剪切计算

一、剪切应力的计算

要获得剪切面上的应力，应当首先考查剪切面上的内力。当构件受剪切作用时，在剪切面上自然要产生内力，内力的大小和方向可用裁面法求得。还是以螺栓受力为例，如图5-9所示。利用裁面法将螺栓沿剪切面m-m 截开，取其中的一部分为研究对象(本例取下半部分)，由平衡条件可知，螺栓上半部分对下半部分的作用力的合力与外力F 是一对平衡力，它们大小相等、方向相反、作用线相互平行，该力F s 与剪切面m-m 相切，称之为剪力。

图5-9 截面法求取剪力示意图

根据平衡条件可知，为保持下半部分螺栓的平衡，作用在剪切面上的内力F s 与外力F 平衡，运用平衡方程可求出内力即剪力的大小为：

F s ＝F (5-1)

虽然已经求得了剪切内力，但还不能对直接求取剪切应力，因为还不知道剪切面上的应力分布情况。一般情况下，剪力在剪切面上的分布是很复杂的，像螺栓在外力的作用下不仅发生剪切变形，还有微小的拉伸变形、弯曲变形等。如果进行精确计算，难度很大，但由于螺栓长度比较短、剪切面比较小，所以发生的拉伸变形、弯曲变形可以忽略不计，所以常采用较为实用的工程计算方法。此时只考虑连接件的主要变形——剪切变形，可以认为这时的剪切面上只有剪力作用，面且剪力在剪切面上是均匀分布的。因此，剪切面上的剪切应力(通常称为剪应力或切应力)大小为：

s

F A τ=

(5-2)

式中，τ称为剪应力，F s 为剪切面上的剪力，A 为受剪构件的剪切面面积。剪应力τ的单位与正应力一样，用MPa(N ／mm 2)或Pa(N ／m 2)来表示。

注意，利用式(5-2)很出的剪应力数值，实际上是平均剪应力、是以剪切面上的剪力均匀分布这一假定为前提的，故又称为名义剪应力，名义剪应力实际上就是剪切面上的平均剪应力。

二、剪切应变的计算

为分析物体受剪力作用后的变形情况，从剪切面上取一直角六面体分析。如图5-10所示，在剪力作用下，相互垂直的两平面夹角发生了变化，即不再保持直角，则此角度的改变量γ称为剪应变、又称切应变。它是对剪切变形的一个度量标准，通常用弧度(rad)来度量。在小变形情况下，γ可用tanγ来近似，即

tan ee ff ae bf γγ''≈=

=

'

ae bf dx '==

(5-3)

图5-10 物体受剪力作用、作用后的变形以及剪切应力应变关系示意图

三、剪应力互等定理简介

在受力物体中，我们可以围绕任意一点，用六个相互垂直的平面截取一个边长为dx ，dy ，dz 的微小正六而体，作为研究的单元体(如图5-11所示)。在单元体中的相互垂直的两个平面上，剪应力(绝对值)的大小相等，它们的方向不是共同指向这两个平面的交线，就是共同背离这两个平面的交线。即

ττ'= (证明见§6-3)

图5-11 单元体示意图

1. 剪切胡克定律

通过实验可以获得剪切应力与应变的关系曲线，如图5-10(c)所示。实验证明：当剪应力不超过材料的剪切比例极限τp 时，剪应力τ与剪应变γ成正比例，这就是剪切胡克定律，可以写为：

G τγ=

(5-4)

式中的比例常数G 称为材料的剪切弹性模量。它的常用单位是GPa 。钢的剪切弹性模量G 值约为80GPa 。对于各向同性材料，G 值可由下式得出：

2(1)E

G μ=

+

(5-5)

2.剪切强度计算 (1) 剪切强度条件

剪切强度条件就是使构件的实际剪应力不超过材料的许用剪应力。

[]s

F A ττ=

≤

(5-6)

这里[τ]为许用剪应力，单价为Pa 或MPa 。

由于剪应力并非均匀分布，式(5-2)、(5-6)算出的只是剪切面上的平均剪应力，所以在使用实验的方式建立强度条件时，应使试件受力尽可能地接近实际联接件的情况，以确定试样

F

F

失效时的极限载荷τ0，再除以安全系数n ，得许用剪应力[τ]。

[]n ττ=

(5-7)

各种材料的剪切许用应力应尽量从相关规范中查取。

一般来说，材料的剪切许用应力[τ]与材料的许用拉应力[σ]之间，存在如下关系： 对塑性材料：

[]0.60.8[]τσ=

对脆性材料：

[]0.8 1.0[]τσ=

(2) 剪切实用计算

剪切计算相应地也可分为强度校核、截面设计、确定许可载荷等三类问题，这里就不展开论述了。但在剪切计算中要正确判断剪切面积，在铆钉联接中还要正确判断单剪切和双剪切。下面通过几个简单的例题来说明。

例5-1 图5-12(a)所示电瓶车挂钩中的销钉材料为20号钢，[τ]＝30MPa ，直径d=20mm 。挂钩及被连接板件的厚度分别为t ＝8mm 和t 1＝12mm 。牵引力F=15kN 。试校核销钉的剪切强度。

图5-12 电瓶车挂钩及其销钉受力分析示意图

解：销钉受力如图5-12(b)所示。根据受力情况，销钉中段相对于上、下两段沿m-m 和

n-n 两个面向左错动。所以有两个剪切面，是一个双剪切问题。由平衡方程容易求出：

2s F F =

销钉横截面上的剪应力为：

332

151023.9MPa<[]

2(2010)4s F A ττπ-⨯===⨯⨯

故销钉满足剪切强度要求。

例5-2 如图5-13所示冲床，F max =400KN ，冲头[σ]=400MPa ，冲剪钢板的极限剪应力τb =360 MPa 。试设计冲头的最小直径及钢板最大厚度。

图5-13 冲床冲剪钢板及冲剪部分受力示意图

解：(1) 按冲头压缩强度计算d

max max

2

=

[]4

F F d A

σσπ=≤

所以

3

max 6

44400100.034 3.4[]40010F d m cm πσπ⨯⨯≥===⨯⨯

(2) 钢板的剪切面是直径为d 高为t 的柱表面。

max

s b F F A dt ττπ=

=≥

所以

3

max 26

400100.0104 1.043.41036010b F t m cm d πτπ-⨯≤===⨯⨯⨯⨯

例5-3 如图5-14所示螺钉受轴向拉力F 作用，已知[τ]=0.6[σ]，求其d ：h 的合理比值。

图5-14 螺钉受轴向拉力示意图

解：螺杆承受的拉应力小于等于许用应力值：

24[]N F F A d σσπ=

=≤

螺帽承受的剪应力小于等于许用剪应力值：