颗星 知识点：实数的综合运算11. 若,则ab 的值为？答案：解：=解题思路：观察到 b 可以分解为两个因式乘积，从而可以进行约分易错点：因式分解试题难度：二颗星 知识点：因式分解--提取公因式 12. 比较大小：（1）设，则a 、b 、c 之间的大小关系是？（2）（2011 上海）如果 a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A. a ＋c ＞b ＋c B. c －a ＞c －bC. ac ＞bcD. （3）通过估算比较与 1.5 的大小（4）比较与 2.9 的大小答案：解：（1）由,得：a<b<c （2）不妨取 a=1,b=0,c=-1,带入验证可得：A为正确选项（3），其中由于，所以（4）∵29>24.389，∴解题思路：不同类型的数比较大小，要根据其特点选择不同的方法， 第一题可以看到两根号下的数相加和相同，这个时候要想到用同时 n 次方，这里是同时平方； 第二道题是选择题，不需要书写步骤， 用特殊值代入更为简便，还可以保证正确率 第三道题利用形似 法，第四道题利用的同时 n 次方。
分母有理化
分母有理化
分母有理化
1、定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化
2、有理化因式：两个含有二次根式的非零代数 式相乘，如果它们的积中不含有二次根式，我们 说这两个二次根式互为有理化因式。
分母有理化
3、有理化因式的确定方法： （1）单项二次根式：利用 a a a来确定
如： a与 a , a b与 a b, a b与 a b 等分别为互为有理化因式
（2）利用平方差公式来确定 如：a b与a b , a b与 a b ,
a x b y与a x b y等
分别互为有理化因式
分母有理化
4、分母有理化的步骤： （1）先将分子与分母化成最简二次根式 （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式， 将分母中的根号化去
（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式
分母有理化
5、一般常见有理化因式： （1）a 的有理化因式为 a （2）a b的有理化因式为a b
(3)a n b的有理化因式为a n b
(4) a b的有理化因式为 a b
(5)m a n b的有理化因式为m a n b
分母有理化
1、 3 3 1
你 来
2、 1
练
4 33 2
3、 m (m n) m n
4、 2 5 2 3
2019年春八年级数学下册第一部分新课内容第十六章二次根式第5课时二次根式的乘除(3)—分母有理化(
解：由题意,得 解得 .
.
变式训练
1.在 个数为 A．1个 B．2个 C．3个 中,最简二次根式的 （ A ）
D ．4 个
2.将下列二次根式化简为最简二次根式.
（1） ； . （2） ；
解:原式=
解:原式=
.
（3）
； .
（4）
. .
解:原式= 3.化简： （1） ；
解:原式=
（2）
.
解:原式=
4.一个矩形的面积为
第一部分
第十六章
新课内容
二次根式
第5课时 二次根式的乘除（3）——分母有理化
核心知识
1.最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.分母有理化的常用方法：分子、分母都乘适当的二次根式.
典型例题
知识点1：最简二次根式的概念
【例1】
下列二次根式是最简二次根式的是 （ C ）
解:原式=
，它的一边长为 cm，
则另一边长为__________ cm．
A． B． C． D．
（
B ）
巩固训练
第1 关
5.下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C．
（
D．
C ）
6.
A．
的倒数是
B． C．-3
（
D．
D ）
第2 关 7. 化简： （1 ） ； . （2） ； .
解：原式= （3 ） ；
按照以上的过程，解答以下问题： （1）分母有理化： （2）计算： =__________；
内部文件，请勿外传
A.
B.
C.
D.
