无网格方法.
无网格方法在计算流体力学中的应用研究
西北工业大学硕士学位论文无网格方法在计算流体力学中的应用研究姓名：张小华申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：欧阳洁20060320两北工业大学硕士学位论文第二章无网格方法的基本知识Ａａ＝Ｕｕ＝ｌｌ“２矿２（ｘ。
）氐（ｘ．）ｌｅＮ（ｘ２）ｌ九（ｘ。
）ｊ图２．１由径向基函数构造的形函数及其一阶、二阶导数Ｆｉｇｕｒｅ２．ＩＲＢＦｓｈａｐｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｉｔ＇ｓｔｈｅｆｉｒｓｔ，ｔｈｅｓｅｃｏｎｄｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ１６））＠江办龙１２ＸＸ｛红衍珐＝．ＪＪＤＱｑ；＠咿牛中中ｌｌ式Ａ（３）在整个域上，有￡ｗ（Ｘ－－Ｘ１）搠＝１（４）ｗ（ｘ—ｘ，）是单减函数，即它随着ｘ到ｘ，距离的增加而减小。
图２．３二维三次样条函数及其一阶、二阶导数ｉｔｓｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓＦｉｇｕｒｅ２．３２Ｄｃｕｂｉｃｓｐｌｉｎｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄ为了计算的方便，权函数的影响域通常选为圆形域或矩形域（如图２．２）。
常用的权函数有ｆ｛一４ｒ２＋４ｒ３，ｓ｛三次样条函数：Ｍ，（ｒ）＝｛｛一４，＋４ｒ２＿４ｒ３｛＜ｒ≤１ｌ０＂１１Ｒ塑ｊ暨；些查耋堡圭兰堡鎏兰篁三塞玉塑丝童鎏塑董奎垫塑四次样条函数：ｗｃ，，＝｛：一６，＋８，一３一：；：图２．４二维四次样条函数及其一阶、二目ｒ导数Ｆｉｇｕｒｅ２．４２Ｄｑｕａｒｔｉｃｓｐｌｉｎｅｆｕｎｃｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ图２３和图２．４分别给出了二维三次样条函数和四次样条函数及其一阶、二阶导数。
从图中可以看出它们都具有Ｃ２连续性。
在本文中，如不作特殊声明，权函数一律取为三次样条函数。
权函数的影响半径对无网格方法近似函数的构造影响非常大。
图２．５给出西北Ｉ．业大学硕士学位论文第三章瞬态热传导问题的无网格算法Ｉ目＃自∞ｅ！Ｅ！自■■■口《自目自自自｜自＝ｔ！！＝＝Ｅ＝！＝＝ｅ！＝ｇｊ目ＥＥＥＥ！■ｊ目Ｅ＝ＥＥ■日ｇ！ｊ＝＝目■目ｔ＝，ＥＥ■Ｅａ■■■■■ｔ■■■自Ｅ自■ｔ自皇（ａ）位置Ｐ１（ｂ）位置Ｐ２（ａ）ＴｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆＰｌ（ｂ）ＴｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆＰ２图３．６１１×１１个节点均匀分布时０－ＥＦＧ方法、ＦＥＭ方法与精确解的比较Ｆｉｇｕｒｅ３．６ＣｏｍｐａｒｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎＦＥＭａｎｄＯ－ＥＦＧｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒ１１×１１ｕｎｉｆｏｒｍｅｄｎｏｄｅｓ圈３．７（ａ）０．４秒时０－ＥＦＧ解的温度分布Ｆｉｇｕｒｅ３．７（ａ）ＴｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｐｒｏｆｉｌｅｏｆＯ－ＥＦＧｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒ０．４ｓ３．４本章小结图３．７（ｂ）０．４秒时的精确温度分布Ｆｉｇｕｒｅ３．７（ｂ）Ｔｈｅｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｐｒｏｆｉｌｅｏｆａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒ０．４ｓ本章将ＥＦＧ方法和日加权法相结合，成功地求解了一维、二维瞬态热传导问题，其数值结果表明：ｆａｌ０－ＥＦＧ方法直接采用ＥＦＧ方法对空间进行离散，因此不需网格生成，前处理方便。
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5.6.1界面问 题的增强函 数
5.6.3数值 计算
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第6章有限点方法
第6章有限点方法
6.1对流-扩散方程的有限点形式 6.2对流-扩散方程的有限点法求解 6.3Burgers方程的高阶时间格式有限点方法求解 6.4油藏数模的有限点法 6.5有限点方法在金融工程中的应用
第6章有限点 方法
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第9章流体-结构相互作用的无网 格方法研究进展
第9章流体-结构相互作用的无网 格方法研究进展
9.1流体-结构相互作用的计算研究 概述 9.2流体-结构相互作用模型描述 9.3FSI问题的扩展有限元方法求解 9.4浸入粒子方法 9.5气动弹性计算中的径向基函数法
第9章流体-结构相互作用的无网格方法研究进展
5.4增强型单位分解有限元方法
5.4.1增强 型覆盖函数 的实现
5.4.2数值 计算
第5章单位分解 有限元方法
5.5单位分解有限元在断裂力学中 的应用
1
5.5.1裂纹尖端附近的渐近解
2
5.5.2平面裂纹的单位分解有限 元计算
第5章单位分 解有限元方法
5.6单位分解有限元在界面问题中 的应用
5.6.2界面问 题的增强方 式
7.6.3数值求解
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第8章自适应无网格方法
第8章自适应无网 格方法
8.1自适应无网格Galerkin法 8.2结构动力问题的自适应无网 格计算 8.3hp自适应无网格方法
第8章自适应无网格方法
8.1自适应无网格Galerkin法
8.1.1后验误差估计
8.1.2背景网格重构 算法
8.1.3自适无网格静 力分析
无网格方法(刘欣著 )
无网格法的理论及应用
