27.2.1相似三角形的判定(第3课时)

(1)
A’
B
(C3)B’
D C’
C’
B
(2)
D
(4)
E A
E C
例2 如图,弦AB和CD相交于OO内一点P,
▪
求证:PA ▪ PB = PC▪PD
A
证明:连接AC，DB. ∵∠A和∠D都是弧CB
所对的圆周角， ∴ ∠A= ∠D. 同理 ∠C= ∠B.
D ▪P O
B
C
∴ △PAC∽ △PDB.
PA PC . PD PB
即PA·PB=PC·PD.
引申１：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结论还成立吗？
A
B P
D C
引申２：上题中Ａ，Ｂ重 合为一点时，又会有什么 结论？
A P
D
C
思考：对于两个直角三角形，我们可以利用“HL”判定
它们全等.那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个
直角三角形相似吗? 已知:在Rt △ABC和Rt △A'B'C'
k.
BC
BC
BC
BC
BC AB AC . BC AB AC
∴Rt △ABC∽Rt △A'B'C'.
1、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C 求证：DA·AC=AB·AE
证明：
∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC D
E
∴ △ABC ∽ △ADE
A
∴ AC :AE=AB :AD
∴ DA ·AC=AB ·AE
方法1：通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。
方法3：三边对应成比例。
方法4：两边对应成比例且夹角。
方法5：通过两角对应相等。 方法6：斜边直角边对应成比例
A
2 1
A
C
O
B
C
A
C
D
O
D
E
B
CA
B D
A
D E
BB
C
基本图形的形成、变化及发展过程：
平行型
.
旋转
∽
斜交型 .
探究：
作△ABC 和△DEF，使得∠A=∠D, ∠B= ∠E，这时它 们的第三个角满足∠C= ∠F吗？分别度量这两个三角形
的边长，计算 AB , AC , BC ，你有什么发现？ DE DF EF
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？
问题：如图⊿ABC和⊿A′B′C′中，∠A=∠A′，
知识回顾
我们学习了哪些判定三角形相似的方法，请你
用几何语言叙述。
A
D
A
D
E
B
C
（2）∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC
E
F
B
C
（3）∵ AB AC BC DE DF EF
∴△ABC∽△DEF
（4） ∵ AB AC DE DF
∠A=∠D ∴△ABC∽△DEF
问题引入：
观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或 45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看 起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角 相等，它们一定相似吗？
A 已知DE ∥BC 且∠1=∠B ，则图
D
E 中共有 4 对相似三角形。
1
B
C
∵ DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴△ADE ∽△ACD
∵ DE∥BC
∵ ∠EDC=∠DCB， 又∵ ∠1=∠B
∴△DEC∽△CDB
课堂小结
三角形相似的识别方法有那些？
2.如图直线BE、DC交于A, AD·AC=AE·BA，
求证：∠E=∠C
E
A
D
将△DAE绕A点旋转
D
A
E
B
C
B
C
如何证明∠DEA＝∠C？
A
A
D
D
E
B
C
B
C
3.已知如图， ∠ABD=∠C AD=2 ， AC=8，求AB
解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽ △ACB
∴ AB : AC=AD : AB
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
A'
B
C B' C'
基础演练
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A’
B
A
A
C
B A
C B’
∠B=∠B′，试猜想△ABC和△A′B′C′是否相似？
并证明你的猜想成立。
A
A′
B
CD
E
B′
C′
证明：在AB上截取A′D=AB，画DE∥B′C′交A′C′与点E，
则：△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′，
∵∠B=∠B′
∴∠B=∠A′DE
∵A′D=AB， ∠A=∠A′
∴△ABC≌△A′DE
∴△ABC∽△A′B′C′
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。
同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。
C
∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
AD
B
求证（2）AC2=AD ·AB
CD2=AD ·DB
A
D
B
C
3、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= 18 BD= 4 √2 BC= 12√2
∴ AB2 = AD ·AC
∵ AD=2 AC=8
∴ AB =4
A D
A D
B
C
B
C
4、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D
问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？ 解： 图中有三个直角三角形，分别是：
△ ABC、 △ ADB、 △ BDC
△ ABC ∽ △ ADB ∽ △ BDC
.
.
平移
特 殊 垂直型
平移
B
C
2、判断题：
基础演练
⑴ 所有的直角三角形都相似 .
⑵ 所有的等边三角形都相似.
⑶ 所有的等腰直角三角形都相似.
⑷ 有一个角相等的两等腰三角形相似 .
（× ） （√ ） （√ ）
（× ）
顶角相 底角相
等
等
顶角与底角 相等
顶角相等
A
A'
第
一
种
情
B'
C'
况
B
C
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
底角相等 A
A'
第
二
种
情
B'
C'
况
B
C
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A
顶角与底角相等
A'
B'
B
C
两三角形不相似
第 三 C' 种 情 况
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
A′
A
中， ∠C=90°， ∠ C'=90 °，
AB AC . AB AC
求证:Rt △ABC∽Rt △A'B'C'.
B
C B′
C′
证明:
设 AB AC k. AB AC
则AB kAB, AC kAC.
由勾股定理，得 BC AB2 AC 2 , BC AB2 AC2 .
BC
AB2 AC 2 k 2 AB2 k 2 AC2 kBC