知识点2：分母有理化——分母是数字
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义
内容 基本要求 略高要求较高要求二次根式的化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）板块一 二次根式的乘除最简二次根式：a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 二次根式的乘法法则a b ab 0a ≥，0b ≥） 二次根式的除法法则a a bb =（0a ≥，0b >）利用这两个法则时注意a 、b ab a b =a 、b 都非负，否则不成立， (7)(5)(7)(5)-⋅---一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 合并同类二次根式：(x x a b x +=+【例1】 35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =。
【例2】 a ）A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a中考要求例题精讲二次根式基本运算、分母有理化【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）．【例4】若最简二次根式a2b-的值．a【巩固】若a b，的值是（），为非负数，a a bA．02a b，或11==，D．20====，a b==a b，B．11a b，C．02==a b【例5】已知最简根式a a,b的值（）A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a a，b为整数，则a=______，b=________；【例6】=的整数解有组.…这1999是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例7】【例8】【巩固】-【例9】3【例10】计算：+【巩固】计算：-【例11】 计算：-【巩固】+-【例12】 先化简后求值。
2023年中考数学一轮复习满分突破专题05 二次根式-【题型方法解密】
专题05 二次根式【热考题型】【知识要点】知识点一二次根式相关概念和性质二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1）二次根式中，被开方数a可以是具体的数或代数式。
2）二次根式中a是一个非负数。
二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，有意义。
考查题型一二次根式有意义的条件题型1．（2022·贵州贵阳·中考真题）若式子√x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜3有意义时，x应满足的条件为（）题型1-1．（2022·广东广州·中考真题）代数式√x+1A．x≠−1B．x>−1C．x<−1D．x≤-1题型1-2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子√x+1+x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x>−1B．x⩾−1C．x⩾−1且x≠0D．x⩽−1且x≠0题型1-3．（2022·四川雅安·中考真题）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．题型1-4．（2022·湖北黄石·中考真题）函数y =√x+31x−1的自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≠−3且x ≠1B ．x >−3且x ≠1C ．x >−3D ．x ≥−3且x ≠1题型1-5．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）已知x ，y 是实数，且满足y=√x −2＋√2−x ＋18，则√x ⋅√y 的值是______． 易错点总结：二次根式的性质：1）2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a ，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
【扩展】与的区别于联系区别：联系：1）两者都需要进行平方和开方。
分母有理化——分母不能无理
分母不能无理——知识要点1.有理化因式⑴定义：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.⑴确定方法：a=来确定．.②两项二次根式：利用平方差公式()()22bababa-=-+来确定．如a+a分别互为有理化因式。
2.分母有理化的方法与步骤①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
典型例题例1单项二次根式的分母有理化（1）15362；（2）32；（3）421；（4）32121；（5）50381-；两项二次根式的分母有理化（1）1485--；（2）23322-；（3）2331-；（4）584+；（5（6（7）233223-- （8）3535-+（9）1555-- （10）1222-+例2 已知x=3,y=21,求xy xy x x +--431的值。