为了验证该方法的有效性和可行性，我们进行了一系列实验。实验过程中采 用了某稠油油田的实际数据集，包括地层压力、温度、渗透率等参数。同时，采 用了可视化评估指标，以便直观地评估计算结果的准确性。实验结果表明，该方 法在稠油热采数值模拟过程中具有较高的计算精度和计算效率，可为稠油热采技 术的优化提供有力支持。
1、算法开发：针对稠油热采的物理化学过程，开发相应的数值模拟算法， 如有限元法、有限差分法等。
2、软件架构：设计并实现数值模拟软件的架构，包括前后处理、求解器等 模块，以便用户进行快速高效的计算。
3、数据处理：针对稠油热采数值模拟过程中产生的大量数据，开发相应的 数据处理技术，如数据压缩、可视化等。
无网格法的数值积分采用移动最小二乘法（Moving Least Squares，MLS） 来实现。该方法通过对节点进行加权，构造一个局部近似函数来逼近真实的解。 数值积分通过在节点上建立局部近似函数，然后对该函数进行求导和积分来计算。 无网格法的数值积分具有高精度和高效性，同时避免了传统网格法中的网格生成 和数据处理问题。
1、结构分析
无网格法在结构分析中具有广泛的应用，可以处理各种复杂形状和材料属性 的结构。例如，桥梁、建筑物和飞机等结构分析中，无网格法能够适应复杂的几 何形状和非均匀的材料属性，同时提高计算效率和精度。此外，无网格法在疲劳 分析和振动分析中也得到了广泛应用。
2、流体分析
无网格法在流体分析中也有着广泛的应用，可以处理各种复杂的流体流动问 题。例如，无网格法可以应用于计算流体动力学（CFD）中的复杂流场模拟、燃 烧模拟以及噪声辐射模拟等。无网格法能够适应复杂的几何形状和流场特性，提 高计算精度和效率。
参考内容
稠油热采是一种重要的石油开采方法，具有提高采收率、降低开采成本等优 势。随着计算机技术的不断发展，数值模拟已成为稠油热采领域的重要工具。本 次演示旨在探讨稠油热采数值模拟自适应网格法计算软件的开发研究及实例应用。
无网格法
无网格法（Mesh-less method）无网格方法（Mesh-less method）是在数值计算中不需要生成网格，而是按照一些任意分布的坐标点构造插值函数离散控制方程，就可方便地模拟各种复杂形状的流场。
该法大致可分成两类：一类是以Lagrange方法为基础的粒子法（Particle method），如光滑粒子流体动力学（Smoothed particle hydrodynamics，简称SPH）法，和在其基础上发展的运动粒子半隐式（Moving－particle semi－implicit，简称MPS）法等；另一类是以Euler方法为基础的无格子法（Gridless methods），如无格子Euler／N—S算法（Gridless Euler／Navier-Stokes solution algorithm）和无单元Galerkin法（Element free Galerkin，简称EFG）等。
无网格方法可以方便地利用坐标点计算模拟复杂形状流场计算，但不足之处是在高雷诺数流动时提高数值计算精度较困难。
无网格方法中比较常见的还有径向基函数方法（Radious Basis Function），主要使用某径向基函数（如（MQ）f(r)=r^5）的组合，来逼近原函数。
吴忠敏院士在这方面有比较突出的工作。
最近在了解有限元法和无网格法，介绍中知道它们都是数值计算方法，主要区别一个是基于网格的，一个是无需借助于网格的。
但从有关数值计算方法的书和其他资料中，基本上没有见提到有限元法和无网格法，数值计算方法的书中基本上主要内容都包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等等。
而在有限元法和无网格法的具体算法计算过程中也都会用到上述数值计算方法中的某些。
无网格方法的研究现状和发展
无 网格 方 法 的研 究 现 状 和 发 展
曾
摘
媛戴木Leabharlann 香 要： 通过有限元法和无 网格法的对比分析 ， 总结 出无 网格方法 的特 点及优势 ， 讲述 了无网格方法的发展 历史， 在此基
础上介绍 了无 网格方法在 国内外 的研 究现状 ， 并对 无网格方法 中的难 点和存在 的问题进 行 了探讨。 关键词 ： 无网格方法， 限元法 ， 有 数值模拟 ， 研究现状
维普资讯
第３ ４卷 第 ２ ７期 ２０ ０８ 年 ９ 月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥ ｒＵ＝Ｅ Ｒ
Ｖｏ ． ４ ＮＯ． ７ １３ ２
Ｓｐ ２ ０ ｅ． ０８
・１７ ・ １
文章 编 号 ：０ ９６ ２ （０ ８ ２ —１７０ １ ０ —８ ５ ２ ０ ）７０ １—２
１对 ２无 动 模拟分析 方法对 网格 的依赖性 ， 底或部 分地 消除 网格 ， 彻 抛开 网 向 ： ） 无 网 格 法 理 论 方 面 的进 一 步 研 究 ； ） 网 格 法 在 碰 撞 、 金属 加工成 型等领域 中的应用 。根 据选取基 函数 和 格的初始划分 和网格 重构 的一种 很有发 展前 途 的数 值模 拟分 析 态裂纹扩展 、
中图 分 类 号 ： Ｕ３ １ Ｔ １ 文 献标 识 码 ： Ａ
０ 引言
常见的数值模拟分析方法按其适 用范围可 以分为 两大类 ： 一
类方法才开始引起众 多学者 和研究 人员 的重视 和研 究兴趣 。无
网格发展 至今 已有 十余 种 ， 国外 ， 早提 出的一种 无 网格方法 在 最
就可以得 到不同的无 网格 方法 。 方 法 。 因此 ， 网格 法 在 涉 及 网格 畸 变 、 格 移 动 等 问题 中显 示 权函数 以及积分方式的不 同， 无 网 Ｂ ｌｔ ｈ ｏ等提出的无 单元 Ｇ ｌ ｋｎ法 ， 出了误差 分析 ， ｅ ｓ ｋ ｙｃ ａ ｒｉ ｅ 给 并 出了明显的优 势 ， 目前 国内外计算力学界 的热点研究领域。 是 掀起 了无 网 无网格方法和有限元法 的主要区别是 ： 它在 建立近似 函数 时 成功地应用于动态裂纹 扩展数值 以及三 维撞击分析 ， 同时 ，ｅ ｔ ｈ ｏ Ｂ ｌ ｓ ｋ 等也 对无单 元 Ｇａ ｒ ｎ法 中 ｙｃ ｌｌ ｅｄ 不需要网格 、 于函数逼近近似而非插值 、 基 采用不 同的形 函数等 。 格法的研究新 高潮 ， 的数值积分方案以及近似函数的计算方法 进行 了深入 的研究 ， 并 无网格方法 和经典加权残值法 的主要 区别是 ： 采用定 义在离散节 克服 了有 限元方法在模拟裂 点上（ 通常具有紧支特性 ） 的一组权 函数 和基 函数来构 造 近似 函 重新 用于动态 裂纹 扩展的数值模拟 ， Ｌｕ等将 无单 元 数， 而不用定义在全域上的级数展开形式 。