例3 若111122312231-+--=+=y x ,y ,x 求的值。
例4先把下列各式分母有理化，后计算求值：（1）3641)32(312-++÷-；（2）352521231++-+-（3）199819991341231121++++++++例5已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+课堂练习1． 把下列各式分母有理化并求出结果：（1）133- （2）532+ （3）3252+（4）53353553-- （5）634 （6）4052（7）561- （8）523+ （9）1435615--（10）633- （11）2263329-- （12）704091.÷+-（13）1830..÷ （14）8132-（15）2713814502--.（16）5125⨯（17）27231241÷- （18）2)251(-（19）612313214-- （20）257276731-+-++（21）++++++341231121 (9)101++课后作业1． 写出下列各根式的有理化因式。
二次根式,分母有理化
an dAl l t h i ng s上海市延吉第二初级中学数学拓展教学案年级：八 授课教师：丁晓玲 授课时间： 2013 年 9 月日课 题1:二次根式分母分子有理化课时2第1课时（本章总课时：11） 课型新授学习目标（涵盖教学目标的三个维度）1．理解有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化2．能利用分母有理化进行二次根式加减乘除及混合运算，会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式.3．在学习过程中体会类比、化归的数学思想方法。
教学重点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学难点有理化因式的概念，能正确的将一个含二次根式的代数式分母有理化。
教学过程教师活动学生活动教学设计说明一、复习引入新课回顾如何将分母有理化x1 二、典 例讲 解、巩固 练 习一、解答题(共15道，每道8分)1.已知a<0，化简—答案：解：原式==∵ ∴ 从而 求得： 又∵a<0, ∴a=-1.解题思路：先用完全平方式对根号下的式子化简，然后根据算术平方根的双重非负性得出a 的值，代入求解易错点：算术平方根的双重非负性和完全平方式试题难度：四颗星 知识点：实数的综合运算 2.若，求答案：解：∴an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 从而解题思路：先算的平方，利用完全平方式出现,从而再开方求出结果易错点：完全平方公式，开方的时候判断符号试题难度：三颗星 知识点：完全平方公式3.化简：（1） （2）答案：（1）原式====（2）原式==== =解题思路：将根号下的式子化成完全平方的形式，再进行开方易错点：将根号下的式子化成完全平方的形式试题难度：四颗星 知识点：实数的综合运算 4.答案：解：原式===3-1 =2解题思路：把根号下的式子化成完全平方式的形式，然后进行开方得出结果易错点：完全平方式和算术平方根的双重非负性试题难度：三颗星 知识点：完全平方公式 5. 若a 、b 为有理数，且满足等式，求a+b 的值答案：解：∵an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o ∴等式右边=对照等式两端，可得：a3，b=1 ∴a+b=4解题思路：先把根号下的式子写成完全平方的形式，开方后对照系数求出a 和b 的值，从而求出a+b 的值易错点：完全平方公式试题难度：五颗星 知识点：实数的综合运算6. 化简：(1) (2)答案：解：（1）原式=||—==(2)原式==解题思路：求解时从前往后每步按照运算法则求解易错点：分母有理化，算术平方根的双重非负性，最简二次根式试题难度：二颗星 知识点：实数的综合运算7. 若，求的值答案：解：===|a|-|b|其中，∴原式==2解题思路：先化简，在求值易错点：分母有理化试题难度：三颗星 知识点：实数的综合运算 8.若，求的值答案：解：对等号左端分子有理化：an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 得：已知:从而解出：∴a=5代入原式得：解题思路：根据已知条件的特点，想到用分子有理化，进而解一个方程组得出a 的值，从而代入要求解的式子里，用完全平方式得出结果易错点：分子有理化试题难度：五颗星 知识点：完全平方公式9.答案：=解题思路：化简求值，注意观察特点易错点：平方差公式试题难度：二颗星 知识点：平方差公式10. 已知，求x2y2，答案：解：从而==解题思路：利用分母有理化和完全平方式求解易错点：分母有理化，完全平方公式试题难度：三颗星 知识点：实数的综合运算11.若,则ab 的值为？an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 解题思路：观察到b 可以分解为两个因式乘积，从而可以进行约分易错点：因式分解试题难度：二颗星 知识点：因式分解--提取公因式 12. 比较大小：（1）设，则a 、b 、c 之间的大小关系是？（2）（2011上海）如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A. a ＋c ＞b ＋c B. c －a ＞c －bC. ac ＞bc D.（3）通过估算比较与1.5的大小（4）比较与2.9的大小答案：解：（1）由,得：a<b<c （2）不妨取a=1,b=0,c=-1,带入验证可得：A 为正确选项（3），其中由于，所以（4）∵29>24.389，∴解题思路：不同类型的数比较大小，要根据其特点选择不同的方法，第一题可以看到两根号下的数相加和相同，这个时候要想到用同时n 次方，这里是同时平方； 第二道题是选择题，不需要书写步骤，用特殊值代入更为简便，还可以保证正确率 第三道题利用形似法，第四道题利用的同时n 次方。
第5课时：《二次根式》(2)——二次根式的加减
第2课时《二次根式》（2）——二次根式的加减运算【知识点拨】 1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
[例题1]1、已知二次根式42-a 与2是同类二次根式，则的α值可以是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8【答案】B2、下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ）A ．12与21B ．18与27C ．3与31D ．5445与 【答案】C2、二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
[例题2] 1 ）A ．1B ．1-CD 【答案】C2= ． 【答案】332+3、计算：⎛÷ ⎝【答案】2144、先化简，再求值：244(2)24x x x x -+⋅+-，其中x =【答案】21【教材解读】1、下列计算正确的是（ ）A =B =C 4=D 3=-【答案】B2、下列各式：①36333=+；②1771=；③22862==+；④22324=.其中正确的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】C3 ）A ．1B ．1-CD 【答案】C4、下列计算正确的是（ ） A ．632=⨯ B ．532=+ C ．248= D ．224=-【答案】A5、计算2)322215324(⨯+-的值是（ ）A ．303320- B ．332302- C ．332303- D ．3033320- 【答案】D6、下列二次根式中，能与271合并的二次根式是（ ） A.18 B. 12 C.32D. 92 【答案】B7、下列计算：①y x y x +=+；②a a 22=+；③343236=-；④a a a 23825=-；⑤5942188=+=+.其中正确的是（ ） A. ①和③ B. ②和③ C. ③和④ D. ③和⑤ 【答案】C8、如果最简二次根式83-a 和a 217-是可以合并的，那么=a . 【答案】59、计算：=-+-+312)1(0π_____________． 【答案】31-10、计算：=⨯--+222)1(83_____________． 【答案】12-11、化简：____________． 【答案】214-12、计算：=+-3)23(2。
分母有理化
3 2 32
3 2
32 34
32
练一练：把下列各式分母有理化
(1) 2 5 3
(2) 3 6 5
解原式 2( 5 3)
( 5 3)( 5 3) 2( 5 3)
( 5)2 ( 3)2 2( 5 3)
53 2( 5 3)
2 5 3
2 33 5
b 1
(6)a x2 a2 (x a)
a x2 a2
例1 把下列各式分母有理化：
(1) 1 3 2
解原式
3 2
( 3 2)( 3 2)
(2) 1 32
解原式
32
( 3 2)( 3 2)
3 2 ( 3)2 ( 2)2
32 ( 3)2 22
解原式 3( 6 5)
( 6 5)( 6 5) 3 6 3 5
( 6)2 ( 5)2 3 2 15
65 3 2 15
(3) 2 3 6 3
解原式 ( 2 3)( 6 3)
( 6 3)( 6 3) 2 6 2 3 3 6 3 3
先化简，再考虑化去分母中的根号。
新授：
像上述把分母中的根号化去，叫做分母有 理化。这组练习中我们发现要进行分母有理 化只要将分子分母都乘适当的数或式子，主 要利用 ( a)2 a(a 0)这一性质，那么 如何将 1 分母有理化呢？
3 2
1.填空
(1)( 2 1) _( __2__1_)__ ( 2)2 12 2 1 1
x y
(2)10x2 xy 10 y2
(1) 2 3 3
(2)10x2 xy 10 y2 10(x2 y2 ) xy 10[(2 3)2 (2 3)2 ] (2 3)(2 3) 10(4 4 3 3 4 4 3 3) 22 ( 3)2 1014 1 141
第五讲 二次根式