无 网格方法 的特点 与 纹扩展时 需 要不 断进 行 网格 重新 划 分 的缺 点 ； ｉ ａ ｒ ｉ法和边界 元 法相耦 合 ， 于 固体 的应 力 分析 ； ｄ ｔ ｈ ｏ ｅ 用 Ｂ ｙｓ ｋ ｃ 优势 主要表现在 ： ） 近似函数对 网格没 有依赖 。２ 其基 函数可 Ｇ ｌ ｋｎ １其 ） 以包含能够反映奇异性 等特 殊性质 的 函数系列 。３ 与有 限元法 和 Ｄ 等将无单元 Ｇａ ｒ ｎ ） ｕ ｌ ｌ 法用 于三 维撞 击和流体 晃动分析 。 ｅｄ 类似 ， 采用 紧支 函数 的无 网格 方 法具 有 带状 稀疏 系数 矩 阵 的特 析 。５前 处理简单等。 ） Ｂ ｂｓａ ａｕｋ 等将单位分解 与 有限元相 结合 ， 出 了单 位分解 有 提 够反 映待求边值 问题特性 的函数 ， 并将这 些特殊 函数 与单位分解 该法在标准 有限元空 问中加 入一系列能 点， 适用 于求解大 型的科学 与工 程问题 。４ 适合 进行 自适 应性 分 限元法 和广义 有限元法 ， ） 因此无 网格方法 已在众 多领域获得 了应用 ， 如水下爆 炸仿 真 函数相乘后和原有 的有 限元 形 函数一起 构成 了新 的增广协 调有 模拟 、 高速碰撞等材料 动态 响应 的数值 模拟 、 动态 裂纹扩 展数 值 限元空 间。用该方法求解动态裂纹 扩展 问题 时 ， 可以处理任意裂 模拟 、 三维撞击分析和大变形等 问题 中。下面让我们 回顾一下 无 纹状态 ， 并且不需 要重新划分 网格 。刘欣 等将单位分解 法用于求
无网格方法的研究应用与进展
第24卷第4期(总第109期)机械管理开发2009年8月Vol.24No．4(SUM No．109)MECHANICAL MANAGEMENT AND DEVELOPMENT Aug．20090引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
1无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin 方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
2无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20世纪70年代。
无网格流形方法在固体力学中的应用研究
无网格流形方法在固体力学中的应用研究摘要：在原有的无网格类方法中，为了克服位移场中不连续的问题，通常使用通视准则、绕射准则以及透明准则等方法，但是这些方法并不能完全解决问题。
为了弥补不足，无网格流形方法中引入了有限覆盖技术，该技术可以在无网格类方法处理不连续问题的过程中提供准确的数学依据。
但是，当节点形成的覆盖没有和不连续连接在一起时，不连续会把覆盖分割成不规则的子覆盖，造成计算结果的不准确。
为了克服有限覆盖技术的这一缺点，无网格方法采用强化分析法，目的是通过裂纹尖端位移场中的奇异项使无网格流行方法中的基函数得到扩展，对于无网格方法是种强化和扩展。
关键词：无网格；固体力学；流行方法；有限覆盖1 引言无网格方法是一种计算精度高、前处理简单的新兴数值方法。
由于无网格方法成功摆脱了网格的束缚，只需节点信息，因此，在处理复杂的工程问题和科学问题中发挥了重要作用。
无网格方法的发展时间短，其性质和方法还需进一步的研究和完善。
无网格流形方法就是把数值流形方法植入无网格方法中得到的，是对无网格方法的一种扩展[1]。
无网格流形方法是无网格方法中的其中一种，该方法无需设立流形单元，在模拟不连续问题是发挥着无可替代的作用[2]。
无网格流形方法没有诞生之前，无网格方法在处理不连续问题时通常使用透明准则、通视准则以及绕射准则等数值经验方法。
透明准则把裂纹当做不完全的阻隔体，具有一定的穿透能力；在通视准则和绕射准则中，裂纹则被视为阻隔体，区别在于在通视准则中，受阻隔的节点之间互不影响；在绕射准则中，影响线在裂纹尖端则会发生绕射现象[3]。
受数值经验方法的限制，这些方法在处理不连续问题的过程中还会产生新的不连续，试函数的建立也因此受到影响。
为了弥补数值经验方法的不足，在无网格流形方法中引入了有限覆盖技术，该技术为无网格方法在处理不连续问题的过程中提供了良好的数学支撑，避免了对试函数的影响。
但是，有限覆盖技术也有不足，当节点形成的覆盖没有穿过不连续时，不连续则会把覆盖分割成为不规则的子覆盖，影响了计算精度。
有限元、边界元、无网格法的比较
首先，从五个方面进行有限元和无网格方法比较，分别是网格划分、形函数的产生、边界条件、系统离散方案、系统方程的求解：1、网格划分有限元方法：连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结构。
单元划分是前处理过程中非常重要的部分, 通常占整个分析过程中大部分时间。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模拟几何形状复杂的求解域。
无网格方法：问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格来进行场变量插值, 也无须描述节点之间的关系。
节点的生成可完全由计算机自动完成, 这大大节省了分析人员的时间, 也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。
几何体边界是由节点替代(而非离散) , 如图1所示，两个节点之间的任意一点可由近似函数插值。
(a)有限元法中光滑曲线边界由三角形直线边代替(b)无网格法中光滑边界由节点替代图1 网格-节点示意图2、形函数的产生：有限元法和无网格法都可从哈密尔顿原理推出, 它们之间最关键的区别是形函数的构造。
有限元法：形函数是定义于单元的局部近似函数，因此函数的连续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理。
形函数可以直接插值得到，故相对较容易构造且相同类型的单元具有相同的形函数。
无网格方法：形函数是围绕每一个节点建立插值函数构成的，不同的点具有不同的形函数，形函数定义于全域，具有较好的连续性和光滑性，不需要后处理过程。
3、边界条件有限元法：施加边界条件并不很困难, 通常在网格划分时使网格形式满足边界条件特点, 本质边界条件可直接加在节点上。
无网格方法：本质边界条件不仅依赖边界点，而且也与内部点有关，无网格法不能直接施加本质边界条件都是用离散的点来代替连续的边界值，这样会给本质边界条件的精确实现造成困难。
，拉格朗日乘子法和罚函数法是两种基本的方法。
4、系统离散方案有限元法是建立在虚功原理上的。
若给出控制微分方程，对于固体结构或流体, 都可以从加权残值法推出更普遍意义上的有限元公式，其可以得到一个对称的刚度矩阵。
无网格方法及其在电磁场数值计算中的应用
图1
MLM 方法图解
1°在求解区域中布一系列节点，记为 xI(I=1~N, N 为节点总数)。节点可均布，也可以随机 分布。 2°为每节点 ｘＩ 设置影响域（或称支持域） 。影响域以 ｘＩ 为中心，通常为圆形或矩形，大 小可相同，也可不同。 3°选定权函数 ｗ（ｔ）（其中－１＜ｔ＜１） ，它应关于 ｔ＝０ 对称、高阶连续、正凸，且在－１＜ｔ＜１ 之外为零。将 ｗ（ｔ）映射到每个节点 ｘＩ 的影响域上，得权函数 ｗＩ（ｘ－ｘＩ），它和 ｗ（ｔ）具有类似的 特性，即关于节点 ｘＩ 对称、高阶连续、正凸，在 ｘＩ 影响域的边界及外部为零。 4°为各节点 ｘＩ 分配未知参数 uI，选用某种规则构造节点形状函数ϕI(x)（具体构造方法见 第 9 部分） ，使近似解完全依节点构建，具以下形式：
Liu 等(1995)
u h ( x) =
∫
Ω
C ( x, y ) w( x − y )u ( y ) dΩ y
Liu 等(1995)
Hp clouds PUFEM
N I = φ Ik (u I + bIT p( x))
Duarte and Oden(1996)
N I = φ I0 (u I + bIT p ( x))
无网格方法及其在电磁场数值计算中的应用∗
尹华杰（华南理工大学 广州 510641）
摘要：本文之目的在于向电磁场数值计算界推介无网格法这一新的数值计算方法。文中着重针 对人们在第一次遇到无网格法时，可能提出的疑问，进行说明与阐述，并分析讨论了无网格法 在电磁场数值计算中的一些潜在应用可能。 关键词：无网格法，有限元法，电磁场数值计算，移动最小二乘法 简介 作为一种新的数值仿真技术，无网格法（Meshless method，简称为 MLM）主要用于代替 和弥补有限元法（FEM）的不足。在网格需要反复生成的场合，如运动体仿真、区域变形问题、 裂纹生成仿真，以及存在奇点的场合，MLM 特别有用。然而 MLM 方法的边界条件以及交界 条件的难于处理，使得其研究和应用主要局限在机械、材料领域。 在电磁场数值计算（EM）领域，也存在利用 MLM 的优点以克服 FEM 缺点的许多理由。 从已发表的文献看，尽管 MLM 在 EM 领域的研究、应用尚十分有限，但它已在国外引起 EM 领域研究者的兴趣。经过仔细收集、分析关于 MLM 的文献，我们总结出了 7 个方面的问题， 在以下加以阐述，以期对 EM 领域的研究者理解 MLM 方法有所助益。 本文的第 2 部分， 着重回答 EM 领域为何需要 MLM 方法的问题。 第 3 部分回答什么是 MLM 方法。第 4 部分介绍 MLM 方法的种类。第 5 部分回答当前谁在研究 MLM 方法的问题。第 6 部分回答在 EM 领域中，谁在应用 MLM 方法的问题。第 7 部分分析 MLM 方法存在的问题及 局限。第 8 部分回答 EM 计算领域的研究者们面对 MLM 方法能够做些什么的问题。为方便起 见，第 9 部分对 MLM 方法的数学理论作简单介绍。 为何需要 MLM 方法？ 众所周知，在偏微分方程的数值计算中，FEM 是十分成熟而强大的工具。FEM 以网格单 元为基础，尽管网格自动剖分软件通过商业途径已很容易获得，但对普通研究者，它还过于昂 贵。而在技术上，FEM 则存在以下问题： （1）当求解问题区域变形时，FEM 要求区域反复剖 分，这将成为计算机的沉重负担； （2）FEM 仅仅提供 C0 连续的近似解，当使用标量位或矢量 位求解电磁场时，场解沿单元边界不连续； （3）网格单元形状对解的收敛性影响严重，在一些 逆向问题中（如电磁设备的形状设计） ，为使求解收敛，即便区域变形是比例性质的，也必须 反复剖分。为了克服 FEM 的这些缺陷，人们开发了 MLM 方法。 什么是 MLM 方法？ 根据 E. Oñ ate(1996)的定义，任何方法，如果其近似解能够严格依节点（而非单元）构建， 就是 MLM 方法[1]。 MLM 法原理比较抽象， 根据笔者的心得， 用以下分步骤的操作来解释 MLM 方法，有助于理解（图 1） ：
无网格——精选推荐
第一章绪论计算流体力学的发展现状计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是现代流体力学中的一个重要学科分支。
作为一门多学科交叉融合而形成的新兴学科，它是流体力学、计算数学和计算机科学相结合的产物。
随着计算机性能的飞速提高以及数值计算方法的不断发展，计算流体力学技术正在逐渐走向成熟。
计算流体力学经历了数值求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程、Euler方程和Navier-Stokes方程等发展阶段。
20世纪80年代以前，由于受到计算机技术的限制，计算流体力学的数值模拟主要以求解拉普拉斯方程、小扰动速势方程、全速势方程为主，其中有代表性的是基于拉普拉斯方程的面源法以及有限差分法求解小扰动速势方程和全速势方程。
在随后的二十多年中，在计算机技术发展的推动和广大计算流体力学工作者的努力下，计算流体力学在求解Euler方程和Navier-Stokes方程以及数值模拟复杂流场方面都取得了重大突破。
在此期间，计算流体力学数值模拟的方法以有限差分法、有限体积法、有限元法为主。
随着诸如TVD格式、ENO格式、NND格式等高阶精度、高分辨率差分格式的提出，计算流体力学对激波、漩涡等复杂问题的模拟能力也有了很大的提高。
目前，计算流体力学工作者正致力于研究和发展更高精度(二阶以上)的计算格式和方法，以适应更精细、更复杂的流动研究和设计的需要。
计算流体力学研究的一个重要分支是计算网格的生成技术，它是计算流体力学走向工程实用阶段所必须面临的关键技术之一。
一般来讲，适合工程使用的网格生成技术应该具备以下特点:(1) 网格生成过程直观明了、简单易行、效率高、自动化程度好。
(2) 通用性、普适性好，对复杂外形、复杂流动的适应能力强。
(3) 网格几何灵活性好，尺度变化易于控制，网格自适应加密简便易行。
目前，已经成熟并走向工程实用中的计算网格有结构网格、非结构网格以及结构非结构的混合网格。