第五讲二次根式归纳1：二次根式的意义及性质基础知识归纳：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．注意问题归纳：1．首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．【例1x的取值范围为（）A．x≤0B．x≥﹣1C．x≥0D．x≤﹣1【例2】当﹣1＜a＜0=．归纳2：最简二次根式与同类二次根式基础知识归纳：1．最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．注意问题归纳：最简二次根式的判断方法：1．最简二次根式必须同时满足如下条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．【例3】下列二次根式是最简二次根式的是（）A B C D归纳3：二次根式的运算基础知识归纳：（1）．二次根式的加减法：实质就是合并同类二次根式．合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）．二次根式的乘除法二次根式的乘法：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）． 二次根式的除法：b a b a =（a ≥0，b ＞0）．注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键【例4】下列计算正确的是（ ）A ．﹣B •）C ． D归纳 4：二次根式混合运算基础知识归纳：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）． 注意问题归纳：注意运算顺序．【例5】计算：2）2【例6】古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记p 2a b c ++=，那么三角形的面积为S =．如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别记为a ，b ，c ，若a =5，b =6，c =7，则△ABC 的面积为（ ）A．B．C．18D．192归纳5：二次根式运算中的技巧基础知识归纳：1．二次根式的被开方数是非负数；2．非负数的性质．注意问题归纳：【例7】“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，22++==除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：设x=，故x＞0，由x2=2=332=2，解得x==后的结果为（）A．B．5C．5D．5﹣【基础练习】1．函数y=x的取值范围是（）A ．x ＜2B ．x ≤2C ．x ＞2D ．x ≥22．下列运算正确的是（ ）A ．a 2+a 3=a 5B ．3a 2•4a 3=12a 6 C.533-=5 D ．236⨯= 3．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A ．12B ．2C ．4D ．12 4．化简12的结果是（ ）A ．43B ．23C ．32D ．265．若式子12x x --在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1且x ≠2 B ．x ≤1 C ．x ＞1且x ≠2 D ．x ＜16.下列运算正确的是（ ）A ．347+=B ．12=32C ．()22-=-2D ．142136= 7.计算：（1﹣π）0+|23-|12-+（12）﹣1．【提升练习】 8．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．69．下列各式不成立的是（ ）A ．8718293-=B ．223+=223C ．818492+=+=5D ．13232=-+10．计算：2）20182）2019的结果是．11．观察下列等式：①3﹣=1）2，②5﹣=2，③7﹣=2，…请你根据以上规律，写出第6个等式．12．若|1001﹣a|=a，则a﹣10012=．13．观察下列各式：=1112+=⨯1+（112-）=1123+=⨯1+（1123-），=1134+=⨯1+（1134-），…请利用你发现的规律，计算：12018++为．14与最简二次根式是同类二次根式，则a=．【突破练习】15．阅读下面材料：我们知道一次函数y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=计算．例如：求点P（3，4）到直线y=﹣2x+5的距离．解：∵y=﹣2x+5，∴2x+y﹣5=0，其中A=2，B=1，C=﹣5，∴点P（3，4）到直线y=﹣2x+5的距离为：d====根据以上材料解答下列问题：（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7=0的距离；（2）如图，直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．1．x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x=2D．x≠22x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣232得（）A．2B．﹣4x+4C．﹣2D．4x﹣44x的取值范围是．5最接近的整数是．6．（已知x=，y=x2﹣2xy+y2的值是．7的结果是．8的结果是．9．化简：(02= ．10．计算：)1111()3--11．计算：2﹣1+（π﹣3）0﹣|4|．12．计算：（1）⎛÷ ⎝ （2）())2122+．13．我们将、称为一对“对偶式”，因为）=2）2=a ﹣b ）和-中的去掉于是二次根式除法可以这样解：==，3==+母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1_______（用“＞”、“＜”或“=”填空）；=y=x2+y2的值；（2）已知x（3。
习题课--分母有理化
3 ab ab