在结构网格方面，出现了代数生成网格法、解微分方程生成网格法、保角变换法等多种网格生成方法，网格类型也由单一的C型网格、0型网格、H型网格发展到嵌套网格和多块对接网格等。
任意截面受弯极限承载力的无网格计算方法
第31卷 第1期 吉首大学学报(自然科学版)Vol.31 No.1 2010年1月J ournal of J is ho u Uni ver s i t y (Nat ural Sci ence Editio n )J an.2010 文章编号:1007-2985(2010)01-0064-06任意截面受弯极限承载力的无网格计算方法3杨玉东1,2,张 珂2,吴敏哲2(1.安阳师范学院建筑工程学院,河南安阳 455002;2.西安建筑科技大学土木工程学院,陕西西安 710055)摘 要:为了分析短肢剪力墙的双向偏压正截面承载力,本文编写了基于插值原理的双向偏心受压正截面承载力分析程序.程序计算混凝土的内力完全按数学公式给出积分区域的精确解,避免了划分网格方法造成的误差.程序的计算结果与试验结果符合良好,为类似程序开发提供一条新的解决思路.利用程序得出的短肢剪力墙双向偏压N -M 相关曲面,并发现曲面上的等轴力线和异形柱类似.利用本程序可以全面把握短肢剪力墙的双向偏心受压正截面承载力,能满足工程设计的要求.关键词:短肢剪力墙;计算程序;正截面承载力中图分类号:TU311.4 文献标识码:A无论是异形柱还是短肢剪力墙,在计算其正截面承载力的时候,都需要考虑双向偏心作用.在双向偏压条件下,截面中和轴方向和位置随截面尺寸、混凝土强度、配筋、弯矩作用方向角及大小等诸多因素的变化而变化.在承载力极限状态时,截面不同位置钢筋及混凝土的应力均不相同.为分析双向偏压正截面的承载力,一般要编制程序进行计算[1-5].通常是先划分网格,然后进行数值积分计算.这种方法的特点是简单,易于理解并实现,该方法已被写入规范附录,供工程人员参考.但精度和速度是很难统一的一对矛盾,该方法需要反复试算,很难选取合适的误差控制标准.已有的分析程序,普遍存在通用性不高、计算效率低、迭代参数难选定,需要反复试算、某些情况误差很大等缺陷.有的程序将钢筋简化为小方格,改变钢筋需要重新划分网格,钢筋的位置及面积很难灵活布置,不方便工程应用.为了解决这些问题,笔者开发了基于插值原理的双向偏心受压正截面承载力分析程序,利用NM 破坏面上的点来模拟破坏面,通过线性插值判断正截面承载力是否达到极限状态.程序可以快速改变截面参数,利用数据库中已经计算的系数进行线性组合,生成新的破坏面.程序后处理与工程实际应用相结合,适合工程技术人员使用.1 基本假定1.1平截面假定大量实验数据都证实:无论异形柱还是短肢剪力墙,或是配型钢的异形柱在变形时,柱平均应变沿截面高度的分布,自加载开始直至破坏基本符合平截面假定,因而平截面假定可以作为计算双向受弯正截面计算的依据.1.2混凝土受压应力—应变曲线、极限压应变εcu混凝土受压应力—应变曲线采用抛物线加平直线的模型为σc =f c [2(εε0)-(εε0)2],(1)其中:ε0取0.002;极限压应变εcu 按现行国家标准采用0.0033.1.3其他基本假定(1)不考虑混凝土的抗拉强度;(2)钢筋和型钢的应力—应变曲线采用斜直线加平直线的理想弹塑性模型,即σs =E s εs ,其中σs ≤f s .纵向受拉钢筋的极限拉应变取0.01;(3)钢筋的应力和应变均匀分布,取钢筋形心位置的应变作为整根3收稿日期:2009-10-23基金项目陕西省自然科学基金资助项目()作者简介杨玉东(),男,河南南阳人,西安建筑科技大学博士生,主要从事建筑结构抗震研究:2004E227:1980-.钢筋的应变,其合力点为其形心坐标.2 程序实现本程序借鉴了ANSYS 、Abaqus 等先进程序的经验,基于模块化进行设计.程序把计算结果以计算系数的形式写入数据库,供后处理模块操作.主要模块及功能如表1.表1 程序主要模块及功能模块主要内容主要作用设定模块基于分块方法输入截面信息设定轴力分析精度设定角度分析精度输入混凝土强度输入钢筋强度及弹性模量,每根钢筋面积及位置坐标选择弯矩积分点位置设定截面全压时的处理方法形成各种控制参数及R,θ表格计算模块应变函数子模块S TRAIN 混凝土计算子模块CON 混凝土修正子模块CONFIX 钢筋计算子模块BAR把每一组R,θ参数计算的值按对应关系写入结果数据库后处理模块指定轴力下Mx -My 破坏曲线形成子模块M xMy 指定方向下,获得N ,Mx ,M y 破坏点子模块N -M xMy 混凝土强度调整子模块QC 截面放大子模块FD 钢筋强度、面积、位置调整子模块SFIX 针对数据库进行查询,进行设计校核,设计修改.设计修改时能依据基本数据库,快速形成新的N -M 破坏曲面. Mmaple 具有强大的符号计算功能,可以直接按照函数积分的原理进行计算.同时,Maple 还具有精度高、计算快、程序简单的优势.本程序通过用maple 编写的超级混凝土单元进行计算,只需要几个单元就可以达到非常高的精度.异形截面主要包括L 形、T 形、十字形和Z 形等截面形式,程序把截面分为数个矩形进行计算,输入参数时只用输入每个矩形的长、宽及形心位置,这样即简化了输入也增强了适应性.下面以矩形块为例来说明计算原理.2.1建立坐标系图1 截面坐标体系本程序的坐标系可以沿分成的矩形块平行的方向任意建立,如图1所示.2.2程序设定模块(1)单元类型.本程序是基于分块方式把截面分成多个小块,相当于有限元的计算单元.每一个单元内的混凝土对截面内力的贡献,是通过积分区域的双重积分来进行运算的,积分区域可以直接表示为x ,y 的数值上下限.这种方式处理具有单元形式少,精度高,避免了细化网格方法精度与效率之间的矛盾.(2)异形截面的参数信息.异形截面的计算基础是十字形截面,需输入t 1,t 2,a ,b,c ,d 这6个参数,参数意义如图2-a ,计算时用3个矩形块.如果设定d =0就变成图2-b 的T 形截面,这时用3个矩形块模拟;如果设定c =0,d =0就变成图2-c 的L 形截面,计算时用2个矩形块;如果a ,b,c,d 都为零时就变成图2-d 的矩形截面,只用1个矩形块模拟.对于Z 形截面,采用高t 1,宽e 的矩形和L 形拼接的方式,如图2-e.计算使用3个矩形块来模拟.当高度不是t 1时,可以采取拼接任意矩形的方式,如图2-f ,这时需指定矩形块的高a 1,宽b 1及形心位置(x 1,y 1).这种情况也使用3个矩形块模拟.对于更复杂的截面情况,只要可分成多个矩形,都可以通过分别指定每个矩形块的高、宽及形心位置的方式输入.(3)确定角度参数和轴力计算参数.在程序建立的坐标系下,截面的中和轴方程为f (x ,y)=xcos θ+ysin θ-R ,(2)其中:R 为坐标原点到中和轴的距离;θ为中和轴法线与x 轴的夹角,本程序取值为[-π,π].程序计算要先确定和轴方程中的角度和位置参数R,然后计算正截面极限承载力.计算结果采用大量N -M 破坏面上的计算破坏点来表N -M 破坏面.后处理时用线性插值获得需要的正截面承载力.本程序是通过角度参数n θ和轴力计算参数n N 来控制计算精度的.n θ决定中和轴方程中参数θ在[-π,π]中取值个数,即Δθ=πθ,计算的θ序列为[,Δθ,Δθ,3Δθ,,…]默认取值为,也就是从开始,每5度计算一组R 系列值同理,如果取值为36,则表示每度计算一组R 系列,可以利用对称性来缩小计算的范围N 决定中和轴方程中参数R 在截面内的取值56第1期 杨玉东,等:任意截面受弯极限承载力的无网格计算方法2n 02.720.01.n图2 截面坐标表示个数,默认值为50,且ΔR =R j m a x -R min n N,(3)R j max =R max -0.0033(R ma x -R s m in )(0.01+0.0033),(4)f (x,y)=xco s θ+ysin θ,(5)其中:R max ,R m in 分别为每一个分块的顶点坐标代入.(3)式取得的最大值和最小值;R s min 对应每一个给定的θ值,其截面上的每一根钢筋代入(5)式取得的最小值;R j max 为考虑最外侧受拉钢筋应变达到0.01时的R 最大取值.n N 设定后,形成[R j max ,R j max -ΔR ,R j ma x -2ΔR,R j m a x -3ΔR ,…]的R 系列,这样就形成了一个θ与R 的n θ×n N 的二维表,程序计算模块将表中的每一组值作为参数进行计算.当n θ=72,n N =50时,需要计算3600破坏点;当n θ=360,n N =100时,需要计算36000个破坏点.(4)设定截面全压时的处理方法.程序一般只对中和轴在截面内的情况进行计算,对中和轴与截面没交点的情况,采用中和轴在全截面受压临界点的计算值和轴心受压时的内力值之间进行线性差值的方式来处理.全截面受压时,可改变插值的处理方式.程序将计算中和轴在截面外的R 值,这时R 值间隔改为2ΔR,4ΔR,8ΔR,…,R j m in ,且R j m in =R max -0.00330.002×(R m a x -R min ),(6)当R =R j m in 时,整个截面的压应变都将达到0.002,R 值变化已经不会影响计算的结果.补充计算的数据也写入数据库,供后处理插值时选用.2.2.5程序其他参数 程序计算还需要设定的参数有:混凝土强度f c 0,钢筋强度及弹性模量f s 0和E s 0,每根钢筋的面积及位置,选择截面内力计算点的位置(默认为截面几何形心,用户指定时输入坐标(x 0,y 0).3计算模块原理()应变函数子模块S TR IN 截面上任意一点的应变可表示为66吉首大学学报(自然科学版)第31卷2.1A .f (x ,y)=x cos θ+ysin θ-R R m a x×0.0033,(7)其中R max 为截面中和轴受压一侧在(5)式取得的最大值.(2)混凝土计算子模块CON.可以把混凝土的应力—应变曲线写为分段函数的形式,即受拉的零应力段、二次变化应力段和常应力段,记作σc ,并规定应变受压为正.则对与任意一组R,θ值,混凝土对截面内力的贡献可记作:N c =∑κσc d xdy ,(8)M cx =∑κσc (y -y 0)d xd y,(9)M cy =∑κσc (x -x 0)dxdy.(10)其中:N c 为轴向力;M cx ,M cy 分别为关于x ,y 轴的弯矩.Maple 对双积分的处理方式为对函数进行符号运算求逆函数,即先求函数的不定积分,再代入积分上下限求定积分.当θ接近1/2π或-1/2π时,先积分x 后积分y ,对中和轴方程取逆函数,造成除以一个接近零的值.为解决这个问题,特调整积分顺序.当1/4π≤θ≤3/4π或-3/4π≤θ≤-1/4π,先积分y 后积分x.这就是混凝土轴力弯矩计算子模块CON 的主要计算原理,CON 子模块将每一组R,θ计算出的Nc ,M cx 和M cy 按格式写入数据库.(3)混凝土修正子模块CONFIX.为考虑配筋率比较大时也有较好的精度,特别设计了混凝土修正模块CON FIX.因为钢筋占截面一定的面积,混凝土内力计算时多算了混凝土的贡献,所以要对结果中进行修正.修正时,假定钢筋所占面积内的混凝土的应变为对应每根钢筋形心点的应变.对于每组R,θ值,程序都要运行混凝土修正模块CONF IX,输出对应的N c ,fix ,M cx ,fix 和M cy ,fix 到结果数据库,计算公式如下:N c,fix =-∑A s σc ,(11)M cx ,f ix =-∑A s σc (y -y 0),(12)M cy ,fix =-∑A s σc(x -x 0).(13)其中:σc 为每根钢筋形心位置对应的混凝土应力;A s 为对应每根钢筋的面积.(4)钢筋计算子模块BA R.在钢筋计算处理上,钢筋采用矩阵形式表示,即每根钢筋按形心位置的坐标值和面积的顺序记作钢筋矩阵的一行.截面内布置的型钢需要离散为多个小钢块,按每块的形心点坐标和面积以钢筋的形式输入钢筋矩阵.这样程序不但可以处理普通混凝土截面,也可计算配刚量较大的构件如型钢混凝土的正截面承载力.钢筋计算子模块BAR 建立在配筋矩阵的基础上,它读入每根钢筋的位置信息及面积进行下列计算:N s =∑A s σs ,(14)M sx =∑A s σs (y -y 0),(15)M sy =∑A s σs(x -x 0),(16)计算后将每一组R,θ对应的N s ,M sx 和M sy 输出结果数据库.(5)结果汇总和分类.最后程序将计算每一组R ,θ对应的总合力即N ,M x 和M y 为N =N c +N c ,fix +N s ,M x =M cx +M cx ,fix +M sx ,M y =M cy +M cy ,fix +M sy .至此,程序已将每一组R ,θ对应的N c 、M cx 、M cy 、N s 、M sx 、M sy 、N c ,fix 、M cx ,fix 、M cy ,fix 、N 、M x 和M y 写入了结果数据库.为了后处理方便,在数据库上另外加2列α和β.