例2 计算：
（1） 2 12 （2） a a b（3）a2 b2 2a2b(a b 0)
注意：要进行分母有理化，一般是把分 子分母都乘以一个适当的代数式，使分 母不含根号
例1：化简 1（要求分母不带根号） 2
解：1 1 2 2 2 2 2 2
练习：（1）1 3
（2）1 （3）1
5
6
化简
(1) 2 27
(2) 3 ab
思(路1)启迪2：27化去分母3中2的3根号的3关2键3是选择3一3个
2.分子与分母中的因式分解直接约分
3.在横线上填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 •（ 2）＝ 4
（2）2 5 •（ 5）＝ 10
解（4：.－3把）解8解解8下：a： 3：3－＝241列2y5解x01－72a2ya2：各8•＝ =（＝2原333式2式＝25ay32－＝x的•－25y=a1－4＝26分）2a34＝ 321＝＝ y母8x2=y÷－有aa2＝494a－＝232＝理3－•1••xy6•y化22233a•4a218x：=＝•y2×xay－94（23＝＝ 6a442－）＝（y6632a＝x321y）22xa－21y＝ a×2＝ ＝9＝66y－22x6ax×y 6 13
因式直接约分，即 m ( m)2 m
m
m
（3）运用二次根式的除法运算，即
分母有理化的方式:
m m2 m2 m mm m
1.将分子与分母乘以同一个代数式
分母有理化教案
《分母有理化》教学设计一、教材分析《分母有理化》是北师大版八年级上册第二章第六节的第二课时，是“数与代数”的重要内容，是学习二次根式运算的依据。
一方面，它是在了解了勾股定理，学习了平方根基础之上对实数的进一步深入。
另一方面，又为学习二次根式的加减法、一元二次方程、二次函数、三角函数等知识奠定基础。
因此有承上启下的作用。
二、学情分析学生已学习了分解因数和平方差公式，进而又学习了二次根式的乘除法及二次根式的化简公式，学生掌握的基础知识和基本技能良好，但是做题速度和正确率有待提高。
三、教学目标1．知识与技能（1）理解最简二次根式的概念。
（2）掌握二次根式的分母有理化。
2．过程与方法通过对最简二次根式的概念学习，提高学生对概念学习的理解能力和自主学习能力、归纳表达能力。
3．情感和态度目标（1）通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力，让学生经历合作探究、归纳比较等数学活动，感受学习数学的乐趣。
（2）通过学习分母有理化与除法的关系向学生渗透转化的数学思想，知道数学来源于生活。
四、重点与难点教学重点：化简二次根式、分母有理化的方法教学难点：分母有理化的技巧、正确进行分母有理化五、教学策略与手段学生是学习的主体，教师是学生学习的组织者、参与者、合作者。
所以在教学过程中把自主权、话语权留给学生；结合“自主学习、小组合作、当堂训练、及时巩固”的模式利用学案为载体，让学生乐学会学。
并进行一部分的练习，使其掌握应用。
六、课前准备学生课前自学、教师准备学案教案以及课件七、教学过程1.旧知回顾、引入新知师：谁还记得二次根式混合运算的步骤、运算顺序、互为有理化因式呢？（1）（先乘除，后加减）．（2）（有括号，先去括号；不宜先进行括号内的运算）．（3）辨别有理化因式：举例题师：非常好！那如果在计算中分母是无理数该怎么办呢？又如果分母是两个二次根式的和，应该怎样化简？举例题2．合作探究师：好现在小组讨论看看你们是如何解决这些问题的。
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第十六章二次根式
第5课时最简二次根式与分母有理化
知识点1：最简二次根式的辨别
【例1】下列二次根式是最简二次根式的是_______(填序号).
1
2
②√12；③√10；④√9；⑤√1.5；⑥√2a2；⑦√x2+1；⑧√a2+2a+1. 同步练习
1. 在根式√3，√4x，3
5
，√0.25，√20，最简二次根式的个数有____个．
知识点2：化为最简二次根式
【例2】判断下列二次根式是不是最简二次根式,若不是,请把它化成最简二次根式. （1）√30；
（2）√28；
（31 3
（4）√0.5；
（5）√4ab2.
同步练习
2.把下列二次根式化为最简二次根式：（1）√5×10=_____；
（2）√72=_____；
（3）√0.6=_____；
（42 x
知识点3：分母有理化
【例3】将下列式子化为最简二次根式：
（1）1
√5
；
（2）
√8
；
（3）√6−1
√2
.
同步练习
3. 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
√12
；
（2
1
1
5
；
（3）√10−√5
√5
.
【课时过关】
4. 下列二次根式中，最简二次根式是（）
A.√4
B.1 x
C.√12a
D.√x2+y2
5. 把4
3
化为最简二次根式，结果是________.
6.化简：（1）√40=_____；
（2）√1.5=______.
7.化简：（1）√8a3b=_____；
（2）
√b−a
.
8. 若a是正整数，√3a+6是最简二次根式，则a的最小值为___________. 【课时提升】
9.若√2m+3和√32m−n+1都是最简二次根式，则m+n=____.
a−b的被开方数相同，则a+b=____.
10.已知：最简二次根式√4a+b与√23
化为最简二次根式是____.
11.把二次根式a√−1
a。