对于每一组R ,θ取值条件下,α和β确定方法为:比较M x 和M y ,将M x 的绝对值小于M y 的记录,写入α=1,β=M x /M y ;否则α=0,β=M y /M x .另外加2个记录:计算全截面受压时的内力记作[R =-infinity ,θ=0]和全截面受拉屈服时的内力记作[R =+in f init y,θ=0].2.4后处理模块在形成了结果数据库后,就可以利用计算结果进行后续的分析.下面简要介绍一下主要的后处理功能.(1)M x M y 子模块.此模块计算给定轴力N 0下的M x -M y 曲线,程序对[-π,π]中的每一个计算角度取一个值,利用数学原理计算给定θ下,距轴力N 0最近2个破坏点在N 0位置线性插值.具体操作:对于给定的轴力N 0,对每一个θ相等的计算结果,以N 列为索引进行2次查询.分别找出N 值大于N 0的最小记录和N 值小于N 0的最大记录,再把2个记录的M x 和M y 在N 值为N 0的位置进行线性插值.程序最终输出由n θ点组成的M x ,M y 破坏曲线.(2)N -M x M y 子模块.此模块计算轴力N 0和M x M y 为定值时的承载力,其数学原理:求以N =N 0平面与M x /M y =β0为方程的直线与破坏面的交点.此模块利用数据库原理,对结果数据库以N 列为索引进行2次查询,分别找出N 值大于N 的最小记录和N 值小于N 的最大记录,以这些记录形成一个全列的新表根据α值,减去不符合的记录,然后再以β列为索引进行次查询分N 大于N 和N 小于N 组,分别找出β值大于β的最小记录和β值小于β的最大记录,这样就只76第1期 杨玉东,等:任意截面受弯极限承载力的无网格计算方法00.2.00200留下了4个破坏点.程序以直线被4个点形成的四面体截取线段的中点作为计算结果,由于4个点的R 和θ查到,破坏时每根钢筋的应力状态也可以给出,可以根据距中和轴最远的受拉钢筋是否屈服判断破坏的性质.(3)调整子模块.(ⅰ)混凝土强度调整子模块QC 。
10_无网格方法
a( x) A1 ( x) B( x)u (8)
把式(8)代入式(1)得近似函数为
u ( x, x) pT ( x) A1 ( x) B( x)u N T ( x, x)u (9)
U T RA T a d V T RB T a d 0
式中 RA a A a 和 RB a B a 为余量。 虽然 U 和V
T T T Tຫໍສະໝຸດ
为任意权函数，但在实际应用时，不可能也不需要取无穷多个权函数。 与试函数表达式类似，可以把权函数也写成已知基函数的组合，即
pT ( x) [1, x, y, x 2 , xy, y 2 ]
m6
m 10
基函数的个数 m 、 基函数中包含的完备多项式的最高阶数 n 和问题的维数 nDim 之间的关系为
m
(n 1)(n 2) (n nDim ) nDim !
(3)
在移动最小二乘近似的（MLS）中，坐标 ai ( x ) 的选取应该使近似位移
p ( x) [1, x, y, r cos , r sin , r sin sin , r cos sin ] 2 2 2 2
T
式中：r 为某点距裂纹尖端的距离， 为该点与裂纹尖端连线与裂纹线的夹角。
若把式(1)作为有限单元容许位移函数，则 p1 ( x) 1 可以保证单元容许位
求解方法。只要试函数是利用离散点来建立的，则由紧支试函
数加权余量法导出的各种近似方法都称为无网格方法。
紧支近似函数 紧支近似函数是定义在局部区域(支撑区域)中的函数，它只 在支撑域中有定义，而在支撑域外为零。在二维问题中，支撑 域一般为圆形或矩形，与求解域相比，支撑域是一个很小的区 域，并且是可以互相重叠。有限元网格表示的区域是不能彼此 重叠的。
弹性力学问题的无网格方法
太变 形特 在 的 工 业成 形 问题 时具 有 广 阔 的发 展 前 景． 按其 出现 的先 后顺 序 ， 有代 表 性 的 主要 有 ： 滑 光
粒 子 法 ｓ Ｈ （ ｍ ｏｈ ｄ Ｐ ｒｃｌＨｙ ｒ ｙ ｍ ｉ ） Ｐ Ｓ ｏ ｔｅ ａｔ ｄｏ ｎ ｎｅ ｉ ａ ｄ ｓ （９７ 、 １ ７ ） 扩散单元 法 Ｄ Ｍ（ ｉｕｅＥｅ ｎ ｔｏ ） Ｅ Ｄ ｆ ｓ ｌ ｍｅ ｔ Ｍｅｈ ｄ
王卫东 赵 国群 栾贻 国
（５ ０１ 山东省 济 南市 山东大学模 具工程技 术研 究中Ｉ ２０ ６ 心） 摘 要 采 用移动 最 小二 乘近似 方法 ， 出 了场 变量 的近似表 迭形 式． 用修 正 的 变分原 理 ， 出了一 给 利 给 种易于实施的求解弹性力学问题的无 网格方法． 对权函数及其参数 的选取进行 了有 益的探讨 算倒验证 了 方 法的 可行 性 ， 数值 计算 结果 与解析解 非常接 近 关键词 变分 原理 ； 弹性 力学／ 无网格方 法 ； 动最 小二乘近 似 移 中 图分 类号 ０ ４ ； ４ 文献标 识码 ： ２ ２Ｏ３３ Ａ 文章编号 ：００—５２ （０２ ０ 一０ ５ —０ １０ ３ ３２０ ）ｌ ０ ２ ５
中 ， 网格伽 辽金法 以其精度 高 、 无 稳定 性好 的特点 而 得 到广 泛 的应 用 ． 是 由 Ｂ ［ ｃｋ 通 过考 虑 它 ｅ ￣ｓｈ ｏＴｃ 扩 散单元 法 中被忽略 的导数 项 而提 出 的 ， 是 由 于 但 采用 拉格 朗 日乘 子 ＿ Ｊ ＾ 位 移 边 界条 件 ， １ 引 ０ 不仅 增
点； 修正 的变分 原理 运 用 拉 格 朗 日乘 子 的物 理意
义， 保持 了刚 度矩阵对 称 、 宽 、 带 正定 的特 点 ， 于实 便 施 在此 基础 上 ， 本文采 用移 动最小 二乘 近似构造场 变量的近似 表达 ， 无 网格 方 法 在 弹性力 学 中的应 对 用进行 了研 究 ， 权 函数 参 数 的选 取 以及 权 函数参 对 数 、节点分 布情 况对计 算结果 的影 响等 问题进行 了
element-free_galerkin_(efg)方法_概述说明
element-free galerkin (efg)方法概述说明1. 引言1.1 概述Element-Free Galerkin (EFG)方法是数值计算中一种重要的无网格方法，它在求解偏微分方程问题中具有独特的优势和广泛的应用。
相比传统有限元方法，EFG方法不需要构建网格，能够更好地处理复杂几何形状和大变形问题。
本文旨在对EFG方法进行全面的概述和说明，介绍其原理、基本步骤以及在工程应用中的优势和应用领域。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分我们将对EFG方法进行概述，并介绍文章的结构安排。
其次，在第二部分我们将详细描述EFG方法的简介、原理以及在工程应用中的优势。
第三部分将介绍EFG方法的基本步骤，包括离散化与网格生成、加权残差法与弱形式表达以及局部插值与求解偏微分方程。
第四部分将探讨EFG方法在结构力学、流体力学和生物医学工程等领域中的广泛应用。
最后，在第五部分我们将总结本文讨论内容及发现结果，并对EFG方法未来发展提出展望和建议。
1.3 目的文章旨在提供关于EFG方法的全面概述和说明，介绍其原理、基本步骤以及在工程应用中的优势和应用领域。
通过本文，读者将能够了解EFG方法的基本原理和特点，并了解其在不同领域中的应用情况。
同时，我们还将对EFG方法未来发展进行展望，为相关研究提供参考和建议。
2. Element-Free Galerkin (EFG)方法概述:2.1 EFG方法简介:Element-Free Galerkin (EFG)方法是一种用于求解偏微分方程的数值方法。
与有限元法类似，EFG方法也是将问题域离散化为小区域，并在每个区域上构建逼近解。
但与有限元法不同的是，EFG方法不需要网格。
在EFG方法中，问题的域被离散化为一系列节点。
每个节点处都需要定义一个试探函数以及相应的待定系数。
通过加权残差法和弱形式表达，在整个领域内建立起一个连续性误差逼近解。
2.2 EFG方法原理:EFG方法的核心思想是利用无网格自由度进行逼近求解，因此避免了传统有限元网格划分所带来的困难和误差。
固体力学中的无网格方法
• • • • • 无网格方法的概述 无网格方法的近似方案 不连续性近似 离散化实现 基本边界条件的实现
无网格方法的概述
无网格法是在建立问题域的系统代 数方程时，不需要利用预定义的网 格信息，或者只利用更容易生成的 更灵活、更自由的网格进行域离散 的方法。（刘桂荣，2009）
无网格方法的概述
最近几年，Duarte和Oden等人提出了单位分解法， 并且认识到基于移动最小二乘法的近似方法实际上是 单位分解法的一种特例，从而将这类近似方法加以扩 展；Liu等人也对此类方法做了大量的研究工作，并对 其收敛性给以证明。
无网格方法的概述
无网格法求解过 程（与FEM对比）
无网格方法的概述
无网格方法模拟裂纹扩展
无网格方法的近似方案
• 核函数近似方法 • 移动最小二乘近似(MLS) • 单位分解法
无网格方法的近似方案
核函数近似方法
核函数近似方法最初主要用于SPH方 法。它对函数u（x）利用核函数进行近 似 u ( x ) x y , h u ( y ) d x y , h 被称为核函数或权函数，h是紧 支集尺寸的一个度量。
无网格方法的概述
一条构造无网格方法的途径是采用 移动最小二乘法（moving least square approximation method，简记为MLS）进 行近似。Nayroles等人最早将移动最小二 乘近似用于Galerkin方法，并将之称为扩 散单元法（difflnse elernent methods，简 称DEM）。Belytschko等人提出了无单元 的Galerkin法（element free galerkin method，简称EFG）。这类方法具有较 好的协调性及稳定性。
结构振动分析中的无网格方法
~ 板, 无量纲频率参数是 caZ pt/ D0 ) 的变化情况, 纵
坐 标为无量纲频率参数O 从图 l, Z, B 中可看出, 当 dm/ Gz } 4. 0 且 G/ Gz } l . 0 时, 每一个频率参数趋于 一致; 进一步的计算还可发现, 这些频率参数值与 解析解吻合得很好O
- Zn II - Zn JJ - 2Zn IJJ O O 1-/ 2J
( 15) ( 16)
其中 DO 为板的弯曲刚度 DO = Et3/ 12( 1 - /2) 薄板的质量矩阵和阻尼矩阵表达式均同梁 板
的载荷列阵为
F( t) = ZTbd0 + ZTG( t) d0 +
0
0
nk
Z ZT( Ik ) Tk ( Ik t)
第20卷第6期 2003 年 12 月
计算力学学报 Chinese Journal of Computational Mechanics
Vol . 2 0 No . 6 December 2003
文章编号: 1007-4708( 2003) 06-0756-08
结构振动分析中的无网格方法
李卧东% 1 2 陈胜宏1
k= 1
( 17)
其中 G(t) 是 t 时刻作用在整个薄板上的横向均布 荷载
3. 2 一点说明 系统的广义特征值采用子空间迭代法求解; 动
力方程采用 WilSOn 9 法求解 取 9 = 1. 4; 求出每一 步的位移~ 速度和加速度后 再根据移动最小二乘 法拟合得到节点真正的位移~ 速度和加速度 并作 为下一时间步的起点位移~ 速度和加速度
1
计算固体力学(有限元以及无网格方法)
σz ≠ 0
E 1− µ2
平面应变问题的弹性矩阵只需将上页中的 E 换成
µ 换成 1 − µ 即可。 即可。
µ
1 E (1 − µ ) µ [D] = (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ 0
µ
1− µ 1 0
0 1 − 2µ 2(1 − µ ) 0
第二章 平面弹性力学的有限元法
2.2 三角形常应变单元 3 单元中的应变和应力
{ε } = [ B ]{δ }e
i ( xi , yi )
y
vm
Hale Waihona Puke m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
ui
j(x j , y j )
由于[ 是常量， 由于[B]是常量，单元内各点应变分 量也都是常量， 量也都是常量，这是由于采用了线性位 移函数的缘故， 移函数的缘故，这种单元称为三角形常 应变单元。 应变单元。
2.2 三角形常应变单元 2 位移试函数
由于位移函数适用于单元中的任意 一点，所以代入3个节点的坐标后， 一点，所以代入3个节点的坐标后，得 出节点处位移函数为
ui = α1 + α 2 xi + α 3 yi
u j = α1 + α 2 x j + α 3 y j u m = α 1 + α 2 xm + α 3 y m
y
vm
m ( xm , y m )
vi
um
vj
uj
i ( xi , yi )
ui
j(x j , y j )
O
x
三角形单元
1 xi 1 ∆ = 1 xj 2 1 xm yi